100 results found for "square-condition" in Class 10.
B. (10) मीटर(10) m
मूल भुजा (x) हो तो ((x+4)2-x-2=96)। इससे (8x+16=96) और (x=10) मिलता है। / If the original side is (x), then ((x+4)2-x-2=96). Thus (8x+16=96), giving (x=10).
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C. (16) मीटर(16) m
अंदर की भुजा (92-2x) है और (92-2x=60), इसलिए (x=16) है। सीमा दोनों तरफ से घटती है। / The inner side is (92-2x) and (92-2x=60), so (x=16). The border is subtracted from both sides.
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A wire is bent into a square and the area is (3025) square cm. What is the length of the wire?
C. (220) सेमी(220) cm
वर्ग की भुजा (x) हो तो \(x^2=3025\), इसलिए (x=55) है। तार की लंबाई परिमाप (4x=220) सेमी होगी। / If the side of the square is (x), then \(x^2=3025\), so (x=55). The wire length is the perimeter (4x=220) cm.
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C. (50) सेमी(50) cm
((x-9)2=1681) से (x-9=41), इसलिए (x=50) है। घटाई गई भुजा को (x-9) लिखें। / ((x-9)2=1681) gives (x-9=41), so (x=50). Write the reduced side as (x-9).
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The side of a square tile is (x-12) cm and its area is (1849) square cm. What is (x)?
C. (55)
((x-12)2=1849) और (x-12=43), इसलिए (x=55) है। भुजा धनात्मक होने की शर्त याद रखें। / ((x-12)2=1849) and (x-12=43), so (x=55). Remember that the side must be positive.
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The side of a square is (x+17) cm. Its area is (3249) square cm. What is the value of (x)?
C. (40)
((x+17)2=3249) से (x+17=57), इसलिए (x=40) है। लंबाई के लिए धनात्मक वर्गमूल लें। / ((x+17)2=3249) gives (x+17=57), so (x=40). Take the positive square root for length.
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C. (12) मीटर(12) m
अंदर की भुजा (68-2x) है और (68-2x=44), इसलिए (x=12) है। सीमा दोनों तरफ से घटती है। / The inner side is (68-2x) and (68-2x=44), so (x=12). The border is subtracted from both sides.
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A wire is bent into a square and the area is (2025) square cm. What is the length of the wire?
B. (180) सेमी(180) cm
वर्ग की भुजा (x) हो तो \(x^2=2025\), इसलिए (x=45) है। तार की लंबाई परिमाप (4x=180) सेमी होगी। / If the side of the square is (x), then \(x^2=2025\), so (x=45). The wire length is the perimeter (4x=180) cm.
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C. (43) सेमी(43) cm
((x-7)2=1296) से (x-7=36), इसलिए (x=43) है। घटाई गई भुजा को (x-7) लिखें। / ((x-7)2=1296) gives (x-7=36), so (x=43). Write the reduced side as (x-7).
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The side of a square tile is (x-13) cm and its area is (1600) square cm. What is (x)?
C. (53)
((x-13)2=1600) और (x-13=40), इसलिए (x=53) है। भुजा धनात्मक होने की शर्त याद रखें। / ((x-13)2=1600) and (x-13=40), so (x=53). Remember that the side must be positive.
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The side of a square is (x+12) cm. Its area is (1764) square cm. What is the value of (x)?
C. (30)
((x+12)2=1764) से (x+12=42), इसलिए (x=30) है। लंबाई के लिए धनात्मक वर्गमूल लें। / ((x+12)2=1764) gives (x+12=42), so (x=30). Take the positive square root for length.
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B. (8) मीटर(8) m
अंदर की भुजा (52-2x) है और (52-2x=36), इसलिए (x=8) है। सीमा दोनों तरफ से घटती है। / The inner side is (52-2x) and (52-2x=36), so (x=8). The border is subtracted from both sides.
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A wire is bent into a square and the area is (1296) square cm. What is the length of the wire?
C. (144) सेमी(144) cm
वर्ग की भुजा (x) हो तो \(x^2=1296\), इसलिए (x=36) है। तार की लंबाई परिमाप (4x=144) सेमी होगी। / If the side of the square is (x), then \(x^2=1296\), so (x=36). The wire length is the perimeter (4x=144) cm.
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C. (33) सेमी(33) cm
((x-5)2=784) से (x-5=28), इसलिए (x=33) है। घटाई गई भुजा को (x-5) लिखें। / ((x-5)2=784) gives (x-5=28), so (x=33). Write the reduced side as (x-5).
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The side of a square tile is (x-8) cm and its area is (900) square cm. What is (x)?
C. (38)
((x-8)2=900) और (x-8=30), इसलिए (x=38) है। भुजा धनात्मक होने की शर्त याद रखें। / ((x-8)2=900) and (x-8=30), so (x=38). Remember that the side must be positive.
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The side of a square is (x+6) cm. Its area is (1225) square cm. What is the value of (x)?
C. (29)
((x+6)2=1225) से (x+6=35), इसलिए (x=29) है। लंबाई के लिए धनात्मक वर्गमूल लें। / ((x+6)2=1225) gives (x+6=35), so (x=29). Take the positive square root for length.
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The area of a square is (96) more than its perimeter. What is the side of the square?
A. (12)
यदि भुजा (x) है, तो \(x^2=4x+96\)। इससे \(x^2-4x-96=0\), इसलिए धनात्मक भुजा (12) है। / If the side is (x), then \(x^2=4x+96\). This gives \(x^2-4x-96=0\), so the positive side is (12).
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B. (4) मीटर(4) m
अंदर की भुजा (28-2x) है और (28-2x=20), इसलिए (x=4) है। सीमा दोनों तरफ से घटती है। / The inner side is (28-2x) and (28-2x=20), so (x=4). The border is subtracted from both sides.
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A wire is bent into a square and the area is (625) square cm. What is the length of the wire?
C. (100) सेमी(100) cm
वर्ग की भुजा (x) हो तो \(x^2=625\), इसलिए (x=25) है। तार की लंबाई परिमाप (4x=100) सेमी होगी। / If the side of the square is (x), then \(x^2=625\), so (x=25). The wire length is the perimeter (4x=100) cm.
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B. (18) सेमी(18) cm
((x-3)2=225) से (x-3=15), इसलिए (x=18) है। घटाई गई भुजा को (x-3) लिखें। / ((x-3)2=225) gives (x-3=15), so (x=18). Write the reduced side as (x-3).
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C. (40)
क्षेत्रफल वृद्धि ((x+5)2-x-2=425) है। इससे (10x+25=425), इसलिए (x=40) है। / The area increase is ((x+5)2-x-2=425). This gives (10x+25=425), so (x=40).
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The side of a square tile is (x-3) cm and its area is (441) square cm. What is (x)?
C. (24)
((x-3)2=441) और (x-3=21), इसलिए (x=24) है। भुजा धनात्मक होने की शर्त याद रखें। / ((x-3)2=441) and (x-3=21), so (x=24). Remember that the side must be positive.
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The side of a square is (x+4) cm. Its area is (576) square cm. What is the value of (x)?
C. (20)
((x+4)2=576) से (x+4=24), इसलिए (x=20) है। लंबाई के लिए धनात्मक वर्गमूल लें। / ((x+4)2=576) gives (x+4=24), so (x=20). Take the positive square root for length.
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The area of a square is (45) more than its perimeter. What is the side of the square?
A. (9)
यदि भुजा (x) है, तो \(x^2=4x+45\)। इससे \(x^2-4x-45=0\), इसलिए धनात्मक भुजा (9) है। / If the side is (x), then \(x^2=4x+45\). This gives \(x^2-4x-45=0\), so the positive side is (9).
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A square field has side (x) m. If its area is (729) square m, what is (x)?
C. (27)
\(x^2=729\) से (x=27) है। वर्गाकार क्षेत्र में भुजा क्षेत्रफल का धनात्मक वर्गमूल होती है। / \(x^2=729\) gives (x=27). In a square region, the side is the positive square root of area.
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A square floor has area (625) square m. What is its perimeter?
C. (100) मीटर(100) m
\(x^2=625\) से भुजा (25) मीटर है और परिमाप (4x=100) मीटर है। क्षेत्रफल और परिमाप के सूत्र अलग रखें। / From \(x^2=625\), the side is (25) m and perimeter is (4x=100) m. Keep area and perimeter formulas separate.
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A square hall has area (529) square m. What is its side?
C. (23) मीटर(23) m
भुजा (x) हो तो \(x^2=529\), इसलिए (x=23) है। लंबाई के लिए केवल धनात्मक वर्गमूल लें। / If the side is (x), then \(x^2=529\), so (x=23). For length, take only the positive square root.
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A square courtyard has area (400) square m. What is its perimeter?
C. (80) मीटर(80) m
\(x^2=400\) से भुजा (20) मीटर और परिमाप (4x=80) मीटर है। क्षेत्रफल और परिमाप के सूत्र अलग होते हैं। / \(x^2=400\) gives side (20) m and perimeter (4x=80) m. Area and perimeter formulas are different.
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A square card has area (361) square cm. What is its side?
C. (19) सेमी(19) cm
\(x^2=361\) से (x=19) है। वर्गमूल लेते समय लंबाई को धनात्मक रखें। / \(x^2=361\) gives (x=19). While taking the square root, keep length positive.
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A square stage has area (289) square m. What is its perimeter?
C. (68) मीटर(68) m
\(x^2=289\) से भुजा (17) मीटर है और परिमाप (4x=68) मीटर है। पहले भुजा निकालें और फिर परिमाप लगाएँ। / From \(x^2=289\), the side is (17) m and perimeter is (4x=68) m. First find the side and then apply perimeter.
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A square park has area (196) square m. What is its side?
C. (14) मीटर(14) m
भुजा (x) हो तो \(x^2=196\), इसलिए (x=14) है। वर्ग की भुजा हमेशा धनात्मक मानी जाती है। / If the side is (x), then \(x^2=196\), so (x=14). The side of a square is always taken positive.
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A square sheet has area (144) square cm. What is its perimeter?
D. (48) सेमी(48) cm
\(x^2=144\) से भुजा (12) सेमी है और परिमाप (4x=48) सेमी है। परिमाप पूछे जाने पर केवल भुजा लिखकर न रुकें। / \(x^2=144\) gives side (12) cm and perimeter (4x=48) cm. If perimeter is asked, do not stop after finding the side.
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A square tile has area (64) square cm. What is its side?
C. (8) सेमी(8) cm
भुजा (x) हो तो \(x^2=64\), इसलिए (x=8) है। वर्ग में क्षेत्रफल भुजा के वर्ग के बराबर होता है। / If the side is (x), then \(x^2=64\), so (x=8). In a square, area equals the square of the side.
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A square field has area (225) square m. What is its perimeter?
C. (60) मीटर(60) m
\(x^2=225\) से भुजा (15) मीटर है और परिमाप (4x=60) मीटर है। पहले भुजा निकालें, फिर परिमाप लगाएँ। / From \(x^2=225\), the side is (15) m and perimeter is (4x=60) m. First find the side, then apply perimeter.
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A square garden has area (169) square m. What is its side?
C. (13) मीटर(13) m
वर्ग की भुजा (x) हो तो \(x^2=169\), इसलिए (x=13) है। भुजा हमेशा धनात्मक ली जाती है। / If the side of the square is (x), then \(x^2=169\), so (x=13). A side length is always taken positive.
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Which of the following is not a perfect square and its square root is proved irrational?
A. (2)
(4), (9) और (25) पूर्ण वर्ग हैं। / (4), (9), and (25) are perfect squares.
(2) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय सिद्ध किया जाता है। / (2) is not a perfect square, so \(\sqrt{2}\) is proved irrational.
पूर्ण वर्ग और अपूर्ण वर्ग की पहचान पहले करें। / First identify perfect and non-perfect squares.
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C. (20) सेमी(20) cm
बॉर्डर के बाद भुजा (x+10) होगी। ((x+10)2=900) से (x+10=30) और (x=20) मिलता है। / After the border, the side becomes (x+10). From ((x+10)2=900), (x+10=30), so (x=20).
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B. (10 cm)
वर्ग की भुजा (x) हो, तो शेष क्षेत्रफल (x(x-3)=70)। इससे \(x^2-3x-70=0\), इसलिए (x=10)। / Let the square side be (x), then the remaining area is (x(x-3)=70). This gives \(x^2-3x-70=0\), so (x=10).
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C. (96)
क्षेत्रफल वृद्धि ((x+12)2-x-2=2448) है। इससे (24x+144=2448), इसलिए (x=96) है। / The area increase is ((x+12)2-x-2=2448). This gives (24x+144=2448), so (x=96).
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B. (32)
बराबर क्षेत्रफल से (x(x+66)=562) बनता है। इससे (x=32) मिलता है। / Equal areas give (x(x+66)=562). This gives (x=32).
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B. (80)
क्षेत्रफल वृद्धि ((x+10)2-x-2=1700) है। इससे (20x+100=1700), इसलिए (x=80) है। / The area increase is ((x+10)2-x-2=1700). This gives (20x+100=1700), so (x=80).
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D. (36)
बराबर क्षेत्रफल से (x(x+28)=482) बनता है। इससे (x=36) मिलता है। / Equal areas give (x(x+28)=482). This gives (x=36).
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B. (72)
क्षेत्रफल वृद्धि ((x+8)2-x-2=1216) है। इससे (16x+64=1216), इसलिए (x=72) है। / The area increase is ((x+8)2-x-2=1216). This gives (16x+64=1216), so (x=72).
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D. (34)
बराबर क्षेत्रफल से (x(x+20)=422) बनता है। इससे (x=34) मिलता है। / Equal areas give (x(x+20)=422). This gives (x=34).
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B. (20)
बराबर क्षेत्रफल से (x(x+15)=302) बनता है। इससे (x=20) मिलता है। / Equal areas give (x(x+15)=302). This gives (x=20).
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C. (27) सेमी(27) cm
वर्ग का क्षेत्रफल \(18^2=324\) है और (12x=324) से (x=27) है। समान क्षेत्रफल में दोनों क्षेत्रों को बराबर रखें। / The square area is \(18^2=324\), and (12x=324) gives (x=27). For equal areas, equate both areas.
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By completing the square in \(x^2+8x=0\), what is \(x^2+8x+16\) equal to?
A. ((x+4)2)
(x-2+8x+16=(x+4)2) होता है। परीक्षा में (8) का आधा (4) लेकर उसका वर्ग जोड़ें। / (x-2+8x+16=(x+4)2). In exams, take half of (8), which is (4), and add its square.
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Which option is a correct example of an irrational square root because it is not a perfect square?
A. \(\sqrt{5}\)
(4,9,25) पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए उनके वर्गमूल पूर्णांक हैं। / (4,9,25) are perfect squares, so their square roots are integers.
(5) पूर्ण वर्ग नहीं है और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। / (5) is not a perfect square, and \(\sqrt{5}\) is irrational.
विकल्पों में पहले पूर्ण वर्ग पहचानें। / In options, identify perfect squares first.
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Which square root is rational, so an irrationality proof like \(\sqrt{2}\) does not apply to it?
C. \(\sqrt{4}\)
(4) पूर्ण वर्ग है। / (4) is a perfect square.
\(\sqrt{4}=2\), जो परिमेय संख्या है। / \(\sqrt{4}=2\), which is rational.
पूर्ण वर्गों के वर्गमूल परिमेय होते हैं। / Square roots of perfect squares are rational.
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Which square root is not an example of irrationality proof in this chapter because it is rational?
A. \(\sqrt{9}\)
(9) पूर्ण वर्ग है। / (9) is a perfect square.
\(\sqrt{9}=3\), जो परिमेय है। / \(\sqrt{9}=3\), which is rational.
पूर्ण वर्ग के वर्गमूल को अपरिमेय सिद्ध करने की जरूरत नहीं होती। / A square root of a perfect square does not need an irrationality proof.
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A. \(\sqrt{4}\)
(4) पूर्ण वर्ग है। / (4) is a perfect square.
\(\sqrt{4}=2\), जो परिमेय संख्या है। / \(\sqrt{4}=2\), which is rational.
पूर्ण वर्ग के वर्गमूल को अपरिमेय सिद्ध नहीं करते। / The square root of a perfect square is not proved irrational.
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The square of \(\sqrt{13}\) is equal to what?
C. (13)
वर्गमूल का वर्ग करने पर अंदर की संख्या मिलती है। / Squaring a square root gives the number inside it.
(\(\sqrt{13}\)2=13)। / (\(\sqrt{13}\)2=13).
(\(\sqrt{a}\)2=a) को सीधे लागू करें। / Apply (\(\sqrt{a}\)2=a) directly.
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The condition of integrity for a World Heritage Site is related to what?
A. स्थल की पूर्णता और उसके मूल्य को बनाए रखने वाली स्थितिWholeness of the site and condition supporting its value
अखंडता बताती है कि स्थल का मूल्य सुरक्षित और पर्याप्त रूप से प्रतिनिधित है या नहीं। परीक्षा में अखंडता और प्रामाणिकता अलग रखें। / Integrity shows whether the site's value is sufficiently represented and protected. For exams keep integrity and authenticity separate.
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If (5x+8y=37) and (15x+24y=m) form an inconsistent pair, what is the correct condition for (m)?
B. \(m\ne111\)
पहले दो अनुपात बराबर हैं। असंगत होने के लिए स्थिर पद का अनुपात अलग होना चाहिए। / The first two ratios are equal. For inconsistency, the constant ratio must be different.
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If (7x+3y=25) and (14x+6y=m) form an inconsistent pair, what is the correct condition for (m)?
B. \(m \ne 50\)
पहले दो अनुपात बराबर हैं। असंगत होने के लिए स्थिर पद का अनुपात अलग होना चाहिए इसलिए \(m \ne 50\)। / The first two ratios are equal. For inconsistency, the constant ratio must be different so \(m \ne 50\).
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If (3x+8y=25) and (9x+24y=m) form an inconsistent pair, what is the correct condition for (m)?
B. \(m \ne 75\)
पहले दो अनुपात बराबर हैं, इसलिए असंगत होने के लिए स्थिर पद का अनुपात अलग होना चाहिए। अतः \(m \ne 75\) सही है। / The first two ratios are equal, so the constant ratio must be different for inconsistency. Hence, \(m \ne 75\) is correct.
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If (2x+5y=17) and (4x+10y=m) form an inconsistent pair, what is the correct condition for (m)?
B. \(m \ne 34\)
पहले दो अनुपात बराबर हैं, इसलिए असंगत होने के लिए स्थिर पद का अनुपात अलग होना चाहिए। अतः \(m \ne 34\) होगा। / The first two ratios are equal, so the constant ratio must be different for inconsistency. Hence, \(m \ne 34\).
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If (5x+2y=13) and (10x+4y=m) form an inconsistent pair then what is the correct condition for (m)?
C. \(m \ne 26\)
पहले दो अनुपात बराबर हैं इसलिए असंगत होने के लिए स्थिर पद का अनुपात अलग होना चाहिए। अतः \(m \ne 26\)। / The first two ratios are equal so the constant ratio must differ for inconsistency. Hence \(m \ne 26\).
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If (4x+5y=16) and (8x+10y=m) form an inconsistent pair, what is the correct condition for (m)?
B. \(m \ne 32\)
पहले दो अनुपात बराबर हैं, इसलिए असंगत होने के लिए स्थिर पद का अनुपात अलग होना चाहिए। अतः \(m \ne 32\)। / The first two ratios are equal, so for inconsistency the constant ratio must differ. Hence, \(m \ne 32\).
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If (2x+3y=7) and (4x+6y=m) form an inconsistent pair, what is the correct condition for (m)?
B. \(m \ne 14\)
पहले दो अनुपात बराबर हैं, इसलिए असंगत होने के लिए स्थिर पद का अनुपात अलग होना चाहिए। अतः \(m \ne 14\)। / The first two ratios are equal, so for inconsistency the constant ratio must differ. Hence \(m \ne 14\).
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In which condition is a pair of two linear equations called consistent and dependent?
A. जब (a_1a_2=b_1 / b_2=c_1 / c_2) हो / When \(a_1 / c_2\)
तीनों अनुपात बराबर हों तो दोनों समीकरण समान रेखा दर्शाते हैं। यही संगत और आश्रित युग्म है। / If all three ratios are equal both equations represent the same line. This is a consistent and dependent pair.
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In which condition is a pair of two linear equations called consistent and independent?
C. जब (a_1a_2 \ne b_1 / b_2) हो / When \(a_1 / b_2\)
संगत और स्वतंत्र युग्म में एक अद्वितीय हल होता है। इसके लिए (a) और (b) के अनुपात अलग होने चाहिए। / A consistent and independent pair has one unique solution. For this the ratios of (a) and (b) must be different.
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B. \(\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}\)
प्रतिच्छेदी रेखाओं के लिए (x) और (y) के गुणांक अनुपात बराबर नहीं होते। यही अद्वितीय समाधान की शर्त है। / For intersecting lines, the coefficient ratios of (x) and (y) are not equal. This is the condition for a unique solution.
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In which condition does the graph of two lines show infinitely many solutions?
C. \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)
अनंत समाधान तब होते हैं जब दोनों रेखाएं एक ही रेखा हों। इसके लिए तीनों अनुपात बराबर होते हैं। / Infinite solutions occur when both lines are the same line. For this, all three ratios are equal.
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What condition on (k) is needed for (x-2+2(k+1)x+k-2+6k+9=0) to have no real roots?
A. (k>-2)
वास्तविक मूल न होने के लिए (D<0) चाहिए। यहाँ (D=-16(k+2)), इसलिए (k>-2)। / For no real roots, (D<0) is needed. Here (D=-16(k+2)), so (k>-2).
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If \(x^2+2gx+g^2-6g+11=0\) has real roots, what condition on (g) is required?
A. \(g\ge\frac{11}{6}\)
यहाँ (D=4g-2-4\(g^2-6g+11\)=24g-44) है। \(D\ge0\) से \(g\ge\frac{11}{6}\) मिलता है। / Here (D=4g-2-4\(g^2-6g+11\)=24g-44). From \(D\ge0\), \(g\ge\frac{11}{6}\).
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If \(x^2+2px+2p+9=0\) has real roots, which condition on (p) is correct?
A. \(p\le -2\) या \(p\ge \frac{9}{2}\)\(p\le -2\) or \(p\ge \frac{9}{2}\)
वास्तविक मूलों के लिए \(D\ge0\) चाहिए। यहाँ (D=4(p+2)(2p-9)), इसलिए \(p\le -2\) या \(p\ge \frac{9}{2}\)। / For real roots, \(D\ge0\) is required. Here (D=4(p+2)(2p-9)), so \(p\le -2\) or \(p\ge \frac{9}{2}\).
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If \(x^2+2kx+k^2-4k+8=0\) has real roots, what is the condition on (k)?
A. \(k\ge2\)
यहाँ (D=4k-2-4\(k^2-4k+8\)=16(k-2)) है। वास्तविक मूलों के लिए \(D\ge0\), इसलिए \(k\ge2\)। / Here (D=4k-2-4\(k^2-4k+8\)=16(k-2)). For real roots \(D\ge0\), so \(k\ge2\).
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Under which condition will \(x^2-2sx+s+2=0\) have real and distinct roots?
A. (s<-1) या (s>2)(s<-1) or (s>2)
यहाँ (D=4s-2-4(s+2)=4(s-2)(s+1)) है। (D>0) से (s<-1) या (s>2) मिलता है। / Here (D=4s-2-4(s+2)=4(s-2)(s+1)). From (D>0), (s<-1) or (s>2).
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What is the condition for (x-2+2(m-1)x+(m+5)=0) to have no real roots?
A. \(m^2-3m-4<0\)
वास्तविक मूल न होने के लिए (D<0) चाहिए। यहाँ (D=4[(m-1)2-(m+5)]=4\(m^2-3m-4\)) है। / For no real roots, (D<0) is needed. Here (D=4[(m-1)2-(m+5)]=4\(m^2-3m-4\)).
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If both roots of \(x^2-6x+c=0\) are real and positive, what is the correct condition on (c)?
A. \(0<c\le9\)
योग (6) धनात्मक है और दोनों धनात्मक जड़ों के लिए (c>0) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(36-4c\ge0\), इसलिए \(0<c\le9\)। / The sum (6) is positive and (c>0) is needed for both positive roots. For real roots, \(36-4c\ge0\), so \(0<c\le9\).
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What is the correct condition for (9x-2-6(a-1)x+a-2-4a-5=0) to have real roots?
A. \(a\ge-3\)
यहाँ (D=36(a-1)2-36\(a^2-4a-5\)=72(a+3)) है। वास्तविक जड़ों के लिए \(D\ge0\), इसलिए \(a\ge-3\)। / Here (D=36(a-1)2-36\(a^2-4a-5\)=72(a+3)). For real roots, \(D\ge0\), so \(a\ge-3\).
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If ((m-1)x-2+2(m+1)x+(m-1)=0) has real reciprocal roots, what is the correct condition on (m)?
A. \(m\ge0\) और \(m\neq1\)\(m\ge0\) and \(m\neq1\)
जड़ों का गुणनफल \(\frac{m-1}{m-1}=1\) है, इसलिए \(m\neq1\) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(D=16m\ge0\), अतः \(m\ge0\) और \(m\neq1\)। / The product of roots is \(\frac{m-1}{m-1}=1\), so \(m\neq1\) is needed. For real roots, \(D=16m\ge0\), hence \(m\ge0\) and \(m\neq1\).
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If (x-2-2mx+\(m^2-m\)=0) has real roots, what is the correct condition on (m)?
C. \(m\ge0\)
वास्तविक जड़ों के लिए \(D\ge0\) चाहिए। यहाँ (D=4m), इसलिए \(m\ge0\)। / For real roots, \(D\ge0\) is required. Here (D=4m), so \(m\ge0\).
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C. \(s^2\ge4\)
\(\tan\theta\cdot\cot\theta=1\) और \(\tan\theta+\cot\theta=s\) है। वास्तविक मानों के लिए \(s^2-4\ge0\), इसलिए \(s^2\ge4\)। / We have \(\tan\theta\cdot\cot\theta=1\) and \(\tan\theta+\cot\theta=s\). For real values, \(s^2-4\ge0\), so \(s^2\ge4\).
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If both roots of \(x^2-5x+c=0\) are real and positive, what is the correct condition on (c)?
B. \(0<c\le\frac{25}{4}\)
योग (5) धनात्मक है और दोनों जड़ों के लिए गुणनफल (c>0) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(25-4c\ge0\), इसलिए \(0<c\le\frac{25}{4}\)। / The sum (5) is positive and product (c>0) is needed for both roots. For real roots, \(25-4c\ge0\), so \(0<c\le\frac{25}{4}\).
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For (9x-2-6(a+1)x+a-2-3a=0) to have real roots, what is the correct condition on (a)?
A. \(a\ge-\frac{1}{5}\)
वास्तविक जड़ों के लिए \(D\ge0\) चाहिए। यहाँ (D=36(5a+1)), इसलिए \(a\ge-\frac{1}{5}\)। / For real roots, \(D\ge0\) is required. Here (D=36(5a+1)), so \(a\ge-\frac{1}{5}\).
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If both roots of \(x^2+4x+c=0\) are real and negative, which condition is necessary and sufficient?
A. \(0<c\le4\)
योग (-4) पहले से ऋणात्मक है और गुणनफल धनात्मक चाहिए, इसलिए (c>0)। वास्तविक जड़ों के लिए \(16-4c\ge0\), अतः \(0<c\le4\)। / The sum (-4) is already negative and the product must be positive, so (c>0). For real roots, \(16-4c\ge0\), hence \(0<c\le4\).
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For (4x-2-4(a-1)x+a-2-4a=0) to have real roots, what is the correct condition on (a)?
A. \(a\le1\)
वास्तविक जड़ों के लिए \(D\ge0\) चाहिए। यहाँ (D=16(1-a)), इसलिए \(a\le1\) है। / For real roots, \(D\ge0\) is required. Here (D=16(1-a)), so \(a\le1\).
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For \(kx^2+6x+9=0\) to have real roots with \(k\ne0\), which condition on (k) is correct?
A. \(k\le 1,\ k\ne0\)
वास्तविक जड़ों के लिए \(D=36-36k\ge0\) होना चाहिए। इसलिए \(k\le1\) और द्विघात के लिए \(k\ne0\) भी जरूरी है। / For real roots, \(D=36-36k\ge0\) is required. Thus \(k\le1\), and \(k\ne0\) is also needed for a quadratic equation.
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In which condition does a quadratic equation have no real roots?
C. (D<0)
जब (D<0) होता है तब वास्तविक मूल नहीं होते। यह मूलों की प्रकृति का सीधा नियम है। / When (D<0), there are no real roots. This is a direct rule for the nature of roots.
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Under which condition will (0) be a root of \(ax^2+bx+c=0\)?
A. (c=0)
(x=0) रखने पर समीकरण (c=0) बनता है। इसलिए शून्य मूल के लिए अचर पद शून्य होना चाहिए। / Putting (x=0) makes the equation (c=0). So for a zero root the constant term must be zero.
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If (\(t^2-64\)x-2+(t-8)x+5=0) is a quadratic equation, what is the correct condition on (t)?
C. \(t\neq \pm8\)
द्विघात होने के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) नहीं होना चाहिए। यहाँ \(t^2-64\neq0\), इसलिए \(t\neq\pm8\)। / For the equation to be quadratic, the coefficient of \(x^2\) must not be (0). Here \(t^2-64\neq0\), so \(t\neq\pm8\).
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If (\(r^2-49\)x-2+(r+7)x+2=0) is a quadratic equation, what is the correct condition on (r)?
C. \(r\neq \pm7\)
द्विघात होने के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) नहीं होना चाहिए। यहाँ \(r^2-49\neq0\), इसलिए \(r\neq\pm7\)। / For the equation to be quadratic, the coefficient of \(x^2\) must not be (0). Here \(r^2-49\neq0\), so \(r\neq\pm7\).
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If (\(k^2-25\)x-2+(k-5)x+1=0) is a quadratic equation, what is the correct condition on (k)?
C. \(k\neq \pm5\)
द्विघात होने के लिए \(k^2-25\neq0\) होना चाहिए। इसलिए \(k\neq5\) और \(k\neq-5\) दोनों शर्तें जरूरी हैं। / For the equation to be quadratic, \(k^2-25\neq0\) is required. So both \(k\neq5\) and \(k\neq-5\) are necessary.
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If (\(n^2-16\)x-2-3x+7=0) is a quadratic equation, what is the correct condition on (n)?
C. \(n\neq \pm4\)
द्विघात होने के लिए \(n^2-16\neq0\) होना चाहिए। इसलिए \(n\neq4\) और \(n\neq-4\) दोनों जरूरी हैं। / For the equation to be quadratic, \(n^2-16\neq0\) is needed. Hence both \(n\neq4\) and \(n\neq-4\) are necessary.
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If (\(m^2-9\)x-2+4x-5=0) is a quadratic equation, what is the correct condition on (m)?
C. \(m\neq \pm3\)
द्विघात होने के लिए \(m^2-9\neq0\) होना चाहिए। इसलिए \(m\neq3\) और \(m\neq-3\) दोनों जरूरी हैं। / For the equation to be quadratic, \(m^2-9\neq0\) is needed. Hence both \(m\neq3\) and \(m\neq-3\) are necessary.
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If ((5-p)x-2+2x+9=0) is a quadratic equation, what is the correct condition for (p)?
B. \(p\neq 5\)
द्विघात समीकरण के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) नहीं होना चाहिए। इसलिए \(5-p\neq0\), अर्थात \(p\neq5\)। / For a quadratic equation, the coefficient of \(x^2\) must not be (0). Thus \(5-p\neq0\), so \(p\neq5\).
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If ((2m-3)x-2+7x-1=0) is a quadratic equation, what is the correct condition for (m)?
B. \(m\neq \frac{3}{2}\)
द्विघात होने के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) नहीं होना चाहिए। इसलिए \(2m-3\neq 0\), अर्थात \(m\neq \frac{3}{2}\)। / For a quadratic equation, the coefficient of \(x^2\) must not be (0). Thus \(2m-3\neq 0\), so \(m\neq \frac{3}{2}\).
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If ((k+1)x-2-5x+6=0) is a quadratic equation, what is the correct condition on (k)?
B. \(k\neq -1\)
द्विघात होने के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) नहीं होना चाहिए। इसलिए \(k+1\neq 0\), अर्थात \(k\neq -1\)। / For a quadratic equation, the coefficient of \(x^2\) must not be (0). Thus \(k+1\neq 0\), so \(k\neq -1\).
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What is the required condition for (a) in \(ax^2+bx+c=0\)?
C. \(a\neq 0\)
यदि (a=0) हो जाए तो \(x^2\) पद नहीं बचेगा। इसलिए द्विघात होने के लिए \(a\neq 0\) जरूरी है। / If (a=0), the \(x^2\) term disappears. So \(a\neq 0\) is necessary for a quadratic equation.
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Under which condition will \(px^2+qx+r=0\) be a quadratic equation?
B. \(p\neq0\)
द्विघात पद \(px^2\) बना रहे इसलिए \(p\neq0\) होना चाहिए। यदि (p=0) हो तो घात (2) नहीं रहेगी। / The quadratic term \(px^2\) must remain, so \(p\neq0\). If (p=0), degree (2) will not remain.
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Under which condition is \(ax^2+bx+c=0\) called a quadratic equation?
B. \(a\neq0\)
द्विघात पद बना रहे इसलिए \(a\neq0\) होना चाहिए। परीक्षा में (a=0) होने पर यह रैखिक बन सकता है। / The quadratic term must remain, so \(a\neq0\). If (a=0), it may become linear.
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Under which condition will the zeroes of \(x^2+bx+c\) be real but not rational?
A. \(b^2-4c\) धनात्मक अपूर्ण वर्ग हो\(b^2-4c\) is positive and not a perfect square
वास्तविक शून्यकों के लिए विविक्तकर धनात्मक चाहिए और अपरिमेय शून्यकों के लिए वह पूर्ण वर्ग नहीं होना चाहिए। परिमेय गुणांकों वाले द्विघात में यही मुख्य जाँच है। / For real zeroes, the discriminant must be positive, and for irrational zeroes it must not be a perfect square. This is the key check for quadratics with rational coefficients.
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B. दोनों सहअभाज्य हैंBoth are coprime
शुरुआत में \(\frac{a}{b}\) को सरलतम रूप में लिया गया था। / At the beginning, \(\frac{a}{b}\) was taken in lowest form.
इसका अर्थ है कि (a) और (b) सहअभाज्य हैं। / This means (a) and (b) are coprime.
दोनों में (5) साझा होना इसी शर्त को तोड़ता है। / (5) being common to both breaks this condition.
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A. (5) अभाज्य है(5) is prime
\(5\mid y^2\) से \(5\mid y\) निकालने में अभाज्यता का नियम लगता है। / The step from \(5\mid y^2\) to \(5\mid y\) uses the prime-divisibility rule.
(5) अभाज्य है, इसलिए यह निष्कर्ष सही है। / Since (5) is prime, the conclusion is valid.
बिना अभाज्यता बताए यह कदम अधूरा लगेगा। / Without mentioning primality, this step looks incomplete.
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In the proof of \(\sqrt{5}\), if (p=5k) and (q=5r) are obtained, which initial condition breaks?
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं(p) and (q) are coprime
(p=5k) और (q=5r) से (p) और (q) दोनों में (5) गुणनखंड है। / (p=5k) and (q=5r) show factor (5) in both (p) and (q).
इसलिए वे सहअभाज्य नहीं हो सकते। / So they cannot be coprime.
यह आरंभिक सरलतम रूप की शर्त को तोड़ता है। / This breaks the initial lowest-form condition.
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In the proof of \(\sqrt{5}\), writing (p=5k) from \(p^2=5q^2\) depends on which condition?
A. (5) अभाज्य है(5) is prime
\(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
(5) अभाज्य होने के कारण (p) भी (5) से विभाज्य होगा। / Since (5) is prime, (p) is also divisible by (5).
इसलिए (p=5k) लिखना वैध है। / Therefore (p=5k) is valid.
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A. (5) अभाज्य हो(5) is prime
\(q^2=5k^2\) से \(q^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(q^2=5k^2\), \(q^2\) is divisible by (5).
वर्ग से मूल संख्या की विभाज्यता निकालने के लिए (5) का अभाज्य होना जरूरी है। / To conclude divisibility of the original number from the square, (5) must be prime.
इसी कारण (q) (5) से विभाज्य कहा जाता है। / Therefore (q) is said to be divisible by (5).
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Which option correctly shows the breaking of the coprime condition in the proof of \(\sqrt{2}\)?
A. (p=2m) और (q=2n) मिलनाGetting (p=2m) and (q=2n)
(p=2m) और (q=2n) का अर्थ है कि दोनों (2) से विभाज्य हैं। / (p=2m) and (q=2n) mean both are divisible by (2).
तब (2) उनका साझा गुणनखंड बन जाता है। / Then (2) becomes their common factor.
सरलतम भिन्न में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / A lowest-form fraction should not have such a common factor.
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