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A. कई कालों में विकसित रक्षा तंत्र/Defense system developed across several periods
Explanation
Simple Explanation
महान दीवार अलग अलग कालों में बनी रक्षा संरचनाओं का विस्तृत तंत्र है। परीक्षा में सीमा रक्षा याद रखें। / The Great Wall is a wide system of defensive structures built in different periods. For exams remember frontier defense.
A. क्योंकि यह आर्थिक सैन्य और राजनीतिक कमजोरी की लंबी प्रक्रिया थी/Because it was a long process of economic military and political weakness
Explanation
Simple Explanation
पतन में आक्रमणों के साथ अंदरूनी कमजोरियां भी थीं। परीक्षा में वर्ष चार सौ छिहत्तर को प्रतीकात्मक वर्ष समझें। / The fall involved internal weaknesses along with invasions. Exam tip: understand 476 as a symbolic year.
A. इसमें कृषक असंतोष, धार्मिक पहचान और औपनिवेशिक संदर्भ कई स्तरों पर जुड़े थे/Agrarian discontent, religious identity and colonial context were linked at many levels
Explanation
Simple Explanation
मोपला विद्रोह कई कारकों से प्रभावित था। परीक्षा में जटिल आंदोलनों को कई कारणों से समझें। / The Moplah Rebellion was influenced by many factors. Exam tip: understand complex movements through multiple causes.
((0,0)) दोनों समीकरण (x+y=0) और (2x-y=0) को संतुष्ट करता है। बाकी विकल्पों में प्रतिच्छेद मूलबिंदु नहीं है या रेखाएं संपाती हैं। / ((0,0)) satisfies both (x+y=0) and (2x-y=0). In the other options, the intersection is not the origin or the lines are coincident.
A. वह साझा भावना और पहचान का माध्यम बन जाता था/It became a medium of shared feeling and identity
Step 1
Concept
गीत या चित्र सभी लोगों को एक जैसा अनुभव करवा सकता था। / A song or image could create a common emotional experience.
Step 2
Why this answer is correct
जब लोग उसे राष्ट्र से जोड़ते थे, तो क्षेत्रीय भिन्नताओं के बावजूद अपनत्व बढ़ता था। / When people linked it with the nation, belonging grew despite regional differences.
Step 3
Exam Tip
उत्तर में साझा भावना और राष्ट्रीय पहचान का संबंध स्पष्ट करें। / In answers, clearly connect shared feeling with national identity.
(p(x)) को (x-1) से भाग देने पर \(x^2-3x-10\) मिलता है। गुणा करके जाँचें कि ((x-1)\(x^2-3x-10\)=p(x))। / Dividing (p(x)) by (x-1) gives \(x^2-3x-10\). Verify by multiplying ((x-1)\(x^2-3x-10\)=p(x)).
A. उसने लोकतांत्रिक नेताओं और आंतरिक शत्रुओं पर हार का दोष डालने में मदद की/It helped blame democratic leaders and internal enemies for defeat
Explanation
Simple Explanation
इस मिथक ने वाइमर गणराज्य के विरुद्ध असंतोष बढ़ाया। परीक्षा में इसे नाजी प्रचार की पृष्ठभूमि से जोड़ें। / This myth increased resentment against the Weimar Republic. For exams connect it with the background of Nazi propaganda.
गुणनखंड प्रमेय से (p(3)=0), इसलिए (27-45+3a+12=0) और (a=2)। परीक्षा में दिए गए गुणनखंड से मूल तुरंत रखिए। / By the factor theorem (p(3)=0), so (27-45+3a+12=0) and (a=2). In exams, substitute the zero from the given factor directly.
(p(-3)=-27+21+6=0), इसलिए (x+3) वास्तव में गुणनखंड है। सही जाँच में यह प्रश्न विकल्प-त्रुटि दिखाता है, इसलिए हर विकल्प को (p(a)) से जाँचें। / (p(-3)=-27+21+6=0), so (x+3) is actually a factor. This reveals an option error, so check each option using (p(a)).
(p(-3)=-27+27+12-12=0), इसलिए (x+3) गुणनखंड है। (x+a) के लिए (x=-a) रखकर जाँचें। / (p(-3)=-27+27+12-12=0), so (x+3) is a factor. For (x+a), test (x=-a).
गुणनखंड प्रमेय से (p(2)=0), इसलिए (8+4k-8-4=0) और (k=1)। परीक्षा में पहले दिए गए मूल को सीधे रखिए। / By factor theorem (p(2)=0), so (8+4k-8-4=0) and (k=1). In exams, substitute the given zero directly.
(4x) सामान्य गुणनखंड है, इसलिए (4x(x+7)=0) मिलता है। परीक्षा में सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड निकालें। / (4x) is the common factor, so (4x(x+7)=0). In exams, take out the greatest common factor.
(5x) सामान्य गुणनखंड है, इसलिए (5x(x+3)=0) मिलता है। परीक्षा में सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड निकालें। / (5x) is the common factor, so (5x(x+3)=0). In exams, take out the greatest common factor.
(3) और (4) का गुणनफल (12) और योग (7) है। इसलिए ((x+3)(x+4)=0) सही है। / The product of (3) and (4) is (12), and their sum is (7). Therefore ((x+3)(x+4)=0) is correct.
((x+4)(x-3)) फैलाने पर \(x^2+x-12\) मिलता है। गुणनखंड जांचने के लिए विस्तार करें। / Expanding ((x+4)(x-3)) gives \(x^2+x-12\). To check factors, expand them.
((x-5)(x+3)) फैलाने पर \(x^2-2x-15\) मिलता है। गुणनखंड जांचने के लिए विस्तार करें। / Expanding ((x-5)(x+3)) gives \(x^2-2x-15\). To check factors, expand them.
साथी शून्यक \(2-\sqrt{3}\) होगा, इसलिए गुणनखंड (x-\(2-\sqrt{3}\)) है। परीक्षा में शून्यक और गुणनखंड का संबंध \(x-\alpha\) याद रखें। / The companion zero is \(2-\sqrt{3}\), so the factor is (x-\(2-\sqrt{3}\)). In exams remember the relation between a zero and factor as \(x-\alpha\).
सरलतम हर से (3), (7) और (13) हटने चाहिए इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(3\cdot 7\cdot 13=273\) है। (2) और (5) हर में रह सकते हैं। / The factors (3), (7), and (13) must be removed from the reduced denominator, so the minimum factor is \(3\cdot 7\cdot 13=273\). Factors (2) and (5) may remain.
सरलतम हर से \(3^4\) और (19) हटने चाहिए इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(81\cdot 19=1539\) है। (2) और (5) हर में रह सकते हैं। / The factors \(3^4\) and (19) must be removed from the reduced denominator, so the minimum factor is \(81\cdot 19=1539\). Factors (2) and (5) may remain.
सरलतम हर से \(3^3\) और (23) हटने चाहिए इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(27\cdot 23=621\) है। (2) और (5) हर में रह सकते हैं। / The factors \(3^3\) and (23) must be removed from the reduced denominator, so the minimum factor is \(27\cdot 23=621\). Factors (2) and (5) may remain.
सरलतम हर से \(3^2\) और (17) हटने चाहिए, इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(3^2\cdot 17=153\) है। (2) और (5) हर में रह सकते हैं। / The factors \(3^2\) and (17) must be removed from the reduced denominator, so the minimum factor is \(3^2\cdot 17=153\). Factors (2) and (5) may remain.
हर में (2), (5), (3), और (19) हैं। / The denominator contains (2), (5), (3), and (19).
Step 2
Why this answer is correct
सांत दशमलव के लिए (3) और (19) कटने चाहिए। इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(3\cdot 19=57\) है। / For a terminating decimal, (3) and (19) must cancel. So the minimum factor is \(3\cdot 19=57\).
Step 3
Exam Tip
केवल (2) और (5) हर में रह सकते हैं। / Only (2) and (5) may remain in the denominator.
\(540=2^2\cdot 3^3\cdot 5\) है। / \(540=2^2\cdot 3^3\cdot 5\).
Step 2
Why this answer is correct
सांत दशमलव के लिए सरलतम हर से \(3^3\) पूरी तरह कटना चाहिए। इसलिए (x) में (27) अवश्य होना चाहिए। / For a terminating decimal, \(3^3\) must cancel completely from the denominator. So (x) must contain (27).
Step 3
Exam Tip
(2) और (5) रह सकते हैं, पर (3) नहीं। / (2) and (5) may remain, but (3) must not.
सांत दशमलव के लिए (3), (7), और (11) हर से कटने चाहिए। इसलिए न्यूनतम गुणनखंड \(3\cdot 7\cdot 11=231\) है। / For a terminating decimal, (3), (7), and (11) must cancel from the denominator. So the minimum factor is \(3\cdot 7\cdot 11=231\).
Step 3
Exam Tip
(2) और (5) रह सकते हैं, पर अन्य अभाज्य गुणनखंड नहीं। / (2) and (5) may remain, but other prime factors must not.
\(735=3\cdot 5\cdot 7^2\) है। / \(735=3\cdot 5\cdot 7^2\).
Step 2
Why this answer is correct
सांत दशमलव के लिए सरलतम हर में (3) और \(7^2\) नहीं बचने चाहिए। इसलिए (m) में \(3\cdot 7^2=147\) अवश्य होना चाहिए। / For a terminating decimal, (3) and \(7^2\) must not remain in the reduced denominator. So (m) must contain \(3\cdot 7^2=147\).
Step 3
Exam Tip
(5) हर में रह सकता है, पर (3) और (7) कटने चाहिए। / The factor (5) may remain, but (3) and (7) must cancel.
सांत दशमलव के लिए सरलतम हर में (7) नहीं बचना चाहिए। इसलिए (m) में (7) अवश्य होना चाहिए। / For a terminating decimal, (7) must not remain in the reduced denominator. Therefore (m) must contain (7).
Step 3
Exam Tip
हर से (2) और (5) के अलावा बाकी अभाज्य गुणनखंड कटवाएँ। / Cancel all denominator primes other than (2) and (5).
कथन: \(\frac{p}{q}\) सरल रूप में हो और (q) में (7) का गुणनखंड हो, तो दशमलव समाप्त नहीं होगा। कारण: समाप्त दशमलव के लिए सरल रूप का भाजक केवल (2) और (5) से बनना चाहिए। सही विकल्प चुनिए।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण कथन को समझाता है/Both assertion and reason are true, and the reason explains the assertion
Step 1
Concept
समाप्त दशमलव के लिए सरल रूप का भाजक केवल (2) और (5) से बना होना चाहिए। / For a terminating decimal, the denominator in lowest form must be made only of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (7) बचा है, तो यह शर्त पूरी नहीं होती और दशमलव समाप्त नहीं होगा। / If (7) remains, this condition fails and the decimal will not terminate.
Step 3
Exam Tip
कारण कथन को ठीक से समझा रहा है, इसलिए पहला विकल्प सही है। / The reason correctly explains the assertion, so the first option is correct.
समाप्त दशमलव के लिए भाजक में केवल (2) और (5) होने चाहिए। / For a terminating decimal, the denominator should have only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
(3) बचने पर दशमलव समाप्त नहीं होगा और परिमेय होने से आवर्ती होगा। / If (3) remains, the decimal will not terminate and will be recurring because the number is rational.
Step 3
Exam Tip
सरल रूप में बचे गुणनखंड ही निर्णय करते हैं। / The remaining factors in lowest form decide the result.
पहले दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में लिखें। / Write both numbers in prime factor form.
Step 2
Why this answer is correct
\(180=2^2\times3^2\times5\) और \(252=2^2\times3^2\times7\), इसलिए समान छोटी घातें \(2^2\times3^2\) हैं। / \(180=2^2\times3^2\times5\) and \(252=2^2\times3^2\times7\), so the common smaller powers give \(2^2\times3^2\).
Step 3
Exam Tip
महत्तम समापवर्तक में (5) या (7) जैसे असमान गुणनखंड न लें। / Do not include non-common factors like (5) or (7) in HCF.
D. सभी समुदायों का एक ही राष्ट्रीय लक्ष्य पर पूर्ण सहमत होना/Complete agreement of all communities on one national goal
Step 1
Concept
जातीय राष्ट्रवाद, ओटोमन पतन और बड़ी शक्तियों की होड़ ने संघर्ष बढ़ाया। / Ethnic nationalism, Ottoman decline, and great power rivalry increased conflict.
Step 2
Why this answer is correct
सभी समुदायों की पूर्ण सहमति होती तो संघर्ष कम होता। / Complete agreement among all communities would have reduced conflict.
Step 3
Exam Tip
इसलिए चौथा विकल्प संघर्ष बढ़ाने वाला कारण नहीं है। / Therefore, the fourth option was not a factor increasing conflict.
यदि किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को केवल बिंदु (m,0) पर स्पर्श करता है और किसी अन्य स्थान पर अक्ष को नहीं काटता, तो उस बहुपद के अलग वास्तविक शून्यकों की संख्या क्या होगी?
एक ही स्पर्श बिंदु होने का अर्थ है कि उस बिंदु पर बहुपद का मान शून्य है और वह मूल बार-बार (even multiplicity) आता है, यानी बहुपद में
e.g.
ein factor के रूप में
\((x-m)^2\) मौजूद हो सकता है पर बाकी फैक्टरों का मान m पर शून्य नहीं होगा। इसलिए अलग वास्तविक शून्य केवल x = m ही है, यानी 1।
सूत्रीकरण: स्पर्श = मूल का सम-गुणांक (even multiplicity); काटना = विषम-गुणांक।
गलत विकल्प क्यों नहीं: "दो" तब होता जब x-अक्ष को दो अलग बिंदुओं पर काटे; "शून्य" गलत क्योंकि स्पर्श का मतलब p(m)=0 है; "अनंत" केवल तब संभव है जब बहुपद शून्य बहुपद हो (
\(p(x)\equiv 0\)
), जो यहाँ दिए हालात से मेल नहीं खाता क्योंकि तब ग्राफ हर बिंदु पर x-अक्ष के साथ मेल खाता।
परीक्षा-सुझाव: किसी स्पर्श बिंदु को देखकर तुरंत समझें कि वह मूल कम से कम द्विगुणित (multiplicity ≥ 2 और सम) होगा — इसलिए अलग शून्य की गिनती बदलती नहीं। / A single touching point means the polynomial is zero at x = m and that root has even multiplicity (it is a repeated root), e.g. a factor
\((x-m)^2\) in p(x), while no other factor vanishes at x = m. Hence there is only one distinct real zero, x = m.
Why other options are wrong: "Two" would require the graph to cross or meet the axis at two different x-values; "Zero" is wrong because touching implies p(m)=0; "Infinitely many" happens only if the polynomial is the zero polynomial (\(p(x)\equiv 0\)), which would make the graph coincide with the x-axis everywhere, not touch at a single point.
Exam tip: Touching = even multiplicity (root repeats); crossing = odd multiplicity. Use multiplicity to count distinct zeros, not total multiplicity.
x-अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदु का x-समन्वय शून्यक होता है। यहाँ प्रतिच्छेदन बिंदु (-5, 0) है, इसलिए शून्यक -5 है। "पार करना" संकेत देता है कि उस शून्य का गुणांक विषम (आम तौर पर 1) है। विकल्प A गलत है क्योंकि संकेत नकारात्मक है; विकल्प C गलत है क्योंकि 0 y-मान है न कि x-मान; विकल्प D गलत है क्योंकि कोई अन्य विकल्प सही नहीं है। परीक्षा सुझाव: x-अक्ष पर बने बिंदु का x-मान ही शून्य बताता है — चिह्न बदलने से बचें। / The x-coordinate of an x-axis intersection is the zero. Since the intersection is at (-5, 0), the real zero is -5. The fact that the curve crosses there indicates an odd multiplicity (typically 1). Option A is wrong because it ignores the negative sign; C confuses the y-value (0) with the x-value; D is incorrect because a valid zero is given. Exam tip: read the x-coordinate of the intercept and keep its sign unchanged.
A. उसका एक वास्तविक शून्यक (-8) है/It has one real zero (-8)
Explanation
Simple Explanation
केवल एक कटान है और उसका (x)-मान (-8) है। टिप: कटान की संख्या और (x)-मान दोनों देखें। / There is only one intersection and its (x)-value is (-8). Tip: check both the count and the (x)-value.
A. प्रायद्वीपीय नदियों द्वारा कटाव/Cutting by peninsular rivers
Explanation
Simple Explanation
पूर्वी घाट महानदी गोदावरी कृष्णा और कावेरी जैसी नदियों से कटते हैं। परीक्षा में पूर्वी घाट को असतत पर्वत श्रृंखला मानें। / The Eastern Ghats are cut by rivers such as Mahanadi, Godavari, Krishna, and Cauvery. For exams, consider the Eastern Ghats a discontinuous range.
A. दरार घाटियों से पश्चिम की ओर अरब सागर तक बहना/Flowing westward through rift valleys to the Arabian Sea
Explanation
Simple Explanation
नर्मदा और तापी पश्चिममुखी और दरार घाटी से जुड़ी नदियां हैं। परीक्षा में इन्हें अपवाद के रूप में याद रखें। / Narmada and Tapi are west flowing rivers linked with rift valleys. For exams remember them as exceptions.
A. दो नदियों के बीच जलोढ़ मिट्टी/Alluvial soil between two rivers
Explanation
Simple Explanation
दोआब दो नदियों के बीच की उपजाऊ जलोढ़ भूमि है। परीक्षा में गंगा यमुना दोआब को उदाहरण मानें। / A doab is fertile alluvial land between two rivers. For exams take Ganga Yamuna Doab as an example.
B. नबातियन जल प्रबंधन और व्यापार मार्ग/Nabataean water management and trade routes
Explanation
Simple Explanation
पेट्रा रेगिस्तान में जल प्रबंधन और व्यापार नियंत्रण का उत्कृष्ट उदाहरण है। परीक्षा में नबातियन और जॉर्डन याद रखें। / Petra is an outstanding example of desert water management and trade control. For exams remember Nabataean and Jordan.
B. राजनीतिक दमन सांस्कृतिक असंतोष और धार्मिक नेतृत्व का गठबंधन/Combination of political repression cultural discontent and religious leadership
Explanation
Simple Explanation
ईरानी क्रांति कई असंतोषों और धार्मिक नेतृत्व के संगठित प्रभाव से बढ़ी। परीक्षा में इसे एक बहुकारक क्रांति के रूप में समझें। / The Iranian Revolution grew through many discontents and organized religious leadership. In exams, understand it as a multi-causal revolution.
A. क्योंकि मनोबल ने सरकार की लड़ाई जारी रखने की क्षमता को सहारा दिया/Because morale supported the government's ability to continue fighting
Explanation
Simple Explanation
आधुनिक युद्ध में नागरिक मनोबल राज्य की युद्ध क्षमता से जुड़ जाता है। परीक्षा में गृह मोर्चे को रणनीति से जोड़ें। / In modern war civilian morale becomes linked with the state's war capacity. For exams connect the home front with strategy.
A. लोहे और उपजाऊ भूमि की उपलब्धता/Availability of iron and fertile land
Explanation
Simple Explanation
मगध को लोहे और उपजाऊ गंगा मैदान का लाभ मिला। परीक्षा में भूगोल को राजनीतिक शक्ति से जोड़ें। / Magadha benefited from iron and the fertile Ganga plains. For exams, connect geography with political power.
समूहीकरण से (x-2(x-3)-4(x-3)=(x-3)\(x^2-4\)) मिलता है। इसलिए गुणनखंड ((x-3)(x-2)(x+2)) हैं। / By grouping, (x-2(x-3)-4(x-3)=(x-3)\(x^2-4\)). Thus the factors are ((x-3)(x-2)(x+2)).
(p(1)=2-9+13-6=0) है इसलिए (x-1) गुणनखंड है। विकल्प जांच में छोटे मान पहले लगाएं। / (p(1)=2-9+13-6=0), so (x-1) is a factor. In option checking, try small values first.
\(x^2+1\) रैखिक नहीं है क्योंकि उसकी घात (2) है। वास्तविक संख्याओं में इसे रैखिक गुणनखंड नहीं माना जाता। / \(x^2+1\) is not linear because its degree is (2). Over real numbers, it is not a linear factor.
(x+1) गुणनखंड होने पर (p(-1)=0) होगा। (-2+k+5+2=0) से (k=-5) नहीं बल्कि (k=-5) मिलता है। / If (x+1) is a factor, then (p(-1)=0). From (-2+k+5+2=0), we get (k=-5).
मूल (2) होने पर संबंधित गुणनखंड (x-2) होता है। मूल (r) के लिए गुणनखंड (x-r) याद रखें। / If the root is (2) the corresponding factor is (x-2). For root (r) remember the factor (x-r).
गुणनखंड (x-a) होने पर (x=a) रखने से मान (0) होता है। इसलिए (a) मूल है। / If (x-a) is a factor then substituting (x=a) makes the value (0). So (a) is a root.
हर में (2), (5), और (13) हैं। / The denominator contains (2), (5), and (13).
Step 2
Why this answer is correct
सांत दशमलव के लिए सरलतम हर में (13) नहीं बचना चाहिए। इसलिए (a) में (13) का गुणनखंड अवश्य होना चाहिए। / For a terminating decimal, (13) must not remain in the reduced denominator. So (a) must contain the factor (13).
Step 3
Exam Tip
(2) और (5) रह सकते हैं, पर अन्य अभाज्य गुणनखंड कटने चाहिए। / Powers of (2) and (5) may remain, but other prime factors must cancel.
यदि \(\frac{n}{180}\) का दशमलव प्रसार सांत है और \(\frac{n}{180}\) सरलतम रूप में नहीं दिया गया है, तो (n) में कम से कम कौन-सा गुणनखंड अवश्य होना चाहिए?
\(180=2^2\cdot 3^2\cdot 5\) है। / \(180=2^2\cdot 3^2\cdot 5\).
Step 2
Why this answer is correct
सांत दशमलव के लिए सरलतम रूप में हर से \(3^2\) पूरी तरह कटना चाहिए। इसलिए (n) में \(3^2\) अवश्य होना चाहिए। / For a terminating decimal, \(3^2\) must cancel completely from the denominator. So (n) must contain \(3^2\).
Step 3
Exam Tip
हर के (2) और (5) नहीं, बल्कि अन्य अभाज्य गुणनखंडों को हटाना जरूरी होता है। / Focus on removing denominator primes other than (2) and (5).
भिन्न सबसे सरल रूप में है, इसलिए हर में \(3^2\) बचा रहेगा। / Since the fraction is in lowest form, \(3^2\) remains in the denominator.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: सरल रूप में (3) बचने पर दशमलव समाप्त नहीं होता। / Exam tip: If factor (3) remains in the reduced denominator, the decimal does not terminate.
सभी अभाज्य घातों की तुलना करें। / Compare all prime exponents.
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात (3), (3) की घात (2) और (7) की घात (2) है। सबसे बड़ी घात (3) है, जो (2) के साथ है। / The exponent of (2) is (3), of (3) is (2), and of (7) is (2). The greatest exponent is (3), attached to (2).
Step 3
Exam Tip
सबसे बड़ी घात देखते समय आधार और घात को अलग-अलग पढ़ें। / Read the base and exponent separately while comparing.
(2) की घात (2), (3) की घात (1) और (5) की घात (2) है। सबसे बड़ी घात (2) है जो (2) और (5) दोनों के साथ है। / The exponent of (2) is (2), of (3) is (1), and of (5) is (2). The greatest exponent is (2), shared by (2) and (5).
Step 3
Exam Tip
बराबर घात होने पर दोनों आधार सही हो सकते हैं। / If exponents are equal, more than one prime base may be correct.
