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A. नरसंहार रोकने में अंतरराष्ट्रीय निष्क्रियता की आलोचना बढ़ी/Criticism of international inaction in preventing genocide increased
Explanation
Simple Explanation
रवांडा ने मानवीय हस्तक्षेप और नागरिक सुरक्षा की बहस तेज की। परीक्षा में इसे नरसंहार रोकथाम से जोड़ें। / Rwanda intensified debate on humanitarian intervention and civilian protection. For exams connect it with genocide prevention.
A. नरसंहार रोकने में अंतरराष्ट्रीय निष्क्रियता की आलोचना बढ़ी/Criticism of international inaction in stopping genocide increased
Explanation
Simple Explanation
रवांडा ने मानवीय हस्तक्षेप और नागरिक सुरक्षा की बहस तेज की। परीक्षा में इसे नरसंहार रोकथाम से जोड़ें। / Rwanda intensified debate on humanitarian intervention and civilian protection. For exams connect it with genocide prevention.
A. राज्य द्वारा अपने लोगों की रक्षा में विफलता और गंभीर अत्याचार/State failure to protect people and mass atrocities
Explanation
Simple Explanation
यह अवधारणा संप्रभुता को जिम्मेदारी से जोड़ती है। परीक्षा में इसे मानवाधिकार और हस्तक्षेप बहस से जोड़ें। / This concept connects sovereignty with responsibility. For exams link it with human rights and intervention debates.
A. क्योंकि युद्ध अपराधों को नीति आदेश और योजना से जोड़ना जरूरी था/Because it was necessary to connect war crimes with policy orders and planning
Explanation
Simple Explanation
नूर्नबर्ग ने शीर्ष नेतृत्व को अपराधों से जोड़कर व्यक्तिगत जवाबदेही मजबूत की। परीक्षा में नेतृत्व की भूमिका लिखें। / Nuremberg strengthened individual accountability by linking top leadership with crimes. For exams write the role of leadership.
A. उच्च अधिकारियों की जवाबदेही को अधीनस्थ अपराधों से जोड़ा गया/Accountability of high officials was linked with crimes by subordinates
Explanation
Simple Explanation
कमांड जिम्मेदारी ने नेतृत्व को युद्ध अपराधों से अलग नहीं रहने दिया। परीक्षा में नेतृत्व जवाबदेही समझें। / Command responsibility did not allow leadership to remain separate from war crimes. For exams understand leadership accountability.
A. क्योंकि उच्च अधिकारियों की जिम्मेदारी अधीनस्थ अपराधों से जोड़ी गई/Because responsibility of high officials was linked with crimes of subordinates
Explanation
Simple Explanation
कमांड जिम्मेदारी ने नेतृत्व की जवाबदेही पर जोर दिया। परीक्षा में युद्ध अपराध न्याय के सिद्धांत समझें। / Command responsibility emphasized accountability of leadership. For exams understand principles of war crime justice.
A. क्योंकि नेताओं को आदेश देने के बावजूद अपराधों के लिए जिम्मेदार ठहराया गया/Because leaders were held responsible for crimes despite giving orders
Explanation
Simple Explanation
नूर्नबर्ग ने दिखाया कि राज्य के नाम पर अपराध करने वाले व्यक्ति भी जवाबदेह हो सकते हैं। परीक्षा में इसे अंतरराष्ट्रीय कानून से जोड़ें। / Nuremberg showed that individuals committing crimes in the name of the state can be accountable. For exams connect it with international law.
A. राष्ट्र की रक्षा और सार्वजनिक जीवन में भागीदारी/Defence of the nation and participation in public life
Step 1
Concept
नागरिकता केवल अधिकार पाने का नाम नहीं है। / Citizenship does not mean only receiving rights.
Step 2
Why this answer is correct
क्रांति ने नागरिकों को राष्ट्र की रक्षा और सार्वजनिक भागीदारी से जोड़ा। / The Revolution linked citizens with defence of the nation and public participation.
Step 3
Exam Tip
अधिकार और कर्तव्य दोनों को साथ याद रखें। / Remember rights and duties together.
यहाँ (D=4-20=-16), जो ऋणात्मक है। ऋणात्मक विविक्तकर का अर्थ वास्तविक शून्यक नहीं होते। / Here (D=4-20=-16), which is negative. A negative discriminant means there are no real zeroes.
कक्षा 10 के वास्तविक संख्याओं में ऋणात्मक संख्या की वर्गमूल वास्तविक नहीं मानी जाती। ध्यान दें \(\sqrt{7}\) वास्तविक अपरिमेय है। / In Class 10 real numbers the square root of a negative number is not real. Note that \(\sqrt{7}\) is real irrational.
A. समय पर अंतरराष्ट्रीय कार्रवाई न होने से भारी जनहानि हुई/Massive loss of life happened due to lack of timely international action
Explanation
Simple Explanation
रवांडा ने अंतरराष्ट्रीय निष्क्रियता की गंभीर कीमत दिखायी। परीक्षा में नरसंहार रोकथाम याद रखें। / Rwanda showed the serious cost of international inaction. Exam tip: remember genocide prevention.
A. राज्य आदेश के बावजूद व्यक्ति युद्ध अपराधों के लिए जिम्मेदार हो सकता है/An individual can be responsible for war crimes despite state orders
Explanation
Simple Explanation
न्यूरेमबर्ग ने व्यक्तिगत जवाबदेही को अंतरराष्ट्रीय कानून में मजबूत किया। परीक्षा में इसे युद्धोत्तर न्याय से जोड़ें। / Nuremberg strengthened individual accountability in international law. Exam tip: connect it with postwar justice.
A. यह अंतरराष्ट्रीय शांति और सुरक्षा पर तेज निर्णय के लिए केंद्रीय अंग बनता है/It becomes the central organ for quick decisions on international peace and security
Explanation
Simple Explanation
सुरक्षा परिषद को शांति और सुरक्षा पर मुख्य जिम्मेदारी दी गई है। परीक्षा में इसे सामूहिक सुरक्षा तंत्र का केंद्र मानें। / The Security Council has primary responsibility for peace and security. Exam tip: treat it as the center of collective security mechanism.
C. शरणार्थियों और विस्थापितों की सुरक्षा/Protection of refugees and displaced people
Explanation
Simple Explanation
यू एन एच सी आर शरणार्थियों की सहायता और संरक्षण से जुड़ा है। परीक्षा में इसे युद्ध और संकट से विस्थापन के संदर्भ में पढ़ें। / UNHCR is linked with assistance and protection of refugees. Exam tip: study it in the context of displacement caused by war and crisis.
A. नैतिक और न्यायपूर्ण शासन करना/To rule morally and justly
Explanation
Simple Explanation
स्वर्गीय अधिकार के अनुसार राजा को नैतिक शासन करना चाहिए था। परीक्षा में वैधता और जिम्मेदारी साथ याद रखें। / According to the Mandate of Heaven, the ruler had to govern morally. Remember legitimacy and responsibility together.
A. संगठित और उत्तरदायी शासन/Organized and accountable governance
Explanation
Simple Explanation
अष्टप्रधान ने शासन के कार्यों को अलग-अलग जिम्मेदारियों में बांटा। इसे मराठा प्रशासन की परिपक्वता से जोड़ें। / The council of eight divided functions of rule into different responsibilities. Link it with the maturity of Maratha administration.
C. गाँव या महाल को राजस्व इकाई मानकर मांग तय होती थी/Revenue demand was fixed by treating the village or Mahal as the unit
Explanation
Simple Explanation
महालवाड़ी में राजस्व गाँव समुदाय या महाल के आधार पर तय होता था। परीक्षा में इसे उत्तर भारत के भू-राजस्व प्रयोग से जोड़ें। / In Mahalwari revenue was assessed on the basis of village community or Mahal. Exam tip is to link it with North Indian land revenue experiments.
A. गांव समुदाय पर कुल राजस्व बोझ का दबाव बढ़ सकता था/Total revenue burden could pressure the village community
Explanation
Simple Explanation
महाल या गांव पर सामूहिक लगान जिम्मेदारी रखी जाती थी। परीक्षा में राजस्व इकाई और सामाजिक प्रभाव साथ पढ़ें। / Revenue responsibility was placed on the Mahal or village collectively. Exam tip: study revenue unit and social impact together.
B. प्रशासनिक जवाबदेही कमजोर हो गई/Administrative accountability weakened
Explanation
Simple Explanation
द्वैध शासन में कंपनी प्रभावी शक्ति थी पर जिम्मेदारी स्पष्ट नहीं थी। परीक्षा में इसे बंगाल की अव्यवस्था से जोड़ें। / In Dual Government the Company held effective power but responsibility was unclear. Exam tip is to link it with disorder in Bengal.
स्थायी बंदोबस्त में जमींदार राजस्व वसूली के मध्यस्थ बने। परीक्षा में इसे बंगाल की भूमि व्यवस्था से जोड़ें। / Under Permanent Settlement zamindars became revenue intermediaries. Exam tip: connect it with Bengal land revenue system.
सर-ए-नौबत या सेनापति सैन्य संचालन से जुड़ा पद था। परीक्षा में अष्टप्रधान पदों को उनके कार्यों से मिलाएं। / Sar-i-Naubat or Senapati was related to military command. Exam tip: match Ashtapradhan posts with their duties.
C. \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\sqrt{\frac{1}{4}}\) जैसे अनेक बिंदु/Many points like \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\sqrt{\frac{1}{4}}\)
Explanation
Simple Explanation
(0) और (1) के बीच परिमेय और अपरिमेय दोनों प्रकार की अनंत संख्याएं होती हैं। किसी भी दो वास्तविक संख्याओं के बीच और संख्याएं मिलती हैं। / Between (0) and (1), there are infinitely many rational and irrational numbers. Between any two real numbers, more numbers can be found.
सही नियम ((uv)^n=u^nv^n) है। परीक्षा में product की power को हर factor पर अलग-अलग लगाएं। / The correct rule is ((uv)^n=u^nv^n). In exams, apply the power of a product to each factor separately.
मुख्य वर्गमूल हमेशा अऋणात्मक होता है, इसलिए \(\sqrt{a^2}=|a|\) है। परीक्षा में (a) ऋणात्मक होने की संभावना न भूलें। / The principal square root is always non-negative, so \(\sqrt{a^2}=|a|\). In exams do not forget the possibility of negative (a).
\(\sqrt{-9}\) वास्तविक संख्या नहीं है, जबकि बाकी सभी वास्तविक हैं। परीक्षा में ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल वास्तविक संख्या पद्धति में नहीं लेते। / \(\sqrt{-9}\) is not a real number, while the others are real. In exams do not take the square root of a negative number in the real number system.
\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), जो वास्तविक और अपरिमेय है। परीक्षा में ऋणात्मक वर्गमूल को वास्तविक संख्या न मानें। / \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), which is real and irrational. In exams do not treat the square root of a negative number as real.
C. कोई वास्तविक मूल नहीं है/There are no real roots
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर (4-20=-16) ऋणात्मक है, इसलिए वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में ऋणात्मक विविक्तकर को वास्तविक शून्यक नहीं मानें। / The discriminant is (4-20=-16), which is negative, so there are no real roots. In exams do not treat a negative discriminant as real zeroes.
यदि (x) परिमेय होता तो \(\sqrt{2}+x\) अपरिमेय होता। इसलिए (x) अपरिमेय होना चाहिए; परीक्षा में परिमेय और अपरिमेय के योग का नियम याद रखें। / If (x) were rational then \(\sqrt{2}+x\) would be irrational. So (x) must be irrational; remember the sum rule for rational and irrational numbers.
A. \(b^2-4c\) धनात्मक अपूर्ण वर्ग हो/\(b^2-4c\) is positive and not a perfect square
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक शून्यकों के लिए विविक्तकर धनात्मक चाहिए और अपरिमेय शून्यकों के लिए वह पूर्ण वर्ग नहीं होना चाहिए। परिमेय गुणांकों वाले द्विघात में यही मुख्य जाँच है। / For real zeroes, the discriminant must be positive, and for irrational zeroes it must not be a perfect square. This is the key check for quadratics with rational coefficients.
\(x^2-8x+3\) के लिए (D=64-12=52), जो धनात्मक अपूर्ण वर्ग है। बाकी विकल्पों में शून्यक समान परिमेय, अवास्तविक या परिमेय हैं। / For \(x^2-8x+3\), (D=64-12=52), positive and not a perfect square. The other options give equal rational, non-real, or rational zeroes.
\(x^2-8=0\) से \(x=\pm2\sqrt{2}\), जो अपरिमेय वास्तविक हैं। पूर्ण वर्ग और धनात्मकता दोनों जाँचें। / From \(x^2-8=0\), \(x=\pm2\sqrt{2}\), which are irrational real. Check both perfect-square status and positivity.
B. (k) धनात्मक हो लेकिन पूर्ण वर्ग न हो/(k) is positive but not a perfect square
Explanation
Simple Explanation
शून्यक \(x=\pm\sqrt{k}\) हैं। ये अपरिमेय वास्तविक तभी होंगे जब (k>0) और (k) पूर्ण वर्ग न हो। / The zeroes are \(x=\pm\sqrt{k}\). They are irrational real when (k>0) and (k) is not a perfect square.
यहाँ (D=(-2)2-4(1)(-3)=16) है, जो धनात्मक है। इसलिए दोनों शून्यक वास्तविक हैं। / Here (D=(-2)2-4(1)(-3)=16), which is positive. So both zeroes are real.
शून्यक \(x=\pm\sqrt{2}\) हैं और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। परीक्षा में वर्गमूल वाले शून्यकों को सरल करके जाँचें। / The zeroes are \(x=\pm\sqrt{2}\), and \(\sqrt{2}\) is irrational. In exams, simplify square-root zeroes before deciding the type.
वास्तविक संख्या जो परिमेय नहीं होती वह अपरिमेय कहलाती है। इसे दशमलव से भी पहचाना जा सकता है। / A real number that is not rational is called irrational. It can also be identified through its decimal form.
\(\sqrt{41}\) वास्तविक है और (41) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए यह अपरिमेय है। / \(\sqrt{41}\) is real and (41) is not a perfect square. So it is irrational.
(-3) वास्तविक संख्या है लेकिन पूर्ण संख्या नहीं है। पूर्ण संख्याएँ (0) से शुरू होती हैं। / (-3) is a real number but not a whole number. Whole numbers start from (0).
\(\sqrt{18}\) अपरिमेय है और उसका ऋण भी वास्तविक अपरिमेय है। ऋण चिह्न परिमेयता नहीं बदलता। / \(\sqrt{18}\) is irrational and its negative is also real irrational. A negative sign does not change rationality.
\(\sqrt{23}\) वास्तविक है लेकिन अपरिमेय है क्योंकि (23) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए यह परिमेय नहीं है। / \(\sqrt{23}\) is real but irrational because (23) is not a perfect square. So it is not rational.
A. इनमें परिमेय और अपरिमेय दोनों शामिल हैं/They include both rational and irrational numbers
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक संख्याएँ परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का बड़ा समुच्चय हैं। संख्या रेखा पर इन्हें दर्शाया जा सकता है। / Real numbers form the large set of rational and irrational numbers. They can be represented on the number line.
ऋणात्मक जड़ वाले विकल्प वास्तविक नहीं हैं। (-3), (0) और \(\sqrt{2}\) सभी वास्तविक हैं। / Options with square roots of negatives are not real. (-3), (0), and \(\sqrt{2}\) are all real.
\(\sqrt[3]{64}=4\) और \(\sqrt[3]{x^{6}}=x^{2}\), इसलिए उत्तर \(4x^{2}\) है। परीक्षा में घनमूल में घात को (3) से भाग दें। / Since \(\sqrt[3]{64}=4\) and \(\sqrt[3]{x^{6}}=x^{2}\), the answer is \(4x^{2}\). In exams, divide the exponent by (3) for cube roots.
(k=2) पर विविक्तकर (16-8=8), जो धनात्मक पर पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए मूल वास्तविक और अपरिमेय होंगे। / For (k=2), the discriminant is (16-8=8), positive but not a perfect square. Therefore the roots are real and irrational.
(p(x)=\(x+\sqrt{5}\)2), इसलिए शून्यक \(-\sqrt{5}\) दो बार है। पूर्ण वर्ग रूप से दोहराया शून्यक मिलता है। / (p(x)=\(x+\sqrt{5}\)2), so the zero is \(-\sqrt{5}\) twice. A perfect-square form gives a repeated zero.
(r=2) पर (D=16-8=8) है। यह धनात्मक और अपूर्ण वर्ग है, इसलिए शून्यक वास्तविक और अपरिमेय हैं। / For (r=2), (D=16-8=8). It is positive and not a perfect square, so the zeroes are real and irrational.
B. जब (25-4c) धनात्मक हो पर पूर्ण वर्ग न हो/When (25-4c) is positive but not a perfect square
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक भिन्न शून्यकों के लिए (D>0) चाहिए। अपरिमेय शून्यकों के लिए (D) पूर्ण वर्ग नहीं होना चाहिए। / For real distinct zeroes, (D>0) is required. For irrational zeroes, (D) must not be a perfect square.
दोहराया शून्यक 5 को अलग (distinct) शून्यकों में केवल एक बार गिना जाता है। इसलिए अलग वास्तविक शून्यक 5 और -1 हैं। विकल्प C गलत है क्योंकि उसमें शून्यक की आवृत्ति (multiplicity) सहित सभी दर्ज हैं, जबकि प्रश्न अलग मान पूछ रहा है। विकल्प B और D गलत हैं क्योंकि वे दूसरे शून्यक को छोड़ देते हैं। परीक्षा टिप: 'distinct' या 'अलग' का अर्थ है हर अलग मान को एक बार लिखें। / A repeated root is counted only once when listing distinct zeros. So the distinct real zeros are 5 and -1. Option C is incorrect because it lists zeros with multiplicity; B and D are wrong because they omit the other root. Exam tip: when asked for distinct/unique values, list each value once regardless of multiplicity.
दोहराया (2) अलग शून्यक में एक बार गिना जाता है। टिप: अलग शून्यक में समान मान पुनः न लिखें। / The repeated (2) is counted once for distinct zeroes. Tip: do not rewrite the same value for distinct zeroes.
बनावट वास्तविक या दृश्य सतह का प्रभाव बना सकती है। परीक्षा में स्पर्श अनुभव को बनावट से जोड़ें। / Texture can create a real or visual surface effect. Exam tip: connect touch feeling with texture.
क्योंकि (16<18<25), इसलिए \(4<\sqrt{18}<5\)। परीक्षा में वर्गों की तुलना पहले करें। / Since (16<18<25), we get \(4<\sqrt{18}<5\). In exams, compare perfect squares first.
\(2^2=4\) और \(3^2=9\), इसलिए \(\sqrt{7}\) संख्या रेखा पर (2) और (3) के बीच होगा। परीक्षा में पहले वर्गों की तुलना करें। / Since \(2^2=4\) and \(3^2=9\), \(\sqrt{7}\) lies between (2) and (3). In exams, compare squares first.
(-0.1) शून्य से छोटा है इसलिए (0) और (1) के बीच नहीं है। बीच की जांच में दोनों सीमाओं से तुलना करें। / (-0.1) is less than zero, so it is not between (0) and (1). Compare with both bounds when checking between values.
कर्ण \(\sqrt{3^2+4^2}=5\) होता है। यह पाइथागोरस त्रिक का सीधा उपयोग है। / The hypotenuse is \(\sqrt{3^2+4^2}=5\). This is a direct use of a Pythagorean triple.
क्योंकि (1.375=1+0.375), इसलिए (1) से (0.375) इकाई आगे जाना होगा। दशमलव स्थान में पूर्णांक भाग अलग करें। / Since (1.375=1+0.375), move (0.375) unit from (1). Separate the integer part when locating decimals.
पाइथागोरस से कर्ण \(=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\) होगा। ऐसी रचनाओं में वर्गों का योग जरूर देखें। / By Pythagoras the hypotenuse is \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\). In such constructions always add the squares of perpendicular sides.
(5) धनात्मक है इसलिए यह (0) के दाईं ओर (5) इकाई पर होगा। परीक्षा में धनात्मक संख्या के लिए दाईं दिशा याद रखें। / (5) is positive, so it lies (5) units to the right of (0). In exams, remember right direction for positive numbers.
\(\frac{3}{4}\) का मान (1) से कम और (0) से अधिक होता है। परीक्षा में भिन्न की स्थिति पहले उसके मान से पहचानें। / \(\frac{3}{4}\) is greater than (0) and less than (1). In exams first compare the fraction value with nearby integers.
मध्य संख्या \(\frac{-2+3}{2}=\frac{1}{2}\) है। दो बिंदुओं के ठीक बीच के लिए उनका औसत लें। / The midpoint is \(\frac{-2+3}{2}=\frac{1}{2}\). To find the exact middle of two points, take their average.
संख्या रेखा का प्रत्येक बिंदु एक वास्तविक संख्या दिखाता है। (1) और (2) के बीच परिमेय और अपरिमेय दोनों हो सकते हैं। / Every point on the number line represents a real number. Between (1) and (2), both rational and irrational numbers can occur.
\(\sqrt{4}=2\) होता है, इसलिए बिंदु (2) पर होगा। पूर्ण वर्गों के वर्गमूल याद रखें। / \(\sqrt{4}=2\), so the point is (2). Remember square roots of perfect squares.
(0) और (1) के बीच की मध्य संख्या \(\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}\) है। परीक्षा में मध्य संख्या के लिए औसत लें। / The middle number between (0) and (1) is \(\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}\). In exams, use the average for the midpoint.
मध्य बिंदु \(\frac{0+2}{2}=1\) है। बीच का बिंदु दोनों सिरों से बराबर दूरी पर होता है। / The midpoint is \(\frac{0+2}{2}=1\). The middle point is equally distant from both endpoints.
समकोण त्रिभुज में भुजाएँ (1) और (2) हों तो कर्ण \(\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\) होता है। पाइथागोरस प्रमेय से ऐसी लंबाई मिलती है। / In a right triangle with legs (1) and (2), the hypotenuse is \(\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\). Such lengths come from the Pythagoras theorem.
\(\frac{7}{4}=1.75\), इसलिए यह (1) और (2) के बीच है। अशुद्ध भिन्न को मिश्रित या दशमलव रूप में सोचें। / \(\frac{7}{4}=1.75\), so it lies between (1) and (2). Think of an improper fraction in mixed or decimal form.
\(\frac{1}{2}=0.5\), इसलिए यह (0) और (1) के बीच है। भिन्न को दशमलव में सोचने से स्थान स्पष्ट होता है। / \(\frac{1}{2}=0.5\), so it lies between (0) and (1). Thinking of a fraction as a decimal helps locate it.
ऋणात्मक संख्याएँ (0) के बाईं ओर स्थित होती हैं। बाईं ओर जाने पर संख्या का मान घटता है। / Negative numbers lie to the left of (0). The value decreases as we move left.
संख्या रेखा पर धनात्मक संख्याएँ (0) के दाईं ओर होती हैं। दाईं ओर जाने पर संख्या का मान बढ़ता है। / Positive numbers lie to the right of (0) on the number line. The value increases as we move right.
कोई वास्तविक शून्यक नहीं होने के लिए विविक्तकर (4-4c<0) चाहिए। इससे (c>1) मिलता है। / For no real zero, the discriminant must satisfy (4-4c<0). This gives (c>1).
A. यह कोई वास्तविक शून्यक नहीं देता/It gives no real zero
Explanation
Simple Explanation
(x-4-16=\(x^2-4\)\(x^2+4\)) है। \(x^2+4\) वास्तविक (x) के लिए कभी (0) नहीं होता। / (x-4-16=\(x^2-4\)\(x^2+4\)). The factor \(x^2+4\) is never (0) for real (x).
(p(x)=3\(x^2-4x+5\)=3((x-2)2+1)), जो सदा धनात्मक है। इसलिए कोई वास्तविक शून्यक नहीं है। / (p(x)=3\(x^2-4x+5\)=3((x-2)2+1)), which is always positive. Hence there are no real zeroes.
(x-2-2x+2=(x-1)2+1), जो हर वास्तविक (x) के लिए धनात्मक है। इसलिए इसका कोई वास्तविक शून्यक नहीं है। / (x-2-2x+2=(x-1)2+1), which is positive for every real (x). Hence it has no real zeroes.
(x-4-1=\(x^2-1\)\(x^2+1\)) है। \(x^2+1\) के वास्तविक शून्यक नहीं हैं, इसलिए अतिरिक्त वास्तविक शून्यक (0) हैं। / (x-4-1=\(x^2-1\)\(x^2+1\)). Since \(x^2+1\) has no real zeroes, there are (0) extra real zeroes.
वास्तविक (x) के लिए \(x^2\geq0\), इसलिए \(x^2+1>0\) रहता है। अतः इसका कोई वास्तविक शून्यक नहीं है। / For real (x), \(x^2\geq0\), so \(x^2+1>0\). Hence it has no real zero.
(\(2^5\)^{\frac{2}{5}}=22=4) और (\(3^3\)^{\frac{1}{3}}=3), इसलिए गुणनफल (12) है। परीक्षा में power of power नियम लगाएं। / (\(2^5\)^{\frac{2}{5}}=22=4) and (\(3^3\)^{\frac{1}{3}}=3), so the product is (12). In exams, apply the power of a power law.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर (n=\(3\sqrt{7}\)2=9\times 7=63)। परीक्षा में square root equation में दोनों पक्षों का वर्ग करें। / Squaring both sides gives (n=\(3\sqrt{7}\)2=9\times 7=63). In exams, square both sides in a square root equation.
\(125^{\frac{2}{3}}=25\) और \(25^{\frac{1}{2}}=5\), इसलिए मान (5) है। परीक्षा में fractional exponents को root और power में अलग करें। / \(125^{\frac{2}{3}}=25\) and \(25^{\frac{1}{2}}=5\), so the value is (5). In exams, separate fractional exponents into root and power.
\(4^{-1}-5^{-1}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{20}\), इसलिए पूरा मान (20) है। परीक्षा में negative powers को पहले fractions में बदलें। / \(4^{-1}-5^{-1}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{20}\), so the whole value is (20). In exams, first convert negative powers into fractions.
\(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\) और \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), इसलिए उत्तर \(8\sqrt{2}\) है। परीक्षा में पहले सभी surds को simplest form में लिखें। / \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\), and \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), so the answer is \(8\sqrt{2}\). In exams, first write all surds in simplest form.
अंदर \(2^{-3}+2^{-2}=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{8}\), इसलिए (-1) घात से \(\dfrac{8}{3}\) मिलता है। परीक्षा में bracket को पहले सरल करें। / Inside, \(2^{-3}+2^{-2}=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{8}\), so the power (-1) gives \(\dfrac{8}{3}\). In exams, simplify the bracket first.
क्योंकि \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए (\(\sqrt{2}+\sqrt{8}\)2=\(3\sqrt{2}\)2=18)। परीक्षा में वर्ग करने से पहले surd सरल करें। / Since \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), (\(\sqrt{2}+\sqrt{8}\)2=\(3\sqrt{2}\)2=18). In exams, simplify the surd before squaring.
\(\dfrac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}=\sqrt{16}=4\) और \(\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}=\sqrt{25}=5\), इसलिए योग (9) है। परीक्षा में root के अंदर भाग को सरल करें। / \(\dfrac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}=\sqrt{16}=4\) and \(\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}=\sqrt{25}=5\), so the sum is (9). In exams, simplify the division inside the root.
क्योंकि (64=\(2\times 3\)4=24\times 34), इसलिए मान \(3^2=9\) है। परीक्षा में composite base को prime factors में लिखें। / Since (64=\(2\times 3\)4=24\times 34), the value is \(3^2=9\). In exams, write a composite base in prime factors.
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\), इसलिए अंदर का मान \(-\sqrt{3}\) है और गुणनफल (-6) है। परीक्षा में पहले surd को सरल करें। / \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\), so the inside value is \(-\sqrt{3}\) and the product is (-6). In exams, simplify the surds first.
क्योंकि (\(5x^2\)0=1), \(x^0=1\) और \(2^{-1}=\dfrac{1}{2}\), इसलिए मान (4) है। परीक्षा में शून्य घात का नियम केवल non-zero आधार पर लगाएं। / Because (\(5x^2\)0=1), \(x^0=1\), and \(2^{-1}=\dfrac{1}{2}\), the value is (4). In exams, apply the zero exponent rule only to a non-zero base.
क्योंकि \(0.0001=10^{-4}\), इसलिए (\(10^{-4}\)^{\frac{3}{2}}=10^{-6})। परीक्षा में दशमलव को (10) की घात में बदलें। / Since \(0.0001=10^{-4}\), (\(10^{-4}\)^{\frac{3}{2}}=10^{-6}). In exams, convert decimals into powers of (10).
विस्तार करने पर ((2m-n)2=4m-2-4mn+n-2) और ((m+n)2=m-2+2mn+n-2), इसलिए अंतर \(3m^2-6mn\) है। परीक्षा में चिन्हों की जांच करें। / On expansion, ((2m-n)2=4m-2-4mn+n-2) and ((m+n)2=m-2+2mn+n-2), so the difference is \(3m^2-6mn\). In exams, check the signs carefully.
हर को \(\sqrt{7}-\sqrt{5}\) से गुणा करने पर हर (7-5=2) होता है और उत्तर \(\sqrt{7}-\sqrt{5}\) मिलता है। परीक्षा में conjugate का प्रयोग करें। / Multiplying by \(\sqrt{7}-\sqrt{5}\) makes the denominator (7-5=2) and gives \(\sqrt{7}-\sqrt{5}\). In exams, use the conjugate.
\(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\), इसलिए उत्तर \(7\sqrt{3}\) है। परीक्षा में समान मूल वाले पद ही जोड़ें। / \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), and \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\), so the answer is \(7\sqrt{3}\). In exams, combine only terms with the same radical part.
क्योंकि \(25^{\frac{3}{2}}=125\) और \(125^{\frac{2}{3}}=25\), इसलिए मान (5) है। परीक्षा में fractional powers में पहले root समझें। / Since \(25^{\frac{3}{2}}=125\) and \(125^{\frac{2}{3}}=25\), the value is (5). In exams, understand the root first in fractional powers.
\(2^{-1}+3^{-1}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}\), इसलिए पूरा मान \(\dfrac{6}{5}\) है। परीक्षा में denominator को पहले simplify करें। / \(2^{-1}+3^{-1}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}\), so the whole value is \(\dfrac{6}{5}\). In exams, simplify the denominator first.
क्योंकि \(\sqrt[3]{64}=4\), इसलिए \(4^{-2}=\dfrac{1}{16}\)। परीक्षा में पहले root का मान निकालें फिर negative exponent लगाएं। / Since \(\sqrt[3]{64}=4\), \(4^{-2}=\dfrac{1}{16}\). In exams, first evaluate the root and then apply the negative exponent.
दोनों विस्तारों को जोड़ने पर (2mn) और (-2mn) कट जाते हैं, इसलिए \(2m^2+2n^2\) मिलता है। परीक्षा में opposite middle terms पर ध्यान दें। / When both expansions are added, (2mn) and (-2mn) cancel, giving \(2m^2+2n^2\). In exams, notice opposite middle terms.
क्योंकि \(a^{-2}=\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{1}{5}\), इसलिए \(\dfrac{1}{5}+5=\dfrac{26}{5}\)। परीक्षा में \(a^{-2}\) को \(\dfrac{1}{a^2}\) लिखें। / Because \(a^{-2}=\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{1}{5}\), \(\dfrac{1}{5}+5=\dfrac{26}{5}\). In exams, write \(a^{-2}\) as \(\dfrac{1}{a^2}\).
दोनों वर्ग जोड़ने पर surd terms कट जाते हैं और (7+7=14) मिलता है। परीक्षा में conjugate expressions में irrational terms अक्सर cancel होते हैं। / When the two squares are added, the surd terms cancel and (7+7=14). In exams, irrational terms often cancel in conjugate expressions.
