Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. ताकि मिशन आक्रमणकारी सेना न बने और केवल आत्मरक्षा या जनादेश रक्षा तक सीमित रहे/So that the mission does not become an invading army and remains limited to self defence or mandate defence
Explanation
Simple Explanation
शांति स्थापना का लक्ष्य संघर्ष घटाना है युद्ध बढ़ाना नहीं। परीक्षा में सीमित बल प्रयोग को शांति स्थापना सिद्धांत से जोड़ें। / The aim of peacekeeping is to reduce conflict not expand war. For exams connect limited force with peacekeeping principles.
A. बल केवल आत्मरक्षा या जनादेश की रक्षा में प्रयोग हो/Force should be used only in self-defense or defense of mandate
Explanation
Simple Explanation
शांति स्थापना युद्ध लड़ने की सामान्य कार्रवाई नहीं है। परीक्षा में सीमित बल प्रयोग और निष्पक्षता साथ याद रखें। / Peacekeeping is not ordinary war-fighting action. Exam tip: remember limited use of force and impartiality together.
C. यह अंतरराष्ट्रीय शांति और संप्रभुता की रक्षा का आधार है/It is a basis for protecting international peace and sovereignty
Explanation
Simple Explanation
बल प्रयोग पर रोक संयुक्त राष्ट्र व्यवस्था का मूल सिद्धांत है। परीक्षा में इसे शांति और संप्रभु समानता के साथ याद रखें। / The restriction on force is a core principle of the UN system. For exams remember it with peace and sovereign equality.
A. यह अंतरराष्ट्रीय शांति और राज्यों की संप्रभुता की रक्षा से जुड़ा है/It is linked with protecting international peace and state sovereignty
Explanation
Simple Explanation
बल प्रयोग पर रोक संयुक्त राष्ट्र की शांति व्यवस्था का मूल सिद्धांत है। परीक्षा में इसे संप्रभुता और शांति से जोड़ें। / Restriction on the use of force is a basic principle of the UN peace system. For exams connect it with sovereignty and peace.
A. अंतरराष्ट्रीय शांति और संप्रभुता की रक्षा/Protecting international peace and sovereignty
Explanation
Simple Explanation
चार्टर देशों को बल प्रयोग से बचने और शांतिपूर्ण समाधान अपनाने पर बल देता है। परीक्षा में इसे शांति और संप्रभुता से जोड़ें। / The Charter emphasizes avoiding force and choosing peaceful settlement. Exam tip: link it with peace and sovereignty.
रॉयल एयर फोर्स ब्रिटेन की वायु सेना थी। परीक्षा में इसे ब्रिटेन की लड़ाई से जोड़ें। / The Royal Air Force was Britain's air force. For exams connect it with the Battle of Britain.
वायु सेना दिवस 8 अक्टूबर को मनाया जाता है। इसे भारतीय वायु सेना की स्थापना 1932 से जोड़कर याद रखें। / Air Force Day is celebrated on 8 October. Remember it with the establishment of the Indian Air Force in 1932.
A. स्वतंत्रता मानव अधिकार और आत्मनिर्णय की भाषा मजबूत हुई/The language of freedom human rights and self determination became stronger
Explanation
Simple Explanation
युद्धोत्तर विश्व में औपनिवेशिक शासन नैतिक रूप से कठिन बचाव में था। परीक्षा में आत्मनिर्णय लिखें। / In the postwar world colonial rule became morally harder to defend. For exams write self determination.
A. अन्याय के विरुद्ध अहिंसक जन दबाव बनाकर/By creating non violent mass pressure against injustice
Explanation
Simple Explanation
सत्याग्रह ने नैतिक वैधता और जन भागीदारी को साथ जोड़ा। परीक्षा में गांधी को जन राजनीति और अहिंसा से जोड़ें। / Satyagraha linked moral legitimacy with mass participation. For exams connect Gandhi with mass politics and non violence.
A. शांति संकट में वैकल्पिक पहल का मंच बनना/Becoming a platform for alternative initiative in a peace crisis
Explanation
Simple Explanation
स्वेज संकट में महासभा ने शांति स्थापना पहल में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई। परीक्षा में इसे यूनाइटिंग फॉर पीस की पृष्ठभूमि से जोड़ें। / In the Suez Crisis the General Assembly played an important role in peacekeeping initiative. Exam tip: link it with the background of Uniting for Peace.
C. चौबीस अक्टूबर को चार्टर लागू हुआ इसलिए वही संयुक्त राष्ट्र दिवस है/The Charter came into force on 24 October so it is UN Day
Explanation
Simple Explanation
चौबीस अक्टूबर उन्नीस सौ पैंतालीस को चार्टर लागू हुआ। परीक्षा में हस्ताक्षर तारीख और लागू तारीख अलग रखें। / The Charter came into force on 24 October 1945. Exam tip: keep signing date and entry-into-force date separate.
A. सदस्य देशों द्वारा मनमानी सैन्य आक्रामकता/Arbitrary military aggression by member states
Explanation
Simple Explanation
चार्टर सदस्य देशों को बल प्रयोग या बल की धमकी से बचने पर जोर देता है। परीक्षा में इसे अंतरराष्ट्रीय शांति के मूल नियम से जोड़ें। / The Charter emphasizes avoiding the use or threat of force by member states. Exam tip: connect it with the basic rule of international peace.
A. संयुक्त राष्ट्र ने शांति स्थापना को व्यावहारिक साधन के रूप में विकसित किया/The UN developed peacekeeping as a practical tool
Explanation
Simple Explanation
स्वेज संकट ने सशस्त्र शांति स्थापना के विकास में बड़ा मोड़ दिया। परीक्षा में यू एन ई एफ को स्वेज संकट से जोड़ें। / The Suez Crisis marked a major turn in the development of armed peacekeeping. Exam tip: link UNEF with Suez.
C. क्योंकि उसी दिन संयुक्त राष्ट्र ने कानूनी रूप से कार्य करना शुरू किया/Because the UN legally began to function that day
Explanation
Simple Explanation
चार्टर लागू होने से संयुक्त राष्ट्र की कानूनी शुरुआत हुई। परीक्षा में चौबीस अक्टूबर को संयुक्त राष्ट्र दिवस से जोड़ें। / The Charter's entry into force marked the legal beginning of the UN. Exam tip: link 24 October with UN Day.
D. इसने शांति सैनिकों की निष्पक्ष तैनाती की पद्धति को मजबूत किया/It strengthened the method of neutral peacekeeper deployment
Explanation
Simple Explanation
सुएज संकट में यू एन ई एफ ने शांति स्थापना को व्यावहारिक रूप दिया। परीक्षा में इसे आधुनिक शांति स्थापना के विकास से जोड़ें। / UNEF during Suez gave practical form to peacekeeping. For exams connect it with the development of modern peacekeeping.
स्वेज संकट के बाद संयुक्त राष्ट्र आपात बल को पहली बड़ी सशस्त्र शांति सेना माना गया। परीक्षा में स्वेज संकट को शांति स्थापना इतिहास से जोड़ें। / After the Suez Crisis the UN Emergency Force became the first major armed peacekeeping force. Exam tip: connect Suez with peacekeeping history.
C. पांच स्थायी सदस्यों और आवश्यक बहुमत की पुष्टि/Ratification by the five permanent members and required majority
Explanation
Simple Explanation
चार्टर तब लागू हुआ जब आवश्यक देशों ने पुष्टि कर दी जिसमें स्थायी सदस्य भी शामिल थे। परीक्षा में चार्टर लागू होने की तारीख चौबीस अक्टूबर याद रखें। / The Charter came into force after the required ratifications including the permanent members. Exam tip: remember 24 October as the enforcement date.
B. इसने निष्पक्ष सैनिक उपस्थिति द्वारा तनाव कम करने की पद्धति दिखाई/It showed a method of reducing tension through neutral troop presence
Explanation
Simple Explanation
सुएज संकट में शांति सैनिकों की व्यावहारिक भूमिका उभरी। परीक्षा में इसे आधुनिक शांति स्थापना की महत्वपूर्ण कड़ी मानें। / The Suez Crisis highlighted the practical role of peacekeepers. For exams treat it as an important step in modern peacekeeping.
स्वेज संकट के बाद संयुक्त राष्ट्र आपात बल बना जिसे पहली सशस्त्र शांति सेना माना जाता है। परीक्षा में शांति स्थापना के विकास में स्वेज को याद रखें। / After the Suez Crisis the UN Emergency Force was created and is seen as the first armed peacekeeping force. Exam tip: remember Suez in the growth of peacekeeping.
स्वेज संकट के बाद संयुक्त राष्ट्र आपात बल को पहली सशस्त्र शांति सेना माना जाता है। परीक्षा में स्वेज संकट को शांति स्थापना विकास से जोड़ें। / After the Suez Crisis the UN Emergency Force is considered the first armed peacekeeping force. Exam tip: link Suez with the growth of peacekeeping.
A. इसने शांति स्थापना की नई पद्धति को मजबूत किया/It strengthened a new method of peacekeeping
Explanation
Simple Explanation
यू एन ई एफ ने शांतिरक्षक बलों की भूमिका को स्पष्ट किया। परीक्षा में सुएज संकट को शांति स्थापना विकास से जोड़ें। / UNEF clarified the role of peacekeeping forces. For exams link the Suez Crisis with the development of peacekeeping.
B. पांच प्रमुख शक्तियों और बहुमत हस्ताक्षरकर्ताओं की/Five major powers and majority of signatories
Explanation
Simple Explanation
चार्टर प्रमुख शक्तियों और पर्याप्त सदस्य स्वीकृति के बाद लागू हुआ। परीक्षा में चौबीस अक्टूबर उन्नीस सौ पैंतालीस याद रखें। / The Charter came into force after approval by major powers and enough signatories. For exams remember 24 October 1945.
A. हस्ताक्षर जून में हुए और चार्टर अक्टूबर में लागू हुआ/It was signed in June and came into force in October
Explanation
Simple Explanation
चार्टर छब्बीस जून को हस्ताक्षरित हुआ और चौबीस अक्टूबर को लागू हुआ। परीक्षा में दोनों तिथियों को अलग याद रखें। / The Charter was signed on 26 June and came into force on 24 October. For exams remember both dates separately.
B. चौबीस अक्टूबर उन्नीस सौ पैंतालीस/24 October 1945
Explanation
Simple Explanation
संयुक्त राष्ट्र चार्टर चौबीस अक्टूबर उन्नीस सौ पैंतालीस को लागू हुआ। परीक्षा में इसी दिन को संयुक्त राष्ट्र दिवस याद रखें। / The United Nations Charter came into force on 24 October 1945. Exam tip: remember this day as United Nations Day.
संयुक्त राष्ट्र चार्टर चौबीस अक्टूबर उन्नीस सौ पैंतालीस को लागू हुआ। परीक्षा में यही दिन संयुक्त राष्ट्र दिवस भी है। / The UN Charter came into force on 24 October 1945. Exam tip: the same date is observed as United Nations Day.
A. शहरी आम जनता और कारीगरों का दबाव/Pressure of urban common people and artisans
Explanation
Simple Explanation
सान कुलोत ने कीमतों और रोटी जैसे मुद्दों पर उग्र दबाव बनाया। परीक्षा में इन्हें शहरी जनराजनीति से जोड़ें। / Sans culottes created radical pressure on issues like prices and bread. For exams connect them with urban popular politics.
A. गहरी रक्षा बारूदी सुरंगों और रिजर्व से जर्मन बढ़त रोकी गई/Deep defenses mines and reserves checked the German advance
Explanation
Simple Explanation
कुर्स्क में सोवियतों ने जर्मन योजना का अनुमान लगाकर रक्षा तैयार की। परीक्षा में तैयारी और खुफिया की भूमिका पढ़ें। / At Kursk the Soviets anticipated the German plan and prepared defenses. For exams study the role of preparation and intelligence.
A. भविष्य के युद्धों को रोकने और सामूहिक सुरक्षा को मजबूत करने के लिए/To prevent future wars and strengthen collective security
Explanation
Simple Explanation
संयुक्त राष्ट्र का लक्ष्य अंतरराष्ट्रीय शांति और सुरक्षा बनाए रखना था। परीक्षा में संस्था के उद्देश्य और सीमाएं दोनों याद रखें। / The aim of the UN was to maintain international peace and security. For exams remember both aims and limits of the institution.
लूफ़्टवाफ़े नाजी जर्मनी की वायु सेना थी। परीक्षा में इसे ब्रिटेन की लड़ाई से जोड़ें। / The Luftwaffe was the air force of Nazi Germany. For exams connect it with the Battle of Britain.
फासीवाद इटली में मुसोलिनी के नेतृत्व में प्रमुख हुआ। परीक्षा में फासीवाद और मुसोलिनी को साथ याद रखें। / Fascism became prominent in Italy under Mussolini. For exams remember Fascism and Mussolini together.
सूचना का अधिकार अधिनियम 2005 में लागू हुआ था। इसे पारदर्शिता और नागरिक अधिकारों से जोड़ें। / The Right to Information Act came into force in 2005. Link it with transparency and citizens' rights.
भारतीय संविधान 26 जनवरी 1950 से लागू हुआ था। इसे गणतंत्र दिवस और पूर्ण स्वराज दिवस की स्मृति से जोड़ें। / The Constitution of India came into force on 26 January 1950. Link it with Republic Day and the memory of Poorna Swaraj Day.
भारतीय दंड संहिता 1860 में लागू हुई थी। इसे औपनिवेशिक कानूनी व्यवस्था से जोड़कर याद करें। / The Indian Penal Code came into force in 1860. Remember it with the colonial legal system.
भारतीय संविधान 26 जनवरी 1950 को लागू हुआ। परीक्षा में इसे गणतंत्र दिवस से जोड़कर याद रखें। / The Constitution of India came into force on 26 January 1950. For exams connect it with Republic Day.
भारत का संविधान 1950 में लागू हुआ था। इसे 26 जनवरी गणतंत्र दिवस से जोड़कर याद रखें। / The Constitution of India came into force in 1950. Remember it with 26 January Republic Day.
26 जनवरी 1950 को भारत गणराज्य बना। परीक्षा में स्वतंत्रता और गणतंत्र के अंतर को याद रखें। / India became a republic on 26 January 1950. Exam tip is to remember the difference between independence and republic.
A. यह सत्य और अहिंसा पर आधारित था/It was based on truth and nonviolence
Explanation
Simple Explanation
सत्याग्रह में अन्याय का शांतिपूर्ण और नैतिक प्रतिरोध किया जाता था। परीक्षा में सत्याग्रह को अहिंसा से जोड़ें। / Satyagraha involved peaceful and moral resistance to injustice. Exam tip is to link Satyagraha with nonviolence.
B. क्योंकि 1930 में इसी दिन स्वतंत्रता दिवस मनाया गया था/Because Independence Day was observed on this day in 1930
Explanation
Simple Explanation
26 जनवरी 1930 को पूर्ण स्वराज दिवस मनाया गया था। परीक्षा में 1930 और 1950 का संबंध याद रखें। / 26 January 1930 was observed as Poorna Swaraj Day. Exam tip: remember the link between 1930 and 1950.
भारतीय संविधान 26 जनवरी 1950 को लागू हुआ। परीक्षा में इसे गणतंत्र दिवस से जोड़ें। / The Constitution of India came into force on 26 January 1950. Exam tip: connect it with Republic Day.
A. इसने जर्मनी और इटली में बिखरे क्षेत्रों को राजनीतिक राष्ट्र राज्यों में बदलने में मदद की/It helped turn fragmented regions in Germany and Italy into political nation-states
Step 1
Concept
राष्ट्रवाद ने साझा पहचान की भावना पैदा की। / Nationalism created a feeling of common identity.
Step 2
Why this answer is correct
नेताओं ने इस भावना को राजनीतिक योजना और संघर्ष से जोड़ा। / Leaders connected this feeling with political planning and struggle.
Step 3
Exam Tip
परिणामस्वरूप नए राष्ट्र राज्य बने। / As a result, new nation-states were formed.
A. स्थल की पूर्णता और उसके मूल्य को बनाए रखने वाली स्थिति/Wholeness of the site and condition supporting its value
Explanation
Simple Explanation
अखंडता बताती है कि स्थल का मूल्य सुरक्षित और पर्याप्त रूप से प्रतिनिधित है या नहीं। परीक्षा में अखंडता और प्रामाणिकता अलग रखें। / Integrity shows whether the site's value is sufficiently represented and protected. For exams keep integrity and authenticity separate.
पहले दो अनुपात बराबर हैं। असंगत होने के लिए स्थिर पद का अनुपात अलग होना चाहिए। / The first two ratios are equal. For inconsistency, the constant ratio must be different.
पहले दो अनुपात बराबर हैं। असंगत होने के लिए स्थिर पद का अनुपात अलग होना चाहिए इसलिए \(m \ne 50\)। / The first two ratios are equal. For inconsistency, the constant ratio must be different so \(m \ne 50\).
पहले दो अनुपात बराबर हैं, इसलिए असंगत होने के लिए स्थिर पद का अनुपात अलग होना चाहिए। अतः \(m \ne 75\) सही है। / The first two ratios are equal, so the constant ratio must be different for inconsistency. Hence, \(m \ne 75\) is correct.
पहले दो अनुपात बराबर हैं, इसलिए असंगत होने के लिए स्थिर पद का अनुपात अलग होना चाहिए। अतः \(m \ne 34\) होगा। / The first two ratios are equal, so the constant ratio must be different for inconsistency. Hence, \(m \ne 34\).
पहले दो अनुपात बराबर हैं इसलिए असंगत होने के लिए स्थिर पद का अनुपात अलग होना चाहिए। अतः \(m \ne 26\)। / The first two ratios are equal so the constant ratio must differ for inconsistency. Hence \(m \ne 26\).
पहले दो अनुपात बराबर हैं, इसलिए असंगत होने के लिए स्थिर पद का अनुपात अलग होना चाहिए। अतः \(m \ne 32\)। / The first two ratios are equal, so for inconsistency the constant ratio must differ. Hence, \(m \ne 32\).
पहले दो अनुपात बराबर हैं, इसलिए असंगत होने के लिए स्थिर पद का अनुपात अलग होना चाहिए। अतः \(m \ne 14\)। / The first two ratios are equal, so for inconsistency the constant ratio must differ. Hence \(m \ne 14\).
A. जब (a_1/a_2=b_1 / b_2=c_1 / c_2) हो / When \(a_1 / c_2\)
Explanation
Simple Explanation
तीनों अनुपात बराबर हों तो दोनों समीकरण समान रेखा दर्शाते हैं। यही संगत और आश्रित युग्म है। / If all three ratios are equal both equations represent the same line. This is a consistent and dependent pair.
C. जब (a_1/a_2 \ne b_1 / b_2) हो / When \(a_1 / b_2\)
Explanation
Simple Explanation
संगत और स्वतंत्र युग्म में एक अद्वितीय हल होता है। इसके लिए (a) और (b) के अनुपात अलग होने चाहिए। / A consistent and independent pair has one unique solution. For this the ratios of (a) and (b) must be different.
प्रतिच्छेदी रेखाओं के लिए (x) और (y) के गुणांक अनुपात बराबर नहीं होते। यही अद्वितीय समाधान की शर्त है। / For intersecting lines, the coefficient ratios of (x) and (y) are not equal. This is the condition for a unique solution.
C. \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)
Explanation
Simple Explanation
अनंत समाधान तब होते हैं जब दोनों रेखाएं एक ही रेखा हों। इसके लिए तीनों अनुपात बराबर होते हैं। / Infinite solutions occur when both lines are the same line. For this, all three ratios are equal.
यहाँ (D=4g-2-4\(g^2-6g+11\)=24g-44) है। \(D\ge0\) से \(g\ge\frac{11}{6}\) मिलता है। / Here (D=4g-2-4\(g^2-6g+11\)=24g-44). From \(D\ge0\), \(g\ge\frac{11}{6}\).
A. \(p\le -2\) या \(p\ge \frac{9}{2}\)/\(p\le -2\) or \(p\ge \frac{9}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक मूलों के लिए \(D\ge0\) चाहिए। यहाँ (D=4(p+2)(2p-9)), इसलिए \(p\le -2\) या \(p\ge \frac{9}{2}\)। / For real roots, \(D\ge0\) is required. Here (D=4(p+2)(2p-9)), so \(p\le -2\) or \(p\ge \frac{9}{2}\).
यहाँ (D=4k-2-4\(k^2-4k+8\)=16(k-2)) है। वास्तविक मूलों के लिए \(D\ge0\), इसलिए \(k\ge2\)। / Here (D=4k-2-4\(k^2-4k+8\)=16(k-2)). For real roots \(D\ge0\), so \(k\ge2\).
वास्तविक मूल न होने के लिए (D<0) चाहिए। यहाँ (D=4[(m-1)2-(m+5)]=4\(m^2-3m-4\)) है। / For no real roots, (D<0) is needed. Here (D=4[(m-1)2-(m+5)]=4\(m^2-3m-4\)).
योग (6) धनात्मक है और दोनों धनात्मक जड़ों के लिए (c>0) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(36-4c\ge0\), इसलिए \(0<c\le9\)। / The sum (6) is positive and (c>0) is needed for both positive roots. For real roots, \(36-4c\ge0\), so \(0<c\le9\).
यहाँ (D=36(a-1)2-36\(a^2-4a-5\)=72(a+3)) है। वास्तविक जड़ों के लिए \(D\ge0\), इसलिए \(a\ge-3\)। / Here (D=36(a-1)2-36\(a^2-4a-5\)=72(a+3)). For real roots, \(D\ge0\), so \(a\ge-3\).
A. \(m\ge0\) और \(m\neq1\)/\(m\ge0\) and \(m\neq1\)
Explanation
Simple Explanation
जड़ों का गुणनफल \(\frac{m-1}{m-1}=1\) है, इसलिए \(m\neq1\) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(D=16m\ge0\), अतः \(m\ge0\) और \(m\neq1\)। / The product of roots is \(\frac{m-1}{m-1}=1\), so \(m\neq1\) is needed. For real roots, \(D=16m\ge0\), hence \(m\ge0\) and \(m\neq1\).
\(\tan\theta\cdot\cot\theta=1\) और \(\tan\theta+\cot\theta=s\) है। वास्तविक मानों के लिए \(s^2-4\ge0\), इसलिए \(s^2\ge4\)। / We have \(\tan\theta\cdot\cot\theta=1\) and \(\tan\theta+\cot\theta=s\). For real values, \(s^2-4\ge0\), so \(s^2\ge4\).
योग (5) धनात्मक है और दोनों जड़ों के लिए गुणनफल (c>0) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(25-4c\ge0\), इसलिए \(0<c\le\frac{25}{4}\)। / The sum (5) is positive and product (c>0) is needed for both roots. For real roots, \(25-4c\ge0\), so \(0<c\le\frac{25}{4}\).
वास्तविक जड़ों के लिए \(D\ge0\) चाहिए। यहाँ (D=36(5a+1)), इसलिए \(a\ge-\frac{1}{5}\)। / For real roots, \(D\ge0\) is required. Here (D=36(5a+1)), so \(a\ge-\frac{1}{5}\).
योग (-4) पहले से ऋणात्मक है और गुणनफल धनात्मक चाहिए, इसलिए (c>0)। वास्तविक जड़ों के लिए \(16-4c\ge0\), अतः \(0<c\le4\)। / The sum (-4) is already negative and the product must be positive, so (c>0). For real roots, \(16-4c\ge0\), hence \(0<c\le4\).
वास्तविक जड़ों के लिए \(D=36-36k\ge0\) होना चाहिए। इसलिए \(k\le1\) और द्विघात के लिए \(k\ne0\) भी जरूरी है। / For real roots, \(D=36-36k\ge0\) is required. Thus \(k\le1\), and \(k\ne0\) is also needed for a quadratic equation.
जब (D<0) होता है तब वास्तविक मूल नहीं होते। यह मूलों की प्रकृति का सीधा नियम है। / When (D<0), there are no real roots. This is a direct rule for the nature of roots.
(x=0) रखने पर समीकरण (c=0) बनता है। इसलिए शून्य मूल के लिए अचर पद शून्य होना चाहिए। / Putting (x=0) makes the equation (c=0). So for a zero root the constant term must be zero.
द्विघात होने के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) नहीं होना चाहिए। यहाँ \(t^2-64\neq0\), इसलिए \(t\neq\pm8\)। / For the equation to be quadratic, the coefficient of \(x^2\) must not be (0). Here \(t^2-64\neq0\), so \(t\neq\pm8\).
द्विघात होने के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) नहीं होना चाहिए। यहाँ \(r^2-49\neq0\), इसलिए \(r\neq\pm7\)। / For the equation to be quadratic, the coefficient of \(x^2\) must not be (0). Here \(r^2-49\neq0\), so \(r\neq\pm7\).
द्विघात होने के लिए \(k^2-25\neq0\) होना चाहिए। इसलिए \(k\neq5\) और \(k\neq-5\) दोनों शर्तें जरूरी हैं। / For the equation to be quadratic, \(k^2-25\neq0\) is required. So both \(k\neq5\) and \(k\neq-5\) are necessary.
द्विघात होने के लिए \(n^2-16\neq0\) होना चाहिए। इसलिए \(n\neq4\) और \(n\neq-4\) दोनों जरूरी हैं। / For the equation to be quadratic, \(n^2-16\neq0\) is needed. Hence both \(n\neq4\) and \(n\neq-4\) are necessary.
द्विघात होने के लिए \(m^2-9\neq0\) होना चाहिए। इसलिए \(m\neq3\) और \(m\neq-3\) दोनों जरूरी हैं। / For the equation to be quadratic, \(m^2-9\neq0\) is needed. Hence both \(m\neq3\) and \(m\neq-3\) are necessary.
द्विघात समीकरण के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) नहीं होना चाहिए। इसलिए \(5-p\neq0\), अर्थात \(p\neq5\)। / For a quadratic equation, the coefficient of \(x^2\) must not be (0). Thus \(5-p\neq0\), so \(p\neq5\).
द्विघात होने के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) नहीं होना चाहिए। इसलिए \(2m-3\neq 0\), अर्थात \(m\neq \frac{3}{2}\)। / For a quadratic equation, the coefficient of \(x^2\) must not be (0). Thus \(2m-3\neq 0\), so \(m\neq \frac{3}{2}\).
द्विघात होने के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) नहीं होना चाहिए। इसलिए \(k+1\neq 0\), अर्थात \(k\neq -1\)। / For a quadratic equation, the coefficient of \(x^2\) must not be (0). Thus \(k+1\neq 0\), so \(k\neq -1\).
यदि (a=0) हो जाए तो \(x^2\) पद नहीं बचेगा। इसलिए द्विघात होने के लिए \(a\neq 0\) जरूरी है। / If (a=0), the \(x^2\) term disappears. So \(a\neq 0\) is necessary for a quadratic equation.
द्विघात पद \(px^2\) बना रहे इसलिए \(p\neq0\) होना चाहिए। यदि (p=0) हो तो घात (2) नहीं रहेगी। / The quadratic term \(px^2\) must remain, so \(p\neq0\). If (p=0), degree (2) will not remain.
द्विघात पद बना रहे इसलिए \(a\neq0\) होना चाहिए। परीक्षा में (a=0) होने पर यह रैखिक बन सकता है। / The quadratic term must remain, so \(a\neq0\). If (a=0), it may become linear.
A. \(b^2-4c\) धनात्मक अपूर्ण वर्ग हो/\(b^2-4c\) is positive and not a perfect square
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक शून्यकों के लिए विविक्तकर धनात्मक चाहिए और अपरिमेय शून्यकों के लिए वह पूर्ण वर्ग नहीं होना चाहिए। परिमेय गुणांकों वाले द्विघात में यही मुख्य जाँच है। / For real zeroes, the discriminant must be positive, and for irrational zeroes it must not be a perfect square. This is the key check for quadratics with rational coefficients.
\(q^2=5k^2\) से \(q^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(q^2=5k^2\), \(q^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग से मूल संख्या की विभाज्यता निकालने के लिए (5) का अभाज्य होना जरूरी है। / To conclude divisibility of the original number from the square, (5) must be prime.
Step 3
Exam Tip
इसी कारण (q) (5) से विभाज्य कहा जाता है। / Therefore (q) is said to be divisible by (5).
प्रमेय का मुख्य नियम है (a=bq+r)। / The main rule is (a=bq+r).
Step 2
Why this answer is correct
शेषफल के लिए सही सीमा \(0\le r<b\) होती है, क्योंकि शेषफल शून्य भी हो सकता है। / The correct condition is \(0\le r<b\), because the remainder can also be zero.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में (0<r) देखकर सावधान रहें, क्योंकि वह शून्य शेषफल को छोड़ देता है। / Be careful with (0<r), because it excludes exact division.
यूक्लिड विभाजन प्रमेय में शेषफल (0) से शुरू हो सकता है। / In Euclid’s division lemma, the remainder may start from (0).
Step 2
Why this answer is correct
शेषफल हमेशा भाजक (21) से छोटा होगा, इसलिए \(0 \le r < 21\) सही है। / The remainder is always less than the divisor (21), so \(0 \le r < 21\) is correct.
Step 3
Exam Tip
शेषफल को कभी भी भाजक के बराबर न मानें। / Never take the remainder equal to the divisor.
यूक्लिड विभाजन प्रमेय में शेषफल हमेशा (0) से बड़ा या बराबर और भाजक से छोटा होता है। / In Euclid’s division lemma, the remainder is always greater than or equal to (0) and smaller than the divisor.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ भाजक (12) है, इसलिए \(0 \le r < 12\) होगा। / Here the divisor is (12), so \(0 \le r < 12\).
Step 3
Exam Tip
\(\le 12\) लिखना गलती है क्योंकि शेषफल भाजक के बराबर नहीं हो सकता। / Writing \(\le 12\) is wrong because the remainder cannot equal the divisor.
