Add (1) to each exponent and multiply to get total factors.
Step 2
Why this answer is correct
In option A, ((4+1)(2+1)(3+1)=5\times3\times4=60).
Step 3
Exam Tip
In option-based questions, test the exponents of each option. चरण 1: कुल गुणनखंडों के लिए घातों में (1) जोड़कर गुणा करते हैं। चरण 2: विकल्प A में ((4+1)(2+1)(3+1)=5\times3\times4=60)। चरण 3: विकल्प आधारित प्रश्नों में हर विकल्प की घातों पर यह नियम लगाएं।
A. ताकि ध्यान मुख्य संदेश पर रहे और दृश्य शोर न बने/So attention remains on main message and visual noise is avoided
Step 1
Concept
Excessive intensity can create visual noise. Exam tip: keep hierarchy in poster colour.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ताकि ध्यान मुख्य संदेश पर रहे और दृश्य शोर न बने / So attention remains on main message and visual noise is avoided. Excessive intensity can create visual noise. Exam tip: keep hierarchy in poster colour.
Step 3
Exam Tip
अत्यधिक तीव्रता दृश्य शोर बना सकती है। परीक्षा में poster colour में hierarchy रखें।
The correct answer is A. मुख्य विषय को समर्थन देना और उससे प्रतिस्पर्धा न करना / Support main subject and not compete with it. Supportive background clarifies focal point. Exam tip: write background hierarchy.
Step 3
Exam Tip
सहायक पृष्ठभूमि केंद्र बिंदु को स्पष्ट करती है। परीक्षा में background hierarchy लिखें।
A. भविष्य के युद्धों को रोकने और सामूहिक सुरक्षा को मजबूत करने के लिए/To prevent future wars and strengthen collective security
Step 1
Concept
The aim of the UN was to maintain international peace and security. For exams remember both aims and limits of the institution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. भविष्य के युद्धों को रोकने और सामूहिक सुरक्षा को मजबूत करने के लिए / To prevent future wars and strengthen collective security. The aim of the UN was to maintain international peace and security. For exams remember both aims and limits of the institution.
Step 3
Exam Tip
संयुक्त राष्ट्र का लक्ष्य अंतरराष्ट्रीय शांति और सुरक्षा बनाए रखना था। परीक्षा में संस्था के उद्देश्य और सीमाएं दोनों याद रखें।
A. सेना संचार और व्यापार को तेज करके/By speeding army movement, communication and trade
Step 1
Concept
Roman roads were useful for the army, communication and trade. Connect them with engineering and administration.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सेना संचार और व्यापार को तेज करके / By speeding army movement, communication and trade. Roman roads were useful for the army, communication and trade. Connect them with engineering and administration.
Step 3
Exam Tip
रोमन सड़कें सेना संचार और व्यापार के लिए उपयोगी थीं। परीक्षा में इन्हें अभियांत्रिकी और प्रशासन से जोड़ें।
C. उनकी स्थानीय शक्ति कम कर राज्य आय बढ़ाना/To reduce their local power and increase state revenue
Step 1
Concept
Alauddin reduced the privileges of local chiefs. Exam tip is to link it with centralized revenue policy.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. उनकी स्थानीय शक्ति कम कर राज्य आय बढ़ाना / To reduce their local power and increase state revenue. Alauddin reduced the privileges of local chiefs. Exam tip is to link it with centralized revenue policy.
Step 3
Exam Tip
अलाउद्दीन ने स्थानीय सरदारों के विशेषाधिकार घटाए। परीक्षा में इसे केंद्रीकृत राजस्व नीति से जोड़ें।
A. क्योंकि विशाल जनभागीदारी में स्थानीय गुस्सा कभी कभी हिंसा में बदल सकता था/Because in huge mass participation local anger could sometimes turn violent
Step 1
Concept
Many groups and regions joined Non-Cooperation.
Step 2
Why this answer is correct
Local experiences and anger were different.
Step 3
Exam Tip
Therefore keeping the movement fully non-violent was challenging. चरण 1: असहयोग में अनेक वर्ग और क्षेत्र जुड़े। चरण 2: स्थानीय अनुभव और गुस्सा अलग अलग था। चरण 3: इसलिए आंदोलन को पूरी तरह अहिंसक रखना चुनौतीपूर्ण था।
Expanding ((x-a)(x-b)(x-c)) gives the first form. Remember the link between zeroes and factors.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x-3-(a+b+c)x-2+(ab+bc+ca)x-abc). Expanding ((x-a)(x-b)(x-c)) gives the first form. Remember the link between zeroes and factors.
Step 3
Exam Tip
((x-a)(x-b)(x-c)) फैलाने पर पहला रूप मिलता है। शून्यकों और गुणनखंडों का संबंध याद रखें।
HCF takes the smaller exponents of common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The HCF is \(2^4\times 3^2\). Counting repetition, the total number of prime factors is (4+2=6).
Step 3
Exam Tip
First form the HCF, then add its exponents. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य गुणनखंडों के छोटे घातांक आते हैं। चरण 2: महत्तम समापवर्तक \(2^4\times 3^2\) होगा। पुनरावृत्ति सहित कुल अभाज्य गुणनखंड (4+2=6) हैं। चरण 3: पहले महत्तम समापवर्तक बनाइए, फिर घातांकों का योग लीजिए।
In an odd factor, the exponent of (2) must be (0).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (3) can be (0,1,2,3), giving (4) odd factors.
Step 3
Exam Tip
While counting odd factors, remove (2) completely. चरण 1: विषम गुणनखंड में (2) की घात (0) होनी चाहिए। चरण 2: (3) की घात (0,1,2,3) हो सकती है, इसलिए (4) विषम गुणनखंड होंगे। चरण 3: विषम गुणनखंड गिनते समय (2) को पूरी तरह हटाएं।
An even factor must have exponent of (2) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2) has (3) choices (1,2,3), (3) has (3) choices (0,1,2), and (5) has (2) choices (0,1). Total (18).
Step 3
Exam Tip
While counting even factors, do not take exponent (0) for (2). चरण 1: सम गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1,2,3) के (3) विकल्प, (3) की घात (0,1,2) के (3) विकल्प और (5) की घात (0,1) के (2) विकल्प देती है। कुल \(3 \times 3 \times 2=18\)। चरण 3: सम गुणनखंड गिनते समय (2) की घात (0) न लें।
The bases of the second number are (2,3,7), so the common primes are (2) and (3).
Step 3
Exam Tip
For common factors, choose bases present in both numbers. चरण 1: पहली संख्या के आधार (2,3,5) हैं। चरण 2: दूसरी संख्या के आधार (2,3,7) हैं, इसलिए समान अभाज्य (2) और (3) हैं। चरण 3: समान गुणनखंडों में वही आधार लें जो दोनों में हों।
In a square factor, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
For (2), choices are (0,2,4), giving (3) choices; for (3), choices are (0,2), giving (2); for (7), only (0), giving (1). Total (6).
Step 3
Exam Tip
Count even exponent choices separately. चरण 1: पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। चरण 2: (2) के लिए (0,2,4) के (3) विकल्प, (3) के लिए (0,2) के (2) विकल्प और (7) के लिए केवल (0) का (1) विकल्प है। कुल \(3 \times 2 \times 1=6\)। चरण 3: सम घातों के विकल्प अलग-अलग गिनें।
A factor divisible by (3) must have the exponent of (3) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) has (5) choices from (0) to (4), and the exponent of (3) has (3) choices (1,2,3). Total \(5 \times 3=15\).
Step 3
Exam Tip
In conditional factor counting, adjust exponent limits. चरण 1: (3) से विभाज्य गुणनखंड में (3) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात के (0) से (4) तक (5) विकल्प हैं और (3) की घात (1,2,3) के (3) विकल्प हैं। कुल \(5 \times 3=15\)। चरण 3: शर्त वाले गुणनखंडों में घात की सीमा बदलकर गिनें।
Distinct prime factors are counted from the prime bases.
Step 2
Why this answer is correct
The bases are (2,3,5), so there are (3) distinct prime factors.
Step 3
Exam Tip
Exponents are not counted as separate prime factors. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड आधार संख्याओं से गिने जाते हैं। चरण 2: यहां आधार (2,3,5) हैं, इसलिए कुल (3) अलग अभाज्य गुणनखंड हैं। चरण 3: घातों को अलग अभाज्य गुणनखंड नहीं माना जाता।
To count total factors, add (1) to each exponent and multiply.
Step 2
Why this answer is correct
\((3+1)(2+1)(1+1)=4 \times 3 \times 2=24\).
Step 3
Exam Tip
Do not forget that an unwritten exponent is (1). चरण 1: कुल गुणनखंडों की संख्या के लिए हर घात में (1) जोड़कर गुणा करें। चरण 2: \((3+1)(2+1)(1+1)=4 \times 3 \times 2=24\)। चरण 3: बिना लिखी घात को (1) मानना न भूलें।
In an odd factor, the exponent of (2) must be (0).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (3) can be (0,1,2), giving (3) odd factors.
Step 3
Exam Tip
While counting odd factors, remove (2) completely. चरण 1: विषम गुणनखंड में (2) की घात (0) होनी चाहिए। चरण 2: (3) की घात (0,1,2) हो सकती है, इसलिए (3) विषम गुणनखंड होंगे। चरण 3: विषम गुणनखंड गिनते समय (2) को पूरी तरह हटाएं।
An even factor must have exponent of (2) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) has (2) choices (1,2), while (3) has (2) choices and (5) has (2) choices. Total \(2 \times 2 \times 2=8\).
Step 3
Exam Tip
While counting even factors, do not take exponent (0) for (2). चरण 1: सम गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1,2) के (2) विकल्प, (3) की घात (0,1) के (2) विकल्प और (5) की घात (0,1) के (2) विकल्प देती है। कुल \(2 \times 2 \times 2=8\)। चरण 3: सम गुणनखंड गिनते समय (2) की घात शून्य न लें।
The bases of the second number are (2,3,7), so the common primes are (2) and (3).
Step 3
Exam Tip
For common factors, choose only bases present in both numbers. चरण 1: पहली संख्या के आधार (2,3,5) हैं। चरण 2: दूसरी संख्या के आधार (2,3,7) हैं, इसलिए समान अभाज्य (2) और (3) हैं। चरण 3: समान गुणनखंडों में केवल दोनों में मौजूद आधार चुनें।
In a square factor, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
For (2), choices are (0,2,4), so (3); for (3), choices are (0,2), so (2); for (5), only (0), so (1). Total \(3 \times 2 \times 1=6\).
Step 3
Exam Tip
Count even exponent choices separately. चरण 1: पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। चरण 2: (2) के लिए घात (0,2,4) के (3) विकल्प, (3) के लिए (0,2) के (2) विकल्प और (5) के लिए केवल (0) का (1) विकल्प है। कुल \(3 \times 2 \times 1=6\)। चरण 3: सम घातों के विकल्प अलग-अलग गिनें।
A factor divisible by (3) must have exponent of (3) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) has (6) choices from (0) to (5), and the exponent of (3) has (2) choices (1,2). Total \(6 \times 2=12\).
Step 3
Exam Tip
In condition-based questions, adjust exponent limits carefully. चरण 1: (3) से विभाज्य गुणनखंड में (3) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात के (0) से (5) तक (6) विकल्प हैं और (3) की घात (1,2) के (2) विकल्प हैं। कुल \(6 \times 2=12\)। चरण 3: शर्त वाले प्रश्न में घातों की सीमा सावधानी से बदलें।
Distinct prime factors are counted from the prime bases.
Step 2
Why this answer is correct
The bases are (2,3,7), so there are (3) distinct prime factors.
Step 3
Exam Tip
Do not count exponents as separate prime factors. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड आधार संख्याओं से गिने जाते हैं। चरण 2: यहां आधार (2,3,7) हैं, इसलिए कुल (3) अलग अभाज्य गुणनखंड हैं। चरण 3: घातों को अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड न गिनें।
While counting factors, focus on the prime exponents. चरण 1: कुल गुणनखंडों के लिए हर घात में (1) जोड़ते हैं। चरण 2: \((4+1)(2+1)=5 \times 3=15\)। चरण 3: गुणनखंडों की संख्या निकालते समय अभाज्य घातों पर ध्यान दें।
In a square factor, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
For (2), choices are (0,2), so (2) choices; for (3), choices are (0,2), so (2) choices; for (5), only (0), so (1) choice. Total \(2 \times 2 \times 1=4\).
Step 3
Exam Tip
Count even exponent choices separately. चरण 1: पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। चरण 2: (2) के लिए घात (0,2) के (2) विकल्प, (3) के लिए (0,2) के (2) विकल्प और (5) के लिए केवल (0) का (1) विकल्प है। कुल \(2 \times 2 \times 1=4\)। चरण 3: सम घातों के विकल्प अलग-अलग गिनें।
A factor divisible by (3) must have exponent of (3) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) has (3) choices (0,1,2), and exponent of (3) has (3) choices (1,2,3). Total \(3 \times 3=9\).
Step 3
Exam Tip
For conditional factors, adjust exponent choices carefully. चरण 1: (3) से विभाज्य गुणनखंड में (3) की घात कम से कम (1) होगी। चरण 2: (2) की घात के (0,1,2) यानी (3) विकल्प हैं और (3) की घात (1,2,3) यानी (3) विकल्प हैं। कुल \(3 \times 3=9\)। चरण 3: शर्त वाले गुणनखंडों में घातों की सीमा ध्यान से बदलें।
Do not forget primes with exponent (1). चरण 1: कुल गुणनखंडों के लिए हर घात में (1) जोड़ें। चरण 2: \((2+1)(1+1)(1+1)=3 \times 2 \times 2=12\)। चरण 3: घात (1) वाले अभाज्य को गिनना न भूलें।
For total factors, add (1) to each exponent and multiply.
Step 2
Why this answer is correct
\((2+1)(2+1)(1+1)=3 \times 3 \times 2=18\).
Step 3
Exam Tip
If an exponent is not shown, take it as (1). चरण 1: कुल गुणनखंडों के लिए घातों में (1) जोड़कर गुणा करें। चरण 2: \((2+1)(2+1)(1+1)=3 \times 3 \times 2=18\)। चरण 3: जिस अभाज्य पर घात न दिखे, उसकी घात (1) मानें।
Use this method when the number is in prime factorised form. चरण 1: कुल गुणनखंडों की संख्या के लिए हर घात में (1) जोड़ते हैं। चरण 2: \((3+1)(2+1)=4 \times 3=12\)। चरण 3: यह तरीका तभी लगाएं जब संख्या अभाज्य गुणनखंडन रूप में हो।
Distinct prime factors are identified by the prime bases.
Step 2
Why this answer is correct
The bases here are (2) and (3), so there are (2) distinct prime factors.
Step 3
Exam Tip
The sum of exponents and the count of distinct primes are different ideas. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड आधार संख्याओं से पहचाने जाते हैं। चरण 2: यहां आधार (2) और (3) हैं, इसलिए संख्या (2) है। चरण 3: घातों का योग अलग बात है, अलग अभाज्य गुणनखंड अलग बात है।
Since \(63=3^2 \times 7\), \(126=2 \times 3^2 \times 7\).
Step 3
Exam Tip
While counting distinct prime factors, do not count exponents as separate numbers. चरण 1: (126) को \(2 \times 63\) लिखें। चरण 2: \(63=3^2 \times 7\), इसलिए \(126=2 \times 3^2 \times 7\)। चरण 3: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड गिनते समय घातों को अलग संख्या न मानें।
In a square factor, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
For each prime, the exponent can be (0) or (2), giving (2) choices. Total \(2 \times 2 \times 2=8\).
Step 3
Exam Tip
Count even exponent choices separately and multiply. चरण 1: पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। चरण 2: प्रत्येक अभाज्य के लिए घात (0) या (2) हो सकती है, यानी (2) विकल्प। कुल \(2 \times 2 \times 2=8\)। चरण 3: सम घातों की संख्या अलग-अलग गिनकर गुणा करें।
A factor divisible by (3) must have exponent of (3) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) has (5) choices, and exponent of (3) has (1,2,3), so (3) choices; total \(5 \times 3=15\).
Step 3
Exam Tip
For conditional factor counts, adjust the exponent choices. चरण 1: (3) से विभाज्य गुणनखंड में (3) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात के (5) विकल्प हैं और (3) की घात (1,2,3) यानी (3) विकल्प हैं; कुल \(5 \times 3=15\)। दिए विकल्पों में (15) सही है। चरण 3: शर्त वाले गुणनखंडों में संबंधित अभाज्य की घात सीमा बदलती है।
The total number of factors is found by multiplying ((exponent+1)).
Step 2
Why this answer is correct
\((2+1)(3+1)(1+1)=3 \times 4 \times 2=24\).
Step 3
Exam Tip
If no exponent is written, treat it as (1). चरण 1: कुल गुणनखंडों की संख्या ((घात+1)) के गुणनफल से मिलती है। चरण 2: \((2+1)(3+1)(1+1)=3 \times 4 \times 2=24\)। चरण 3: जिस अभाज्य की घात नहीं लिखी होती, उसकी घात (1) मानें।
For a square factor, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
For \(2^3\), even choices are (0,2); for \(3^2\), (0,2); for \(5^2\), (0,2). Total \(2 \times 2 \times 2=8\).
Step 3
Exam Tip
Count only even exponent choices for square factors. चरण 1: पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। चरण 2: (2) के लिए घातें (0,2) यानी 2 विकल्प, (3) के लिए (0,2) यानी 2 विकल्प, और (5) के लिए (0,2) यानी 2 विकल्प हैं। कुल \(2 \times 2 \times 2=8\) नहीं, ध्यान दें \(2^3\) में सम घात (0,2) ही हैं, इसलिए सही संख्या 8 है। चरण 3: पूर्ण वर्ग में केवल सम घात गिनें।
Distinct prime factors are counted by their prime bases.
Step 2
Why this answer is correct
The bases are (2,3,5), so there are (3) distinct prime factors.
Step 3
Exam Tip
Do not count exponents as separate factors. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों में आधार संख्याएं गिनी जाती हैं। चरण 2: यहां आधार (2,3,5) हैं, इसलिए संख्या (3) है। चरण 3: घातों को अलग गुणनखंड मानकर गलती न करें।
In prime factorisation, add 1 to each exponent and multiply.
Step 2
Why this answer is correct
Here the number of factors is ((3+1)(2+1)(1+1)=24).
Step 3
Exam Tip
In exams, identify the exponents first and then multiply carefully. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में घातों में 1 जोड़कर गुणा करते हैं। चरण 2: यहां कुल गुणनखंड \((3+1)(2+1)(1+1)=4 \times 3 \times 2=24\) हैं। चरण 3: परीक्षा में पहले घातों को ध्यान से पहचानें, फिर जल्दी गुणा करें।
LCM takes the highest exponent of every prime factor.
Step 2
Why this answer is correct
LCM \(=2^4\times3^2\times5^3\). Total factors (=(4+1)(2+1)(3+1)=5\times3\times4=60).
Step 3
Exam Tip
After finding the LCM, apply the factor-count rule. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात लेते हैं। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times3^2\times5^3\) होगा। कुल गुणनखंड ((4+1)(2+1)(3+1)=5\times3\times4=60) होंगे। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य के बाद गुणनखंडों का नियम लगाएं।
HCF \(=2^3\times3^2\). Its number of factors is ((3+1)(2+1)=12).
Step 3
Exam Tip
First find the HCF, then count its factors. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में छोटी घातें ली जाती हैं। चरण 2: महत्तम समापवर्तक \(2^3\times3^2\) होगा। इसके गुणनखंड ((3+1)(2+1)=12) होंगे। चरण 3: पहले महत्तम समापवर्तक निकालें, फिर उसके गुणनखंड गिनें।
To be divisible by neither (2) nor (3), powers of (2) and (3) must both be (0).
Step 2
Why this answer is correct
Power of (5) can be (0,1,2), giving (3) factors.
Step 3
Exam Tip
For neither-nor conditions, set both restricted prime powers to zero. चरण 1: (2) और (3) से विभाज्य न होने के लिए (2) और (3) की घात (0) होनी चाहिए। चरण 2: (5) की घात (0,1,2) हो सकती है, इसलिए (3) गुणनखंड बनेंगे। चरण 3: न तो इससे न उससे जैसे प्रश्नों में दोनों अभाज्यों की घात शून्य रखें।
Since \(9=3^2\), power of (3) must be at least (2). Not divisible by (5) means power of (5) must be (0).
Step 2
Why this answer is correct
Choices are (4) for (2), (3) for (3), and (1) for (5). Total (=12).
Step 3
Exam Tip
Convert each condition into exponent restrictions. चरण 1: \(9=3^2\), इसलिए (3) की घात कम से कम (2) होनी चाहिए। (5) से विभाज्य नहीं होने के लिए (5) की घात (0) होगी। चरण 2: (2) की घात (0) से (3) तक (4) तरीके, (3) की घात (2,3,4) यानी (3) तरीके, और (5) की (1) तरीका। कुल \(4\times3\times1=12\)। चरण 3: दो शर्तों को अलग-अलग घातों में बदलें।
Multiply known parts first, then solve for the unknown exponent. चरण 1: कुल गुणनखंड ((3+1)(2+1)(x+1)) होंगे। चरण 2: \(4\times3\times(x+1)=96\), इसलिए (x+1=8) और (x=7)। चरण 3: पहले ज्ञात गुणनखंडों का गुणनफल निकालें।
The same rule works even when many prime factors are present. चरण 1: कुल गुणनखंडों के लिए हर घात में (1) जोड़ते हैं। चरण 2: ((2+1)(3+1)(1+1)(2+1)=3\times4\times2\times3=72)। चरण 3: अभाज्य गुणनखंड अधिक हों तो भी नियम वही रहता है।
A factor divisible by (5) must have power of (5) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
Choices are (4) for (2), (3) for (3), and (4) for (5). Total \(=4\times3\times4=48\).
Step 3
Exam Tip
Do not include zero power for the required prime. चरण 1: (5) से विभाज्य गुणनखंड में (5) की घात कम से कम (1) होगी। चरण 2: (2) के लिए (4) तरीके, (3) के लिए (3) तरीके, और (5) के लिए (1,2,3,4) यानी (4) तरीके। कुल \(4\times3\times4=48\)। चरण 3: शर्त वाले अभाज्य की शून्य घात को शामिल न करें।
A cube factor must have exponents that are multiples of (3).
Step 2
Why this answer is correct
For (2), only (0); for (3), (0) or (3); for (5), only (0). Total (=2).
Step 3
Exam Tip
Remember that (0) is also a multiple of (3). चरण 1: पूर्ण घन गुणनखंड में हर अभाज्य घात (3) की गुणज होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात केवल (0), (3) की घात (0) या (3), और (5) की घात केवल (0) हो सकती है। कुल \(1\times2\times1=2\)। चरण 3: घन गुणनखंडों में (0) भी (3) की गुणज माना जाता है।
A square factor must have even exponents for every prime.
Step 2
Why this answer is correct
For (2), choices are (0,2); for (3), choices are (0,2); for (5), only (0). Total \(=2\times2\times1=4\).
Step 3
Exam Tip
Count only even exponent choices for square factors. चरण 1: पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य घात सम होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात (0,2) यानी (2) तरीके; (3) की घात (0,2) यानी (2) तरीके; (5) की घात केवल (0) यानी (1) तरीका। कुल \(2\times2\times1=4\)। चरण 3: वर्ग गुणनखंड गिनते समय केवल सम घातें लें।
Divide the given factor count by the known parts first. चरण 1: कुल गुणनखंड ((x+1)(2+1)(4+1)) होंगे। चरण 2: ((x+1)\times3\times5=45), इसलिए (x+1=3) और (x=2)। चरण 3: दिए गए कुल गुणनखंड को पहले ज्ञात भागों से भाग दें।
For (a=2,\ b=5), we get ((3)(6)=18). The other options do not give (18).
Step 3
Exam Tip
In option-based questions, substitute values into the rule quickly. चरण 1: कुल गुणनखंड ((a+1)(b+1)) होंगे। चरण 2: (a=2,\ b=5) रखने पर ((3)(6)=18) मिलता है। बाकी विकल्प (18) नहीं देते। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में विकल्पों को नियम में रखकर जल्दी जांचें।
Power of (2) has (2) choices, (1) or (2); each of (3,5,7) has (2) choices. Total (=16).
Step 3
Exam Tip
For even factors, exclude the case \(2^0\). चरण 1: सम गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1,2) यानी (2) तरीके; (3,5,7) प्रत्येक के लिए (2) तरीके। कुल \(2\times2\times2\times2=16\)। चरण 3: सम गुणनखंड गिनते समय \(2^0\) वाला मामला छोड़ दें।
Write the factor-count formula first, then solve the simple equation. चरण 1: कुल गुणनखंड ((r+1)(2+1)) होंगे। चरण 2: ((r+1)\times3=15), इसलिए (r+1=5) और (r=4)। चरण 3: पहले कुल गुणनखंड का नियम लिखें, फिर साधारण समीकरण हल करें।
Since \(10=2\times5\), the factor must contain at least one (2) and one (5).
Step 2
Why this answer is correct
Powers of (2): (1,2,3) give (3) choices; powers of (3): (0,1,2) give (3) choices; powers of (5): (1,2) give (2) choices. Total (=18).
Step 3
Exam Tip
For divisibility, check the required minimum prime powers. चरण 1: \(10=2\times5\), इसलिए गुणनखंड में (2) और (5) दोनों कम से कम एक बार होने चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1,2,3) यानी (3) तरीके; (3) की घात (0,1,2) यानी (3) तरीके; (5) की घात (1,2) यानी (2) तरीके। कुल \(3\times3\times2=18\)। चरण 3: किसी संख्या से विभाज्यता में उसके अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात देखें।
Power of (2) is only (0); power of (3) has (3) choices and power of (5) has (2) choices. Total \(=3\times2=6\).
Step 3
Exam Tip
When counting odd factors, ignore the power choices of (2) except zero. चरण 1: विषम गुणनखंड में (2) का कोई गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 2: इसलिए (2) की घात केवल (0) होगी; (3) की घात (0,1,2) यानी (3) तरीके और (5) की घात (0,1) यानी (2) तरीके। कुल \(3\times2=6\)। चरण 3: विषम गुणनखंड गिनते समय (2) को हटा दें।
A factor divisible by (2) must contain \(2^1\) at least.
Step 2
Why this answer is correct
Powers of (2) can be (1,2,3), giving (3) choices; powers of (3) give (3) choices; (5) and (7) give (2) choices each. Total \(=3\times3\times2\times2=36\).
Step 3
Exam Tip
For conditional factors, adjust only the restricted prime exponent. चरण 1: (2) से विभाज्य गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1,2,3) यानी (3) तरीके; (3) के लिए (3) तरीके; (5) और (7) के लिए (2-2) तरीके। कुल \(3\times3\times2\times2=36\)। चरण 3: शर्त वाले गुणनखंडों में उस अभाज्य की घात की सीमा ध्यान से बदलें।
For an unknown exponent, apply the factor-count rule directly. चरण 1: कुल गुणनखंड ((a+1)(2+1)(1+1)) होंगे। चरण 2: ((a+1)\times3\times2=24), इसलिए (a+1=4) और (a=3)। चरण 3: अज्ञात घात वाले प्रश्न में गुणनखंडों का नियम सीधे लगाएं।
For prime factorisation \(p^a q^b r^c\), total factors are ((a+1)(b+1)(c+1)).
Step 2
Why this answer is correct
Here the powers are (3,2,1), so factors (=(4)(3)(2)=24).
Step 3
Exam Tip
In exams, always add (1) to each exponent before multiplying. चरण 1: किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंड \(p^a q^b r^c\) हों, तो कुल गुणनखंड ((a+1)(b+1)(c+1)) होते हैं। चरण 2: यहां घातें (3,2,1) हैं, इसलिए संख्या ((3+1)(2+1)(1+1)=24) होगी। चरण 3: परीक्षा में घातों में (1) जोड़ना न भूलें।
Remember the difference between the number of distinct bases and the count with repetition. चरण 1: दोहराव सहित गिनती में घातों को जोड़ा जाता है। चरण 2: (6+4+3+2=15)। चरण 3: अलग-अलग आधारों की संख्या और दोहराव सहित संख्या में अंतर याद रखें।
For distinct prime factors, exponents are not added.
Step 2
Why this answer is correct
The bases are 2, 3, 5, 7, and 11.
Step 3
Exam Tip
Therefore, there are 5 distinct prime factors. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों में घातों को नहीं जोड़ा जाता। चरण 2: आधार 2, 3, 5, 7 और 11 हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड 5 हैं।
Keep the difference between distinct prime count and repeated prime count clear. चरण 1: दोहराव सहित गिनने के लिए घातों को जोड़ते हैं। चरण 2: (4+2+2+2=10)। चरण 3: अलग-अलग अभाज्य गिनने और दोहराव सहित गिनने में अंतर रखें।
4, 81, 567, 12, and 189 are composite, so they are not final forms. चरण 1: अंतिम अभाज्य रूप में आधार अभाज्य होने चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में 2, 3 और 7 अभाज्य आधार हैं। चरण 3: 4, 81, 567, 12 और 189 संयुक्त हैं, इसलिए वे अंतिम रूप नहीं हैं।
In the first option, bases 2, 3, and 11 are prime.
Step 3
Exam Tip
16, 9, 99, and 18 are composite, so they are not final forms. चरण 1: अंतिम रूप में आधार केवल अभाज्य होने चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में आधार 2, 3 और 11 अभाज्य हैं। चरण 3: 16, 9, 99 और 18 संयुक्त हैं, इसलिए वे अंतिम रूप नहीं हैं।
In the first option, bases 2, 3, 5, and 7 are prime.
Step 3
Exam Tip
8, 9, 35, and 4 are composite, so the other forms are not final. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में आधार अभाज्य होने चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में आधार 2, 3, 5 और 7 अभाज्य हैं। चरण 3: 8, 9, 35 और 4 संयुक्त हैं, इसलिए बाकी रूप अंतिम नहीं हैं।
In final prime factorisation, every factor must be prime.
Step 2
Why this answer is correct
2, 3, 5, 7, and 11 are prime.
Step 3
Exam Tip
6, 21, 35, and 33 are composite, so they cannot remain in final form. चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में हर गुणनखंड अभाज्य होना चाहिए। चरण 2: 2, 3, 5, 7 और 11 अभाज्य हैं। चरण 3: 6, 21, 35 और 33 संयुक्त हैं, इसलिए वे अंतिम रूप में नहीं रह सकते।
In final prime factorisation, every factor must be prime.
Step 2
Why this answer is correct
2, 3, 7, and 11 are all prime.
Step 3
Exam Tip
6, 21, and 33 are composite, so they cannot remain in final form. चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में हर गुणनखंड अभाज्य होना चाहिए। चरण 2: 2, 3, 7 और 11 सभी अभाज्य हैं। चरण 3: 6, 21 और 33 संयुक्त हैं, इसलिए वे अंतिम रूप में नहीं रह सकते।
In prime factorisation, every factor must be prime.
Step 2
Why this answer is correct
2, 3, and 5 are prime.
Step 3
Exam Tip
4, 6, and 10 are composite, so they cannot remain in the final prime form. चरण 1: अभाज्य गुणनखंड में हर संख्या अभाज्य होनी चाहिए। चरण 2: 2, 3 और 5 अभाज्य हैं। चरण 3: 4, 6 और 10 संयुक्त हैं, इसलिए वे अंतिम अभाज्य रूप में नहीं रह सकते।
Total (9+7+6+2=24), so the answer is 24. चरण 1: दोहराव सहित गिनने के लिए घातों को जोड़ते हैं। चरण 2: \(2^9\) से 9, \(3^7\) से 7, \(5^6\) से 6 और \(17^2\) से 2 गुणनखंड मिलते हैं। चरण 3: कुल (9+7+6+2=24), इसलिए उत्तर 24 है।
Total (8+6+5+2=21), so the answer is 21. चरण 1: दोहराव सहित गिनने के लिए घातों को जोड़ते हैं। चरण 2: \(2^8\) से 8, \(3^6\) से 6, \(5^5\) से 5 और \(13^2\) से 2 गुणनखंड मिलते हैं। चरण 3: कुल (8+6+5+2=21), इसलिए उत्तर 21 है।
The distinct prime factors are 3, 5, 7, 11, and 13. चरण 1: \(45045=3465\times13\) लिखें। चरण 2: \(3465=3^2\times5\times7\times11\)। चरण 3: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड 3, 5, 7, 11 और 13 हैं।
Total (7+5+4+1=17), so the answer is 17. चरण 1: दोहराव सहित गिनने के लिए घातों को जोड़ते हैं। चरण 2: \(2^7\) से 7, \(3^5\) से 5, \(5^4\) से 4 और 11 से 1 गुणनखंड मिलता है। चरण 3: कुल (7+5+4+1=17), इसलिए उत्तर 17 है।
Therefore, the distinct prime factors are 2, 3, 5, 7, 11, and 13. चरण 1: \(30030=2310\times13\) लिखें। चरण 2: \(2310=2\times3\times5\times7\times11\)। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड 2, 3, 5, 7, 11 और 13 हैं।
When counting distinct prime factors, do not add exponents.
Step 2
Why this answer is correct
The prime factors here are 2, 3, and 11.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the number of distinct prime factors is 3. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड गिनते समय घातों को नहीं जोड़ते। चरण 2: यहां अभाज्य गुणनखंड 2, 3 और 11 हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों की संख्या 3 है।
Total (6+4+3+1=14), so the answer is 14. चरण 1: दोहराव सहित गिनने के लिए घातों को जोड़ते हैं। चरण 2: \(2^6\) से 6, \(3^4\) से 4, \(5^3\) से 3 और 7 से 1 गुणनखंड मिलता है। चरण 3: कुल (6+4+3+1=14), इसलिए उत्तर 14 है।
The distinct prime factors are 2, 3, 5, 7, and 11. चरण 1: \(2310=231\times10\) लिखें। चरण 2: \(231=3\times7\times11\) और \(10=2\times5\)। चरण 3: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड 2, 3, 5, 7 और 11 हैं।
When counting distinct prime factors, do not add exponents.
Step 2
Why this answer is correct
The prime factors here are 2, 3, and 7.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the number of distinct prime factors is 3. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड गिनते समय घातों को नहीं जोड़ते। चरण 2: यहां अभाज्य गुणनखंड 2, 3 और 7 हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों की संख्या 3 है।
Total (4+3+2=9), so the answer is 9. चरण 1: दोहराव सहित गिनने के लिए घातों को जोड़ते हैं। चरण 2: \(2^4\) से 4, \(3^3\) से 3 और \(5^2\) से 2 गुणनखंड मिलते हैं। चरण 3: कुल (4+3+2=9), इसलिए उत्तर 9 है।
\(105=3\times5\times7\), so \(1365=3\times5\times7\times13\).
Step 3
Exam Tip
The distinct prime factors are 3, 5, 7, and 13. चरण 1: \(1365=105\times13\) लिखें। चरण 2: \(105=3\times5\times7\), इसलिए \(1365=3\times5\times7\times13\)। चरण 3: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड 3, 5, 7 और 13 हैं।
Total (3+2+2=7), so the answer is 7. चरण 1: दोहराव सहित कुल संख्या के लिए घातों को जोड़ें। चरण 2: \(2^3\) से 3, \(3^2\) से 2 और \(7^2\) से 2 गुणनखंड मिलते हैं। चरण 3: कुल (3+2+2=7), इसलिए उत्तर 7 है।
Total (5+3+1=9), so the answer is 9. चरण 1: दोहराव सहित गिनने के लिए घातों को जोड़ते हैं। चरण 2: \(2^5\) से 5, \(3^3\) से 3 और (7) से 1 गुणनखंड मिलता है। चरण 3: कुल (5+3+1=9), इसलिए उत्तर 9 है।
Count 2 and 3 only once each despite their powers. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड देखें, घातें नहीं। चरण 2: (m) में 2, 3, 7 और 11 चार अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड हैं। चरण 3: \(2^3\) और \(3^2\) में 2 और 3 को एक-एक बार गिनें।
\(105=3\times5\times7\), so \(1155=3\times5\times7\times11\).
Step 3
Exam Tip
The distinct prime factors are 3, 5, 7, and 11. चरण 1: \(1155=105\times11\) लिखें। चरण 2: \(105=3\times5\times7\), इसलिए \(1155=3\times5\times7\times11\)। चरण 3: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड 3, 5, 7 और 11 हैं।
Total (2+3+1=6), so the answer is 6. चरण 1: दोहराव सहित कुल संख्या के लिए घातों को जोड़ें। चरण 2: \(2^2\) से 2, \(3^3\) से 3 और (5) से 1 गुणनखंड मिलते हैं। चरण 3: कुल (2+3+1=6), इसलिए उत्तर 6 है।
Total (4+2+1=7), so the answer is 7. चरण 1: दोहराव गिनने पर घातों को जोड़ते हैं। चरण 2: \(2^4\) से 4 गुणनखंड, \(3^2\) से 2 गुणनखंड और (5) से 1 गुणनखंड मिलता है। चरण 3: कुल (4+2+1=7), इसलिए उत्तर 7 है।
In (m), the distinct prime factors are 2, 3, and 5.
Step 3
Exam Tip
In \(2^4\), count 2 only once in the distinct list. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड देखें, घातों को नहीं। चरण 2: (m) में 2, 3 और 5 तीन अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड हैं। चरण 3: \(2^4\) में 2 को अलग सूची में एक बार ही गिनें।
The distinct prime factors are 3, 7, and 11. चरण 1: \(231=21\times11\) लिखें। चरण 2: \(21=3\times7\), इसलिए \(231=3\times7\times11\)। चरण 3: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड 3, 7 और 11 हैं।
\(4=2^2\) and 31 is prime, so \(124=2^2\times31\).
Step 3
Exam Tip
The distinct prime factors are 2 and 31. चरण 1: \(124=4\times31\) लिखें। चरण 2: \(4=2^2\) और 31 अभाज्य है, इसलिए \(124=2^2\times31\)। चरण 3: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड 2 और 31 हैं।
In \(180=2^2\times3^2\times5\), the distinct primes are 2, 3, and 5.
Step 3
Exam Tip
Even with a higher power, count the same prime once. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड देखें, उनकी घात नहीं। चरण 2: \(180=2^2\times3^2\times5\) में अलग-अलग अभाज्य 2, 3 और 5 हैं। चरण 3: घात बड़ी हो तब भी उसी अभाज्य को एक बार गिनें।
Changing the order in multiplication does not change the product.
Step 2
Why this answer is correct
\(2\times5\times3\) and \(3\times2\times5\) both give 30.
Step 3
Exam Tip
In prime factorisation, the set of factors matters, not the order. चरण 1: गुणा में क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलता। चरण 2: \(2\times5\times3\) और \(3\times2\times5\) दोनों 30 देते हैं। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन में गुणनखंडों का समूह महत्वपूर्ण है, क्रम नहीं।
\(99=9\times11=3^2\times11\), so the distinct prime factors are 2, 3, and 11.
Step 3
Exam Tip
Write repeated 3 only once in the distinct list. चरण 1: \(198=2\times99\) लिखें। चरण 2: \(99=9\times11=3^2\times11\), इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड 2, 3 और 11 हैं। चरण 3: दोहराए गए 3 को अलग सूची में एक बार ही लिखें।
The distinct prime factors are 2 and 11. चरण 1: \(88=8\times11\) लिखें। चरण 2: \(8=2^3\), इसलिए \(88=2^3\times11\)। चरण 3: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड 2 और 11 हैं।
In \(168=2^3\times3\times7\), the distinct primes are 2, 3, and 7.
Step 3
Exam Tip
Even if a power is large, count that prime once in the distinct list. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड देखें, उनकी घात नहीं। चरण 2: \(168=2^3\times3\times7\) में अलग-अलग अभाज्य 2, 3 और 7 हैं। चरण 3: घात बड़ी होने पर भी उस अभाज्य को अलग सूची में एक बार गिनें।
Changing the order in multiplication does not change the product.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(2\times3\times5\) and \(5\times3\times2\) both give 30.
Step 3
Exam Tip
In prime factorisation, the factors matter, not their order. चरण 1: गुणा में क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलता। चरण 2: जैसे \(2\times3\times5\) और \(5\times3\times2\) दोनों 30 देते हैं। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन में क्रम महत्वपूर्ण नहीं, गुणनखंड महत्वपूर्ण हैं।
\(15=3\times5\) and \(10=2\times5\), so the distinct prime factors are 2, 3, and 5.
Step 3
Exam Tip
Write a repeated factor only once in a distinct list. चरण 1: \(150=15\times10\) लिखें। चरण 2: \(15=3\times5\) और \(10=2\times5\), इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड 2, 3 और 5 हैं। चरण 3: दोहराए गए गुणनखंड को अलग-अलग सूची में एक बार ही लिखें।
The distinct prime factors are 2 and 7. चरण 1: \(56=8\times7\) लिखें। चरण 2: \(8=2^3\), इसलिए \(56=2^3\times7\)। चरण 3: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड 2 और 7 हैं।
In \(72=2^3\times3^2\), the distinct primes are 2 and 3.
Step 3
Exam Tip
The number of distinct prime factors and total prime factors are different. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों को देखें, घातों को नहीं गिनें। चरण 2: \(72=2^3\times3^2\) में अलग-अलग अभाज्य 2 और 3 हैं। चरण 3: अलग-अलग गुणनखंडों की संख्या और कुल गुणनखंडों की संख्या अलग होती है।
Ladakh is a dry cold plateau due to altitude and rain shadow. For exams, remember it as a Trans-Himalayan cold desert.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. ऊंचाई और वर्षाछाया / Altitude and rain shadow. Ladakh is a dry cold plateau due to altitude and rain shadow. For exams, remember it as a Trans-Himalayan cold desert.
Step 3
Exam Tip
लद्दाख ऊंचाई और वर्षाछाया के कारण शुष्क ठंडा पठार है। परीक्षा में इसे ट्रांस-हिमालयी ठंडा मरुस्थल याद रखें।
B. आकार रंग मान और स्थान/Shape colour value and space
Step 1
Concept
Shape colour value and space change visual weight. Exam tip: connect balance with visual weight.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. आकार रंग मान और स्थान / Shape colour value and space. Shape colour value and space change visual weight. Exam tip: connect balance with visual weight.
Step 3
Exam Tip
आकार रंग मान और स्थान दृश्य भार बदलते हैं। परीक्षा में balance को visual weight से जोड़ें।
(11+(-5)=6) and \(11\times(-5)=-55\), so ((x+11)(x-5)) is correct. In exams, keep one sign positive and one negative.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((x+11)(x-5)). (11+(-5)=6) and \(11\times(-5)=-55\), so ((x+11)(x-5)) is correct. In exams, keep one sign positive and one negative.
Step 3
Exam Tip
(11+(-5)=6) और \(11\times(-5)=-55\), इसलिए ((x+11)(x-5)) सही है। परीक्षा में एक चिन्ह धनात्मक और एक ऋणात्मक रखें।
