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वास्तविक शून्यक केवल (x)-अक्ष कटान से गिने जाते हैं। टिप: (y)-अक्ष कटान को शून्यक में न जोड़ें। / Real zeroes are counted only from (x)-axis intersections. Tip: do not add the (y)-axis intercept to zeroes.
जड़ों का योग (4) और गुणनफल (-1) है। \(समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) से उत्तर मिलता है। \(/ The sum of roots is (4) and the product is (-1). Use (x^2-(\)sum)x+product\(=0) to get the answer.\)
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत \(x=\frac{1+7}{2}=4\) से गुजरता है। टिप: परवलय में दो शून्यकों का मध्य उपयोगी है। / The axis of symmetry passes through the average \(x=\frac{1+7}{2}=4\). Tip: the middle of two zeroes is useful in a parabola.
सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है, \(\frac{-2+6}{2}=2\)। टिप: परवलय में दो शून्यकों का औसत उपयोगी होता है। / The axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes, \(\frac{-2+6}{2}=2\). Tip: the average of two zeroes is useful for a parabola.
A. (x)-अक्ष पर (p(x)=0) होता है/On the (x)-axis (p(x)=0)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक तभी मिलता है जब आलेख (x)-अक्ष पर हो। टिप: (y=0) को हमेशा पहचानें। / A zero is obtained only when the graph lies on the (x)-axis. Tip: always identify (y=0).
व्युत्क्रम जड़ों का गुणनफल (1) होता है। समीकरण \(x^2-\frac{5}{2}x+1=0\) को (2) से गुणा करने पर \(2x^2-5x+2=0\) मिलता है। / Reciprocal roots have product (1). Multiplying \(x^2-\frac{5}{2}x+1=0\) by (2) gives \(2x^2-5x+2=0\).
\(जड़ों का समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। इसलिए \(x^2-7x+10=0\) सही है। \(/ The equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Hence (x^2-7x+10=0) is correct.\)
मॉनिक समीकरण \(x^2-x-6=0\) है। \(x^2\) का गुणांक (2) चाहिए, इसलिए पूरे समीकरण को (2) से गुणा करें। / The monic equation is \(x^2-x-6=0\). Since the coefficient of \(x^2\) must be (2), multiply the whole equation by (2).
द्विघात समीकरण ax-2+bx+c=0 का भेदक \(D=b^2-4ac\) होता है। यदि \(D<0\), तो समीकरण के वास्तविक संख्या में कोई मूल नहीं होते; इसके स्थान पर दो संयुक्त जटिल (complex conjugate) मूल होते हैं। निकटतम भ्रामक विकल्प C (2) तब सही होता है जब \(D>0\) — तब दो अलग वास्तविक मूल मिलते हैं। परिक्षा टिप: पहले भेदक की गणना करें; उसके साइन से तुरंत वास्तविक मूलों की संख्या पता चल जाती है (D>0 → 2, D=0 → 1, D<0 → 0)। / For a quadratic ax-2+bx+c=0 the discriminant is \(D=b^2-4ac\). If \(D<0\), there are no real roots; instead the equation has two complex conjugate roots. The closest distractor C (2) would be correct only when \(D>0\), which gives two distinct real roots; when \(D=0\) there is one repeated real root. Exam tip: compute the discriminant first — its sign immediately tells you the number of real roots (D>0 → 2, D=0 → 1, D<0 → 0).
दोनों मूल (5) हों तो समीकरण ((x-5)2=0) होगा। इसे खोलने पर \(x^2-10x+25=0\) मिलता है। / If both roots are (5), the equation is ((x-5)2=0). Expanding it gives \(x^2-10x+25=0\).
दोनों मूल (-4) हों तो समीकरण ((x+4)2=0) होगा। इसे खोलने पर \(x^2+8x+16=0\) मिलता है। / If both roots are (-4), the equation is ((x+4)2=0). Expanding it gives \(x^2+8x+16=0\).
दोनों मूल (7) होने पर ((x-7)2=0) मिलता है जो \(x^2-14x+49=0\) है। दोहराए मूल से पूर्ण वर्ग बनाएं। / With both roots (7) we get ((x-7)2=0) which is \(x^2-14x+49=0\). Form a perfect square from repeated roots.
A. कंकाली समीकरण में परमाणु बराबर नहीं हो सकते पर संतुलित समीकरण में बराबर होते हैं/Atoms may not be equal in a skeletal equation but are equal in a balanced equation
Step 1
Concept
कंकाली समीकरण केवल सूत्रों का ढांचा देता है। / A skeletal equation gives only the formula framework.
Step 2
Why this answer is correct
संतुलित समीकरण में हर तत्व के परमाणु दोनों ओर बराबर होते हैं। / A balanced equation has equal atoms of each element on both sides.
Step 3
Exam Tip
इसलिए संतुलन इसे पूर्ण बनाता है। / Therefore balancing makes it complete.
रोम बर्लिन धुरी ने द्वितीय विश्व युद्ध से पहले आक्रामक शक्तियों के गठबंधन को मजबूत किया। परीक्षा में इसे धुरी शक्तियों से जोड़ें। / The Rome Berlin Axis strengthened the alliance of aggressive powers before World War II. For exams connect it with the Axis powers.
A. इटली और जर्मनी के बीच बढ़ता राजनीतिक सहयोग/Growing political cooperation between Italy and Germany
Explanation
Simple Explanation
रोम बर्लिन धुरी ने फासीवादी शक्तियों की नजदीकी दिखाई। परीक्षा में धुरी शक्तियों के बनने की प्रक्रिया याद रखें। / The Rome-Berlin Axis showed closeness between fascist powers. For exams remember the process of Axis formation.
दोनों अक्ष ( (0,0) ) पर मिलते हैं। ग्राफ पढ़ते समय मूलबिंदु से निर्देशांक गिनना आसान होता है। / Both axes meet at ( (0,0) ). While reading a graph, it is easy to count coordinates from the origin.
ऐसी रेखा कभी (x)-अक्ष से नहीं मिलती इसलिए कोई शून्यक नहीं होता। ग्राफ से पहले प्रतिच्छेद देखें। / Such a line never meets the (x)-axis so it has no zero. First check the intercept from the graph.
A. (22) को (10) करना होगा/(22) must be changed to (10)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-10) के साथ (10) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (10) is needed with (-10). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,25)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,25)) does not show a zero.
मूल बिंदु (x)-अक्ष पर भी है और (x=-9) भी (x)-अक्ष कटान है। टिप: ((0,0)) को शून्यक (0) के रूप में गिनें। / The origin is also on the (x)-axis, and (x=-9) is another (x)-axis intersection. Tip: count ((0,0)) as zero (0).
A. (18) को (8) करना होगा/(18) must be changed to (8)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-8) के साथ (8) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (8) is needed with (-8). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,-20)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,-20)) does not show a zero.
मूल बिंदु (x)-अक्ष पर भी है और (x=6) भी (x)-अक्ष कटान है। टिप: ((0,0)) को शून्यक (0) के रूप में गिनें। / The origin is also on the (x)-axis, and (x=6) is another (x)-axis intersection. Tip: count ((0,0)) as zero (0).
A. (14) को (6) करना होगा/(14) must be changed to (6)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-6) के साथ (6) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (6) is needed with (-6). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,18)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,18)) does not show a zero.
A. (10) को (4) करना होगा/(10) must be changed to (4)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-4) के साथ (4) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (4) is needed with (-4). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,-15)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,-15)) does not show a zero.
A. (9) को (3) करना होगा/(9) must be changed to (3)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-3) के साथ (3) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (3) is needed with (-3). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,12)) शून्यक नहीं है। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,12)) is not a zero.
B. शून्यक (y)-अक्ष से समान दूरी पर हैं/The zeroes are equally distant from the (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
(-5) और (5) (y)-अक्ष से बराबर दूरी पर हैं। टिप: विपरीत शून्यक सममित स्थिति दिखाते हैं। / (-5) and (5) are equally distant from the (y)-axis. Tip: opposite zeroes show symmetric positions.
आलेख (x)-अक्ष से नहीं मिलता इसलिए कोई वास्तविक शून्यक नहीं है। टिप: शीर्ष की स्थिति से भी कटान का अंदाजा लग सकता है। / The graph does not meet the (x)-axis, so there is no real zero. Tip: the vertex position can help judge intersections.
(y)-अक्ष कटान शून्यक नहीं देता, क्योंकि (p(x)=0) नहीं है। टिप: शून्यक के लिए (x)-अक्ष से मिलना जरूरी है। / A (y)-axis intercept does not give a zero because (p(x)\neq0). Tip: meeting the (x)-axis is necessary for a zero.
शून्यक (x)-अक्ष से मिलने पर मिलते हैं, (y)-अक्ष से नहीं। इसलिए (x)-अक्ष से कटाव न होने पर वास्तविक शून्यक (0) होंगे। / Zeroes are found from intersections with the (x)-axis, not the (y)-axis. So if there is no (x)-axis intersection, there are (0) real zeroes.
मूल (4) और (9) हों तो ((x-4)(x-9)=0), यानी \(x^2-13x+36=0\) है। परीक्षा में मूलों के विपरीत चिन्ह से गुणनखंड बनाएं। / If roots are (4) and (9), then ((x-4)(x-9)=0), that is \(x^2-13x+36=0\). In exams, form factors with opposite signs of roots.
मूल (3) और (7) हों तो ((x-3)(x-7)=0), यानी \(x^2-10x+21=0\) है। परीक्षा में मूलों के विपरीत चिन्ह से गुणनखंड बनाएं। / If roots are (3) and (7), then ((x-3)(x-7)=0), that is \(x^2-10x+21=0\). In exams, form factors with opposite signs of roots.
मूल (2) और (5) हों तो समीकरण ((x-2)(x-5)=0) यानी \(x^2-7x+10=0\) है। परीक्षा में मूलों के विपरीत चिन्ह से गुणनखंड बनाएं। / If the roots are (2) and (5), the equation is ((x-2)(x-5)=0), that is \(x^2-7x+10=0\). In exams, form factors with opposite signs of roots.
मूल जड़ें (3) और (4) हैं। नई जड़ें (9) और (11) हैं, इसलिए समीकरण \(x^2-20x+99=0\) है। / The original roots are (3) and (4). The new roots are (9) and (11), so the equation is \(x^2-20x+99=0\).
\(\alpha+\beta=5\) और \(\alpha\beta=6\) हैं। नई जड़ें (5) और (6) हैं, इसलिए समीकरण \(x^2-11x+30=0\) है। / Here \(\alpha+\beta=5\) and \(\alpha\beta=6\). The new roots are (5) and (6), so the equation is \(x^2-11x+30=0\).
मूल जड़ें (2) और (7) हैं। नई जड़ें (-1) और (4) होंगी, इसलिए समीकरण \(x^2-3x-4=0\) है। / The original roots are (2) and (7). The new roots are (-1) and (4), so the equation is \(x^2-3x-4=0\).
मूल जड़ें (1) और (5) हैं, इसलिए नई जड़ें (1) और (13) हैं। उनका समीकरण \(x^2-14x+13=0\) है। / The original roots are (1) and (5), so the new roots are (1) and (13). Their equation is \(x^2-14x+13=0\).
जड़ों का योग \(\frac{5}{4}\) और गुणनफल \(\frac{3}{8}\) है। समीकरण \(x^2-\frac{5}{4}x+\frac{3}{8}=0\) को (8) से गुणा करें। / The sum is \(\frac{5}{4}\) and the product is \(\frac{3}{8}\). Multiply \(x^2-\frac{5}{4}x+\frac{3}{8}=0\) by (8).
\(\alpha+\beta=3\) और \(\alpha\beta=-2\) है। इसलिए \(\alpha^2+\beta^2=13\) और \(\alpha^2\beta^2=4\), अतः समीकरण \(x^2-13x+4=0\) है। / Here \(\alpha+\beta=3\) and \(\alpha\beta=-2\). Thus \(\alpha^2+\beta^2=13\) and \(\alpha^2\beta^2=4\), so the equation is \(x^2-13x+4=0\).
मूल जड़ें (2) और (3) हैं, इसलिए नई जड़ें (3) और (4) होंगी। उनका समीकरण \(x^2-7x+12=0\) है। / The original roots are (2) and (3), so the new roots are (3) and (4). Their equation is \(x^2-7x+12=0\).
यहाँ \(\alpha+\beta=\frac{10}{3}\) और \(\alpha\beta=1\) है। व्युत्क्रम जड़ों का योग \(\frac{10}{3}\) और गुणनफल (1) ही रहता है। / Here \(\alpha+\beta=\frac{10}{3}\) and \(\alpha\beta=1\). The reciprocal roots also have sum \(\frac{10}{3}\) and product (1).
पुराने योग (7) और गुणनफल (10) हैं। उलटे मूलों का योग \(\frac{7}{10}\) और गुणनफल \(\frac{1}{10}\) होगा। / The old sum is (7) and product is (10). The reciprocal roots have sum \(\frac{7}{10}\) and product \(\frac{1}{10}\).
पुराने योग (4) और गुणनफल (3) हैं। नए योग (12) और गुणनफल (27) होंगे इसलिए \(x^2-12x+27=0\) है। / The old sum is (4) and product is (3). The new sum is (12) and product is (27), so the equation is \(x^2-12x+27=0\).
पुराने योग (5) और गुणनफल (6) हैं। उलटे मूलों का योग \(\frac{5}{6}\) और गुणनफल \(\frac{1}{6}\) होगा। / The old sum is (5) and product is (6). The reciprocal roots have sum \(\frac{5}{6}\) and product \(\frac{1}{6}\).
पुराने योग (3) और गुणनफल (2) हैं। नए योग (6) और गुणनफल (8) होंगे इसलिए \(x^2-6x+8=0\) है। / The old sum is (3) and product is (2). The new sum is (6) and product is (8), so the equation is \(x^2-6x+8=0\).
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) में मान रखने पर \(2x^2-7x+3=0\) मिलता है। (b) का ऋण चिन्ह साथ रखें। / Substituting in \(ax^2+bx+c=0\) gives \(2x^2-7x+3=0\). Keep the negative sign of (b).
A. कंकाली समीकरण में परमाणु असमान हो सकते हैं पर संतुलित समीकरण में समान होते हैं/Atoms may be unequal in a skeletal equation but equal in a balanced equation
Step 1
Concept
कंकाली समीकरण सूत्रों का ढांचा देता है। / A skeletal equation gives a framework of formulae.
Step 2
Why this answer is correct
इसमें परमाणुओं की संख्या बराबर न हो सकती है। / Atom numbers may not be equal in it.
Step 3
Exam Tip
संतुलित समीकरण में सभी तत्व दोनों ओर बराबर होते हैं। / In a balanced equation all elements are equal on both sides.
A. दो वास्तविक और समान ((D=0))/Two real and equal ((D=0))
Explanation
Simple Explanation
केवल स्पर्श करने का अर्थ है एक ही (x)-अवरोध। इसलिए (D=0) और मूल समान होते हैं। / Only touching means one (x)-intercept. Therefore (D=0) and roots are equal.
समान वास्तविक जड़ों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होता है। इसलिए \(b^2=4ac\) सही संबंध है। / For equal real roots, the discriminant \(D=b^2-4ac=0\). Therefore \(b^2=4ac\) is the correct relation.
पुराने मूल (8) और (-2) हैं। नए मूल (9) और (-1) होंगे इसलिए समीकरण \(x^2-8x-9=0\) है। / The old roots are (8) and (-2). The new roots are (9) and (-1), so the equation is \(x^2-8x-9=0\).
पुराने मूल (6) और (-2) हैं। नए मूल (7) और (-1) होंगे इसलिए समीकरण \(x^2-6x-7=0\) नहीं बल्कि \(x^2-6x-7=0\) होता है। / The old roots are (6) and (-2). The new roots are (7) and (-1), so the equation is \(x^2-6x-7=0\).
मोनिक समीकरण (x-2-\(\alpha+\beta\)x+\alpha\beta=0) होता है। इसलिए \(x^2+7x-18=0\) सही है। / The monic equation is (x-2-\(\alpha+\beta\)x+\alpha\beta=0). Therefore \(x^2+7x-18=0\) is correct.
A. वे एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं/They are reciprocals of each other
Explanation
Simple Explanation
\(6\cdot\frac{1}{6}=1\) है इसलिए दोनों व्युत्क्रम मूल हैं। व्युत्क्रम मूलों का गुणनफल (1) होता है। / \(6\cdot\frac{1}{6}=1\), so the roots are reciprocals. Reciprocal roots have product (1).
मूलों का योग (3+8=11) है। मोनिक समीकरण में (x) का गुणांक (-(योग)=-11) होता है। \(/ The sum of roots is (3+8=11). In a monic equation the coefficient of (x) is (-(\)sum\()=-11).\)
A. मूल एक दूसरे के विपरीत हैं/The roots are opposites of each other
Explanation
Simple Explanation
यदि \(\alpha+\beta=0\) है तो \(\beta=-\alpha\) होता है। इसलिए मूल विपरीत हो सकते हैं। / If \(\alpha+\beta=0\), then \(\beta=-\alpha\). Therefore the roots can be opposites.
समीकरण \(x^2-20x+100=0\) है जो ((x-10)2=0) बनता है। इसलिए दोनों मूल (10) हैं। / The equation is \(x^2-20x+100=0\), which becomes ((x-10)2=0). Therefore both roots are (10).
(x+6=0) से (x=-6) और (x-2=0) से (x=2) मिलता है। गुणनखंड से मूल निकालते समय चिन्ह बदलता है। / From (x+6=0), (x=-6), and from (x-2=0), (x=2). The sign changes when finding a root from a factor.
यहां \(\alpha+\beta=-5\) और \(\alpha\beta=-36\) है। इसलिए \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{-5}{-36}=\frac{5}{36}\) है। / Here \(\alpha+\beta=-5\) and \(\alpha\beta=-36\). Therefore \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{-5}{-36}=\frac{5}{36}\).
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। इसलिए \(x^2-11x+28=0\) सही है। \(/ A monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Therefore (x^2-11x+28=0) is correct.\)
क्योंकि (D=81>0) है इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे। (D>0) मूलों के अलग होने का संकेत है। / Since (D=81>0), there will be two distinct real roots. (D>0) indicates different roots.
मूल (3) और (-8) होने पर ((x-3)(x+8)=0) होगा। खोलने पर \(x^2+5x-24=0\) मिलता है। / With roots (3) and (-8), we get ((x-3)(x+8)=0). Expanding gives \(x^2+5x-24=0\).
(q(t)=0) का अर्थ है कि (x=t) रखने पर समीकरण सत्य है। इसलिए (t) उस समीकरण का मूल है। / (q(t)=0) means the equation is true when (x=t). Therefore (t) is a root of the equation.
मोनिक समीकरण (x-2-\(\alpha+\beta\)x+\alpha\beta=0) होता है। इसलिए \(x^2+5x-14=0\) सही है। / The monic equation is (x-2-\(\alpha+\beta\)x+\alpha\beta=0). Therefore \(x^2+5x-14=0\) is correct.
A. वे एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं/They are reciprocals of each other
Explanation
Simple Explanation
\(5\cdot\frac{1}{5}=1\) है इसलिए दोनों व्युत्क्रम मूल हैं। व्युत्क्रम मूलों का गुणनफल (1) होता है। / \(5\cdot\frac{1}{5}=1\), so the roots are reciprocals. Reciprocal roots have product (1).
मूलों का योग (2+7=9) है। मोनिक समीकरण में (x) का गुणांक (-(योग)=-9) होता है। \(/ The sum of roots is (2+7=9). In a monic equation the coefficient of (x) is (-(\)sum\()=-9).\)
A. एक मूल धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक है/One root is positive and the other is negative
Explanation
Simple Explanation
ऋणात्मक गुणनफल तभी होता है जब मूलों के चिन्ह विपरीत हों। इसलिए एक मूल धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक होगा। / A negative product occurs only when the roots have opposite signs. Therefore one root will be positive and the other negative.
समीकरण \(x^2-16x+64=0\) है जो ((x-8)2=0) बनता है। इसलिए दोनों मूल (8) हैं। / The equation is \(x^2-16x+64=0\), which becomes ((x-8)2=0). Therefore both roots are (8).
(x-4=0) से (x=4) और (x+7=0) से (x=-7) मिलता है। गुणनखंड का चिन्ह उलटकर मूल मिलता है। / From (x-4=0), (x=4), and from (x+7=0), (x=-7). The sign changes when finding a root from a factor.
यहां \(\alpha+\beta=-5\) और \(\alpha\beta=-14\) है। इसलिए \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{-5}{-14}=\frac{5}{14}\) है। / Here \(\alpha+\beta=-5\) and \(\alpha\beta=-14\). Therefore \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{-5}{-14}=\frac{5}{14}\).
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। इसलिए \(x^2-9x+18=0\) सही है। \(/ A monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Therefore (x^2-9x+18=0) is correct.\)
क्योंकि (D=64>0) है इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे। (D>0) होने पर मूल अलग अलग होते हैं। / Since (D=64>0), there will be two distinct real roots. When (D>0), the roots are different.
मूल (-3) और (6) होने पर ((x+3)(x-6)=0) होगा। इसे खोलने पर \(x^2-3x-18=0\) मिलता है। / With roots (-3) and (6), we get ((x+3)(x-6)=0). Expanding it gives \(x^2-3x-18=0\).
क्योंकि (x=a) रखने पर समीकरण सत्य हो जाता है इसलिए (a) मूल है। परीक्षा में मूल की जांच सीधे प्रतिस्थापन से करें। / Since the equation becomes true after substituting (x=a), (a) is a root. In exams check a root by direct substitution.
मोनिक समीकरण (x-2-\(\alpha+\beta\)x+\alpha\beta=0) होता है। इसलिए \(x^2+3x-10=0\) सही है। / The monic equation is (x-2-\(\alpha+\beta\)x+\alpha\beta=0). Therefore \(x^2+3x-10=0\) is correct.
A. वे एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं/They are reciprocals of each other
Explanation
Simple Explanation
\(4\cdot\frac{1}{4}=1\) है इसलिए दोनों व्युत्क्रम मूल हैं। व्युत्क्रम मूलों का गुणनफल (1) होता है। / \(4\cdot\frac{1}{4}=1\), so the roots are reciprocals. Reciprocal roots have product (1).
मूलों का योग (1+4=5) है। मोनिक समीकरण में (x) का गुणांक (-(योग)=-5) होता है। \(/ The sum of roots is (1+4=5). In a monic equation the coefficient of (x) is (-(\)sum\()=-5).\)
A. कम से कम एक मूल (0) है/At least one root is (0)
Explanation
Simple Explanation
यदि \(\alpha\beta=0\) है तो \(\alpha=0\) या \(\beta=0\) होगा। गुणनफल शून्य हो तो शून्य मूल जरूर देखें। / If \(\alpha\beta=0\), then \(\alpha=0\) or \(\beta=0\). If the product is zero, always check for a zero root.
समीकरण \(x^2-10x+25=0\) है जो ((x-5)2=0) बनता है। इसलिए दोनों मूल (5) हैं। / The equation is \(x^2-10x+25=0\), which becomes ((x-5)2=0). Therefore both roots are (5).
(x+2=0) से (x=-2) और (x-5=0) से (x=5) मिलता है। गुणनखंड का चिन्ह उलटकर मूल मिलता है। / From (x+2=0), (x=-2), and from (x-5=0), (x=5). The sign changes when finding a root from a factor.
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) है। यहां \(\frac{-1}{-12}\) नहीं बल्कि \(-\frac{1}{12}\) क्योंकि योग (-1) और गुणनफल (-12) है। / \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here the sum is (-1) and product is (-12), so the value is \(\frac{1}{12}\).
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। इसलिए \(x^2-7x+10=0\) सही है। \(/ A monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Therefore (x^2-7x+10=0) is correct.\)
