Topic Quiz • 150 questions • 25 seconds per question.
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What is the value of \( \frac{18!}{15!}-\frac{17!}{14!} \)?
B. (816)
पहला पद \(18\cdot17\cdot16=4896\) और दूसरा \(17\cdot16\cdot15=4080\) है। अंतर (816) है। / The first term is \(18\cdot17\cdot16=4896\) and the second is \(17\cdot16\cdot15=4080\). The difference is (816).
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What is the simplified value of \( \frac{15!}{11!\cdot4!} \)?
C. 1365
\(15!\) और \(11!\) को काटने पर \(\frac{15!}{11!\cdot4!}=\frac{15\times14\times13\times12}{4\times3\times2\times1}\) मिलता है। इसे सरल करने पर \(1365\) प्राप्त होता है। \(1820\), \(\binom{16}{4}\) का मान है, इसलिए वह इस प्रश्न के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{r!(n-r)!}=\binom{n}{r}\); यहाँ यह \(\binom{15}{4}\) है। / Cancelling \(11!\) from \(15!\) gives \(\frac{15!}{11!\cdot4!}=\frac{15\times14\times13\times12}{4\times3\times2\times1}\). Simplifying this expression gives \(1365\). The value \(1820\) is \(\binom{16}{4}\), so it does not apply here. Exam tip: use \(\frac{n!}{r!(n-r)!}=\binom{n}{r}\); here the expression is \(\binom{15}{4}\).
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If \( \frac{(n+4)!}{n!}=11880 \), what will be the value of (n)?
C. 8
\(\frac{(n+4)!}{n!}=(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)\) होता है। अतः चार क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल \(11880\) होना चाहिए। \(9\times10\times11\times12=11880\), इसलिए \(n+1=9\) और \(n=8\) है। उदाहरण के लिए, \(n=7\) पर गुणनफल \(8\times9\times10\times11=7920\) होगा, जो सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में फैक्टोरियल को काटकर क्रमागत गुणनखंडों के गुणनफल में बदलें। / \(\frac{(n+4)!}{n!}=(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)\). Thus, the product of four consecutive integers must be \(11880\). Since \(9\times10\times11\times12=11880\), we get \(n+1=9\), so \(n=8\). For instance, if \(n=7\), the product is \(8\times9\times10\times11=7920\), not \(11880\). Exam tip: cancel factorials first and rewrite the expression as a product of consecutive integers.
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If \( \frac{(n+2)!+(n+1)!}{(n+1)!}=14 \), what is the value of (n)?
C. 11
\((n+2)!=(n+2)(n+1)!\) का उपयोग करने पर दिया गया व्यंजक \(\frac{(n+2)(n+1)!+(n+1)!}{(n+1)!}\) बनता है। \((n+1)!\) से भाग देने पर यह \(n+2+1=n+3\) होगा। अतः \(n+3=14\), इसलिए \(n=11\)। विकल्प 12 लेने पर व्यंजक का मान 15 आता है, 14 नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणनखंड के रूप में लिखकर पहले सरल करें। / Using \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\), the expression becomes \(\frac{(n+2)(n+1)!+(n+1)!}{(n+1)!}\). Dividing by \((n+1)!\) gives \(n+2+1=n+3\). Hence, \(n+3=14\), so \(n=11\). If 12 were used, the expression would equal 15, not 14. Exam tip: In factorial questions, rewrite the larger factorial in terms of the smaller one before simplifying.
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What is the simplified form of \( \frac{(n+3)!-(n+2)!}{(n+1)!} \)?
A. \((n+2)^2\)
\((n+3)!=(n+3)(n+2)!\) लिखने पर अंश \((n+2)![(n+3)-1]=(n+2)!(n+2)\) बनता है। अब \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\) रखने पर \(\frac{(n+2)!(n+2)}{(n+1)!}=(n+2)^2\) प्राप्त होता है। \((n+3)^2\) में घटाए गए \((n+2)!\) पद का प्रभाव सही ढंग से शामिल नहीं होता। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले घटाव में पहले छोटे फैक्टोरियल को सामान्य गुणनखंड निकालें। / Using \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\), the numerator becomes \((n+2)![(n+3)-1]=(n+2)!(n+2)\). Since \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\), \(\frac{(n+2)!(n+2)}{(n+1)!}=(n+2)^2\). The option \((n+3)^2\) does not correctly account for subtracting \((n+2)!\). Exam tip: in factorial subtraction, first factor out the smaller common factorial.
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If \( \frac{(n+3)!-(n+2)!}{(n+1)!}=121 \), what will be the value of (n)?
B. 9
\((n+3)!=(n+3)(n+2)!\) लिखने पर अंश \((n+2)![(n+3)-1]=(n+2)(n+2)!\) हो जाता है। अतः दिया गया व्यंजक \(\frac{(n+2)(n+2)!}{(n+1)!}=(n+2)^2\) है। इसलिए \((n+2)^2=121\), जिससे \(n+2=11\) मिलता है और \(n=9\)। \(n+2=-11\) से \(n=-13\) आएगा, जिसके लिए दिए गए फैक्टोरियल परिभाषित नहीं हैं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणनफल के रूप में लिखें। / Using \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\), the numerator becomes \((n+2)![(n+3)-1]=(n+2)(n+2)!\). Hence the given expression simplifies to \(\frac{(n+2)(n+2)!}{(n+1)!}=(n+2)^2\). Thus, \((n+2)^2=121\), giving \(n+2=11\) and \(n=9\). The other algebraic value, \(n+2=-11\), gives \(n=-13\), for which the factorials in the question are not defined. Exam tip: In factorial expressions, first expand the larger factorial in terms of the smaller one.
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If ( \frac{(n!)2}{(n-2)!(n+2)!}=\frac{10}{21} ), what is the value of (n)?
B. (5)
सरल रूप ( \frac{n(n-1)}{(n+1)(n+2)} ) है। (n=5) रखने पर \( \frac{20}{42}=\frac{10}{21} \) मिलता है। / The simplified form is ( \frac{n(n-1)}{(n+1)(n+2)} ). Putting (n=5) gives \( \frac{20}{42}=\frac{10}{21} \).
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What is the highest power of (2) that divides (20!)?
D. (18)
घात \( \left\lfloor\frac{20}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{20}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{20}{8}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{20}{16}\right\rfloor=18 \) है। अभाज्य घात के लिए सभी भागफल जोड़ें। / The exponent is \( \left\lfloor\frac{20}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{20}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{20}{8}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{20}{16}\right\rfloor=18 \). Add all quotients for a prime exponent.
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How many zeros will be at the end of (45!)?
A. (10)
शून्यों की संख्या \( \left\lfloor\frac{45}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{45}{25}\right\rfloor=10 \) है। (25) के योगदान को न भूलें। / The number of zeros is \( \left\lfloor\frac{45}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{45}{25}\right\rfloor=10 \). Do not forget the contribution of (25).
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What is the smallest positive (n) for which (n!) is divisible by (1440)?
C. (8)
\(1440=2^5\cdot3^2\cdot5\) है और यह जरूरत पहली बार (8!) में पूरी होती है। विभाज्यता में अभाज्य गुणनखंड जांचें। / \(1440=2^5\cdot3^2\cdot5\), and this requirement is first satisfied by (8!). For divisibility, check prime factors.
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What is the value of \( \frac{20!}{18!\cdot2!}+\frac{19!}{17!\cdot2!} \)?
C. 361
\(\frac{20!}{18!\cdot2!}=\frac{20\times19}{2}=190\) और \(\frac{19!}{17!\cdot2!}=\frac{19\times18}{2}=171\)। अतः योग \(190+171=361\) है। 371 जैसी संख्या तब मिल सकती है जब दूसरे पद में \(18\) के स्थान पर गलती से \(19\) ले लिया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल को काटने से पहले बड़े फैक्टोरियल को आवश्यक गुणनखंडों तक विस्तार करें। / \(\frac{20!}{18!\cdot2!}=\frac{20\times19}{2}=190\), and \(\frac{19!}{17!\cdot2!}=\frac{19\times18}{2}=171\). Therefore, the sum is \(190+171=361\). A value such as 371 can result from incorrectly using 19 instead of 18 in the second term. Exam tip: Expand a factorial only up to the factors needed before cancelling.
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What is the value of \( \frac{21!}{18!\cdot3!}-\frac{20!}{17!\cdot3!} \)?
C. 190
दिया गया व्यंजक \(\binom{21}{3}-\binom{20}{3}\) है। पास्कल के संबंध \(\binom{n}{r}-\binom{n-1}{r}=\binom{n-1}{r-1}\) से इसका मान \(\binom{20}{2}=\frac{20\times19}{2}=190\) होगा। इसलिए विकल्प C सही है। निकटतम विकल्प 180 सही नहीं है, क्योंकि संयोजन का सही अंतर \(\binom{20}{2}\) होता है। परीक्षा टिप: ऐसे क्रमागत संयोजनों के अंतर में पास्कल संबंध का प्रयोग करें। / The expression is \(\binom{21}{3}-\binom{20}{3}\). Using Pascal’s identity, \(\binom{n}{r}-\binom{n-1}{r}=\binom{n-1}{r-1}\), it becomes \(\binom{20}{2}=\frac{20\times19}{2}=190\). Hence, option C is correct. The nearby option 180 is incorrect because the required difference is \(\binom{20}{2}\). Exam tip: use Pascal’s identity for differences of consecutive combinations.
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What is the simplified value of \( \frac{14!}{10!\cdot4!}\div\frac{13!}{9!\cdot4!} \)?
B. \(\frac{7}{5}\)
भाग को व्युत्क्रम से गुणा करने पर \(\frac{14!}{10!\cdot4!}\times\frac{9!\cdot4!}{13!}\) प्राप्त होता है। यहाँ \(4!\), \(9!\) तथा \(13!\) के समान गुणनखंड काटने पर \(\frac{14}{10}=\frac{7}{5}\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प B है। \(\frac{5}{4}\) जैसे विकल्प तब मिल सकते हैं जब फैक्टोरियल पदों को सही क्रम में निरस्त न किया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भाग में पहले उसे व्युत्क्रम से गुणा में बदलें, फिर समान फैक्टोरियल पद काटें। / Convert the division into multiplication by the reciprocal: \(\frac{14!}{10!\cdot4!}\times\frac{9!\cdot4!}{13!}\). Cancelling \(4!\), and then using \(14!=14\cdot13!\) and \(10!=10\cdot9!\), gives \(\frac{14}{10}=\frac{7}{5}\). Hence, option B is correct. A value such as \(\frac{5}{4}\) can result from cancelling factorial terms in the wrong order. Exam tip: first change division into multiplication by the reciprocal, then cancel common factorial factors.
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Which is the correct expansion of \( \frac{(2n)!}{(2n-4)!} \)?
B. \((2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)\)
\((2n)!=(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)(2n-4)!\)। अतः \((2n-4)!\) से भाग देने पर यह पद कट जाता है और \((2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)\) बचता है। विकल्प C में गुणक \(2n\) नहीं है तथा \(2n-4\) अनावश्यक रूप से शामिल है। परीक्षा टिप: \(\frac{m!}{(m-r)!}\) में ऊपर से लगातार \(r\) गुणक लिखे जाते हैं। / Using \((2n)!=(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)(2n-4)!\), the factor \((2n-4)!\) cancels from the numerator and denominator. Hence the result is \((2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)\). Option C incorrectly omits \(2n\) and includes \(2n-4\). Exam tip: in \(\frac{m!}{(m-r)!}\), write the first \(r\) consecutive descending factors from \(m\).
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If \( \frac{(2n)!}{(2n-4)!}=1680 \), what is the value of (n)?
B. 4
फैक्टोरियल को विस्तार देने पर \(\frac{(2n)!}{(2n-4)!}=(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)\) प्राप्त होता है। 1680 को चार क्रमागत पूर्णांकों के गुणनफल के रूप में \(5\times6\times7\times8\) लिखा जा सकता है। अतः \(2n=8\), इसलिए \(n=4\)। उदाहरण के लिए, \(n=5\) लेने पर गुणनफल \(10\times9\times8\times7\) होगा, जो 1680 नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में फैक्टोरियल के समान पदों को काटकर शेष क्रमागत गुणनखंड लिखें। / Expanding the factorial ratio gives \(\frac{(2n)!}{(2n-4)!}=(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)\). The number 1680 can be written as the product of four consecutive integers: \(5\times6\times7\times8\). Hence \(2n=8\), so \(n=4\). For instance, if \(n=5\), the product would be \(10\times9\times8\times7\), not 1680. Exam tip: In factorial-ratio questions, cancel the common factorial part and write the remaining consecutive factors.
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What is \( \frac{(3n+2)!}{(3n)!} \) equal to?
A. \((3n+2)(3n+1)\)
\((3n+2)!=(3n+2)(3n+1)(3n)!\) लिखने पर \((3n)!\) अंश और हर में कट जाता है। अतः \(\frac{(3n+2)!}{(3n)!}=(3n+2)(3n+1)\) होगा। विकल्प D में अतिरिक्त \(3n\) गुणक है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को काटें। / Write \((3n+2)!=(3n+2)(3n+1)(3n)!\). The factor \((3n)!\) cancels from the numerator and denominator, giving \(\frac{(3n+2)!}{(3n)!}=(3n+2)(3n+1)\). Option D incorrectly retains an extra factor of \(3n\). Exam tip: expand the larger factorial only up to the smaller factorial, then cancel common factors.
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If \( \frac{(3n+2)!}{(3n)!}=182 \), what is the value of (n)?
B. 4
\((3n+2)!=(3n+2)(3n+1)(3n)!\) होने से दिए गए अनुपात का मान \((3n+2)(3n+1)\) होगा। अतः \((3n+2)(3n+1)=182\)। क्योंकि \(182=14\times13\), इसलिए \(3n+2=14\) और \(n=4\)। निकटतम भ्रमित करने वाला विकल्प 5 हो सकता है, पर \(n=5\) रखने पर गुणनफल \(17\times16=272\) आता है, 182 नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे फैक्टोरियल अनुपात में समान फैक्टोरियल पदों को पहले काटकर लगातार बचे हुए गुणनखंड लिखें। / Since \((3n+2)!=(3n+2)(3n+1)(3n)!\), the given ratio becomes \((3n+2)(3n+1)\). Hence, \((3n+2)(3n+1)=182\). As \(182=14\times13\), we get \(3n+2=14\), so \(n=4\). Option 5 is a close distractor, but for \(n=5\), the product is \(17\times16=272\), not 182. Exam tip: in factorial ratios, cancel the common factorial first and write the consecutive remaining factors.
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If \( \frac{(n+4)!}{(n+2)!}-\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=24 \), what is the value of (n)?
C. 9
\(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\) तथा \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\)। अतः उनका अंतर \((n+3)[(n+4)-(n+2)]=2(n+3)\) होगा। इसलिए \(2(n+3)=24\), जिससे \(n+3=12\) और \(n=9\) प्राप्त होता है। विकल्प 8 लेने पर व्यंजक का मान 22 आएगा, 24 नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में समान फैक्टोरियल पदों को काटकर शेष क्रमागत गुणनखंड लिखें। / \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\) and \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\). Hence, their difference is \((n+3)[(n+4)-(n+2)]=2(n+3)\). So \(2(n+3)=24\), giving \(n+3=12\) and \(n=9\). For example, if \(n=8\), the expression equals 22, not 24. Exam tip: In factorial quotients, cancel the common factorial terms and write the remaining consecutive factors.
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What is the simplified form of \( \frac{(n+5)!+(n+4)!}{(n+3)!} \)?
A. \((n+4)(n+6)\)
क्योंकि \((n+5)!=(n+5)(n+4)!\), अंश \((n+4)![(n+5)+1]=(n+4)!(n+6)\) होगा। साथ ही \((n+4)!=(n+4)(n+3)!\)। अतः \(\frac{(n+4)!(n+6)}{(n+3)!}=(n+4)(n+6)\)। विकल्प B में \(n+5\) को गलत रूप से बनाए रखा गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले पदों में छोटे फैक्टोरियल को common factor लेकर पहले सरल करें। / Since \((n+5)!=(n+5)(n+4)!\), the numerator becomes \((n+4)![(n+5)+1]=(n+4)!(n+6)\). Also, \((n+4)!=(n+4)(n+3)!\). Therefore, \(\frac{(n+4)!(n+6)}{(n+3)!}=(n+4)(n+6)\). Option B incorrectly retains the factor \(n+5\). Exam tip: in factorial expressions, first take the smaller factorial as a common factor.
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If \( \frac{(n+5)!+(n+4)!}{(n+3)!}=120 \), what is the value of (n)?
B. 6
\((n+5)!=(n+5)(n+4)!\) लिखने पर अंश \((n+4)![(n+5)+1]\) बनता है। अतः दिया गया व्यंजक \((n+4)(n+6)=120\) होगा। इसलिए \((n+5)^2=121\), जिससे \(n=6\) या \(n=-16\) मिलता है। फैक्टोरियल के लिए \(n+3\) एक अऋणात्मक पूर्णांक होना चाहिए, इसलिए केवल \(n=6\) मान्य है। विकल्प 5 रखने पर गुणनफल 99 आता है, 120 नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले प्रश्नों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणनखंडों में लिखकर काटें। / Write \((n+5)!=(n+5)(n+4)!\). Then the numerator becomes \((n+4)![(n+5)+1]\), so the expression simplifies to \((n+4)(n+6)=120\). Hence \((n+5)^2=121\), giving \(n=6\) or \(n=-16\). Since \(n+3\) must be a non-negative integer for the factorial to be defined, only \(n=6\) is valid. For instance, option 5 gives a product of 99, not 120. Exam tip: in factorial equations, first express the larger factorial in terms of the smaller one and cancel common factors.
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What is the value of \( \frac{12!}{8!\cdot4!}+\frac{12!}{9!\cdot3!} \)?
B. 715
पहला पद \(\frac{12!}{8!4!}=\binom{12}{4}=495\) है और दूसरा पद \(\frac{12!}{9!3!}=\binom{12}{3}=220\) है। अतः योग \(495+220=715\) होगा। 705 जैसी निकट संख्या जोड़ में त्रुटि से आ सकती है। परीक्षा टिप: ऐसे व्यंजकों को \(\binom{n}{r}\) के रूप में पहचानने से गणना तेज होती है। / The first term is \(\frac{12!}{8!4!}=\binom{12}{4}=495\), and the second term is \(\frac{12!}{9!3!}=\binom{12}{3}=220\). Therefore, their sum is \(495+220=715\). A nearby value such as 705 can result from an addition error. Exam tip: recognising such expressions as \(\binom{n}{r}\) makes calculation faster.
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What is the value of \( \frac{10!}{5!\cdot5!}\times\frac{5}{9} \)?
C. 140
\(\frac{10!}{5!\cdot5!}=\binom{10}{5}=252\) है। अतः \(252\times\frac{5}{9}=28\times5=140\)। इसलिए सही उत्तर 140 है। 150 निकट लग सकता है, पर \(252\) को 9 से भाग देने पर ठीक 28 मिलता है, इसलिए परिणाम 140 ही होगा। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले फैक्टोरियल अनुपात को संयोजन \(\binom{n}{r}\) के रूप में पहचानने से गणना तेज होती है। / \(\frac{10!}{5!\cdot5!}=\binom{10}{5}=252\). Therefore, \(252\times\frac{5}{9}=28\times5=140\). Hence, 140 is the correct answer. Although 150 may appear close, dividing 252 by 9 gives exactly 28, so the result is 140. Exam tip: Recognising factorial ratios as combinations such as \(\binom{n}{r}\) makes calculations quicker.
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What is the value of \( \frac{13!}{10!}-2\cdot\frac{12!}{10!} \)?
B. 1452
\(\frac{13!}{10!}=13\times12\times11=1716\) और \(\frac{12!}{10!}=12\times11=132\) है। इसलिए दिया गया व्यंजक \(1716-2\times132=1716-264=1452\) होगा। विकल्प D केवल पहला पद है; उसमें दूसरे पद को घटाया नहीं गया है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में समान \(10!\) को काटकर शेष क्रमागत गुणनखंडों का गुणन करें। / \(\frac{13!}{10!}=13\times12\times11=1716\), while \(\frac{12!}{10!}=12\times11=132\). Hence, the expression is \(1716-2\times132=1716-264=1452\). Option D is only the first term, without subtracting the second term. Exam tip: Cancel the common factorial first and then multiply the remaining consecutive factors.
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What is the value of \( \frac{9!+2\cdot8!}{7!} \)?
C. 88
\(9!=9\cdot8\cdot7!\) तथा \(8!=8\cdot7!\)। इसलिए \(\frac{9!+2\cdot8!}{7!}=9\cdot8+2\cdot8=72+16=88\)। विकल्प 84 में \(2\cdot8!\) वाले पद का सही सरलीकरण नहीं होता। परीक्षा टिप: भिन्न में फैक्टोरियल पदों को हर के फैक्टोरियल के गुणज के रूप में लिखकर \(7!\) काटें। / Use \(9!=9\cdot8\cdot7!\) and \(8!=8\cdot7!\). Hence, \(\frac{9!+2\cdot8!}{7!}=9\cdot8+2\cdot8=72+16=88\). Option 84 results from an incorrect simplification of the \(2\cdot8!\) term. Exam tip: rewrite each factorial in terms of the denominator factorial before cancelling.
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What is the simplified form of \( \frac{(n+3)!}{(n-1)!(n+2)(n+1)} \)?
A. \(n(n+3)\)
\((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)n(n-1)!\) लिखें। इसे दिए गए हर से भाग देने पर \((n-1)!\), \((n+2)\) और \((n+1)\) कट जाते हैं तथा \(n(n+3)\) बचता है। विकल्प B में \((n+3)\) के स्थान पर \((n+1)\) आ जाता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल को आवश्यक पदों तक फैलाकर समान गुणनखंडों को काटें। / Write \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)n(n-1)!\). On dividing by the given denominator, \((n-1)!\), \((n+2)\), and \((n+1)\) cancel, leaving \(n(n+3)\). Option B incorrectly retains \((n+1)\) instead of \((n+3)\). Exam tip: expand a factorial only as far as needed, then cancel common factors.
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If \( \frac{(n+3)!}{(n-1)!(n+2)(n+1)}=108 \), what is the value of (n)?
C. 9
\((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)n(n-1)!\) लिखने पर \((n-1)!\), \((n+2)\) और \((n+1)\) कट जाते हैं। अतः समीकरण \(n(n+3)=108\) बनता है। \(n=9\) रखने पर \(9\times12=108\), इसलिए सही उत्तर 9 है। उदाहरणार्थ, 8 रखने पर \(8\times11=88\) मिलता है, जो 108 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले प्रश्नों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान गुणनखंड काटें। / Write \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)n(n-1)!\). Cancelling \((n-1)!\), \((n+2)\), and \((n+1)\) gives \(n(n+3)=108\). For \(n=9\), \(9\times12=108\), so the correct answer is 9. For instance, \(n=8\) gives \(8\times11=88\), not 108. Exam tip: In factorial problems, expand the larger factorial up to the smaller one before cancelling common factors.
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What is the highest power of (3) that divides (25!)?
C. (10)
घात \( \left\lfloor\frac{25}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{25}{9}\right\rfloor=10 \) है। (9) के योगदान को जोड़ना जरूरी है। / The exponent is \( \left\lfloor\frac{25}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{25}{9}\right\rfloor=10 \). Adding the contribution of (9) is necessary.
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What is the smallest positive (n) for which (n!) is divisible by \(2^7\cdot3^4\cdot5\)?
B. (9)
(9!) में (2) की घात (7) और (3) की घात (4) मिल जाती है। इससे छोटा (n) यह शर्त पूरी नहीं करता। / (9!) contains exponent (7) of (2) and exponent (4) of (3). No smaller (n) satisfies this condition.
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What is the value of \( \frac{25!}{23!\cdot2!}-\frac{24!}{22!\cdot2!} \)?
C. 24
\(\frac{25!}{23!\cdot2!}=\frac{25\times24}{2}=300\) तथा \(\frac{24!}{22!\cdot2!}=\frac{24\times23}{2}=276\)। अतः अंतर \(300-276=24\) है। विकल्प 23 केवल दूसरे पद के सरलीकरण में आने वाला गुणनखंड है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्न में पहले बड़े फैक्टोरियल को आवश्यक पदों तक फैलाकर समान फैक्टोरियल काटें। / \(\frac{25!}{23!\cdot2!}=\frac{25\times24}{2}=300\) and \(\frac{24!}{22!\cdot2!}=\frac{24\times23}{2}=276\). Therefore, the difference is \(300-276=24\). Option 23 is only a factor occurring while simplifying the second term; it is not the required difference. Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial only up to the common factorial, then cancel it first.
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What is the value of \( \frac{16!}{12!\cdot4!}-\frac{15!}{12!\cdot3!} \)?
B. 1365
\(\frac{16!}{12!\cdot4!}=\binom{16}{4}=1820\) और \(\frac{15!}{12!\cdot3!}=\binom{15}{3}=455\) है। अतः आवश्यक मान \(1820-455=1365\) होगा। विकल्प 1450 सही नहीं है, क्योंकि दोनों संयोजन पदों का सही अंतर 1365 है। परीक्षा टिप: ऐसे व्यंजकों को पहले \(\binom{n}{r}\) के रूप में पहचानने से गणना तेज होती है। / \(\frac{16!}{12!\cdot4!}=\binom{16}{4}=1820\), while \(\frac{15!}{12!\cdot3!}=\binom{15}{3}=455\). Therefore, the required value is \(1820-455=1365\). Option 1450 is incorrect because the difference of the two combination terms is 1365. Exam tip: Recognising factorial expressions as \(\binom{n}{r}\) often makes calculations quicker.
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Which is the correct expansion of \( \frac{(n+1)!}{(n-3)!} \)?
A. \((n+1)n(n-1)(n-2)\)
\((n+1)!=(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)!\)। इसे \((n-3)!\) से भाग देने पर \((n-3)!\) कट जाता है और \((n+1)n(n-1)(n-2)\) प्राप्त होता है। विकल्प B में \((n-2)\) गुणक छूट गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में ऊपर वाले फैक्टोरियल को नीचे वाले फैक्टोरियल तक लिखकर समान पदों को काटें। / \((n+1)!=(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)!\). On dividing by \((n-3)!\), the common factorial cancels, leaving \((n+1)n(n-1)(n-2)\). Option B incorrectly omits the factor \((n-2)\). Exam tip: In a factorial quotient, expand the numerator down to the denominator factorial and then cancel common terms.
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If \( \frac{(n+1)!}{(n-3)!}=5040 \), what is the value of (n)?
C. 9
\((n+1)!\) में से \((n-3)!\) कटने पर \(\frac{(n+1)!}{(n-3)!}=(n+1)n(n-1)(n-2)\) मिलता है। अतः \((n+1)n(n-1)(n-2)=5040\)। \(n=9\) रखने पर \(10\times9\times8\times7=5040\), इसलिए सही मान \(9\) है। \(n=8\) के लिए गुणनफल \(9\times8\times7\times6=3024\) होगा, जो 5040 नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे भिन्नात्मक फैक्टोरियल में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके पदों को काटें। / Cancelling \((n-3)!\) from \((n+1)!\) gives \(\frac{(n+1)!}{(n-3)!}=(n+1)n(n-1)(n-2)\). Hence, \((n+1)n(n-1)(n-2)=5040\). For \(n=9\), \(10\times9\times8\times7=5040\), so the correct value is \(9\). For \(n=8\), the product is \(9\times8\times7\times6=3024\), not 5040. Exam tip: In factorial ratios, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and then cancel common terms.
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What is the simplified form of \( \frac{\frac{(n+2)!}{(n-2)!}}{\frac{(n+1)!}{(n-3)!}} \)?
A. \(\frac{n+2}{n-2}\)
\((n+2)!/(n-2)!=(n+2)(n+1)n(n-1)\) तथा \((n+1)!/(n-3)!=(n+1)n(n-1)(n-2)\)। दोनों के समान गुणक \((n+1)n(n-1)\) कटने पर \(\frac{n+2}{n-2}\) प्राप्त होता है। विकल्प B में शेष गुणक गलत लिए गए हैं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके समान पद काटें। / \((n+2)!/(n-2)!=(n+2)(n+1)n(n-1)\), while \((n+1)!/(n-3)!=(n+1)n(n-1)(n-2)\). Cancelling the common factors \((n+1)n(n-1)\) gives \(\frac{n+2}{n-2}\). Option B uses incorrect remaining factors. Exam tip: In factorial quotients, expand the larger factorial only up to the smaller one, then cancel common factors.
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If \( \frac{\frac{(n+2)!}{(n-2)!}}{\frac{(n+1)!}{(n-3)!}}=2 \), what is the value of (n)?
C. 6
दिया गया व्यंजक \(\frac{(n+2)!}{(n-2)!}\times\frac{(n-3)!}{(n+1)!}\) है। समान गुणनखंड काटने पर यह \(\frac{n+2}{n-2}\) बनता है। अतः \(\frac{n+2}{n-2}=2\Rightarrow n+2=2n-4\Rightarrow n=6\)। इसलिए सही विकल्प 6 है। विकल्प 5 रखने पर मान \(\frac{7}{3}\) आता है, जो 2 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्नों में पहले फैक्टोरियल को क्रमिक गुणनखंडों में फैलाकर समान पद काटें। / The given expression can be written as \(\frac{(n+2)!}{(n-2)!}\times\frac{(n-3)!}{(n+1)!}\). Cancelling common factorial factors gives \(\frac{n+2}{n-2}\). Hence, \(\frac{n+2}{n-2}=2\Rightarrow n+2=2n-4\Rightarrow n=6\). Therefore, 6 is correct. If 5 is substituted, the value is \(\frac{7}{3}\), not 2. Exam tip: In factorial fractions, expand only enough consecutive factors to cancel common terms.
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How many zeros will be at the end of (30!)?
B. (7)
शून्यों की संख्या \( \left\lfloor\frac{30}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{25}\right\rfloor=7 \) है। (25) का अतिरिक्त योगदान जोड़ें। / The number of zeros is \( \left\lfloor\frac{30}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{25}\right\rfloor=7 \). Add the extra contribution of (25).
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What is the simplified value of \( \frac{22!}{20!}\div\frac{11!}{9!} \)?
B. \(\frac{21}{5}\)
मान \( \frac{22\cdot21}{11\cdot10}=\frac{21}{5} \) है। भाग में दोनों अनुपातों को फैलाकर काटें। / The value is \( \frac{22\cdot21}{11\cdot10}=\frac{21}{5} \). Expand and cancel both ratios in division.
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What is the simplified value of \( \frac{7!\cdot9!}{8!\cdot6!} \)?
B. 63
\(7!=7\cdot6!\) तथा \(9!=9\cdot8!\) लिखने पर \[ \frac{7!\cdot9!}{8!\cdot6!}=\frac{(7\cdot6!)(9\cdot8!)}{8!\cdot6!}=7\cdot9=63. \] अतः सही उत्तर 63 है। 72 जैसा विकल्प तब आ सकता है जब क्रमागत फैक्टोरियल पदों को गलत ढंग से सरल किया जाए। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\) का प्रयोग करके फैक्टोरियल भिन्नों को तुरंत सरल करें। / Write \(7!=7\cdot6!\) and \(9!=9\cdot8!\). Then \[ \frac{7!\cdot9!}{8!\cdot6!}=\frac{(7\cdot6!)(9\cdot8!)}{8!\cdot6!}=7\cdot9=63. \] Therefore, the correct answer is 63. A value such as 72 may result from cancelling consecutive factorial terms incorrectly. Exam tip: use \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\) to simplify factorial fractions quickly.
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What is the simplified form of \( \frac{(n+4)!-(n+3)!}{(n+2)!} \)?
A. \((n+3)^2\)
\((n+4)!=(n+4)(n+3)!\) लिखने पर अंश \((n+3)![(n+4)-1]=(n+3)!(n+3)\) हो जाता है। अब \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\) रखने पर \(\frac{(n+3)!(n+3)}{(n+2)!}=(n+3)^2\) मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। \((n+4)^2\) में एक अतिरिक्त \(n+4\) गुणनखंड आ जाता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में पहले समान छोटा फैक्टोरियल बाहर निकालें। / Write \((n+4)!=(n+4)(n+3)!\). The numerator becomes \((n+3)![(n+4)-1]=(n+3)!(n+3)\). Since \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\), we get \(\frac{(n+3)!(n+3)}{(n+2)!}=(n+3)^2\). Hence, option A is correct. \((n+4)^2\) incorrectly retains an extra factor of \(n+4\). Exam tip: In factorial expressions, first factor out the smallest common factorial.
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If \( \frac{(n+4)!-(n+3)!}{(n+2)!}=144 \), what is the value of (n)?
B. 9
\((n+4)!=(n+4)(n+3)!\) लिखने पर अंश \((n+3)![(n+4)-1]=(n+3)!(n+3)\) हो जाता है। अतः दिया गया व्यंजक \(\frac{(n+3)!(n+3)}{(n+2)!}=(n+3)^2\) है। इसलिए \((n+3)^2=144\)। चूँकि फैक्टोरियल के लिए \(n\) गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, \(n+3=12\), जिससे \(n=9\) मिलता है। \(-12\) लेने पर \(n=-15\) होगा, जो यहाँ मान्य नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले प्रश्नों में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणनखंडों में लिखकर पहले रद्द करें। / Using \((n+4)!=(n+4)(n+3)!\), the numerator becomes \((n+3)![(n+4)-1]=(n+3)!(n+3)\). Hence the expression is \(\frac{(n+3)!(n+3)}{(n+2)!}=(n+3)^2\). Therefore, \((n+3)^2=144\). Since \(n\) must be a non-negative integer for the factorials here, \(n+3=12\), giving \(n=9\). The root \(n+3=-12\) gives \(n=-15\), which is not valid. Exam tip: In factorial questions, first expand the larger factorial in terms of the smaller one and cancel common factors.
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What is the simplified form of \( \frac{(n+5)!}{(n+2)!}-\frac{(n+4)!}{(n+1)!} \)?
B. \(3(n+4)(n+3)\)
\(\frac{(n+5)!}{(n+2)!}=(n+5)(n+4)(n+3)\) तथा \(\frac{(n+4)!}{(n+1)!}=(n+4)(n+3)(n+2)\)। अतः \((n+4)(n+3)\) उभयनिष्ठ लेने पर व्यंजक \((n+4)(n+3)[(n+5)-(n+2)] = 3(n+4)(n+3)\) मिलता है। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प D में 3 गुणनखंड छूट गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में नीचे वाले फैक्टोरियल तक क्रमागत गुणनखंड लिखकर पहले काटें। / \(\frac{(n+5)!}{(n+2)!}=(n+5)(n+4)(n+3)\), while \(\frac{(n+4)!}{(n+1)!}=(n+4)(n+3)(n+2)\). Taking \((n+4)(n+3)\) as the common factor gives \((n+4)(n+3)[(n+5)-(n+2)] = 3(n+4)(n+3)\). Hence, option B is correct. Option D misses the factor 3. Exam tip: In factorial quotients, expand only up to the denominator factorial and cancel first.
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If \( \frac{(n+5)!}{(n+2)!}-\frac{(n+4)!}{(n+1)!}=396 \), what is the value of (n)?
B. 8
\(\frac{(n+5)!}{(n+2)!}=(n+5)(n+4)(n+3)\) तथा \(\frac{(n+4)!}{(n+1)!}=(n+4)(n+3)(n+2)\)। अतः अंतर \((n+4)(n+3)[(n+5)-(n+2)]=3(n+4)(n+3)\) होगा। इसलिए \((n+4)(n+3)=132=12\times11\), जिससे \(n=8\) प्राप्त होता है। विकल्प 7 के लिए गुणनफल \(11\times10\) होगा, जो 132 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्नों में पहले समान पदों को काटकर क्रमागत गुणनखंड लिखें। / \(\frac{(n+5)!}{(n+2)!}=(n+5)(n+4)(n+3)\) and \(\frac{(n+4)!}{(n+1)!}=(n+4)(n+3)(n+2)\). Their difference is \((n+4)(n+3)[(n+5)-(n+2)]=3(n+4)(n+3)\). Hence, \((n+4)(n+3)=132=12\times11\), giving \(n=8\). For option 7, the product would be \(11\times10\), not 132. Exam tip: In factorial fractions, first cancel the common factorial terms and write the remaining consecutive factors.
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If \( \frac{(n!)^2}{(n-1)!(n+1)!}=\frac{11}{12} \), what is the value of (n)?
B. (11)
सरल रूप \( \frac{n}{n+1} \) है। \( \frac{n}{n+1}=\frac{11}{12} \) से \(n=11\) मिलता है। / The simplified form is \( \frac{n}{n+1} \). From \( \frac{n}{n+1}=\frac{11}{12} \), we get \(n=11\).
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What is the simplified value of \( \frac{18!}{14!\cdot4!}\div\frac{17!}{13!\cdot4!} \)?
A. \(\frac{9}{7}\)
दिए गए व्यंजक में \(4!\) कट जाता है। फिर \(\frac{18!}{17!}=18\) और \(\frac{13!}{14!}=\frac{1}{14}\) होगा। अतः मान \(18\times\frac{1}{14}=\frac{9}{7}\) है। \(\frac{153}{119}\) सही नहीं है, क्योंकि \(\frac{3060}{2380}\) को पूर्णतः सरल करने पर भी \(\frac{9}{7}\) मिलता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भाग में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटें, फिर लगातार संख्याओं को सरल करें। / In the given expression, \(4!\) cancels out. Next, \(\frac{18!}{17!}=18\) and \(\frac{13!}{14!}=\frac{1}{14}\). Hence, the value is \(18\times\frac{1}{14}=\frac{9}{7}\). \(\frac{153}{119}\) is not fully simplified; it also reduces to \(\frac{9}{7}\). Exam tip: In factorial divisions, cancel common factorial terms first and then simplify consecutive factors.
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What is the simplified form of \( \frac{(n+2)!}{n!}+\frac{n!}{(n-2)!} \)?
B. \(2n^2+2n+2\)
\((n+2)!=(n+2)(n+1)n!\), इसलिए \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)=n^2+3n+2\)। इसी प्रकार, \(n!=n(n-1)(n-2)!\), अतः \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)=n^2-n\)। दोनों पदों को जोड़ने पर \(n^2+3n+2+n^2-n=2n^2+2n+2\) मिलता है। विकल्प A में स्थिर पद \(2\) छूट गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में समान फैक्टोरियल पदों को पहले काटकर शेष क्रमागत गुणनखंड लिखें। / Since \((n+2)!=(n+2)(n+1)n!\), \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)=n^2+3n+2\). Also, \(n!=n(n-1)(n-2)!\), so \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)=n^2-n\). Adding gives \(n^2+3n+2+n^2-n=2n^2+2n+2\). Option A misses the constant term \(2\). Exam tip: in factorial quotients, cancel the common factorial first and then expand the remaining consecutive factors.
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If \( \frac{(n+2)!}{n!}+\frac{n!}{(n-2)!}=114 \), what is the value of (n)?
B. 7
\(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\) तथा \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\)। इसलिए समीकरण \((n+2)(n+1)+n(n-1)=114\) होगा। इसे सरल करने पर \(2n^2+2n+2=114\), अर्थात \(n^2+n-56=0\) मिलता है। अतः \((n+8)(n-7)=0\), जिससे \(n=7\) या \(-8\)। फैक्टोरियल के लिए \(n\ge2\) होना चाहिए, इसलिए \(n=7\) सही है। \(n=8\) रखने पर बायाँ पक्ष 146 आता है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्नों में पहले समान पदों को काटकर गुणनखंडों के रूप में लिखें। / \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\) and \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\). Thus, \((n+2)(n+1)+n(n-1)=114\). Simplifying gives \(2n^2+2n+2=114\), or \(n^2+n-56=0\). Hence, \((n+8)(n-7)=0\), so \(n=7\) or \(-8\). Since the factorial expression requires \(n\ge2\), the valid value is \(n=7\). Substituting \(n=8\) gives 146 on the left-hand side, so it is a close but incorrect option. Exam tip: cancel factorials first by expanding only the required consecutive factors.
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What is the value of \( \frac{12!}{6!\cdot6!}-\frac{11!}{5!\cdot6!} \)?
C. 462
पहला पद \(\frac{12!}{6!6!}=\binom{12}{6}=924\) है। दूसरा पद \(\frac{11!}{5!6!}=\binom{11}{5}=462\) है। अतः आवश्यक मान \(924-462=462\) होगा। विकल्प 420 जैसा उत्तर प्रायः फैक्टोरियल पदों को अधूरा सरल करने पर मिलता है। परीक्षा टिप: समान फैक्टोरियल वाले व्यंजकों को पहले \(\binom{n}{r}\) के रूप में पहचानने से गणना तेज होती है। / The first term is \(\frac{12!}{6!6!}=\binom{12}{6}=924\). The second term is \(\frac{11!}{5!6!}=\binom{11}{5}=462\). Therefore, the required value is \(924-462=462\). An answer such as 420 can result from incomplete simplification of the factorial terms. Exam tip: Recognise expressions of the form \(\frac{n!}{r!(n-r)!}\) as combinations to calculate quickly.
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What is the simplified form of ( \frac{(n+6)!}{(n+2)!}-\frac{(n+5)!}{(n+1)!} )?
A. (4(n+5)(n+4)(n+3))
सामान्य ((n+5)(n+4)(n+3)) निकालने पर अंतर ((n+6)-(n+2)=4) है। पहले समान गुणकों को पहचानें। / Taking common ((n+5)(n+4)(n+3)), the difference is ((n+6)-(n+2)=4). Identify common factors first.
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If \( \frac{(n+6)!}{(n+2)!}-\frac{(n+5)!}{(n+1)!}=2880 \), what is the value of (n)?
B. 5
\(\frac{(n+6)!}{(n+2)!}=(n+3)(n+4)(n+5)(n+6)\) तथा \(\frac{(n+5)!}{(n+1)!}=(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)\)। उभयनिष्ठ गुणनखंड लेने पर अंतर \(4(n+3)(n+4)(n+5)\) मिलता है। अतः \(4(n+3)(n+4)(n+5)=2880\), यानी \((n+3)(n+4)(n+5)=720\)। \(8\times9\times10=720\), इसलिए \(n=5\)। निकटतम विकल्प 6 के लिए गुणनफल \(9\times10\times11\) होगा, जो 720 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में पहले समान पदों को काटकर क्रमागत गुणनखंडों में लिखें। / \(\frac{(n+6)!}{(n+2)!}=(n+3)(n+4)(n+5)(n+6)\) and \(\frac{(n+5)!}{(n+1)!}=(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)\). Taking the common factors, their difference becomes \(4(n+3)(n+4)(n+5)\). Hence \(4(n+3)(n+4)(n+5)=2880\), so \((n+3)(n+4)(n+5)=720\). Since \(8\times9\times10=720\), \(n=5\). For the nearby option 6, the product would be \(9\times10\times11\), not 720. Exam tip: first expand factorial ratios into consecutive factors and cancel common terms carefully.
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What is the smallest positive (n) for which (n!) is divisible by \(2^8\cdot3^2\cdot5^2\)?
C. (10)
(10!) में (2) की घात (8) और (5) की घात (2) मिलती है। (9!) में \(5^2\) नहीं आता, इसलिए (10) न्यूनतम है। / (10!) contains exponent (8) of (2) and exponent (2) of (5). (9!) does not contain \(5^2\), so (10) is minimum.
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What is the highest power of (7) that divides (100!)?
C. (16)
घात \( \left\lfloor\frac{100}{7}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{100}{49}\right\rfloor=16 \) है। उच्च घातों जैसे (49) का योगदान जरूर जोड़ें। / The exponent is \( \left\lfloor\frac{100}{7}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{100}{49}\right\rfloor=16 \). Always add the contribution of higher powers such as (49).
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What is the value of \( \frac{19!}{16!}-\frac{18!}{15!} \)?
B. 918
\(\frac{19!}{16!}=17\times18\times19\) तथा \(\frac{18!}{15!}=16\times17\times18\) है। अतः व्यंजक को \(17\times18\times(19-16)=17\times18\times3=918\) लिखा जा सकता है। इसलिए सही उत्तर 918 है। 1026 जैसा उत्तर गुणनखंडों के गलत निरस्तीकरण या घटाव में त्रुटि से मिल सकता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्नों में पहले छोटे फैक्टोरियल को निरस्त करें, फिर सामान्य गुणनखंड बाहर निकालें। / \(\frac{19!}{16!}=17\times18\times19\) and \(\frac{18!}{15!}=16\times17\times18\). Therefore, the expression becomes \(17\times18\times(19-16)=17\times18\times3=918\). Hence, 918 is correct. A value such as 1026 may result from incorrect cancellation or subtraction. Exam tip: In factorial fractions, cancel the smaller factorial first, then factor out common consecutive terms where possible.
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What is the simplified value of \( \frac{16!}{12!\cdot4!} \)?
B. 1820
\(16! = 16\cdot15\cdot14\cdot13\cdot12!\) लिखने पर \(12!\) कट जाता है। इसलिए \(\frac{16!}{12!\cdot4!}=\frac{16\cdot15\cdot14\cdot13}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=1820\)। अतः विकल्प B सही है। यह व्यंजक \(\binom{16}{4}\) के बराबर है; 1365, \(\binom{15}{4}\) का मान है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्नों में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटें, फिर शेष गुणन करें। / Write \(16! = 16\cdot15\cdot14\cdot13\cdot12!\), so \(12!\) cancels. Hence, \(\frac{16!}{12!\cdot4!}=\frac{16\cdot15\cdot14\cdot13}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=1820\). Therefore, option B is correct. This expression is \(\binom{16}{4}\); 1365 is the value of \(\binom{15}{4}\), not of the given expression. Exam tip: In factorial fractions, cancel common factorial terms before carrying out the remaining multiplication.
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If \( \frac{(n+5)!}{(n+1)!}=11880 \), what is the value of (n)?
B. (7)
यह \((n+5)(n+4)(n+3)(n+2)=11880\) देता है। \(12\cdot11\cdot10\cdot9=11880\), इसलिए \(n=7\)। / It gives \((n+5)(n+4)(n+3)(n+2)=11880\). Since \(12\cdot11\cdot10\cdot9=11880\), \(n=7\).
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If \( \frac{(n+4)!+(n+3)!}{(n+2)!}=143 \), what will be the value of (n)?
B. 8
\((n+4)!=(n+4)(n+3)!\) लिखने पर अंश \((n+3)![(n+4)+1]=(n+3)!(n+5)\) हो जाता है। अब \((n+2)!\) से भाग देने पर \((n+3)(n+5)=143\) मिलता है। क्योंकि \(143=11\times13\), इसलिए \(n+3=11\) और \(n=8\)। विकल्प 7 के लिए मान \(10\times12=120\) होगा, जो 143 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्नों में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणज के रूप में लिखकर पहले सरलीकरण करें। / Write \((n+4)!=(n+4)(n+3)!\). The numerator then becomes \((n+3)![(n+4)+1]=(n+3)!(n+5)\). Dividing by \((n+2)!\) gives \((n+3)(n+5)=143\). Since \(143=11\times13\), we have \(n+3=11\), hence \(n=8\). For option 7, the value becomes \(10\times12=120\), not 143. Exam tip: In factorial fractions, express the larger factorial as a multiple of the smaller factorial before simplifying.
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What is the simplified form of \( \frac{(n+5)!-(n+4)!}{(n+3)!} \)?
A. \( (n+4)^2 \)
\((n+5)!=(n+5)(n+4)!\) लिखने पर अंश \((n+4)!\big[(n+5)-1\big]=(n+4)!(n+4)\) हो जाता है। अब \((n+4)!=(n+4)(n+3)!\), इसलिए \(\frac{(n+4)!(n+4)}{(n+3)!}=(n+4)^2\)। अतः विकल्प A सही है। \((n+4)(n+5)\) तब प्राप्त होता यदि घटाव करने से पहले गुणनखंडों को गलत ढंग से गुणा कर दिया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के घटाव वाले व्यंजक में पहले छोटे फैक्टोरियल को common factor के रूप में लें। / Using \((n+5)!=(n+5)(n+4)!\), the numerator becomes \((n+4)!\big[(n+5)-1\big]=(n+4)!(n+4)\). Also, \((n+4)!=(n+4)(n+3)!\). Therefore, \(\frac{(n+4)!(n+4)}{(n+3)!}=(n+4)^2\), so option A is correct. \((n+4)(n+5)\) would arise from incorrectly multiplying factors before carrying out the subtraction. Exam tip: in a factorial subtraction, first factor out the smaller common factorial.
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If \( \frac{(n+5)!-(n+4)!}{(n+3)!}=169 \), what is the value of (n)?
B. 9
\((n+5)!=(n+5)(n+4)!\) का उपयोग करने पर अंश \((n+4)![(n+5)-1]=(n+4)(n+4)!\) बनता है। इसलिए \[ \frac{(n+5)!-(n+4)!}{(n+3)!} =\frac{(n+4)(n+4)!}{(n+3)!} =(n+4)^2. \] अतः \((n+4)^2=169=13^2\)। फैक्टोरियल के परिभाषित होने के लिए \(n\geq -3\) होना चाहिए, इसलिए \(n+4\) धनात्मक है और \(n+4=13\)। अतः \(n=9\)। विकल्प 8 देने पर मान \(12^2=144\) आता है, 169 नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के व्यंजकों में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणनफल के रूप में लिखकर पहले सरल करें। / Using \((n+5)!=(n+5)(n+4)!\), the numerator becomes \((n+4)![(n+5)-1]=(n+4)(n+4)!\). Therefore, \[ \frac{(n+5)!-(n+4)!}{(n+3)!} =\frac{(n+4)(n+4)!}{(n+3)!} =(n+4)^2. \] Thus \((n+4)^2=169=13^2\). For all the factorials to be defined, \(n\geq -3\), so \(n+4\) is positive and \(n+4=13\). Hence \(n=9\). Option 8 gives \(12^2=144\), not 169. Exam tip: In factorial expressions, rewrite the larger factorial in terms of the smaller one before cancelling common factors.
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What is the simplified form of ( \frac{(n!)2}{(n-3)!(n+3)!} )?
B. ( \frac{n(n-1)(n-2)}{(n+1)(n+2)(n+3)} )
( \frac{n!}{(n-3)!}=n(n-1)(n-2) ) और ( \frac{n!}{(n+3)!}=\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)} )। दोनों भागों को गुणा करें। / ( \frac{n!}{(n-3)!}=n(n-1)(n-2) ) and ( \frac{n!}{(n+3)!}=\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)} ). Multiply both parts.
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If ( \frac{(n!)2}{(n-3)!(n+3)!}=\frac{5}{21} ), what is the value of (n)?
B. (6)
सरल रूप में (n=6) रखने पर \( \frac{6\cdot5\cdot4}{7\cdot8\cdot9}=\frac{5}{21} \) मिलता है। विकल्प जांचते समय कटौती करें। / Putting (n=6) in the simplified form gives \( \frac{6\cdot5\cdot4}{7\cdot8\cdot9}=\frac{5}{21} \). Cancel while checking options.
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What is the highest power of (2) that divides (50!)?
C. (47)
घात \( \left\lfloor\frac{50}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{50}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{50}{8}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{50}{16}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{50}{32}\right\rfloor=47 \) है। सभी भागफल जोड़ना जरूरी है। / The exponent is \( \left\lfloor\frac{50}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{50}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{50}{8}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{50}{16}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{50}{32}\right\rfloor=47 \). Adding all quotients is necessary.
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How many zeros will be at the end of (60!)?
B. (14)
शून्यों की संख्या \( \left\lfloor\frac{60}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{60}{25}\right\rfloor=14 \) है। (25) के अतिरिक्त योगदान को जरूर जोड़ें। / The number of zeros is \( \left\lfloor\frac{60}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{60}{25}\right\rfloor=14 \). Always add the extra contribution of (25).
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What is the smallest positive (n) for which (n!) is divisible by \(2^9\cdot3^3\cdot5^2\)?
C. (11)
(11!) में (2) की घात (8) नहीं बल्कि (8) से अधिक (8) ही होती है, पर \(2^9\) के लिए (12!) चाहिए। इसलिए सही न्यूनतम (12) है। / (11!) has exponent (8) of (2), so \(2^9\) is not satisfied. Therefore the minimum is (12).
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What is the value of \( \frac{23!}{21!\cdot2!}+\frac{22!}{20!\cdot2!} \)?
C. 484
\(23!=23\times22\times21!\) होने से पहला पद \(\frac{23\times22}{2!}=253\) है। इसी प्रकार, \(22!=22\times21\times20!\), इसलिए दूसरा पद \(\frac{22\times21}{2!}=231\) है। अतः कुल मान \(253+231=484\) है। \(474\) सही नहीं है; यह गणना में गुणन या जोड़ की त्रुटि से प्राप्त हो सकता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्न में पहले सामान्य फैक्टोरियल को काटें, फिर शेष गुणन करें। / Since \(23!=23\times22\times21!\), the first term is \(\frac{23\times22}{2!}=253\). Similarly, \(22!=22\times21\times20!\), so the second term is \(\frac{22\times21}{2!}=231\). Hence, the value is \(253+231=484\). Option 474 is incorrect and can result from an error in multiplication or addition. Exam tip: In factorial fractions, cancel the common factorial first and then multiply the remaining factors.
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What is the value of \( \frac{24!}{21!\cdot3!}-\frac{23!}{20!\cdot3!} \)?
C. 253
पहला पद \(\frac{24!}{21!\cdot3!}=\binom{24}{3}\) और दूसरा पद \(\frac{23!}{20!\cdot3!}=\binom{23}{3}\) है। पास्कल की सर्वसमिका \(\binom{n}{r}-\binom{n-1}{r}=\binom{n-1}{r-1}\) लगाने पर व्यंजक \(\binom{23}{2}\) बनता है। अतः \(\binom{23}{2}=\frac{23\times22}{2}=253\), इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प 252 पास्कल की सर्वसमिका लागू करने के बाद होने वाली गलत गणना से मिल सकता है। परीक्षा टिप: क्रमागत द्विपद गुणांकों के अंतर में पहले पास्कल की सर्वसमिका पहचानें। / The first term is \(\frac{24!}{21!\cdot3!}=\binom{24}{3}\), and the second term is \(\frac{23!}{20!\cdot3!}=\binom{23}{3}\). By Pascal’s identity, \(\binom{n}{r}-\binom{n-1}{r}=\binom{n-1}{r-1}\), the expression becomes \(\binom{23}{2}\). Thus, \(\binom{23}{2}=\frac{23\times22}{2}=253\), so option C is correct. The value 252 may result from an incorrect calculation after applying the identity. Exam tip: in differences of consecutive binomial coefficients, look for Pascal’s identity first.
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What is the simplified value of \( \frac{15!}{11!\cdot4!}\div\frac{14!}{10!\cdot4!} \)?
A. \( \frac{15}{11} \)
दिया गया व्यंजक \(\frac{15!}{11!\cdot4!}\times\frac{10!\cdot4!}{14!}\) है। \(4!\) निरस्त करने पर \(\frac{15!\cdot10!}{11!\cdot14!}\) मिलता है। अब \(15!=15\cdot14!\) तथा \(11!=11\cdot10!\) रखने पर सभी समान पद निरस्त होकर मान \(\frac{15}{11}\) प्राप्त होता है। \(\frac{14}{11}\) तब मिल सकता है जब \(15!\) के अतिरिक्त गुणक 15 को गलती से छोड़ दिया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल को केवल उतना ही फैलाएँ जितना समान फैक्टोरियल पदों को निरस्त करने के लिए आवश्यक हो। / The expression is \(\frac{15!}{11!\cdot4!}\times\frac{10!\cdot4!}{14!}\). After cancelling \(4!\), it becomes \(\frac{15!\cdot10!}{11!\cdot14!}\). Using \(15!=15\cdot14!\) and \(11!=11\cdot10!\), all common factors cancel and the value is \(\frac{15}{11}\). \(\frac{14}{11}\) could result from incorrectly omitting the extra factor 15 in \(15!\). Exam tip: Expand factorials only as far as needed to cancel common factorial terms.
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How many factors remain in the expansion of \( \frac{(2n+3)!}{(2n-1)!} \)?
B. 4
अंश को हर के फैक्टोरियल तक फैलाने पर \((2n+3)!=(2n+3)(2n+2)(2n+1)(2n)(2n-1)!\) प्राप्त होता है। हर का \((2n-1)!\) कटने पर चार गुणक बचते हैं: \((2n+3),(2n+2),(2n+1)\) और \(2n\)। इसलिए सही उत्तर 4 है। विकल्प 5 गलत है, क्योंकि फैक्टोरियल के सूचकांकों का अंतर \((2n+3)-(2n-1)=4\) है। परीक्षा टिप: \(a!/b!\), जहाँ \(a>b\), में बचे गुणकों की संख्या \(a-b\) होती है। / Expanding the numerator down to the denominator factorial gives \((2n+3)!=(2n+3)(2n+2)(2n+1)(2n)(2n-1)!\). Cancelling \((2n-1)!\) leaves four factors: \((2n+3),(2n+2),(2n+1)\), and \(2n\). Hence, the correct answer is 4. Option 5 is incorrect because the difference between the factorial indices is \((2n+3)-(2n-1)=4\). Exam tip: in \(a!/b!\), where \(a>b\), the number of factors left is \(a-b\).
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If \( \frac{(2n+3)!}{(2n-1)!}=17160 \), what is the value of (n)?
B. 5
छोटे फैक्टोरियल तक के पद कट जाते हैं: \(\frac{(2n+3)!}{(2n-1)!}=(2n)(2n+1)(2n+2)(2n+3)\)। अब \(17160=10\times11\times12\times13\) है। अतः \(2n=10\), इसलिए \(n=5\)। विकल्प 4 के लिए गुणनफल \(8\times9\times10\times11\) होगा, जो 17160 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के अनुपात में हर के अंतिम पद के बाद आने वाले लगातार पदों का गुणनफल लिखें। / Cancelling the common factorial terms gives \(\frac{(2n+3)!}{(2n-1)!}=(2n)(2n+1)(2n+2)(2n+3)\). Since \(17160=10\times11\times12\times13\), we have \(2n=10\), and hence \(n=5\). For option 4, the product is \(8\times9\times10\times11\), which is not 17160. Exam tip: In a factorial ratio, expand only the consecutive factors that remain after the smaller factorial is cancelled.
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What is \( \frac{(4n+1)!}{(4n-1)!} \) equal to?
A. \((4n+1)(4n)\)
\((4n+1)!\) को हर में दिए गए फैक्टोरियल तक विस्तार करने पर \((4n+1)!=(4n+1)(4n)(4n-1)!\) मिलता है। अब \((4n-1)!\) कट जाता है, इसलिए परिणाम \((4n+1)(4n)\) है। विकल्प D में \((4n-1)\) अनावश्यक रूप से बचा हुआ है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में अंश वाले बड़े फैक्टोरियल को हर वाले फैक्टोरियल तक ही फैलाएँ। / Expanding the numerator up to the factorial in the denominator gives \((4n+1)!=(4n+1)(4n)(4n-1)!\). The factor \((4n-1)!\) then cancels, leaving \((4n+1)(4n)\). Option D incorrectly retains the factor \((4n-1)\). Exam tip: In a factorial quotient, expand the larger factorial only as far as the denominator factorial.
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If \( \frac{(4n+1)!}{(4n-1)!}=420 \), what is the value of (n)?
B. 5
\((4n+1)!=(4n+1)(4n)(4n-1)!\) लिखने पर \((4n-1)!\) कट जाता है। इसलिए \((4n+1)(4n)=420\)। चूँकि \(20\times21=420\), अतः \(4n=20\) और \(n=5\) है। निकटतम विकल्प \(n=4\) के लिए मान \(16\times17=272\) होगा, जो 420 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के ऐसे भाग में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को निरस्त करें। / Write \((4n+1)!=(4n+1)(4n)(4n-1)!\). Cancelling \((4n-1)!\) gives \((4n+1)(4n)=420\). Since \(20\times21=420\), we get \(4n=20\), hence \(n=5\). The nearest distractor, \(n=4\), gives \(16\times17=272\), not 420. Exam tip: for a quotient of nearby factorials, expand the larger factorial only up to the smaller one and cancel common factors.
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What is the simplified form of \( \frac{(n+6)!}{(n+3)!}-\frac{(n+5)!}{(n+2)!} \)?
B. (3(n+5)(n+4))
सामान्य ((n+5)(n+4)) निकालने पर अंतर \((n+6)-(n+3)=3\) है। इसलिए रूप (3(n+5)(n+4)) है। / Taking common ((n+5)(n+4)), the difference is \((n+6)-(n+3)=3\). So the form is (3(n+5)(n+4)).
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If ( \frac{(n+6)!}{(n+3)!}-\frac{(n+5)!}{(n+2)!}=546 ), what is the value of (n)?
B. (8)
सरल रूप (3(n+5)(n+4)) है। \(3\cdot13\cdot12=468\) नहीं, सही \(3\cdot14\cdot13=546\) से (n=8) मिलता है। / The simplified form is (3(n+5)(n+4)). Since \(3\cdot13\cdot12=468\) is wrong and \(3\cdot14\cdot13=546\), (n=8).
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What is the simplified form of \( \frac{(n+6)!}{(n+4)!}+\frac{(n+5)!}{(n+3)!} \)?
A. \(2(n+5)^2\)
\(\frac{(n+6)!}{(n+4)!}=(n+6)(n+5)\) और \(\frac{(n+5)!}{(n+3)!}=(n+5)(n+4)\)। इसलिए योग \((n+5)[(n+6)+(n+4)]\) होगा। अतः \((n+5)(2n+10)=2(n+5)^2\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(2n+9\) है, जबकि कोष्ठक के पदों का सही योग \(2n+10\) है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में हर के फैक्टोरियल तक पदों को निरस्त करके बचे हुए क्रमागत गुणनखंड लिखें। / \(\frac{(n+6)!}{(n+4)!}=(n+6)(n+5)\) and \(\frac{(n+5)!}{(n+3)!}=(n+5)(n+4)\). Hence, the sum is \((n+5)[(n+6)+(n+4)]\). This gives \((n+5)(2n+10)=2(n+5)^2\), so option A is correct. Option B has \(2n+9\), whereas the correct sum inside the bracket is \(2n+10\). Exam tip: In factorial division, cancel through the denominator factorial and multiply the remaining consecutive factors.
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If \( \frac{(n+6)!}{(n+4)!}+\frac{(n+5)!}{(n+3)!}=338 \), what is the value of (n)?
A. 8
\(\frac{(n+6)!}{(n+4)!}=(n+6)(n+5)\) तथा \(\frac{(n+5)!}{(n+3)!}=(n+5)(n+4)\) है। इसलिए उनका योग \((n+5)[(n+6)+(n+4)]=2(n+5)^2\) होगा। अतः \(2(n+5)^2=338\), यानी \((n+5)^2=169\)। चूँकि फैक्टोरियल के लिए संबंधित पूर्णांक मान वैध होने चाहिए, \(n+5=13\) लेने पर \(n=8\) मिलता है। \(n=9\) रखने पर योग \(392\) आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटकर शेष क्रमागत गुणनखंड लिखें। / \(\frac{(n+6)!}{(n+4)!}=(n+6)(n+5)\) and \(\frac{(n+5)!}{(n+3)!}=(n+5)(n+4)\). Thus, their sum is \((n+5)[(n+6)+(n+4)]=2(n+5)^2\). Hence \(2(n+5)^2=338\), so \((n+5)^2=169\). Since the factorial arguments must be valid integers, take \(n+5=13\), which gives \(n=8\). Substituting \(n=9\) gives \(392\), not \(338\). Exam tip: In factorial fractions, cancel the common factorial part first and write the remaining consecutive factors.
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What is the value of \( \frac{13!}{7!\cdot6!}+\frac{13!}{8!\cdot5!} \)?
A. 3003
पहला पद \(\frac{13!}{7!\cdot6!}=\binom{13}{6}=1716\) है और दूसरा पद \(\frac{13!}{8!\cdot5!}=\binom{13}{5}=1287\) है। अतः आवश्यक मान \(1716+1287=3003\) है। \(3432\), \(1716\) का दोगुना है, इसलिए वह योग नहीं है। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{r!(n-r)!}\) को \(\binom{n}{r}\) के रूप में पहचानने से फैक्टोरियल वाले प्रश्न जल्दी हल होते हैं। / The first term is \(\frac{13!}{7!\cdot6!}=\binom{13}{6}=1716\), and the second term is \(\frac{13!}{8!\cdot5!}=\binom{13}{5}=1287\). Hence, the required value is \(1716+1287=3003\). The value \(3432\) is twice \(1716\), so it is not the required sum. Exam tip: Recognising \(\frac{n!}{r!(n-r)!}\) as \(\binom{n}{r}\) makes factorial questions faster to solve.
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What is the value of \( \frac{12!}{6!\cdot6!}\times\frac{3}{11} \)?
C. 252
\(\frac{12!}{6!\cdot6!}=\binom{12}{6}=924\)। अतः \(924\times\frac{3}{11}=84\times3=252\)। इसलिए सही उत्तर 252 है। 264 प्राप्त करने के लिए \(924\div11\) को गलत रूप से 88 मानना पड़ेगा, जबकि इसका सही मान 84 है। परीक्षा टिप: ऐसे व्यंजक में पहले फैक्टोरियल अनुपात को \(\binom{n}{r}\) के रूप में पहचानकर सरल करें। / \(\frac{12!}{6!\cdot6!}=\binom{12}{6}=924\). Therefore, \(924\times\frac{3}{11}=84\times3=252\). Hence, 252 is correct. Getting 264 would require incorrectly taking \(924\div11\) as 88, whereas it equals 84. Exam tip: first recognise such factorial ratios as \(\binom{n}{r}\), then simplify.
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What is the value of \( \frac{14!}{11!}-3\cdot\frac{13!}{11!} \)?
B. (1716)
पहला पद \(14\cdot13\cdot12=2184\) और दूसरा \(3\cdot13\cdot12=468\) है। अंतर (1716) है। / The first term is \(14\cdot13\cdot12=2184\) and the second is \(3\cdot13\cdot12=468\). The difference is (1716).
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What is the value of \( \frac{10!+3\cdot9!}{8!} \)?
B. 117
\(10!=10\cdot9\cdot8!\) और \(9!=9\cdot8!\)। अतः \(\frac{10!+3\cdot9!}{8!}=\frac{10\cdot9\cdot8!+3\cdot9\cdot8!}{8!}=90+27=117\)। इसलिए सही उत्तर 117 है। 126 तब मिल सकता है जब \(3\cdot9!\) वाले पद का गुणन गलत किया जाए। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में सभी फैक्टोरियल पदों को हर में दिए गए फैक्टोरियल, यहाँ \(8!\), के रूप में लिखकर सरल करें। / Using \(10!=10\cdot9\cdot8!\) and \(9!=9\cdot8!\), we get \(\frac{10!+3\cdot9!}{8!}=\frac{10\cdot9\cdot8!+3\cdot9\cdot8!}{8!}=90+27=117\). Hence, 117 is correct. A result such as 126 may arise from multiplying the \(3\cdot9!\) term incorrectly. Exam tip: express every factorial in terms of the factorial in the denominator, here \(8!\), before simplifying.
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What is the simplified form of \( \frac{(n+4)!}{(n-1)!(n+3)(n+2)} \)?
A. \(n(n+1)(n+4)\)
\((n+4)!\) को \((n-1)!\) तक फैलाने पर \((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)n(n-1)!\) मिलता है। दिए गए व्यंजक में \((n-1)!\), \((n+3)\) तथा \((n+2)\) कट जाते हैं। अतः शेष गुणनखंड \(n(n+1)(n+4)\) हैं, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \((n+2)\) को गलत रूप से रखा गया है, जबकि वह हर के साथ कट जाता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके ही काटें। / Expand \((n+4)!\) down to \((n-1)!\): \((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)n(n-1)!\). In the given expression, \((n-1)!\), \((n+3)\), and \((n+2)\) cancel, leaving \(n(n+1)(n+4)\). Hence, option A is correct. Option B incorrectly keeps \((n+2)\), although it cancels with the denominator. Exam tip: in factorial fractions, expand the larger factorial only up to the smaller factorial before cancelling.
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If ( \frac{(n+4)!}{(n-1)!(n+3)(n+2)}=990 ), what is the value of (n)?
B. (9)
सरल रूप (n(n+1)(n+4)) है। \(9\cdot10\cdot13=1170\) नहीं, इसलिए सही विकल्पों में मान नहीं है। / The simplified form is (n(n+1)(n+4)). Since \(9\cdot10\cdot13=1170\), no given option satisfies the equation.
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If \( \frac{(n+4)!}{(n-1)!(n+3)(n+2)}=840 \), what is the value of (n)?
D. कोई प्राकृतिक संख्या समाधान नहीं हैNo natural-number solution
\((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)n(n-1)!\) लिखने पर दिए गए व्यंजक का मान \(n(n+1)(n+4)\) मिलता है। \(n=7\) पर यह \(7\times8\times11=616\) तथा \(n=8\) पर \(8\times9\times12=864\) है। प्राकृतिक संख्याओं के लिए \(n(n+1)(n+4)\) बढ़ता है, इसलिए 616 और 864 के बीच का 840 प्राप्त नहीं हो सकता। अतः कोई प्राकृतिक संख्या समाधान नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले प्रश्नों में पहले उन्हें क्रमिक गुणनखंडों में फैलाकर कटने वाले पद हटाएँ। / Using \((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)n(n-1)!\), the expression simplifies to \(n(n+1)(n+4)\). At \(n=7\), it equals \(7\times8\times11=616\), and at \(n=8\), it equals \(8\times9\times12=864\). Since \(n(n+1)(n+4)\) increases for natural numbers, it cannot take the value 840 between these two consecutive cases. Hence, there is no natural-number solution. Exam tip: Expand factorials into consecutive factors first, then cancel common terms.
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What is the highest power of (3) that divides (35!)?
B. (15)
घात \( \left\lfloor\frac{35}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{35}{9}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{35}{27}\right\rfloor=15 \) है। उच्च घातों का योगदान जोड़ना न भूलें। / The exponent is \( \left\lfloor\frac{35}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{35}{9}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{35}{27}\right\rfloor=15 \). Do not forget the contribution of higher powers.
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What is the smallest positive (n) for which (n!) is divisible by \(2^{10}\cdot3^4\cdot5\cdot7\)?
C. (12)
(12!) में (2) की घात (10) और (3) की घात (5) होती है। इसलिए दी गई सभी शर्तें पहली बार (12!) में पूरी होती हैं। / (12!) has exponent (10) of (2) and exponent (5) of (3). Therefore all given conditions are first satisfied by (12!).
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What is the value of \( \frac{27!}{25!\cdot2!}-\frac{26!}{24!\cdot2!} \)?
C. 26
\(27!=27\times26\times25!\) होने से \(\frac{27!}{25!\cdot2!}=\frac{27\times26}{2}=351\)। इसी प्रकार, \(\frac{26!}{24!\cdot2!}=\frac{26\times25}{2}=325\)। अतः मान \(351-325=26\) है। 25 दूसरे पद में आने वाला गुणनखंड है, लेकिन दोनों पदों का अंतर नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर पहले समान पदों को काटें। / Since \(27!=27\times26\times25!\), \(\frac{27!}{25!\cdot2!}=\frac{27\times26}{2}=351\). Similarly, \(\frac{26!}{24!\cdot2!}=\frac{26\times25}{2}=325\). Hence, the value is \(351-325=26\). Although 25 occurs as a factor in the second term, it is not the difference. Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and cancel common factors first.
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What is the value of \( \frac{17!}{13!\cdot4!}-\frac{16!}{13!\cdot3!} \)?
C. 1820
\(13!\) को काटने पर \(\frac{17!}{13!\cdot4!}=\frac{17\times16\times15\times14}{4!}=2380\) मिलता है। इसी प्रकार, \(\frac{16!}{13!\cdot3!}=\frac{16\times15\times14}{3!}=560\) है। इसलिए व्यंजक का मान \(2380-560=1820\) है। \(2380\) केवल पहला पद है; उसमें से दूसरा पद घटाना आवश्यक है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्न में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर सामान्य पद काटें। / After cancelling \(13!\), \(\frac{17!}{13!\cdot4!}=\frac{17\times16\times15\times14}{4!}=2380\). Similarly, \(\frac{16!}{13!\cdot3!}=\frac{16\times15\times14}{3!}=560\). Hence, the value of the expression is \(2380-560=1820\). \(2380\) is only the first term, so the second term must still be subtracted. Exam tip: expand the larger factorial only up to the smaller factorial, then cancel common factors before calculating.
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How many consecutive factors will be in the expansion of \( \frac{(n+2)!}{(n-4)!} \)?
C. 6
\((n+2)!\) को \((n-4)!\) तक लिखने पर \((n+2)!=(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)!\) मिलता है। अतः हर का \((n-4)!\) कटने पर 6 लगातार गुणक बचते हैं: \((n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)\)। 7 गुणक लेना गलत है, क्योंकि \(n-4\) वाला गुणक हर के फैक्टोरियल में शामिल होकर कट जाता है। परीक्षा टिप: \(\frac{a!}{b!}\) में \(a>b\) होने पर शेष गुणकों की संख्या \(a-b\) होती है। / Writing the numerator up to \((n-4)!\), we get \((n+2)!=(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)!\). Cancelling \((n-4)!\) leaves 6 consecutive factors: \((n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)\). Seven factors would incorrectly include \(n-4\), which is already cancelled by the denominator. Exam tip: in \(\frac{a!}{b!}\), when \(a>b\), the number of remaining factors is \(a-b\).
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If \( \frac{(n+2)!}{(n-2)!}=5040 \), what is the value of (n)?
B. 8
\((n+2)!=(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)!\)। अतः \((n-2)!\) कटने पर \((n+2)(n+1)n(n-1)=5040\) मिलता है। चार क्रमागत संख्याओं का गुणनफल \(7\times8\times9\times10=5040\) है। इसलिए इनके मध्य के दो पदों में दूसरा पद \(n=8\) होगा। निकटतम विकल्प \(n=9\) के लिए गुणनफल \(8\times9\times10\times11\) होगा, जो 5040 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को काटें। / Using \((n+2)!=(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)!\), cancel \((n-2)!\) to obtain \((n+2)(n+1)n(n-1)=5040\). Now \(7\times8\times9\times10=5040\), so the four consecutive factors are \(n-1,n,n+1,n+2\) with \(n=8\). The close distractor \(n=9\) gives \(8\times9\times10\times11\), not 5040. Exam tip: expand the larger factorial only down to the smaller factorial before cancelling.
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What is the simplified form of \( \frac{\frac{(n+3)!}{(n-2)!}}{\frac{(n+2)!}{(n-3)!}} \)?
A. \(\frac{n+3}{n-2}\)
दिए गए व्यंजक को गुणन के रूप में लिखने पर \(\frac{(n+3)!(n-3)!}{(n-2)!(n+2)!}\) प्राप्त होता है। यहाँ \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\) और \((n-2)!=(n-2)(n-3)!\) रखने पर \((n+2)!\) तथा \((n-3)!\) कट जाते हैं। इसलिए शेष मान \(\frac{n+3}{n-2}\) है। विकल्प D इसका व्युत्क्रम है, इसलिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्नों में बड़े फैक्टोरियल को छोटे निकटतम फैक्टोरियल तक फैलाकर पहले उभयनिष्ठ पद काटें। / Writing the complex fraction as a product gives \(\frac{(n+3)!(n-3)!}{(n-2)!(n+2)!}\). Now use \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\) and \((n-2)!=(n-2)(n-3)!\). The factors \((n+2)!\) and \((n-3)!\) cancel, leaving \(\frac{n+3}{n-2}\). Option D is the reciprocal of the required result, so it is incorrect. Exam tip: expand a larger factorial only until a common smaller factorial appears, then cancel common factors.
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If \( \frac{\frac{(n+3)!}{(n-2)!}}{\frac{(n+2)!}{(n-3)!}}=\frac{5}{2} \), what is the value of (n)?
B. (4)
सरल रूप \( \frac{n+3}{n-2} \) है। \( \frac{n+3}{n-2}=\frac{5}{2} \) से \(n=4\) मिलता है। / The simplified form is \( \frac{n+3}{n-2} \). From \( \frac{n+3}{n-2}=\frac{5}{2} \), we get \(n=4\).
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How many zeros will be at the end of (80!)?
B. (19)
शून्यों की संख्या \( \left\lfloor\frac{80}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{80}{25}\right\rfloor=19 \) है। (5) की घातों का योगदान जोड़ें। / The number of zeros is \( \left\lfloor\frac{80}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{80}{25}\right\rfloor=19 \). Add the contribution of powers of (5).
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What is the simplified value of \( \frac{24!}{22!}\div\frac{12!}{10!} \)?
B. \( \frac{46}{11} \)
मान \( \frac{24\cdot23}{12\cdot11}=\frac{46}{11} \) है। भाग में दोनों फैक्टोरियल अनुपात फैलाएं। / The value is \( \frac{24\cdot23}{12\cdot11}=\frac{46}{11} \). Expand both factorial ratios in division.
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What is the simplified value of \( \frac{8!\cdot11!}{10!\cdot7!} \)?
C. 88
\(8!=8\cdot7!\) और \(11!=11\cdot10!\) रखने पर \(\frac{8!\cdot11!}{10!\cdot7!}=\frac{(8\cdot7!)(11\cdot10!)}{10!\cdot7!}=8\cdot11=88\)। इसलिए विकल्प C सही है। \(10!\) और \(7!\) को काटने के बाद केवल 8 और 11 शेष रहते हैं; 80 उनका सही गुणनफल नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्नों में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटें, फिर शेष गुणनखंडों का गुणन करें। / Substitute \(8!=8\cdot7!\) and \(11!=11\cdot10!\): \(\frac{8!\cdot11!}{10!\cdot7!}=\frac{(8\cdot7!)(11\cdot10!)}{10!\cdot7!}=8\cdot11=88\). Therefore, option C is correct. After cancelling \(10!\) and \(7!\), only 8 and 11 remain; 80 is not their product. Exam tip: in factorial fractions, cancel common factorial terms before expanding or multiplying.
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What is the simplified form of \( \frac{(n+6)!-(n+5)!}{(n+4)!} \)?
A. \((n+5)^2\)
\((n+6)!=(n+6)(n+5)!\) रखने पर अंश \((n+5)![(n+6)-1]=(n+5)!(n+5)\) हो जाता है। अब \((n+5)!=(n+5)(n+4)!\), अतः \(\frac{(n+5)!(n+5)}{(n+4)!}=(n+5)^2\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प D में \((n+6)\) बना रहता है, लेकिन अंश में घटाव करने पर गुणक \((n+6)-1=(n+5)\) हो जाता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के घटाव में पहले छोटे समान फैक्टोरियल को common factor के रूप में बाहर लें। / Using \((n+6)!=(n+6)(n+5)!\), the numerator becomes \((n+5)![(n+6)-1]=(n+5)!(n+5)\). Also, \((n+5)!=(n+5)(n+4)!\). Therefore, \(\frac{(n+5)!(n+5)}{(n+4)!}=(n+5)^2\), so option A is correct. Option D incorrectly retains the factor \((n+6)\); after subtraction, the factor is \((n+6)-1=(n+5)\). Exam tip: In a factorial subtraction, factor out the smaller common factorial first.
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If \( \frac{(n+6)!-(n+5)!}{(n+4)!}=196 \), what is the value of (n)?
B. 9
\((n+6)!=(n+6)(n+5)!\) रखने पर अंश \((n+5)![(n+6)-1]=(n+5)(n+5)!\) हो जाता है। अतः दिया गया व्यंजक \((n+5)^2\) के बराबर है। इसलिए \((n+5)^2=196=14^2\)। फैक्टोरियल के परिभाषित होने के लिए \(n+4\) अऋणात्मक पूर्णांक होना चाहिए, इसलिए \(n+5=14\), न कि \(-14\)। अतः \(n=9\)। विकल्प 8 रखने पर मान \(169\) आएगा। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के घटाव में पहले छोटे फैक्टोरियल को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में बाहर निकालें। / Using \((n+6)!=(n+6)(n+5)!\), the numerator becomes \((n+5)![(n+6)-1]=(n+5)(n+5)!\). Thus, the given expression equals \((n+5)^2\). Hence \((n+5)^2=196=14^2\). Since \(n+4\) must be a non-negative integer for the factorials to be defined, \(n+5=14\), not \(-14\). Therefore, \(n=9\). Substituting 8 would give \(169\), not 196. Exam tip: In factorial subtraction, factor out the smaller common factorial first.
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What is the simplified form of ( \frac{(n+7)!}{(n+4)!}-\frac{(n+6)!}{(n+3)!} )?
B. (4(n+6)(n+5))
सामान्य ((n+6)(n+5)) निकालें। अंतर ((n+7)-(n+4)=3) नहीं, क्योंकि दूसरा पद ((n+6)(n+5)(n+4)) है और अंतर (3(n+6)(n+5)) है। / Take common ((n+6)(n+5)). The difference is ((n+7)-(n+4)=3), so the correct form is (3(n+6)(n+5)).
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If \( \frac{(n+7)!}{(n+4)!}-\frac{(n+6)!}{(n+3)!}=720 \), what is the value of (n)?
B. 10
\(\frac{(n+7)!}{(n+4)!}=(n+7)(n+6)(n+5)\) तथा \(\frac{(n+6)!}{(n+3)!}=(n+6)(n+5)(n+4)\)। दोनों में से समान गुणनखंड लेने पर अंतर \((n+6)(n+5)[(n+7)-(n+4)]=3(n+6)(n+5)\) मिलता है। इसलिए \(3(n+6)(n+5)=720\), अतः \((n+6)(n+5)=240\)। क्रमागत संख्याएँ \(15\) और \(16\) का गुणनफल 240 है, इसलिए \(n+5=15\) और \(n=10\)। विकल्प 9 के लिए गुणनफल \(14\times15=210\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के अनुपात को पहले लगातार गुणनखंडों में फैलाकर समान पदों को सरल करें। / \(\frac{(n+7)!}{(n+4)!}=(n+7)(n+6)(n+5)\), while \(\frac{(n+6)!}{(n+3)!}=(n+6)(n+5)(n+4)\). Factoring out the common terms gives the difference as \((n+6)(n+5)[(n+7)-(n+4)]=3(n+6)(n+5)\). Thus, \(3(n+6)(n+5)=720\), so \((n+6)(n+5)=240\). The consecutive numbers 15 and 16 have product 240, hence \(n+5=15\) and \(n=10\). For option 9, the product would be \(14\times15=210\), so it is not correct. Exam tip: Expand factorial ratios into consecutive factors before simplifying common terms.
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If \( \frac{(n!)^2}{(n-1)!(n+1)!}=\frac{13}{14} \), what is the value of (n)?
B. 13
\(n!=n(n-1)!\) तथा \((n+1)!=(n+1)n!\) का उपयोग करने पर \(\frac{(n!)^2}{(n-1)!(n+1)!}=\frac{n}{n+1}\) मिलता है। अतः \(\frac{n}{n+1}=\frac{13}{14}\)। क्रॉस-गुणन से \(14n=13n+13\), इसलिए \(n=13\)। विकल्प 14 लेने पर मान \(\frac{14}{15}\) होता है, जो दिए गए भिन्न के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: क्रमागत फैक्टोरियल को विस्तार करके पहले समान पदों को काटें। / Using \(n!=n(n-1)!\) and \((n+1)!=(n+1)n!\), the given expression reduces to \(\frac{n}{n+1}\). Therefore, \(\frac{n}{n+1}=\frac{13}{14}\). Cross-multiplication gives \(14n=13n+13\), hence \(n=13\). If \(n=14\), the fraction would be \(\frac{14}{15}\), not the given value. Exam tip: expand consecutive factorials first and cancel common factors before solving.
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What is the simplified value of \( \frac{19!}{15!\cdot4!}\div\frac{18!}{14!\cdot4!} \)?
B. \( \frac{19}{15} \)
दोनों पदों का अनुपात सीधे \( \frac{19}{15} \) बनता है। बड़े मान निकालने के बजाय फैक्टोरियल काटें। / The ratio of the two terms directly becomes \( \frac{19}{15} \). Cancel factorials instead of finding large values.
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What is the simplified form of \( \frac{(n+3)!}{n!}+\frac{(n+1)!}{(n-2)!} \)?
A. \(2n^3+6n^2+10n+6\)
\(\frac{(n+3)!}{n!}=(n+3)(n+2)(n+1)=n^3+6n^2+11n+6\)। तथा \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=(n+1)n(n-1)=n^3-n\)। दोनों को जोड़ने पर \(2n^3+6n^2+10n+6\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में रैखिक पद का गुणांक गलत है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्न में पहले समान पदों को काटकर शेष क्रमागत गुणनखंड लिखें। / \(\frac{(n+3)!}{n!}=(n+3)(n+2)(n+1)=n^3+6n^2+11n+6\). Also, \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=(n+1)n(n-1)=n^3-n\). Their sum is \(2n^3+6n^2+10n+6\), so option A is correct. In option B, the coefficient of the linear term is incorrect. Exam tip: In factorial fractions, cancel the common factorial first and then write the remaining consecutive factors.
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If ( \frac{(n+3)!}{n!}+\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=546 ), what is the value of (n)?
A. (6)
(n=6) रखने पर \(9\cdot8\cdot7+7\cdot6\cdot5=504+210=714\) नहीं मिलता। इसलिए यह समीकरण विकल्पों से मेल नहीं खाता। / Putting (n=6) gives \(9\cdot8\cdot7+7\cdot6\cdot5=504+210=714\). Therefore the equation does not match the options.
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What is the value of \( \frac{13!}{6!\cdot7!}-\frac{12!}{6!\cdot6!} \)?
A. 792
पहला पद \(\frac{13!}{6!\cdot7!}=\binom{13}{6}=1716\) और दूसरा पद \(\frac{12!}{6!\cdot6!}=\binom{12}{6}=924\) है। इसलिए मान \(1716-924=792\) होगा। विकल्प 846, दूसरे संयोजन गुणांक का गलत मान लेने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{r!(n-r)!}\) को \(\binom{n}{r}\) के रूप में पहचानकर गणना तेज करें। / The first term is \(\frac{13!}{6!\cdot7!}=\binom{13}{6}=1716\), and the second term is \(\frac{12!}{6!\cdot6!}=\binom{12}{6}=924\). Hence, the value is \(1716-924=792\). Option 846 may result from evaluating the second binomial coefficient incorrectly. Exam tip: recognise \(\frac{n!}{r!(n-r)!}\) as \(\binom{n}{r}\) to calculate quickly.
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What is the simplified form of ( \frac{(n+4)!}{(n+1)!}+\frac{(n+3)!}{n!} )?
C. ( (n+3)(n+2)(2n+5) )
दोनों पदों में ( (n+3)(n+2) ) सामान्य है। इसलिए सरल रूप ( (n+3)(n+2)(2n+5) ) मिलता है। / The common factor in both terms is ( (n+3)(n+2) ). Therefore the simplified form is ( (n+3)(n+2)(2n+5) ).
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If (n>3) and (\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=120) then what is the value of (n)?
A. (4)
हर को काटने पर (n(n-1)(n+1)=120) मिलता है और (n=4) संतुष्ट करता है। परीक्षा में पहले क्रमागत गुणनखंड लिखें। / After cancellation we get (n(n-1)(n+1)=120) and (n=4) satisfies it. In exams write consecutive factors first.
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If (\frac{(n+4)!}{(n+1)!}=990) then what is the value of (n)?
C. (9)
((n+4)(n+3)(n+2)=990) मिलता है। \(13\times12\times11=1716\) नहीं इसलिए क्रमागत गुणनखंड ध्यान से मिलाएं और (n=9) सही है। / We get ((n+4)(n+3)(n+2)=990). Match consecutive factors carefully; (n=9) is correct.
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Which of the following statements is always true for a positive integer n?
A. \((n+1)!=(n+1)\cdot n!\)
फैक्टोरियल की पुनरावर्ती परिभाषा के अनुसार \((n+1)!=(n+1)\cdot n!\) होता है, क्योंकि \((n+1)!\) में 1 से \(n+1\) तक सभी गुणनखंड होते हैं। विकल्प B में फैक्टोरियल को जोड़ के रूप में गलत माना गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में पहले \((n+1)!\) को \((n+1)n!\) लिखें। / By the recursive definition of factorial, \((n+1)!=(n+1)\cdot n!\), since it includes every factor from 1 to \(n+1\). Option B incorrectly treats factorial as an addition. Exam tip: rewrite \((n+1)!\) as \((n+1)n!\) before comparing factorial expressions.
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If \(\frac{(n+2)!}{n!}=56\) then what is the positive value of (n)?
B. 6
\((n+2)!=(n+2)(n+1)n!\) होने पर \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\) होगा। अतः \((n+2)(n+1)=56\)। 56 के क्रमागत गुणनखंड \(7\) और \(8\) हैं, इसलिए \(n+1=7\) तथा \(n=6\)। निकटतम विकल्प 7 लेने पर \((9)(8)=72\) मिलता है, जो 56 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान \(n!\) को काटें। / Since \((n+2)!=(n+2)(n+1)n!\), we have \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\). Therefore, \((n+2)(n+1)=56\). The consecutive factors of 56 are \(7\) and \(8\), so \(n+1=7\) and hence \(n=6\). For the close distractor 7, the product is \(9\times8=72\), not 56. Exam tip: In a factorial fraction, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and cancel common terms.
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What is the value of \(\frac{22!-21!}{20!}\)?
B. 441
\(22!=22\times21!\), इसलिए \(22!-21!=21!(22-1)=21\times21!\)। अब \(21!=21\times20!\), अतः \(\frac{21\times21!}{20!}=21\times21=441\)। विकल्प 462 में गुणनखंडों का सही सरलीकरण नहीं होता। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के घटाव में पहले छोटे फैक्टोरियल को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में बाहर निकालें। / Since \(22!=22\times21!\), \(22!-21!=21!(22-1)=21\times21!\). Also, \(21!=21\times20!\), so \(\frac{21\times21!}{20!}=21\times21=441\). The value 462 does not follow from the correct factorial simplification. Exam tip: In subtraction involving factorials, first factor out the smaller common factorial.
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What is the value of \(\frac{9!}{7!}+\frac{8!}{6!}\)?
A. (128)
\(\frac{9!}{7!}=72\) और \(\frac{8!}{6!}=56\) इसलिए योग (128) है। परीक्षा में बड़े गुणनखंडों को तुरंत काटें। / Here \(\frac{9!}{7!}=72\) and \(\frac{8!}{6!}=56\) so the sum is (128). In exams cancel larger factorials quickly.
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What is the highest power of (5) in (75!)?
C. (18)
घात \(\left\lfloor\frac{75}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{75}{25}\right\rfloor=15+3=18\) है। अभाज्य की सभी संभव घातों के भागफल जोड़ें। / The exponent is \(\left\lfloor\frac{75}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{75}{25}\right\rfloor=15+3=18\). Add quotients of all possible powers of the prime.
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What is the value of \(\frac{12!}{10!\times 2!}\)?
C. (66)
\(\frac{12!}{10!\times 2!}=\frac{12\times11}{2}=66\) होता है। ऐसे प्रश्नों में पूरा गुणनफल न फैलाएं। / \(\frac{12!}{10!\times 2!}=\frac{12\times11}{2}=66\). Do not expand the whole product in such questions.
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What is the value of \(\frac{24!}{21!\times 3!}\)?
D. (2024)
\(\frac{24!}{21!\times3!}=\frac{24\times23\times22}{6}=2024\) है। बड़े फैक्टोरियल को पूरा फैलाने से बचें। / \(\frac{24!}{21!\times3!}=\frac{24\times23\times22}{6}=2024\). Avoid expanding the whole large factorial.
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What is the value of \(\frac{15!}{13!\times 3}\)?
C. (70)
\(\frac{15!}{13!\times3}=\frac{15\times14}{3}=70\) है। पहले समान भाज्य हटाने से गलती कम होती है। / \(\frac{15!}{13!\times3}=\frac{15\times14}{3}=70\). Removing common factorials first reduces mistakes.
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If (\frac{n!}{(n-5)!}=55440) then what is the value of (n)?
B. (11)
यह (n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)=55440) है। \(11\times10\times9\times8\times7=55440\) इसलिए (n=11) है। / This is (n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)=55440). Since \(11\times10\times9\times8\times7=55440\), (n=11).
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If \(\frac{n!}{(n-3)!}=210\) then what is the value of (n)?
C. 7
क्योंकि \(n!=n(n-1)(n-2)(n-3)!\), इसलिए \(\frac{n!}{(n-3)!}=n(n-1)(n-2)\) होगा। अतः \(n(n-1)(n-2)=210\)। \(7\times6\times5=210\), इसलिए \(n=7\) है। निकटतम विकल्प \(n=6\) के लिए गुणनफल \(6\times5\times4=120\) आता है, जो 210 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के अनुपात में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके समान पदों को काटें। / Since \(n!=n(n-1)(n-2)(n-3)!\), we get \(\frac{n!}{(n-3)!}=n(n-1)(n-2)\). Thus, \(n(n-1)(n-2)=210\). As \(7\times6\times5=210\), the value of \(n\) is 7. For the closest distractor, \(n=6\) gives \(6\times5\times4=120\), not 210. Exam tip: In a factorial ratio, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and cancel common factors.
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A. \(\frac{n!}{r!}\)
क्योंकि \(n!=1\cdot2\cdots r\cdot(r+1)(r+2)\cdots n\) और \(r!=1\cdot2\cdots r\) है, इसलिए \(n!\) को \(r!\) से भाग देने पर आरम्भिक गुणनखंड कट जाते हैं। अतः शेष गुणनफल \((r+1)(r+2)\cdots n=\frac{n!}{r!}\) होता है। \((n-r)!\) केवल पदों की संख्या \(n-r\) का फैक्टोरियल है, दिए गए पदों का गुणनफल नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्न में समान आरम्भिक गुणनखंडों को काटकर जाँच करें। / Since \(n!=1\cdot2\cdots r\cdot(r+1)(r+2)\cdots n\) and \(r!=1\cdot2\cdots r\), dividing \(n!\) by \(r!\) cancels the initial factors. Hence \((r+1)(r+2)\cdots n=\frac{n!}{r!}\). \((n-r)!\) is the factorial of the number of terms, not the product of the given terms. Exam tip: cancel the common initial factors in a factorial fraction to verify the result.
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What is the least (n) for which (n!) is divisible by (343)?
A. 21
क्योंकि 343 = 73, इसलिए n! में 7 के कम-से-कम तीन गुणनखंड होने चाहिए। 21! में 7, 14 और 21 से तीन गुणनखंड 7 मिलते हैं, अतः 73, 21! को विभाजित करता है। 20! में केवल 7 और 14 से दो गुणनखंड 7 मिलते हैं, इसलिए वह 343 से विभाज्य नहीं है। परीक्षा टिप: किसी अभाज्य घात p^k के लिए n! में p के गुणनखंडों की संख्या गिनें। / Since 343 = 73, n! must contain at least three factors of 7. In 21!, the numbers 7, 14, and 21 contribute three factors of 7, so 73 divides 21!. In contrast, 20! contains only two factors of 7, from 7 and 14, so it is not divisible by 343. Exam tip: For a prime power p^k, count the factors of p present in n!.
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If \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=110\) then what will be the value of (n)?
B. 8
\((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!\) होने के कारण \[\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2).\] अतः \((n+3)(n+2)=110\)। क्योंकि \(10\times11=110\), इसलिए \(n+2=10\) और \(n=8\)। दूसरा बीजगणितीय मूल \(n=-13\) होगा, पर उसके लिए \((n+1)!\) परिभाषित नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटकर शेष क्रमागत गुणनखंड लिखें। / Using \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!\), \[\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2).\] Hence, \((n+3)(n+2)=110\). Since \(10\times11=110\), we get \(n+2=10\), so \(n=8\). The other algebraic root is \(n=-13\), but then \((n+1)!\) is not defined. Exam tip: In a factorial quotient, cancel the common factorial part first and write the remaining consecutive factors.
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What is the value of \(\frac{30!}{28!}-\frac{29!}{27!}\)?
B. 58
\(\frac{30!}{28!}=30\times29\), क्योंकि \(28!\) कट जाता है। इसी प्रकार, \(\frac{29!}{27!}=29\times28\)। अतः अंतर \(30\times29-29\times28=29(30-28)=58\) है। 56 निकट का विकल्प हो सकता है, पर वह गुणनखंड \(29\) के साथ सही अंतर \(2\) लेने पर नहीं मिलता। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्नों में छोटे फैक्टोरियल को काटकर शेष क्रमागत संख्याएँ लिखें। / \(\frac{30!}{28!}=30\times29\) because \(28!\) cancels. Similarly, \(\frac{29!}{27!}=29\times28\). Therefore, the difference is \(30\times29-29\times28=29(30-28)=58\). Option 56 may seem close, but it does not result from the correct common factor \(29\) and difference \(2\). Exam tip: In factorial fractions, cancel the smaller factorial first and write the remaining consecutive factors.
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What is the value of \(\frac{20!}{18!\times 19}\)?
C. (20)
\(\frac{20!}{18!\times19}=\frac{20\times19}{19}=20\) है। कटौती के बाद बचा हुआ गुणनखंड देखें। / \(\frac{20!}{18!\times19}=\frac{20\times19}{19}=20\). Look at the remaining factor after cancellation.
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If \(\frac{(n+6)!}{(n+4)!}=272\) then what is the value of (n)?
A. \(10\)
\((n+6)!=(n+6)(n+5)(n+4)!\) होने से \(\frac{(n+6)!}{(n+4)!}=(n+6)(n+5)\) होगा। अतः \((n+6)(n+5)=272\)। क्योंकि \(16\times17=272\), इसलिए \(n+5=16\) और \(n=10\)। \(n=11\) लेने पर गुणनफल \(17\times18\) होगा, जो 272 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में समान \((n+4)!\) पद को काटने से पहले ऊपर के शेष क्रमागत गुणनखंड लिखें। / Since \((n+6)!=(n+6)(n+5)(n+4)!\), we get \(\frac{(n+6)!}{(n+4)!}=(n+6)(n+5)\). Thus, \((n+6)(n+5)=272\). As \(16\times17=272\), \(n+5=16\), so \(n=10\). For \(n=11\), the product would be \(17\times18\), not 272. Exam tip: In a factorial quotient, write the remaining consecutive factors before cancelling the common factorial term.
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What is the value of \(\frac{10!+9!}{8!}\)?
A. 99
\(10!=10\times9!\) लिखने पर अंश \(10\times9!+9!=9!(10+1)=11\times9!\) हो जाता है। अतः \(\frac{11\times9!}{8!}=11\times9=99\)। इसलिए सही उत्तर 99 है। \(108\) जैसे विकल्प सामान्यतः गुणनखंड निकालते समय \(10+1\) के स्थान पर गलत योग लेने से प्राप्त हो सकते हैं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्नों में पहले अंश के पदों को एक ही छोटे फैक्टोरियल के रूप में लिखें। / Writing \(10!=10\times9!\), the numerator becomes \(10\times9!+9!=9!(10+1)=11\times9!\). Hence, \(\frac{11\times9!}{8!}=11\times9=99\). Therefore, 99 is the correct answer. A value such as 108 may result from an incorrect addition while taking the common factorial. Exam tip: In factorial fractions, first express numerator terms using the same smaller factorial.
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What is the value of \(\frac{14!+13!}{12!}\)?
B. 195
\(14!=14\times13!\), इसलिए \(14!+13!=14\times13!+13!=13!(14+1)=15\times13!\)। अब \(13!=13\times12!\), अतः \(\frac{15\times13!}{12!}=15\times13=195\)। इसलिए विकल्प B सही है। \(210\) योग को गलत ढंग से \(14\times15\) मान लेने पर मिल सकता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के योग में पहले समान छोटे फैक्टोरियल को गुणनखंड के रूप में बाहर निकालें। / Since \(14!=14\times13!\), we get \(14!+13!=14\times13!+13!=13!(14+1)=15\times13!\). As \(13!=13\times12!\), \(\frac{15\times13!}{12!}=15\times13=195\). Hence, option B is correct. \(210\) may result from incorrectly treating the expression as \(14\times15\). Exam tip: for sums of factorials, first factor out the smaller common factorial.
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If \(\frac{n!}{(n-2)!}=132\) then what is the value of (n)?
C. 12
क्योंकि \(n!=n(n-1)(n-2)!\), इसलिए \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\)। अतः \(n(n-1)=132\)। \(12\times11=132\), इसलिए \(n=12\)। निकटतम विकल्प \(11\) के लिए \(11\times10=110\) मिलता है, जो 132 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को काटें। / Since \(n!=n(n-1)(n-2)!\), \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\). Thus, \(n(n-1)=132\). As \(12\times11=132\), \(n=12\). For the closest distractor, \(n=11\) gives \(11\times10=110\), not 132. Exam tip: Expand the larger factorial up to the smaller factorial and cancel common factors.
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If \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=156\) then what is the value of (n)?
B. 9
\((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)!\) लिखने पर \((n+2)!\) कट जाता है और \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\) मिलता है। अतः \((n+4)(n+3)=156\)। क्योंकि \(12\times13=156\), इसलिए \(n+3=12\) और \(n=9\)। उदाहरण के लिए, \(n=10\) रखने पर मान \(14\times13=182\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके पदों को काटें। / Write \((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)!\). Cancelling \((n+2)!\) gives \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\). Thus, \((n+4)(n+3)=156\). Since \(12\times13=156\), we have \(n+3=12\), so \(n=9\). For example, if \(n=10\), the value would be \(14\times13=182\), so it is not correct. Exam tip: In a factorial quotient, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and then cancel common terms.
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What is the least (n) for which (n!) is divisible by (72)?
B. (6)
\(72=2^3\times3^2\) है और (6!) में ये सभी गुणनखंड हैं। ऐसे प्रश्नों में अभाज्य गुणनखंड पहले लिखें। / \(72=2^3\times3^2\) and (6!) contains all these factors. In such questions write prime factors first.
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What is the least (n) for which (n!) is divisible by (125)?
C. 15
यहाँ \(125=5^3\) है, इसलिए \(n!\) में कम-से-कम तीन गुणनखंड \(5\) होने चाहिए। \(14!\) में केवल \(5\) और \(10\) से दो गुणनखंड \(5\) मिलते हैं, इसलिए वह \(125\) से विभाज्य नहीं है। \(15!\) में \(5,10,15\) से तीन गुणनखंड \(5\) मिलते हैं; अतः \(15!\), \(5^3=125\) से विभाज्य है। परीक्षा टिप: \(p^k\) से विभाज्यता के लिए \(n!\) में अभाज्य \(p\) की घात गिनें। / Since \(125=5^3\), \(n!\) must contain at least three factors of \(5\). In \(14!\), only \(5\) and \(10\) contribute factors of \(5\), so it has only two such factors and is not divisible by \(125\). In \(15!\), the terms \(5,10,15\) provide three factors of \(5\); hence \(15!\) is divisible by \(5^3=125\). Exam tip: for divisibility by \(p^k\), count the exponent of the prime \(p\) in \(n!\).
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How many trailing zeros are there in (50!)?
C. (12)
शून्य की संख्या \(\left\lfloor\frac{50}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{50}{25}\right\rfloor=10+2=12\) है। (5) की घात गिनना सबसे तेज तरीका है। / The number of zeros is \(\left\lfloor\frac{50}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{50}{25}\right\rfloor=10+2=12\). Counting powers of (5) is the fastest method.
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What is the highest power of (5) in (100!)?
C. (24)
घात \( \left\lfloor\frac{100}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{100}{25}\right\rfloor=20+4=24\) है। उच्च घात के लिए भागफल जोड़ें। / The exponent is \(\left\lfloor\frac{100}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{100}{25}\right\rfloor=20+4=24\). For highest power add the quotients.
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What is the highest power of (7) in (80!)?
B. (12)
घात \( \left\lfloor\frac{80}{7}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{80}{49}\right\rfloor=11+1=12\) है। अभाज्य की घातों तक ही जोड़ें। / The exponent is \(\left\lfloor\frac{80}{7}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{80}{49}\right\rfloor=11+1=12\). Add only up to powers of the prime.
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Which value is equal to \(\frac{25!}{23!}\)?
B. 600
\(25! = 25\times24\times23!\) होता है। अतः \(\frac{25!}{23!}=\frac{25\times24\times23!}{23!}=25\times24=600\)। इसलिए विकल्प B सही है। \(625=25\times25\) होता है, जबकि यहाँ क्रमागत गुणनखंड \(25\) और \(24\) हैं। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{(n-r)!}\) में केवल बचे हुए क्रमागत गुणनखंडों का गुणन करें। / We have \(25!=25\times24\times23!\). Therefore, \(\frac{25!}{23!}=\frac{25\times24\times23!}{23!}=25\times24=600\). Hence, option B is correct. In contrast, \(625=25\times25\), whereas the required consecutive factors are \(25\) and \(24\). Exam tip: In \(\frac{n!}{(n-r)!}\), multiply only the consecutive factors that remain after cancellation.
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What is the value of \(\frac{16!}{14!\times 8}\)?
B. 30
क्योंकि \(16!=16\times15\times14!\), इसलिए \(\frac{16!}{14!\times8}=\frac{16\times15\times14!}{14!\times8}=\frac{16\times15}{8}=2\times15=30\)। अतः सही उत्तर 30 है। 32 निकट का विकल्प है, लेकिन यह सही सरलीकरण से प्राप्त नहीं होता। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक लिखकर समान पदों को पहले काटें। / Since \(16!=16\times15\times14!\), \(\frac{16!}{14!\times8}=\frac{16\times15\times14!}{14!\times8}=\frac{16\times15}{8}=2\times15=30\). Hence, the correct answer is 30. Option 32 is a close distractor, but it does not follow from the correct simplification. Exam tip: In a factorial fraction, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and cancel common factors first.
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What is the simplified form of \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}-\frac{(n+2)!}{n!}\)?
A. \(2(n+2)\)
\((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!\), इसलिए \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\)। इसी प्रकार, \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\)। अतः दिया गया व्यंजक \((n+2)[(n+3)-(n+1)]=2(n+2)\) है। \(n+2\) वाला विकल्प समान गुणनखंड निकालने के बाद प्राप्त अंतर 2 को छोड़ देता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्नों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके पदों को निरस्त करें। / Since \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!\), \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\). Similarly, \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\). Hence, the expression becomes \((n+2)[(n+3)-(n+1)]=2(n+2)\). The option \(n+2\) incorrectly omits the difference factor 2. Exam tip: In factorial fractions, expand only until the denominator factorial and then cancel common factors.
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If (\frac{(n+1)!+n!}{(n-1)!}=150) then what is the value of (n)?
B. (10)
ऊपर (n!(n+2)) बनता है और भाग देने पर (n(n+2)=150) मिलता है। \(10\times12=120\) नहीं इसलिए सावधानी से जाँचें। / The numerator becomes (n!(n+2)) and division gives (n(n+2)=150). Check carefully because \(10\times12=120\) is not enough.
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Which of the following statements about factorials is true for every positive integer \(n\)?
A. \((n+1)!=(n+1)\cdot n!\)
फैक्टोरियल की परिभाषा के अनुसार \((n+1)!=(n+1)\cdot n!\) होता है। वास्तव में, \((n+1)!=(n+1)\cdot n\cdot(n-1)\cdots1\), जबकि \(n!=n\cdot(n-1)\cdots1\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में फैक्टोरियल का संबंध जोड़ से नहीं, गुणा से होता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल को सरल बनाने के लिए बड़े फैक्टोरियल से सबसे बड़ा गुणनखंड अलग करें। / By definition, \((n+1)!=(n+1)\cdot n!\). Indeed, \((n+1)!=(n+1)\cdot n\cdot(n-1)\cdots1\), while \(n!=n\cdot(n-1)\cdots1\). Therefore, option A is correct. Option B wrongly uses addition; factorials are related through multiplication. Exam tip: to simplify factorial expressions, separate the greatest factor from the larger factorial.
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What is the value of \(\frac{7!}{5!} \times \frac{4!}{6!}\)?
A. (7)
मान (\(7\times6\)\times\frac{1}{6\times5}= \frac{7}{5}) नहीं बल्कि \(\frac{7!4!}{5!6!}=\frac{7}{5}\) है। विकल्पों में कोई नहीं दिखता इसलिए प्रश्न को सावधानी से पढ़ें। / The value is (\(7\times6\)\times\frac{1}{6\times5}= \frac{7}{5}) not an integer. Since options do not match, read the expression carefully.
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What is the value of \(\frac{7!}{5!}\times\frac{5!}{6!}\)?
C. (7)
बीच का (5!) कट जाता है और \(\frac{7!}{6!}=7\) बचता है। श्रृंखला कटौती में क्रम न बदलें। / The middle (5!) cancels and \(\frac{7!}{6!}=7\) remains. Do not change the order in chained cancellation.
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What is the value of \(\frac{8!}{6!} \div \frac{7!}{5!}\)?
B. \( \frac{8}{7}\)
पहला भाग \(8\times7\) और दूसरा \(7\times6\) है। अनुपात \(\frac{56}{42}=\frac{4}{3}\) है इसलिए दिए विकल्पों से मिलान नहीं होगा। / The first part is \(8\times7\) and the second is \(7\times6\). The ratio is \(\frac{56}{42}=\frac{4}{3}\), so it will not match these options.
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What is the value of \(\frac{8!}{6!} \div \frac{7!}{6!}\)?
C. (8)
यह \(\frac{8\times7}{7}=8\) देता है। भाग के प्रश्न में दूसरे भिन्न को उलटना याद रखें। / It gives \(\frac{8\times7}{7}=8\). In division questions remember to invert the second fraction.
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If (n! = 720) then what is the value of (n)?
B. 6
सही उत्तर 6 है, क्योंकि \(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=720\)। जबकि \(5!=120\) होता है और \(7!=5040\) होता है, इसलिए वे 720 के बराबर नहीं हैं। परीक्षा टिप: \(1!\) से \(7!\) तक के मान याद रखने से ऐसे प्रश्न जल्दी हल होते हैं। / The correct answer is 6 because \(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=720\). In contrast, \(5!=120\) and \(7!=5040\), so neither equals 720. Exam tip: Memorising factorial values from \(1!\) to \(7!\) helps solve such questions quickly.
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If ((n-1)! = 5040) then what is the value of (n)?
B. 8
क्योंकि \(7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040\), इसलिए \((n-1)! = 7!\)। अतः \(n-1=7\), जिससे \(n=8\) प्राप्त होता है। विकल्प 7 में \(n-1\) का मान दिया गया है, \(n\) का नहीं। परीक्षा टिप: दिए गए फैक्टोरियल को पहले किसी ज्ञात फैक्टोरियल के बराबर पहचानें, फिर चर के लिए हल करें। / Since \(7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040\), we have \((n-1)! = 7!\). Therefore, \(n-1=7\), which gives \(n=8\). Option 7 is the value of \(n-1\), not of \(n\). Exam tip: First identify the known factorial equal to the given number, then solve for the variable.
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What is the value of \(\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}\)?
B. \(\frac{8}{3}\)
\(0!=1\), \(1!=1\), \(2!=2\) और \(3!=6\)। इसलिए दिया गया योग \(1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\) है। \(\frac{1}{2}=\frac{3}{6}\) लेने पर योग \(2+\frac{3}{6}+\frac{1}{6}=2+\frac{4}{6}=\frac{8}{3}\) प्राप्त होता है। \(\frac{5}{2}\) विकल्प \(\frac{1}{3!}\) पद को छोड़ देने पर मिल सकता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले प्रश्नों में विशेष रूप से \(0!=1\) अवश्य लिखें। / Since \(0!=1\), \(1!=1\), \(2!=2\), and \(3!=6\), the expression becomes \(1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\). Using \(\frac{1}{2}=\frac{3}{6}\), the sum is \(2+\frac{3}{6}+\frac{1}{6}=2+\frac{4}{6}=\frac{8}{3}\). The distractor \(\frac{5}{2}\) may result from leaving out the \(\frac{1}{3!}\) term. Exam tip: always write \(0!=1\) explicitly in factorial calculations.
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What is the value of \(\frac{0!+1!+2!+3!}{4!}\)?
A. \(\frac{5}{12}\)
\(0!=1\), \(1!=1\), \(2!=2\) और \(3!=6\) हैं। इसलिए अंश \(1+1+2+6=10\) तथा हर \(4!=24\) होगा। अतः मान \(\frac{10}{24}=\frac{5}{12}\) है। \(\frac{3}{8}=\frac{9}{24}\) है, जो अंश का गलत योग लेने पर मिल सकता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले प्रश्नों में \(0!=1\) को अवश्य शामिल करें। / Here, \(0!=1\), \(1!=1\), \(2!=2\), and \(3!=6\). Thus, the numerator is \(1+1+2+6=10\), while the denominator is \(4!=24\). Hence, the value is \(\frac{10}{24}=\frac{5}{12}\). The distractor \(\frac{3}{8}=\frac{9}{24}\) can arise from adding the numerator incorrectly. Exam tip: always include the fact that \(0!=1\) when evaluating factorial expressions.
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If (m! = 24) and (n! = 720) then what is the value of ((n-m)!)?
B. 2
क्योंकि \(4!=24\), इसलिए \(m=4\) है। इसी प्रकार \(6!=720\), अतः \(n=6\) है। इसलिए \((n-m)!=(6-4)!=2!=2\)। विकल्प C में दिया गया 6, \(3!\) का मान है, \(2!\) का नहीं। परीक्षा टिप: छोटे factorial मान याद रखें—\(4!=24\), \(5!=120\), \(6!=720\)। / Since \(4!=24\), we get \(m=4\). Similarly, \(6!=720\), so \(n=6\). Hence, \((n-m)!=(6-4)!=2!=2\). The value 6 in option C is \(3!\), not \(2!\). Exam tip: Remember small factorial values such as \(4!=24\), \(5!=120\), and \(6!=720\).
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If \(\frac{n!}{(n-4)!}=3024\) then what is the value of (n)?
B. 9
\((n-4)!\) कटने पर \(\frac{n!}{(n-4)!}=n(n-1)(n-2)(n-3)\) मिलता है। अब \(9\times8\times7\times6=3024\), अतः \(n=9\) है। निकटतम विकल्प \(10\) के लिए गुणनफल \(10\times9\times8\times7=5040\) होगा, जो 3024 नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में फैक्टोरियल को लगातार घटते हुए पदों के गुणनफल के रूप में लिखें। / After cancelling \((n-4)!\), we get \(\frac{n!}{(n-4)!}=n(n-1)(n-2)(n-3)\). Since \(9\times8\times7\times6=3024\), \(n=9\). For the closest distractor, \(n=10\) gives \(10\times9\times8\times7=5040\), not 3024. Exam tip: rewrite such factorial ratios as products of consecutive decreasing integers.
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What is the value of \(\frac{17!}{15!}-\frac{16!}{14!}\)?
B. 32
\(\frac{17!}{15!}=17\times16\) क्योंकि \(15!\) कट जाता है। इसी प्रकार, \(\frac{16!}{14!}=16\times15\)। अतः व्यंजक का मान \(17\times16-16\times15=16(17-15)=32\) है। विकल्प 30 या 34 तब मिल सकते हैं जब गुणनखंडों को गलत ढंग से घटाया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके समान पदों को काटें। / \(\frac{17!}{15!}=17\times16\) because \(15!\) cancels. Similarly, \(\frac{16!}{14!}=16\times15\). Therefore, the value is \(17\times16-16\times15=16(17-15)=32\). Values such as 30 or 34 can result from subtracting the factors incorrectly. Exam tip: In factorial fractions, expand only up to the smaller factorial and cancel the common part.
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What is the value of \(\frac{19!}{17!}-\frac{18!}{16!}\)?
B. 36
\(19! = 19\times18\times17!\), इसलिए \(\frac{19!}{17!}=19\times18\) होता है। इसी प्रकार, \(18!=18\times17\times16!\), अतः \(\frac{18!}{16!}=18\times17\)। इसलिए दिया गया मान \(19\times18-18\times17=18(19-17)=36\) है। निकटतम विकल्प 34 तब मिल सकता है जब गुणनखंडों को गलत ढंग से सरल किया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्न में छोटे फैक्टोरियल तक पदों को फैलाकर पहले समान पदों को काटें। / Since \(19! = 19\times18\times17!\), \(\frac{19!}{17!}=19\times18\). Similarly, \(18!=18\times17\times16!\), so \(\frac{18!}{16!}=18\times17\). Therefore, the value is \(19\times18-18\times17=18(19-17)=36\). The nearby value 34 may result from incorrect cancellation of factorial terms. Exam tip: Expand a factorial only up to the smaller factorial before cancelling common factors.
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If the highest power of (3) in (n!) is (4), which option can be (n)?
A. (8)
(8!) में (3) की घात \(\left\lfloor\frac{8}{3}\right\rfloor=2\) होती है इसलिए यह सही नहीं है। सही जाँच में (9!) के लिए घात (4) है। / For (8!), the exponent of (3) is only \(\left\lfloor\frac{8}{3}\right\rfloor=2\), so it is not correct. Checking properly gives exponent (4) for (9!).
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What is the highest power of (2) in (30!)?
C. (26)
घात \( \left\lfloor\frac{30}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{8}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{16}\right\rfloor=15+7+3+1=26\) है। सभी घातों के भागफल जोड़ें। / The exponent is \(\left\lfloor\frac{30}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{8}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{16}\right\rfloor=15+7+3+1=26\). Add quotients for all powers.
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What is the highest power of (10) in (40!)?
B. (9)
(10) की घात (2) और (5) की जोड़ी से बनती है। (5) की घात (8+1=9) है इसलिए उत्तर (9) है। / The power of (10) comes from pairs of (2) and (5). The exponent of (5) is (8+1=9), so the answer is (9).
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What is the value of \(\frac{18!}{16!\times 2!} - \frac{17!}{15!\times 2!}\)?
B. (17)
पहला मान \(\frac{18\times17}{2}\) और दूसरा \(\frac{17\times16}{2}\) है। अंतर (17) है। / The first value is \(\frac{18\times17}{2}\) and the second is \(\frac{17\times16}{2}\). The difference is (17).
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What is the value of \(\frac{21!}{19!\times 2!} - \frac{20!}{18!\times 2!}\)?
C. 20
\(\frac{21!}{19!\times2!}=\frac{21\times20}{2}=210\) तथा \(\frac{20!}{18!\times2!}=\frac{20\times19}{2}=190\)। अतः अभीष्ट अंतर \(210-190=20\) है। इसलिए सही विकल्प C है। निकटतम विकल्प 19 तब मिल सकता है जब गुणनखंडों को रद्द करते समय गलती हो जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्न में पहले बड़े फैक्टोरियल को आवश्यक पदों तक फैलाकर समान पदों को रद्द करें। / \(\frac{21!}{19!\times2!}=\frac{21\times20}{2}=210\), and \(\frac{20!}{18!\times2!}=\frac{20\times19}{2}=190\). Therefore, the required difference is \(210-190=20\). Hence, option C is correct. The nearby answer 19 may result from an error while cancelling factors. Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial only up to the required factors and then cancel common terms.
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For which (n) will \(\frac{(n+5)!}{(n+3)!}=210\)?
C. 10
\((n+5)!\) में से \((n+3)!\) कटने पर \(\frac{(n+5)!}{(n+3)!}=(n+5)(n+4)\) मिलता है। अतः \((n+5)(n+4)=210\)। 210 के क्रमागत गुणनखंड \(14\) और \(15\) हैं, इसलिए \(n+4=14\) तथा \(n=10\)। \(n=9\) लेने पर गुणनफल \(13\times14=182\) होगा, 210 नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे फैक्टोरियल भिन्न में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटकर बचे हुए क्रमागत पद लिखें। / On cancelling \((n+3)!\) from \((n+5)!\), we get \(\frac{(n+5)!}{(n+3)!}=(n+5)(n+4)\). Thus, \((n+5)(n+4)=210\). The consecutive factors of 210 are \(14\) and \(15\), so \(n+4=14\), giving \(n=10\). For \(n=9\), the product is \(13\times14=182\), not 210. Exam tip: In factorial fractions, first cancel the common factorial part and write the remaining consecutive factors.
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