Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
हर को काटने पर (n(n-1)(n+1)=120) मिलता है और (n=4) संतुष्ट करता है। परीक्षा में पहले क्रमागत गुणनखंड लिखें। / After cancellation we get (n(n-1)(n+1)=120) and (n=4) satisfies it. In exams write consecutive factors first.
((n+4)(n+3)(n+2)=990) मिलता है। \(13\times12\times11=1716\) नहीं इसलिए क्रमागत गुणनखंड ध्यान से मिलाएं और (n=9) सही है। / We get ((n+4)(n+3)(n+2)=990). Match consecutive factors carefully; (n=9) is correct.
फैक्टोरियल की पुनरावर्ती परिभाषा के अनुसार \((n+1)!=(n+1)\cdot n!\) होता है, क्योंकि \((n+1)!\) में 1 से \(n+1\) तक सभी गुणनखंड होते हैं। विकल्प B में फैक्टोरियल को जोड़ के रूप में गलत माना गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में पहले \((n+1)!\) को \((n+1)n!\) लिखें। / By the recursive definition of factorial, \((n+1)!=(n+1)\cdot n!\), since it includes every factor from 1 to \(n+1\). Option B incorrectly treats factorial as an addition. Exam tip: rewrite \((n+1)!\) as \((n+1)n!\) before comparing factorial expressions.
\((n+2)!=(n+2)(n+1)n!\) होने पर \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\) होगा। अतः \((n+2)(n+1)=56\)। 56 के क्रमागत गुणनखंड \(7\) और \(8\) हैं, इसलिए \(n+1=7\) तथा \(n=6\)। निकटतम विकल्प 7 लेने पर \((9)(8)=72\) मिलता है, जो 56 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान \(n!\) को काटें। / Since \((n+2)!=(n+2)(n+1)n!\), we have \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\). Therefore, \((n+2)(n+1)=56\). The consecutive factors of 56 are \(7\) and \(8\), so \(n+1=7\) and hence \(n=6\). For the close distractor 7, the product is \(9\times8=72\), not 56. Exam tip: In a factorial fraction, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and cancel common terms.
\(22!=22\times21!\), इसलिए \(22!-21!=21!(22-1)=21\times21!\)। अब \(21!=21\times20!\), अतः \(\frac{21\times21!}{20!}=21\times21=441\)। विकल्प 462 में गुणनखंडों का सही सरलीकरण नहीं होता। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के घटाव में पहले छोटे फैक्टोरियल को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में बाहर निकालें। / Since \(22!=22\times21!\), \(22!-21!=21!(22-1)=21\times21!\). Also, \(21!=21\times20!\), so \(\frac{21\times21!}{20!}=21\times21=441\). The value 462 does not follow from the correct factorial simplification. Exam tip: In subtraction involving factorials, first factor out the smaller common factorial.
\(\frac{9!}{7!}=72\) और \(\frac{8!}{6!}=56\) इसलिए योग (128) है। परीक्षा में बड़े गुणनखंडों को तुरंत काटें। / Here \(\frac{9!}{7!}=72\) and \(\frac{8!}{6!}=56\) so the sum is (128). In exams cancel larger factorials quickly.
घात \(\left\lfloor\frac{75}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{75}{25}\right\rfloor=15+3=18\) है। अभाज्य की सभी संभव घातों के भागफल जोड़ें। / The exponent is \(\left\lfloor\frac{75}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{75}{25}\right\rfloor=15+3=18\). Add quotients of all possible powers of the prime.
\(\frac{12!}{10!\times 2!}=\frac{12\times11}{2}=66\) होता है। ऐसे प्रश्नों में पूरा गुणनफल न फैलाएं। / \(\frac{12!}{10!\times 2!}=\frac{12\times11}{2}=66\). Do not expand the whole product in such questions.
\(\frac{24!}{21!\times3!}=\frac{24\times23\times22}{6}=2024\) है। बड़े फैक्टोरियल को पूरा फैलाने से बचें। / \(\frac{24!}{21!\times3!}=\frac{24\times23\times22}{6}=2024\). Avoid expanding the whole large factorial.
\(\frac{15!}{13!\times3}=\frac{15\times14}{3}=70\) है। पहले समान भाज्य हटाने से गलती कम होती है। / \(\frac{15!}{13!\times3}=\frac{15\times14}{3}=70\). Removing common factorials first reduces mistakes.
यह (n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)=55440) है। \(11\times10\times9\times8\times7=55440\) इसलिए (n=11) है। / This is (n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)=55440). Since \(11\times10\times9\times8\times7=55440\), (n=11).
क्योंकि \(n!=n(n-1)(n-2)(n-3)!\), इसलिए \(\frac{n!}{(n-3)!}=n(n-1)(n-2)\) होगा। अतः \(n(n-1)(n-2)=210\)। \(7\times6\times5=210\), इसलिए \(n=7\) है। निकटतम विकल्प \(n=6\) के लिए गुणनफल \(6\times5\times4=120\) आता है, जो 210 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के अनुपात में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके समान पदों को काटें। / Since \(n!=n(n-1)(n-2)(n-3)!\), we get \(\frac{n!}{(n-3)!}=n(n-1)(n-2)\). Thus, \(n(n-1)(n-2)=210\). As \(7\times6\times5=210\), the value of \(n\) is 7. For the closest distractor, \(n=6\) gives \(6\times5\times4=120\), not 210. Exam tip: In a factorial ratio, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and cancel common factors.
क्योंकि \(n!=1\cdot2\cdots r\cdot(r+1)(r+2)\cdots n\) और \(r!=1\cdot2\cdots r\) है, इसलिए \(n!\) को \(r!\) से भाग देने पर आरम्भिक गुणनखंड कट जाते हैं। अतः शेष गुणनफल \((r+1)(r+2)\cdots n=\frac{n!}{r!}\) होता है। \((n-r)!\) केवल पदों की संख्या \(n-r\) का फैक्टोरियल है, दिए गए पदों का गुणनफल नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्न में समान आरम्भिक गुणनखंडों को काटकर जाँच करें। / Since \(n!=1\cdot2\cdots r\cdot(r+1)(r+2)\cdots n\) and \(r!=1\cdot2\cdots r\), dividing \(n!\) by \(r!\) cancels the initial factors. Hence \((r+1)(r+2)\cdots n=\frac{n!}{r!}\). \((n-r)!\) is the factorial of the number of terms, not the product of the given terms. Exam tip: cancel the common initial factors in a factorial fraction to verify the result.
क्योंकि 343 = 73, इसलिए n! में 7 के कम-से-कम तीन गुणनखंड होने चाहिए। 21! में 7, 14 और 21 से तीन गुणनखंड 7 मिलते हैं, अतः 73, 21! को विभाजित करता है। 20! में केवल 7 और 14 से दो गुणनखंड 7 मिलते हैं, इसलिए वह 343 से विभाज्य नहीं है। परीक्षा टिप: किसी अभाज्य घात p^k के लिए n! में p के गुणनखंडों की संख्या गिनें। / Since 343 = 73, n! must contain at least three factors of 7. In 21!, the numbers 7, 14, and 21 contribute three factors of 7, so 73 divides 21!. In contrast, 20! contains only two factors of 7, from 7 and 14, so it is not divisible by 343. Exam tip: For a prime power p^k, count the factors of p present in n!.
\((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!\) होने के कारण
\[\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2).\]
अतः \((n+3)(n+2)=110\)। क्योंकि \(10\times11=110\), इसलिए \(n+2=10\) और \(n=8\)। दूसरा बीजगणितीय मूल \(n=-13\) होगा, पर उसके लिए \((n+1)!\) परिभाषित नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटकर शेष क्रमागत गुणनखंड लिखें। / Using \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!\),
\[\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2).\]
Hence, \((n+3)(n+2)=110\). Since \(10\times11=110\), we get \(n+2=10\), so \(n=8\). The other algebraic root is \(n=-13\), but then \((n+1)!\) is not defined. Exam tip: In a factorial quotient, cancel the common factorial part first and write the remaining consecutive factors.
\(\frac{30!}{28!}=30\times29\), क्योंकि \(28!\) कट जाता है। इसी प्रकार, \(\frac{29!}{27!}=29\times28\)। अतः अंतर \(30\times29-29\times28=29(30-28)=58\) है। 56 निकट का विकल्प हो सकता है, पर वह गुणनखंड \(29\) के साथ सही अंतर \(2\) लेने पर नहीं मिलता। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्नों में छोटे फैक्टोरियल को काटकर शेष क्रमागत संख्याएँ लिखें। / \(\frac{30!}{28!}=30\times29\) because \(28!\) cancels. Similarly, \(\frac{29!}{27!}=29\times28\). Therefore, the difference is \(30\times29-29\times28=29(30-28)=58\). Option 56 may seem close, but it does not result from the correct common factor \(29\) and difference \(2\). Exam tip: In factorial fractions, cancel the smaller factorial first and write the remaining consecutive factors.
\(\frac{20!}{18!\times19}=\frac{20\times19}{19}=20\) है। कटौती के बाद बचा हुआ गुणनखंड देखें। / \(\frac{20!}{18!\times19}=\frac{20\times19}{19}=20\). Look at the remaining factor after cancellation.
\((n+6)!=(n+6)(n+5)(n+4)!\) होने से \(\frac{(n+6)!}{(n+4)!}=(n+6)(n+5)\) होगा। अतः \((n+6)(n+5)=272\)। क्योंकि \(16\times17=272\), इसलिए \(n+5=16\) और \(n=10\)। \(n=11\) लेने पर गुणनफल \(17\times18\) होगा, जो 272 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में समान \((n+4)!\) पद को काटने से पहले ऊपर के शेष क्रमागत गुणनखंड लिखें। / Since \((n+6)!=(n+6)(n+5)(n+4)!\), we get \(\frac{(n+6)!}{(n+4)!}=(n+6)(n+5)\). Thus, \((n+6)(n+5)=272\). As \(16\times17=272\), \(n+5=16\), so \(n=10\). For \(n=11\), the product would be \(17\times18\), not 272. Exam tip: In a factorial quotient, write the remaining consecutive factors before cancelling the common factorial term.
\(10!=10\times9!\) लिखने पर अंश \(10\times9!+9!=9!(10+1)=11\times9!\) हो जाता है। अतः \(\frac{11\times9!}{8!}=11\times9=99\)। इसलिए सही उत्तर 99 है। \(108\) जैसे विकल्प सामान्यतः गुणनखंड निकालते समय \(10+1\) के स्थान पर गलत योग लेने से प्राप्त हो सकते हैं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्नों में पहले अंश के पदों को एक ही छोटे फैक्टोरियल के रूप में लिखें। / Writing \(10!=10\times9!\), the numerator becomes \(10\times9!+9!=9!(10+1)=11\times9!\). Hence, \(\frac{11\times9!}{8!}=11\times9=99\). Therefore, 99 is the correct answer. A value such as 108 may result from an incorrect addition while taking the common factorial. Exam tip: In factorial fractions, first express numerator terms using the same smaller factorial.
\(14!=14\times13!\), इसलिए \(14!+13!=14\times13!+13!=13!(14+1)=15\times13!\)। अब \(13!=13\times12!\), अतः \(\frac{15\times13!}{12!}=15\times13=195\)। इसलिए विकल्प B सही है। \(210\) योग को गलत ढंग से \(14\times15\) मान लेने पर मिल सकता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के योग में पहले समान छोटे फैक्टोरियल को गुणनखंड के रूप में बाहर निकालें। / Since \(14!=14\times13!\), we get \(14!+13!=14\times13!+13!=13!(14+1)=15\times13!\). As \(13!=13\times12!\), \(\frac{15\times13!}{12!}=15\times13=195\). Hence, option B is correct. \(210\) may result from incorrectly treating the expression as \(14\times15\). Exam tip: for sums of factorials, first factor out the smaller common factorial.
क्योंकि \(n!=n(n-1)(n-2)!\), इसलिए \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\)। अतः \(n(n-1)=132\)। \(12\times11=132\), इसलिए \(n=12\)। निकटतम विकल्प \(11\) के लिए \(11\times10=110\) मिलता है, जो 132 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को काटें। / Since \(n!=n(n-1)(n-2)!\), \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\). Thus, \(n(n-1)=132\). As \(12\times11=132\), \(n=12\). For the closest distractor, \(n=11\) gives \(11\times10=110\), not 132. Exam tip: Expand the larger factorial up to the smaller factorial and cancel common factors.
\((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)!\) लिखने पर \((n+2)!\) कट जाता है और \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\) मिलता है। अतः \((n+4)(n+3)=156\)। क्योंकि \(12\times13=156\), इसलिए \(n+3=12\) और \(n=9\)। उदाहरण के लिए, \(n=10\) रखने पर मान \(14\times13=182\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके पदों को काटें। / Write \((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)!\). Cancelling \((n+2)!\) gives \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\). Thus, \((n+4)(n+3)=156\). Since \(12\times13=156\), we have \(n+3=12\), so \(n=9\). For example, if \(n=10\), the value would be \(14\times13=182\), so it is not correct. Exam tip: In a factorial quotient, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and then cancel common terms.
\(72=2^3\times3^2\) है और (6!) में ये सभी गुणनखंड हैं। ऐसे प्रश्नों में अभाज्य गुणनखंड पहले लिखें। / \(72=2^3\times3^2\) and (6!) contains all these factors. In such questions write prime factors first.
यहाँ \(125=5^3\) है, इसलिए \(n!\) में कम-से-कम तीन गुणनखंड \(5\) होने चाहिए। \(14!\) में केवल \(5\) और \(10\) से दो गुणनखंड \(5\) मिलते हैं, इसलिए वह \(125\) से विभाज्य नहीं है। \(15!\) में \(5,10,15\) से तीन गुणनखंड \(5\) मिलते हैं; अतः \(15!\), \(5^3=125\) से विभाज्य है। परीक्षा टिप: \(p^k\) से विभाज्यता के लिए \(n!\) में अभाज्य \(p\) की घात गिनें। / Since \(125=5^3\), \(n!\) must contain at least three factors of \(5\). In \(14!\), only \(5\) and \(10\) contribute factors of \(5\), so it has only two such factors and is not divisible by \(125\). In \(15!\), the terms \(5,10,15\) provide three factors of \(5\); hence \(15!\) is divisible by \(5^3=125\). Exam tip: for divisibility by \(p^k\), count the exponent of the prime \(p\) in \(n!\).
शून्य की संख्या \(\left\lfloor\frac{50}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{50}{25}\right\rfloor=10+2=12\) है। (5) की घात गिनना सबसे तेज तरीका है। / The number of zeros is \(\left\lfloor\frac{50}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{50}{25}\right\rfloor=10+2=12\). Counting powers of (5) is the fastest method.
घात \( \left\lfloor\frac{100}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{100}{25}\right\rfloor=20+4=24\) है। उच्च घात के लिए भागफल जोड़ें। / The exponent is \(\left\lfloor\frac{100}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{100}{25}\right\rfloor=20+4=24\). For highest power add the quotients.
घात \( \left\lfloor\frac{80}{7}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{80}{49}\right\rfloor=11+1=12\) है। अभाज्य की घातों तक ही जोड़ें। / The exponent is \(\left\lfloor\frac{80}{7}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{80}{49}\right\rfloor=11+1=12\). Add only up to powers of the prime.
\(25! = 25\times24\times23!\) होता है। अतः \(\frac{25!}{23!}=\frac{25\times24\times23!}{23!}=25\times24=600\)। इसलिए विकल्प B सही है। \(625=25\times25\) होता है, जबकि यहाँ क्रमागत गुणनखंड \(25\) और \(24\) हैं। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{(n-r)!}\) में केवल बचे हुए क्रमागत गुणनखंडों का गुणन करें। / We have \(25!=25\times24\times23!\). Therefore, \(\frac{25!}{23!}=\frac{25\times24\times23!}{23!}=25\times24=600\). Hence, option B is correct. In contrast, \(625=25\times25\), whereas the required consecutive factors are \(25\) and \(24\). Exam tip: In \(\frac{n!}{(n-r)!}\), multiply only the consecutive factors that remain after cancellation.
क्योंकि \(16!=16\times15\times14!\), इसलिए \(\frac{16!}{14!\times8}=\frac{16\times15\times14!}{14!\times8}=\frac{16\times15}{8}=2\times15=30\)। अतः सही उत्तर 30 है। 32 निकट का विकल्प है, लेकिन यह सही सरलीकरण से प्राप्त नहीं होता। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक लिखकर समान पदों को पहले काटें। / Since \(16!=16\times15\times14!\), \(\frac{16!}{14!\times8}=\frac{16\times15\times14!}{14!\times8}=\frac{16\times15}{8}=2\times15=30\). Hence, the correct answer is 30. Option 32 is a close distractor, but it does not follow from the correct simplification. Exam tip: In a factorial fraction, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and cancel common factors first.
\((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!\), इसलिए \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\)। इसी प्रकार, \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\)। अतः दिया गया व्यंजक \((n+2)[(n+3)-(n+1)]=2(n+2)\) है। \(n+2\) वाला विकल्प समान गुणनखंड निकालने के बाद प्राप्त अंतर 2 को छोड़ देता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्नों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके पदों को निरस्त करें। / Since \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!\), \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\). Similarly, \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\). Hence, the expression becomes \((n+2)[(n+3)-(n+1)]=2(n+2)\). The option \(n+2\) incorrectly omits the difference factor 2. Exam tip: In factorial fractions, expand only until the denominator factorial and then cancel common factors.
ऊपर (n!(n+2)) बनता है और भाग देने पर (n(n+2)=150) मिलता है। \(10\times12=120\) नहीं इसलिए सावधानी से जाँचें। / The numerator becomes (n!(n+2)) and division gives (n(n+2)=150). Check carefully because \(10\times12=120\) is not enough.
फैक्टोरियल की परिभाषा के अनुसार \((n+1)!=(n+1)\cdot n!\) होता है। वास्तव में, \((n+1)!=(n+1)\cdot n\cdot(n-1)\cdots1\), जबकि \(n!=n\cdot(n-1)\cdots1\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में फैक्टोरियल का संबंध जोड़ से नहीं, गुणा से होता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल को सरल बनाने के लिए बड़े फैक्टोरियल से सबसे बड़ा गुणनखंड अलग करें। / By definition, \((n+1)!=(n+1)\cdot n!\). Indeed, \((n+1)!=(n+1)\cdot n\cdot(n-1)\cdots1\), while \(n!=n\cdot(n-1)\cdots1\). Therefore, option A is correct. Option B wrongly uses addition; factorials are related through multiplication. Exam tip: to simplify factorial expressions, separate the greatest factor from the larger factorial.
मान (\(7\times6\)\times\frac{1}{6\times5}= \frac{7}{5}) नहीं बल्कि \(\frac{7!4!}{5!6!}=\frac{7}{5}\) है। विकल्पों में कोई नहीं दिखता इसलिए प्रश्न को सावधानी से पढ़ें। / The value is (\(7\times6\)\times\frac{1}{6\times5}= \frac{7}{5}) not an integer. Since options do not match, read the expression carefully.
बीच का (5!) कट जाता है और \(\frac{7!}{6!}=7\) बचता है। श्रृंखला कटौती में क्रम न बदलें। / The middle (5!) cancels and \(\frac{7!}{6!}=7\) remains. Do not change the order in chained cancellation.
पहला भाग \(8\times7\) और दूसरा \(7\times6\) है। अनुपात \(\frac{56}{42}=\frac{4}{3}\) है इसलिए दिए विकल्पों से मिलान नहीं होगा। / The first part is \(8\times7\) and the second is \(7\times6\). The ratio is \(\frac{56}{42}=\frac{4}{3}\), so it will not match these options.
यह \(\frac{8\times7}{7}=8\) देता है। भाग के प्रश्न में दूसरे भिन्न को उलटना याद रखें। / It gives \(\frac{8\times7}{7}=8\). In division questions remember to invert the second fraction.
सही उत्तर 6 है, क्योंकि \(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=720\)। जबकि \(5!=120\) होता है और \(7!=5040\) होता है, इसलिए वे 720 के बराबर नहीं हैं। परीक्षा टिप: \(1!\) से \(7!\) तक के मान याद रखने से ऐसे प्रश्न जल्दी हल होते हैं। / The correct answer is 6 because \(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=720\). In contrast, \(5!=120\) and \(7!=5040\), so neither equals 720. Exam tip: Memorising factorial values from \(1!\) to \(7!\) helps solve such questions quickly.
क्योंकि \(7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040\), इसलिए \((n-1)! = 7!\)। अतः \(n-1=7\), जिससे \(n=8\) प्राप्त होता है। विकल्प 7 में \(n-1\) का मान दिया गया है, \(n\) का नहीं। परीक्षा टिप: दिए गए फैक्टोरियल को पहले किसी ज्ञात फैक्टोरियल के बराबर पहचानें, फिर चर के लिए हल करें। / Since \(7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040\), we have \((n-1)! = 7!\). Therefore, \(n-1=7\), which gives \(n=8\). Option 7 is the value of \(n-1\), not of \(n\). Exam tip: First identify the known factorial equal to the given number, then solve for the variable.
\(0!=1\), \(1!=1\), \(2!=2\) और \(3!=6\)। इसलिए दिया गया योग \(1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\) है। \(\frac{1}{2}=\frac{3}{6}\) लेने पर योग \(2+\frac{3}{6}+\frac{1}{6}=2+\frac{4}{6}=\frac{8}{3}\) प्राप्त होता है। \(\frac{5}{2}\) विकल्प \(\frac{1}{3!}\) पद को छोड़ देने पर मिल सकता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले प्रश्नों में विशेष रूप से \(0!=1\) अवश्य लिखें। / Since \(0!=1\), \(1!=1\), \(2!=2\), and \(3!=6\), the expression becomes \(1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\). Using \(\frac{1}{2}=\frac{3}{6}\), the sum is \(2+\frac{3}{6}+\frac{1}{6}=2+\frac{4}{6}=\frac{8}{3}\). The distractor \(\frac{5}{2}\) may result from leaving out the \(\frac{1}{3!}\) term. Exam tip: always write \(0!=1\) explicitly in factorial calculations.
\(0!=1\), \(1!=1\), \(2!=2\) और \(3!=6\) हैं। इसलिए अंश \(1+1+2+6=10\) तथा हर \(4!=24\) होगा। अतः मान \(\frac{10}{24}=\frac{5}{12}\) है। \(\frac{3}{8}=\frac{9}{24}\) है, जो अंश का गलत योग लेने पर मिल सकता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले प्रश्नों में \(0!=1\) को अवश्य शामिल करें। / Here, \(0!=1\), \(1!=1\), \(2!=2\), and \(3!=6\). Thus, the numerator is \(1+1+2+6=10\), while the denominator is \(4!=24\). Hence, the value is \(\frac{10}{24}=\frac{5}{12}\). The distractor \(\frac{3}{8}=\frac{9}{24}\) can arise from adding the numerator incorrectly. Exam tip: always include the fact that \(0!=1\) when evaluating factorial expressions.
क्योंकि \(4!=24\), इसलिए \(m=4\) है। इसी प्रकार \(6!=720\), अतः \(n=6\) है। इसलिए \((n-m)!=(6-4)!=2!=2\)। विकल्प C में दिया गया 6, \(3!\) का मान है, \(2!\) का नहीं। परीक्षा टिप: छोटे factorial मान याद रखें—\(4!=24\), \(5!=120\), \(6!=720\)। / Since \(4!=24\), we get \(m=4\). Similarly, \(6!=720\), so \(n=6\). Hence, \((n-m)!=(6-4)!=2!=2\). The value 6 in option C is \(3!\), not \(2!\). Exam tip: Remember small factorial values such as \(4!=24\), \(5!=120\), and \(6!=720\).
\((n-4)!\) कटने पर \(\frac{n!}{(n-4)!}=n(n-1)(n-2)(n-3)\) मिलता है। अब \(9\times8\times7\times6=3024\), अतः \(n=9\) है। निकटतम विकल्प \(10\) के लिए गुणनफल \(10\times9\times8\times7=5040\) होगा, जो 3024 नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में फैक्टोरियल को लगातार घटते हुए पदों के गुणनफल के रूप में लिखें। / After cancelling \((n-4)!\), we get \(\frac{n!}{(n-4)!}=n(n-1)(n-2)(n-3)\). Since \(9\times8\times7\times6=3024\), \(n=9\). For the closest distractor, \(n=10\) gives \(10\times9\times8\times7=5040\), not 3024. Exam tip: rewrite such factorial ratios as products of consecutive decreasing integers.
\(\frac{17!}{15!}=17\times16\) क्योंकि \(15!\) कट जाता है। इसी प्रकार, \(\frac{16!}{14!}=16\times15\)। अतः व्यंजक का मान \(17\times16-16\times15=16(17-15)=32\) है। विकल्प 30 या 34 तब मिल सकते हैं जब गुणनखंडों को गलत ढंग से घटाया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके समान पदों को काटें। / \(\frac{17!}{15!}=17\times16\) because \(15!\) cancels. Similarly, \(\frac{16!}{14!}=16\times15\). Therefore, the value is \(17\times16-16\times15=16(17-15)=32\). Values such as 30 or 34 can result from subtracting the factors incorrectly. Exam tip: In factorial fractions, expand only up to the smaller factorial and cancel the common part.
\(19! = 19\times18\times17!\), इसलिए \(\frac{19!}{17!}=19\times18\) होता है। इसी प्रकार, \(18!=18\times17\times16!\), अतः \(\frac{18!}{16!}=18\times17\)। इसलिए दिया गया मान \(19\times18-18\times17=18(19-17)=36\) है। निकटतम विकल्प 34 तब मिल सकता है जब गुणनखंडों को गलत ढंग से सरल किया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्न में छोटे फैक्टोरियल तक पदों को फैलाकर पहले समान पदों को काटें। / Since \(19! = 19\times18\times17!\), \(\frac{19!}{17!}=19\times18\). Similarly, \(18!=18\times17\times16!\), so \(\frac{18!}{16!}=18\times17\). Therefore, the value is \(19\times18-18\times17=18(19-17)=36\). The nearby value 34 may result from incorrect cancellation of factorial terms. Exam tip: Expand a factorial only up to the smaller factorial before cancelling common factors.
(8!) में (3) की घात \(\left\lfloor\frac{8}{3}\right\rfloor=2\) होती है इसलिए यह सही नहीं है। सही जाँच में (9!) के लिए घात (4) है। / For (8!), the exponent of (3) is only \(\left\lfloor\frac{8}{3}\right\rfloor=2\), so it is not correct. Checking properly gives exponent (4) for (9!).
घात \( \left\lfloor\frac{30}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{8}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{16}\right\rfloor=15+7+3+1=26\) है। सभी घातों के भागफल जोड़ें। / The exponent is \(\left\lfloor\frac{30}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{8}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{16}\right\rfloor=15+7+3+1=26\). Add quotients for all powers.
(10) की घात (2) और (5) की जोड़ी से बनती है। (5) की घात (8+1=9) है इसलिए उत्तर (9) है। / The power of (10) comes from pairs of (2) and (5). The exponent of (5) is (8+1=9), so the answer is (9).
पहला मान \(\frac{18\times17}{2}\) और दूसरा \(\frac{17\times16}{2}\) है। अंतर (17) है। / The first value is \(\frac{18\times17}{2}\) and the second is \(\frac{17\times16}{2}\). The difference is (17).
\(\frac{21!}{19!\times2!}=\frac{21\times20}{2}=210\) तथा \(\frac{20!}{18!\times2!}=\frac{20\times19}{2}=190\)। अतः अभीष्ट अंतर \(210-190=20\) है। इसलिए सही विकल्प C है। निकटतम विकल्प 19 तब मिल सकता है जब गुणनखंडों को रद्द करते समय गलती हो जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्न में पहले बड़े फैक्टोरियल को आवश्यक पदों तक फैलाकर समान पदों को रद्द करें। / \(\frac{21!}{19!\times2!}=\frac{21\times20}{2}=210\), and \(\frac{20!}{18!\times2!}=\frac{20\times19}{2}=190\). Therefore, the required difference is \(210-190=20\). Hence, option C is correct. The nearby answer 19 may result from an error while cancelling factors. Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial only up to the required factors and then cancel common terms.
\((n+5)!\) में से \((n+3)!\) कटने पर \(\frac{(n+5)!}{(n+3)!}=(n+5)(n+4)\) मिलता है। अतः \((n+5)(n+4)=210\)। 210 के क्रमागत गुणनखंड \(14\) और \(15\) हैं, इसलिए \(n+4=14\) तथा \(n=10\)। \(n=9\) लेने पर गुणनफल \(13\times14=182\) होगा, 210 नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे फैक्टोरियल भिन्न में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटकर बचे हुए क्रमागत पद लिखें। / On cancelling \((n+3)!\) from \((n+5)!\), we get \(\frac{(n+5)!}{(n+3)!}=(n+5)(n+4)\). Thus, \((n+5)(n+4)=210\). The consecutive factors of 210 are \(14\) and \(15\), so \(n+4=14\), giving \(n=10\). For \(n=9\), the product is \(13\times14=182\), not 210. Exam tip: In factorial fractions, first cancel the common factorial part and write the remaining consecutive factors.
