factorial simplification MCQ Questions for Class 11
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\(\frac{6!}{2!\,4!}=\frac{6\times5}{2\times1}=15\) और \(\frac{4!}{3!}=4\) है। अतः दिया गया व्यंजक \(15\times4=60\) होगा। \(4!\) को दोनों भिन्नों में देखकर बिना नियम के काटना गलत है, क्योंकि वह एक भिन्न के हर और दूसरी भिन्न के अंश में है; पूरे गुणन को लिखकर ही सरलीकरण करें। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल में समान पदों को काटने से पहले अंश और हर को स्पष्ट रूप से एक ही भिन्न में लिखें। / \(\frac{6!}{2!\,4!}=\frac{6\times5}{2\times1}=15\), and \(\frac{4!}{3!}=4\). Therefore, the given expression is \(15\times4=60\). Do not cancel \(4!\) casually just because it appears in both fractions; first combine the product into a single numerator and denominator. Exam tip: While simplifying factorials, write the full product clearly before cancelling common factors.
क्योंकि \(9!=9\times8\times7!\), इसलिए \(\frac{9!}{7!}=9\times8=72\)। अतः \(\frac{9!-7!}{7!}=\frac{9!}{7!}-\frac{7!}{7!}=72-1=71\)। विकल्प 72 केवल \(\frac{9!}{7!}\) का मान है; उसमें \(\frac{7!}{7!}=1\) घटाना शेष है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्नों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पद काटें। / Since \(9!=9\times8\times7!\), \(\frac{9!}{7!}=9\times8=72\). Therefore, \(\frac{9!-7!}{7!}=\frac{9!}{7!}-\frac{7!}{7!}=72-1=71\). Option 72 is only the value of \(\frac{9!}{7!}\); subtracting \(\frac{7!}{7!}=1\) is still required. Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial up to the smaller factorial before cancelling common factors.
दिए गए व्यंजक में factorial पदों का गुणन लिया गया है: \(\frac{8!\times3!}{6!\times2!}\)। अब \(\frac{8!}{6!}=8\times7=56\) तथा \(\frac{3!}{2!}=3\) होगा। अतः मान \(56\times3=168\) है। विकल्प 196 तब मिलता यदि factorial को सही प्रकार से सरल न किया जाए। परीक्षा टिप: समान factorial वाले अंश और हर में छोटे पदों तक काटकर पहले सरल करें। / The factorial terms in the given expression are multiplied: \(\frac{8!\times3!}{6!\times2!}\). Now, \(\frac{8!}{6!}=8\times7=56\) and \(\frac{3!}{2!}=3\). Hence, the value is \(56\times3=168\). A value such as 196 results from not simplifying the factorials correctly. Exam tip: Cancel common factorial parts first and then multiply the remaining factors.
क्योंकि \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\), इसलिए \(\frac{(n+2)!}{(n+1)!}=n+2\)। इसी प्रकार \((n+1)!=(n+1)n!\), अतः \(\frac{(n+1)!}{n!}=n+1\)। इसलिए पूरा व्यंजक \((n+2)(n+1)\) है। विकल्प \(n+2\) केवल पहले अनुपात को दर्शाता है और दूसरे गुणनखंड \(n+1\) को छोड़ देता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के अनुपात में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके समान पदों को काटें। / Since \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\), \(\frac{(n+2)!}{(n+1)!}=n+2\). Similarly, \((n+1)!=(n+1)n!\), so \(\frac{(n+1)!}{n!}=n+1\). Therefore, the complete expression is \((n+2)(n+1)\). The option \(n+2\) represents only the first ratio and misses the factor \(n+1\). Exam tip: In factorial ratios, expand the larger factorial up to the smaller one and cancel common factors.
\(\frac{7!}{5!}=7\times6=42\), क्योंकि \(5!\) कट जाता है। साथ ही, \(\frac{5!}{2!\,3!}=\frac{120}{2\times6}=10\) और \(1!=1\)। अतः कुल मान \(42+10+1=53\) है। \(52\) तब मिल सकता है जब \(1!\) को गलती से 0 मान लिया जाए, जबकि \(1!=1\) होता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्नों में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटकर गणना सरल करें। / \(\frac{7!}{5!}=7\times6=42\), since \(5!\) cancels out. Also, \(\frac{5!}{2!\,3!}=\frac{120}{2\times6}=10\), and \(1!=1\). Therefore, the total is \(42+10+1=53\). One may get \(52\) by incorrectly taking \(1!\) as 0, but \(1!=1\). Exam tip: simplify factorial fractions by cancelling common factorial terms before calculating.
\((n+4)!\) और \((n+2)!\) में सामान्य गुणनखंड कटने पर \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\) मिलता है। अतः \((n+4)(n+3)=132\)। 132 के क्रमागत गुणनखंड \(11\) और \(12\) हैं, इसलिए \(n+3=11\) तथा \(n=8\)। \(n=7\) लेने पर गुणनफल \(11\times10=110\) आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके समान पदों को काटें। / Cancelling the common factorial terms gives \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\). Hence, \((n+4)(n+3)=132\). The consecutive factors of 132 are \(11\) and \(12\), so \(n+3=11\) and therefore \(n=8\). If \(n=7\), the product is \(11\times10=110\), so it is not correct. Exam tip: In a factorial fraction, expand only up to the smaller factorial and cancel common terms.
क्रमगुणित के विस्तार से \((n+5)!=(n+5)(n+4)(n+3)(n+2)!\) होता है। अतः \((n+2)!\) कटने पर \(\frac{(n+5)!}{(n+2)!}=(n+5)(n+4)(n+3)\) प्राप्त होता है। विकल्प A में \((n+3)\) गुणक छूट गया है। परीक्षा टिप: बड़े क्रमगुणित को हर में दिए गए क्रमगुणित तक फैलाइए, फिर समान क्रमगुणित को काट दीजिए। / Expanding the numerator gives \((n+5)!=(n+5)(n+4)(n+3)(n+2)!\). Cancelling \((n+2)!\) therefore leaves \((n+5)(n+4)(n+3)\). Option A misses the factor \((n+3)\). Exam tip: Expand the larger factorial only up to the factorial in the denominator, then cancel the common factor.
\(4!=24\) और \(3!=6\) होता है। साथ ही, \(\frac{6!}{5!}=\frac{6\times5!}{5!}=6\)। अतः दिया गया व्यंजक \(24\times6-6=144-6=138\) है। विकल्प D में 144 प्राप्त होता है, यदि अंत में \(3!\) को घटाना भूल जाएँ। परीक्षा टिप: क्रमागत फैक्टोरियल के भाग में बड़े फैक्टोरियल को पहले छोटे फैक्टोरियल के गुणनखंड के रूप में लिखकर काटें। / \(4!=24\) and \(3!=6\). Also, \(\frac{6!}{5!}=\frac{6\times5!}{5!}=6\). Therefore, the expression becomes \(24\times6-6=144-6=138\). Option D, 144, results if \(3!\) is not subtracted at the end. Exam tip: For a quotient of consecutive factorials, write the larger factorial in terms of the smaller one and cancel common factors.
क्योंकि \(10!=10\times9\times8!\), इसलिए \(\frac{10!}{8!}=10\times9=90\)। अतः \(\frac{10!-8!}{8!}=\frac{10!}{8!}-\frac{8!}{8!}=90-1=89\)। \(90\) निकटतम विकल्प है, लेकिन वह \(8!\) वाले पद को घटाना भूलने पर मिलता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में समान फैक्टोरियल पदों को पहले काटकर सरल करें। / Since \(10!=10\times9\times8!\), \(\frac{10!}{8!}=10\times9=90\). Therefore, \(\frac{10!-8!}{8!}=\frac{10!}{8!}-\frac{8!}{8!}=90-1=89\). The close option \(90\) results from forgetting to subtract the \(8!\) term. Exam tip: In factorial fractions, cancel common factorial terms first.
\((n+1)!\) में से \((n-2)!\) कटने पर \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=(n+1)n(n-1)\) प्राप्त होता है। अतः \((n+1)n(n-1)=60\)। \(n=4\) रखने पर \(5\times4\times3=60\), इसलिए सही मान \(\boxed{4}\) है। निकट विकल्प \(n=3\) पर गुणनफल \(4\times3\times2=24\) होता है, जो 60 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के ऐसे भिन्नों में ऊपर वाले फैक्टोरियल को नीचे वाले तक विस्तार करके समान पदों को काटें। / On cancelling \((n-2)!\) from \((n+1)!\), we get \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=(n+1)n(n-1)\). Hence, \((n+1)n(n-1)=60\). For \(n=4\), \(5\times4\times3=60\), so the correct value is \(\boxed{4}\). The nearby option \(n=3\) gives \(4\times3\times2=24\), not 60. Exam tip: In factorial fractions, expand the numerator factorial up to the denominator factorial and cancel common factors.
दिए गए व्यंजक में \(n!\) वाले पद कट जाते हैं:
\(\frac{\frac{(n+4)!}{n!}}{\frac{(n+2)!}{n!}}=\frac{(n+4)!}{(n+2)!}\).
अब \((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)!\) रखने पर \((n+2)!\) कट जाता है और परिणाम \((n+4)(n+3)\) मिलता है। विकल्प C में \((n+2)!\) तक के गुणनखंड सही ढंग से नहीं काटे गए हैं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्नों में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को काटें। / The \(n!\) factors cancel in the given complex fraction:
\(\frac{\frac{(n+4)!}{n!}}{\frac{(n+2)!}{n!}}=\frac{(n+4)!}{(n+2)!}\).
Since \((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)!\), the factor \((n+2)!\) cancels, leaving \((n+4)(n+3)\). Option C does not result from cancelling the factorials correctly. Exam tip: expand the larger factorial only up to the smaller factorial before cancelling common factors.
\(\frac{6!}{3!\,3!}=\frac{720}{6\times6}=20\) तथा \(\frac{7!}{5!\,2!}=\frac{5040}{120\times2}=21\)। अतः कुल मान \(20+21=41\) है। \(39\) जैसा विकल्प गलत सरलीकरण या जोड़ में त्रुटि से आ सकता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल पदों को काटने के बाद शेष गुणनफल को ध्यान से लिखें। / \(\frac{6!}{3!\,3!}=\frac{720}{6\times6}=20\), and \(\frac{7!}{5!\,2!}=\frac{5040}{120\times2}=21\). Therefore, the total is \(20+21=41\). An option such as \(39\) may result from an error in simplification or addition. Exam tip: Cancel factorial terms first and write the remaining products carefully.
\(9!=9\times 8!\) लिखने पर अंश \(9\times 8!+8!=8!(9+1)=10\times 8!\) हो जाता है। अतः \(\frac{10\times 8!}{7!}=10\times 8=80\), क्योंकि \(8!=8\times 7!\)। इसलिए सही उत्तर 80 है। 72 केवल \(9!\) को \(7!\) से भाग देने पर मिलता है; इसमें \(8!\) वाला पद छूट जाता है। परीक्षा टिप: समान फैक्टोरियल पद को बाहर निकालकर पहले सरल करें। / Using \(9!=9\times 8!\), the numerator becomes \(9\times 8!+8!=8!(9+1)=10\times 8!\). Therefore, \(\frac{10\times 8!}{7!}=10\times 8=80\), since \(8!=8\times 7!\). Hence, 80 is correct. The value 72 results from dividing only \(9!\) by \(7!\) and incorrectly omitting the \(8!\) term. Exam tip: factor out the common factorial before simplifying.
क्योंकि \(n!=n(n-1)(n-2)(n-3)!\), इसलिए \(\frac{n!}{(n-3)!}=n(n-1)(n-2)\) होगा। अतः \(n(n-1)(n-2)=210\)। \(7\times6\times5=210\), इसलिए \(n=7\) है। \(n=8\) लेने पर गुणनफल \(8\times7\times6=336\) होता है, जो 210 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के ऐसे भाग में हर वाले फैक्टोरियल तक पदों को काटकर लगातार गुणनफल लिखें। / Since \(n!=n(n-1)(n-2)(n-3)!\), we get \(\frac{n!}{(n-3)!}=n(n-1)(n-2)\). Thus, \(n(n-1)(n-2)=210\). As \(7\times6\times5=210\), \(n=7\). For example, if \(n=8\), the product is \(8\times7\times6=336\), not 210. Exam tip: In factorial quotients, cancel the denominator factorial and write the remaining consecutive factors.
फैक्टोरियल के अनुसार \(n!=n(n-1)!\), इसलिए \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\)। इसी प्रकार \((n+1)!=(n+1)n!\), अतः \(\frac{(n+1)!}{n!}=n+1\)। इसलिए पूरा व्यंजक \(n\times(n+1)=n(n+1)\) है। \(n^2\) तब मिलता जब दोनों गुणनखंड \(n\) होते। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल अनुपात में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणनखंडों में लिखकर काटें। / Using factorial notation, \(n!=n(n-1)!\), so \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\). Likewise, \((n+1)!=(n+1)n!\), so \(\frac{(n+1)!}{n!}=n+1\). Hence the full expression is \(n\times(n+1)=n(n+1)\). \(n^2\) would result only if both factors were \(n\). Exam tip: In factorial ratios, expand the larger factorial just enough to cancel the smaller one.
\(\frac{10!}{8!}=\frac{10\times9\times8!}{8!}=90\) तथा \(\frac{7!}{6!}=\frac{7\times6!}{6!}=7\)। साथ ही, परिभाषा के अनुसार \(0!=1\)। अतः मान \(90+7+1=98\) है। \(97\) तब मिलता यदि \(0!\) को गलती से 0 मान लिया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में समान फैक्टोरियल पदों को काटकर शेष गुणनखंड लिखें। / \(\frac{10!}{8!}=\frac{10\times9\times8!}{8!}=90\) and \(\frac{7!}{6!}=\frac{7\times6!}{6!}=7\). Also, by definition, \(0!=1\). Therefore, the value is \(90+7+1=98\). One may get \(97\) by incorrectly taking \(0!\) as 0. Exam tip: In factorial fractions, expand only until the common factorial terms cancel.
\(\frac{13!}{11!\,2!}=\frac{13\times12}{2}=78\) और \(\frac{6!}{4!\,2!}=\frac{6\times5}{2}=15\) है। अतः आवश्यक मान \(78-15=63\) है। विकल्प 60 तब मिलता यदि गुणनखंडों को सही ढंग से सरल न किया जाए। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{(n-2)!\,2!}=\frac{n(n-1)}{2}\) का प्रयोग करके ऐसे पद जल्दी हल करें। / \(\frac{13!}{11!\,2!}=\frac{13\times12}{2}=78\), while \(\frac{6!}{4!\,2!}=\frac{6\times5}{2}=15\). Therefore, the required value is \(78-15=63\). The option 60 can result from incorrect cancellation of factorial terms. Exam tip: use \(\frac{n!}{(n-2)!\,2!}=\frac{n(n-1)}{2}\) to evaluate such terms quickly.
क्योंकि \((n+5)!=(n+5)(n+4)(n+3)(n+2)!\), इसलिए \((n+2)!\) कटने पर \((n+5)(n+4)(n+3)\) बचता है। अतः 3 क्रमागत गुणक बचते हैं। 4 गुणक तभी बचते जब हर में \((n+1)!\) होता। परीक्षा टिप: \(\frac{(n+r)!}{n!}\) में सामान्यतः \(r\) गुणक बचते हैं। / Since \((n+5)!=(n+5)(n+4)(n+3)(n+2)!\), cancelling \((n+2)!\) leaves \((n+5)(n+4)(n+3)\). Hence, 3 consecutive factors remain. Four factors would remain if the denominator were \((n+1)!\). Exam tip: in \(\frac{(n+r)!}{n!}\), usually \(r\) factors remain after cancellation.
\(\frac{8!}{5!}=8\times7\times6=336\), क्योंकि \(5!\) कट जाता है। इसी प्रकार, \(\frac{6!}{4!}=6\times5=30\) और \(4!=24\)। अतः दिया गया मान \(336+30-24=342\) है। \(336\) चुनना गलत होगा, क्योंकि उसमें दूसरे पद और \(4!\) का प्रभाव नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्नों में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटकर शेष गुणनफल लिखें। / \(\frac{8!}{5!}=8\times7\times6=336\), since \(5!\) cancels out. Similarly, \(\frac{6!}{4!}=6\times5=30\), and \(4!=24\). Therefore, the value is \(336+30-24=342\). Choosing \(336\) would ignore the effect of the second term and \(4!\). Exam tip: In factorial fractions, cancel the common factorial first and then multiply the remaining factors.
दिए गए व्यंजक में अल्पविराम को गुणन के अर्थ में लेते हुए, \(\frac{5!\times3!}{2!\times4!}=\frac{5!}{4!}\times\frac{3!}{2!}=5\times3=15\)। इसलिए सही उत्तर 15 है। विकल्प 20 तब आ सकता है जब भाज्य पदों का गलत निरस्तीकरण किया जाए। परीक्षा टिप: समान भाज्य पदों को \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\) नियम से तुरंत सरल करें। / Taking the commas in the given expression to indicate multiplication, \(\frac{5!\times3!}{2!\times4!}=\frac{5!}{4!}\times\frac{3!}{2!}=5\times3=15\). Therefore, the correct answer is 15. Option 20 can result from incorrect cancellation of factorial terms. Exam tip: simplify matching factorials quickly using \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\).
\((n+1)!=(n+1)n(n-1)!\) होने पर \((n-1)!\) कट जाता है और दिया गया व्यंजक \(n(n+1)\) बनता है। अतः \(n(n+1)=72\)। लगातार पूर्णांकों में \(8\times9=72\), इसलिए \(n=8\) है। \(n=7\) निकटतम विकल्प है, लेकिन \(7\times8=56\), 72 नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे भिन्नों में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर लिखें, फिर समान पदों को काटें। / Since \((n+1)!=(n+1)n(n-1)!\), the factor \((n-1)!\) cancels, so the given expression becomes \(n(n+1)\). Thus, \(n(n+1)=72\). The consecutive integers whose product is 72 are 8 and 9; hence, \(n=8\). The closest option, 7, gives \(7\times8=56\), not 72. Exam tip: expand the larger factorial up to the smaller factorial and then cancel common factors.
\(\frac{9!}{7!}=\frac{9\times8\times7!}{7!}=9\times8=72\) तथा \(\frac{6!}{5!}=6\) है। अतः दिया गया मान \(72\div6=12\) होगा। \(18\) तब मिल सकता है जब भाज्य या भाजक में गुणनखंडों को गलत ढंग से रद्द किया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्नों में समान फैक्टोरियल पदों को पहले रद्द करके शेष गुणनखंड लिखें। / \(\frac{9!}{7!}=\frac{9\times8\times7!}{7!}=9\times8=72\), and \(\frac{6!}{5!}=6\). Therefore, the given value is \(72\div6=12\). A value such as \(18\) can result from cancelling factorial factors incorrectly. Exam tip: In factorial fractions, cancel the common factorial part first and then multiply the remaining factors.
क्योंकि \(11!=11\times10!\), इसलिए \(11!-10!=11\times10!-10!=10!(11-1)=10\times10!\)। अब \(10!=10\times9!\), अतः \(\frac{10\times10!}{9!}=10\times10=100\)। इसलिए सही उत्तर 100 है। \(110\) तब मिलता है जब \(11!\) में से \(10!\) घटाने को सही ढंग से सरल नहीं किया जाता। परीक्षा टिप: अलग-अलग फैक्टोरियल वाले पदों में छोटे फैक्टोरियल को common लेकर पहले गुणनखंड निकालें। / Since \(11!=11\times10!\), we get \(11!-10!=11\times10!-10!=10!(11-1)=10\times10!\). Also, \(10!=10\times9!\), so \(\frac{10\times10!}{9!}=10\times10=100\). Hence, 100 is the correct answer. The value 110 can result from not simplifying the subtraction involving \(11!\) and \(10!\) correctly. Exam tip: When factorial terms are subtracted, first factor out the smaller factorial.
\(\frac{8!}{6!}=\frac{8\times7\times6!}{6!}=8\times7=56\) और \(\frac{5!}{3!}=\frac{5\times4\times3!}{3!}=5\times4=20\)। अतः \(x+y=56+20=76\)। 72 एक निकट का विकल्प हो सकता है, लेकिन वह \(8!\) को सही प्रकार से \(6!\) से सरल न करने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में समान फैक्टोरियल पदों को काटकर केवल शेष गुणनखंडों का गुणन करें। / \(\frac{8!}{6!}=\frac{8\times7\times6!}{6!}=8\times7=56\), and \(\frac{5!}{3!}=\frac{5\times4\times3!}{3!}=5\times4=20\). Hence, \(x+y=56+20=76\). 72 may seem close, but it can result from simplifying \(8!\) incorrectly against \(6!\). Exam tip: In a factorial fraction, cancel the common factorial term first and multiply only the remaining factors.
यहाँ हर में \(4!\) और \(3!\) का गुणन अभिप्रेत है। अतः \(\frac{7!}{4!\,3!}\times3!=\frac{7!}{4!}=7\times6\times5=210\)। इसलिए सही विकल्प \(210\) है। \(140\) जैसा उत्तर \(3!\) को सही ढंग से निरस्त न करने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: समान गुणनखंड ऊपर और नीचे हों, तो पहले उन्हें निरस्त करके गणना सरल बनाइए। / Here, the denominator is intended to mean the product \(4!\,3!\). Thus, \(\frac{7!}{4!\,3!}\times3!=\frac{7!}{4!}=7\times6\times5=210\). Therefore, \(210\) is the correct option. An answer such as \(140\) may result from not cancelling \(3!\) correctly. Exam tip: Cancel common factors in the numerator and denominator before expanding factorials.
यहाँ प्रत्येक हर में अल्पविराम का अर्थ गुणन है। अतः \(\frac{12!}{10!\,2!}=\frac{12\times11}{2}=66\) और \(\frac{8!}{6!\,2!}=\frac{8\times7}{2}=28\)। इसलिए योग \(66+28=94\) है। विकल्प 90 तब मिल सकता है जब गुणनफल या जोड़ में गलती हो। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल को पहले सामान्य पदों तक काटकर सरल करें। / Here, the comma in each denominator indicates multiplication. Thus, \(\frac{12!}{10!\,2!}=\frac{12\times11}{2}=66\) and \(\frac{8!}{6!\,2!}=\frac{8\times7}{2}=28\). Therefore, the sum is \(66+28=94\). Option 90 can result from an error in multiplication or addition. Exam tip: Cancel common factorial terms first to simplify quickly.
\(6!=6\times5\times4!\) और \(5!=5\times4!\)। अतः \(\frac{6!+5!}{4!}=\frac{(6\times5\times4!)+(5\times4!)}{4!}=30+5=35\)। इसलिए सही उत्तर 35 है। 30 केवल \(6!\) वाले पद से मिलता है; \(5!\) वाला पद भी जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में बड़े फैक्टोरियल को छोटे समान फैक्टोरियल के गुणज के रूप में लिखकर पहले सरल करें। / Since \(6!=6\times5\times4!\) and \(5!=5\times4!\), \(\frac{6!+5!}{4!}=\frac{(6\times5\times4!)+(5\times4!)}{4!}=30+5=35\). Hence, 35 is correct. The value 30 comes from considering only the \(6!\) term; the \(5!\) term must also be included. Exam tip: Rewrite larger factorials as multiples of a common smaller factorial before simplifying.
फैक्टोरियल की परिभाषा से \(n!=n(n-1)(n-2)!\)। इसलिए \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)=56\)। अब \(8\times7=56\), अतः \(n=8\) है। \(n=7\) निकट विकल्प है, लेकिन तब \(7\times6=42\) मिलेगा। फैक्टोरियल में \(n\) को धनात्मक पूर्णांक माना जाता है, इसलिए ऋणात्मक हल मान्य नहीं होता। परीक्षा टिप: ऐसे भिन्नों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाइए। / Using the factorial definition, \(n!=n(n-1)(n-2)!\). Therefore, \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)=56\). Since \(8\times7=56\), \(n=8\). The close distractor \(7\) gives \(7\times6=42\), not 56. In factorial notation, \(n\) is taken as a positive integer, so a negative algebraic root is not valid. Exam tip: Expand the larger factorial only up to the smaller factorial before cancelling.
\(9!=9\times8!\) होने पर, \(9!-8!=9\times8!-8!=8!(9-1)=8\times8!\)। साथ ही, \(8!=8\times7!\) है। अतः \(\frac{8\times8!}{7!}=8\times8=64\)। इसलिए सही उत्तर 64 है। 72 प्राप्त करना गुणनखंडों या फैक्टोरियल के विस्तार को गलत ढंग से करने पर हो सकता है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में छोटे फैक्टोरियल को पहले सामान्य गुणनखंड के रूप में बाहर निकालें। / As \(9!=9\times8!\), we get \(9!-8!=9\times8!-8!=8!(9-1)=8\times8!\). Also, \(8!=8\times7!\). Therefore, \(\frac{8\times8!}{7!}=8\times8=64\). Hence, 64 is the correct answer. The value 72 may result from expanding or cancelling factorial terms incorrectly. Exam tip: first factor out the smaller factorial in such expressions.
\((n+3)!\) को \(n!\) तक फैलाने पर \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)n!\) प्राप्त होता है। इसलिए \(n!\) कटने पर \(\frac{(n+3)!}{n!}=(n+3)(n+2)(n+1)\) बचता है, जिसमें 3 क्रमागत गुणक हैं। \(4\) गुणक \(\frac{(n+4)!}{n!}\) में होते। परीक्षा टिप: \(\frac{(n+r)!}{n!}\) में सामान्यतः \(r\) क्रमागत गुणक बचते हैं। / Expanding \((n+3)!\) up to \(n!\) gives \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)n!\). After cancelling \(n!\), we get \(\frac{(n+3)!}{n!}=(n+3)(n+2)(n+1)\), which contains 3 consecutive factors. There would be 4 factors in \(\frac{(n+4)!}{n!}\). Exam tip: In \(\frac{(n+r)!}{n!}\), exactly \(r\) consecutive factors remain.
