factorial simplification MCQ Questions for Class 11
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\(\frac{(n+6)!}{(n+4)!}=(n+6)(n+5)\) और \(\frac{(n+5)!}{(n+3)!}=(n+5)(n+4)\)। इसलिए योग \((n+5)[(n+6)+(n+4)]\) होगा। अतः \((n+5)(2n+10)=2(n+5)^2\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(2n+9\) है, जबकि कोष्ठक के पदों का सही योग \(2n+10\) है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में हर के फैक्टोरियल तक पदों को निरस्त करके बचे हुए क्रमागत गुणनखंड लिखें। / \(\frac{(n+6)!}{(n+4)!}=(n+6)(n+5)\) and \(\frac{(n+5)!}{(n+3)!}=(n+5)(n+4)\). Hence, the sum is \((n+5)[(n+6)+(n+4)]\). This gives \((n+5)(2n+10)=2(n+5)^2\), so option A is correct. Option B has \(2n+9\), whereas the correct sum inside the bracket is \(2n+10\). Exam tip: In factorial division, cancel through the denominator factorial and multiply the remaining consecutive factors.
\((4n+1)!=(4n+1)(4n)(4n-1)!\) लिखने पर \((4n-1)!\) कट जाता है। इसलिए \((4n+1)(4n)=420\)। चूँकि \(20\times21=420\), अतः \(4n=20\) और \(n=5\) है। निकटतम विकल्प \(n=4\) के लिए मान \(16\times17=272\) होगा, जो 420 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के ऐसे भाग में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को निरस्त करें। / Write \((4n+1)!=(4n+1)(4n)(4n-1)!\). Cancelling \((4n-1)!\) gives \((4n+1)(4n)=420\). Since \(20\times21=420\), we get \(4n=20\), hence \(n=5\). The nearest distractor, \(n=4\), gives \(16\times17=272\), not 420. Exam tip: for a quotient of nearby factorials, expand the larger factorial only up to the smaller one and cancel common factors.
\((4n+1)!\) को हर में दिए गए फैक्टोरियल तक विस्तार करने पर \((4n+1)!=(4n+1)(4n)(4n-1)!\) मिलता है। अब \((4n-1)!\) कट जाता है, इसलिए परिणाम \((4n+1)(4n)\) है। विकल्प D में \((4n-1)\) अनावश्यक रूप से बचा हुआ है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में अंश वाले बड़े फैक्टोरियल को हर वाले फैक्टोरियल तक ही फैलाएँ। / Expanding the numerator up to the factorial in the denominator gives \((4n+1)!=(4n+1)(4n)(4n-1)!\). The factor \((4n-1)!\) then cancels, leaving \((4n+1)(4n)\). Option D incorrectly retains the factor \((4n-1)\). Exam tip: In a factorial quotient, expand the larger factorial only as far as the denominator factorial.
छोटे फैक्टोरियल तक के पद कट जाते हैं: \(\frac{(2n+3)!}{(2n-1)!}=(2n)(2n+1)(2n+2)(2n+3)\)। अब \(17160=10\times11\times12\times13\) है। अतः \(2n=10\), इसलिए \(n=5\)। विकल्प 4 के लिए गुणनफल \(8\times9\times10\times11\) होगा, जो 17160 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के अनुपात में हर के अंतिम पद के बाद आने वाले लगातार पदों का गुणनफल लिखें। / Cancelling the common factorial terms gives \(\frac{(2n+3)!}{(2n-1)!}=(2n)(2n+1)(2n+2)(2n+3)\). Since \(17160=10\times11\times12\times13\), we have \(2n=10\), and hence \(n=5\). For option 4, the product is \(8\times9\times10\times11\), which is not 17160. Exam tip: In a factorial ratio, expand only the consecutive factors that remain after the smaller factorial is cancelled.
अंश को हर के फैक्टोरियल तक फैलाने पर \((2n+3)!=(2n+3)(2n+2)(2n+1)(2n)(2n-1)!\) प्राप्त होता है। हर का \((2n-1)!\) कटने पर चार गुणक बचते हैं: \((2n+3),(2n+2),(2n+1)\) और \(2n\)। इसलिए सही उत्तर 4 है। विकल्प 5 गलत है, क्योंकि फैक्टोरियल के सूचकांकों का अंतर \((2n+3)-(2n-1)=4\) है। परीक्षा टिप: \(a!/b!\), जहाँ \(a>b\), में बचे गुणकों की संख्या \(a-b\) होती है। / Expanding the numerator down to the denominator factorial gives \((2n+3)!=(2n+3)(2n+2)(2n+1)(2n)(2n-1)!\). Cancelling \((2n-1)!\) leaves four factors: \((2n+3),(2n+2),(2n+1)\), and \(2n\). Hence, the correct answer is 4. Option 5 is incorrect because the difference between the factorial indices is \((2n+3)-(2n-1)=4\). Exam tip: in \(a!/b!\), where \(a>b\), the number of factors left is \(a-b\).
दिया गया व्यंजक \(\frac{15!}{11!\cdot4!}\times\frac{10!\cdot4!}{14!}\) है। \(4!\) निरस्त करने पर \(\frac{15!\cdot10!}{11!\cdot14!}\) मिलता है। अब \(15!=15\cdot14!\) तथा \(11!=11\cdot10!\) रखने पर सभी समान पद निरस्त होकर मान \(\frac{15}{11}\) प्राप्त होता है। \(\frac{14}{11}\) तब मिल सकता है जब \(15!\) के अतिरिक्त गुणक 15 को गलती से छोड़ दिया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल को केवल उतना ही फैलाएँ जितना समान फैक्टोरियल पदों को निरस्त करने के लिए आवश्यक हो। / The expression is \(\frac{15!}{11!\cdot4!}\times\frac{10!\cdot4!}{14!}\). After cancelling \(4!\), it becomes \(\frac{15!\cdot10!}{11!\cdot14!}\). Using \(15!=15\cdot14!\) and \(11!=11\cdot10!\), all common factors cancel and the value is \(\frac{15}{11}\). \(\frac{14}{11}\) could result from incorrectly omitting the extra factor 15 in \(15!\). Exam tip: Expand factorials only as far as needed to cancel common factorial terms.
\(23!=23\times22\times21!\) होने से पहला पद \(\frac{23\times22}{2!}=253\) है। इसी प्रकार, \(22!=22\times21\times20!\), इसलिए दूसरा पद \(\frac{22\times21}{2!}=231\) है। अतः कुल मान \(253+231=484\) है। \(474\) सही नहीं है; यह गणना में गुणन या जोड़ की त्रुटि से प्राप्त हो सकता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्न में पहले सामान्य फैक्टोरियल को काटें, फिर शेष गुणन करें। / Since \(23!=23\times22\times21!\), the first term is \(\frac{23\times22}{2!}=253\). Similarly, \(22!=22\times21\times20!\), so the second term is \(\frac{22\times21}{2!}=231\). Hence, the value is \(253+231=484\). Option 474 is incorrect and can result from an error in multiplication or addition. Exam tip: In factorial fractions, cancel the common factorial first and then multiply the remaining factors.
\((n+5)!=(n+5)(n+4)!\) का उपयोग करने पर अंश \((n+4)![(n+5)-1]=(n+4)(n+4)!\) बनता है। इसलिए
\[
\frac{(n+5)!-(n+4)!}{(n+3)!}
=\frac{(n+4)(n+4)!}{(n+3)!}
=(n+4)^2.
\]
अतः \((n+4)^2=169=13^2\)। फैक्टोरियल के परिभाषित होने के लिए \(n\geq -3\) होना चाहिए, इसलिए \(n+4\) धनात्मक है और \(n+4=13\)। अतः \(n=9\)। विकल्प 8 देने पर मान \(12^2=144\) आता है, 169 नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के व्यंजकों में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणनफल के रूप में लिखकर पहले सरल करें। / Using \((n+5)!=(n+5)(n+4)!\), the numerator becomes \((n+4)![(n+5)-1]=(n+4)(n+4)!\). Therefore,
\[
\frac{(n+5)!-(n+4)!}{(n+3)!}
=\frac{(n+4)(n+4)!}{(n+3)!}
=(n+4)^2.
\]
Thus \((n+4)^2=169=13^2\). For all the factorials to be defined, \(n\geq -3\), so \(n+4\) is positive and \(n+4=13\). Hence \(n=9\). Option 8 gives \(12^2=144\), not 169. Exam tip: In factorial expressions, rewrite the larger factorial in terms of the smaller one before cancelling common factors.
\((n+5)!=(n+5)(n+4)!\) लिखने पर अंश \((n+4)!\big[(n+5)-1\big]=(n+4)!(n+4)\) हो जाता है। अब \((n+4)!=(n+4)(n+3)!\), इसलिए \(\frac{(n+4)!(n+4)}{(n+3)!}=(n+4)^2\)। अतः विकल्प A सही है। \((n+4)(n+5)\) तब प्राप्त होता यदि घटाव करने से पहले गुणनखंडों को गलत ढंग से गुणा कर दिया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के घटाव वाले व्यंजक में पहले छोटे फैक्टोरियल को common factor के रूप में लें। / Using \((n+5)!=(n+5)(n+4)!\), the numerator becomes \((n+4)!\big[(n+5)-1\big]=(n+4)!(n+4)\). Also, \((n+4)!=(n+4)(n+3)!\). Therefore, \(\frac{(n+4)!(n+4)}{(n+3)!}=(n+4)^2\), so option A is correct. \((n+4)(n+5)\) would arise from incorrectly multiplying factors before carrying out the subtraction. Exam tip: in a factorial subtraction, first factor out the smaller common factorial.
\((n+4)!=(n+4)(n+3)!\) लिखने पर अंश \((n+3)![(n+4)+1]=(n+3)!(n+5)\) हो जाता है। अब \((n+2)!\) से भाग देने पर \((n+3)(n+5)=143\) मिलता है। क्योंकि \(143=11\times13\), इसलिए \(n+3=11\) और \(n=8\)। विकल्प 7 के लिए मान \(10\times12=120\) होगा, जो 143 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्नों में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणज के रूप में लिखकर पहले सरलीकरण करें। / Write \((n+4)!=(n+4)(n+3)!\). The numerator then becomes \((n+3)![(n+4)+1]=(n+3)!(n+5)\). Dividing by \((n+2)!\) gives \((n+3)(n+5)=143\). Since \(143=11\times13\), we have \(n+3=11\), hence \(n=8\). For option 7, the value becomes \(10\times12=120\), not 143. Exam tip: In factorial fractions, express the larger factorial as a multiple of the smaller factorial before simplifying.
\(\frac{19!}{16!}=17\times18\times19\) तथा \(\frac{18!}{15!}=16\times17\times18\) है। अतः व्यंजक को \(17\times18\times(19-16)=17\times18\times3=918\) लिखा जा सकता है। इसलिए सही उत्तर 918 है। 1026 जैसा उत्तर गुणनखंडों के गलत निरस्तीकरण या घटाव में त्रुटि से मिल सकता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्नों में पहले छोटे फैक्टोरियल को निरस्त करें, फिर सामान्य गुणनखंड बाहर निकालें। / \(\frac{19!}{16!}=17\times18\times19\) and \(\frac{18!}{15!}=16\times17\times18\). Therefore, the expression becomes \(17\times18\times(19-16)=17\times18\times3=918\). Hence, 918 is correct. A value such as 1026 may result from incorrect cancellation or subtraction. Exam tip: In factorial fractions, cancel the smaller factorial first, then factor out common consecutive terms where possible.
पहला पद \(\frac{12!}{6!6!}=\binom{12}{6}=924\) है। दूसरा पद \(\frac{11!}{5!6!}=\binom{11}{5}=462\) है। अतः आवश्यक मान \(924-462=462\) होगा। विकल्प 420 जैसा उत्तर प्रायः फैक्टोरियल पदों को अधूरा सरल करने पर मिलता है। परीक्षा टिप: समान फैक्टोरियल वाले व्यंजकों को पहले \(\binom{n}{r}\) के रूप में पहचानने से गणना तेज होती है। / The first term is \(\frac{12!}{6!6!}=\binom{12}{6}=924\). The second term is \(\frac{11!}{5!6!}=\binom{11}{5}=462\). Therefore, the required value is \(924-462=462\). An answer such as 420 can result from incomplete simplification of the factorial terms. Exam tip: Recognise expressions of the form \(\frac{n!}{r!(n-r)!}\) as combinations to calculate quickly.
\(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\) तथा \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\)। इसलिए समीकरण \((n+2)(n+1)+n(n-1)=114\) होगा। इसे सरल करने पर \(2n^2+2n+2=114\), अर्थात \(n^2+n-56=0\) मिलता है। अतः \((n+8)(n-7)=0\), जिससे \(n=7\) या \(-8\)। फैक्टोरियल के लिए \(n\ge2\) होना चाहिए, इसलिए \(n=7\) सही है। \(n=8\) रखने पर बायाँ पक्ष 146 आता है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्नों में पहले समान पदों को काटकर गुणनखंडों के रूप में लिखें। / \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\) and \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\). Thus, \((n+2)(n+1)+n(n-1)=114\). Simplifying gives \(2n^2+2n+2=114\), or \(n^2+n-56=0\). Hence, \((n+8)(n-7)=0\), so \(n=7\) or \(-8\). Since the factorial expression requires \(n\ge2\), the valid value is \(n=7\). Substituting \(n=8\) gives 146 on the left-hand side, so it is a close but incorrect option. Exam tip: cancel factorials first by expanding only the required consecutive factors.
\((n+2)!=(n+2)(n+1)n!\), इसलिए \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)=n^2+3n+2\)। इसी प्रकार, \(n!=n(n-1)(n-2)!\), अतः \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)=n^2-n\)। दोनों पदों को जोड़ने पर \(n^2+3n+2+n^2-n=2n^2+2n+2\) मिलता है। विकल्प A में स्थिर पद \(2\) छूट गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में समान फैक्टोरियल पदों को पहले काटकर शेष क्रमागत गुणनखंड लिखें। / Since \((n+2)!=(n+2)(n+1)n!\), \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)=n^2+3n+2\). Also, \(n!=n(n-1)(n-2)!\), so \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)=n^2-n\). Adding gives \(n^2+3n+2+n^2-n=2n^2+2n+2\). Option A misses the constant term \(2\). Exam tip: in factorial quotients, cancel the common factorial first and then expand the remaining consecutive factors.
दिए गए व्यंजक में \(4!\) कट जाता है। फिर \(\frac{18!}{17!}=18\) और \(\frac{13!}{14!}=\frac{1}{14}\) होगा। अतः मान \(18\times\frac{1}{14}=\frac{9}{7}\) है। \(\frac{153}{119}\) सही नहीं है, क्योंकि \(\frac{3060}{2380}\) को पूर्णतः सरल करने पर भी \(\frac{9}{7}\) मिलता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भाग में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटें, फिर लगातार संख्याओं को सरल करें। / In the given expression, \(4!\) cancels out. Next, \(\frac{18!}{17!}=18\) and \(\frac{13!}{14!}=\frac{1}{14}\). Hence, the value is \(18\times\frac{1}{14}=\frac{9}{7}\). \(\frac{153}{119}\) is not fully simplified; it also reduces to \(\frac{9}{7}\). Exam tip: In factorial divisions, cancel common factorial terms first and then simplify consecutive factors.
\(\frac{(n+5)!}{(n+2)!}=(n+5)(n+4)(n+3)\) तथा \(\frac{(n+4)!}{(n+1)!}=(n+4)(n+3)(n+2)\)। अतः अंतर \((n+4)(n+3)[(n+5)-(n+2)]=3(n+4)(n+3)\) होगा। इसलिए \((n+4)(n+3)=132=12\times11\), जिससे \(n=8\) प्राप्त होता है। विकल्प 7 के लिए गुणनफल \(11\times10\) होगा, जो 132 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्नों में पहले समान पदों को काटकर क्रमागत गुणनखंड लिखें। / \(\frac{(n+5)!}{(n+2)!}=(n+5)(n+4)(n+3)\) and \(\frac{(n+4)!}{(n+1)!}=(n+4)(n+3)(n+2)\). Their difference is \((n+4)(n+3)[(n+5)-(n+2)]=3(n+4)(n+3)\). Hence, \((n+4)(n+3)=132=12\times11\), giving \(n=8\). For option 7, the product would be \(11\times10\), not 132. Exam tip: In factorial fractions, first cancel the common factorial terms and write the remaining consecutive factors.
\(\frac{(n+5)!}{(n+2)!}=(n+5)(n+4)(n+3)\) तथा \(\frac{(n+4)!}{(n+1)!}=(n+4)(n+3)(n+2)\)। अतः \((n+4)(n+3)\) उभयनिष्ठ लेने पर व्यंजक \((n+4)(n+3)[(n+5)-(n+2)] = 3(n+4)(n+3)\) मिलता है। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प D में 3 गुणनखंड छूट गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में नीचे वाले फैक्टोरियल तक क्रमागत गुणनखंड लिखकर पहले काटें। / \(\frac{(n+5)!}{(n+2)!}=(n+5)(n+4)(n+3)\), while \(\frac{(n+4)!}{(n+1)!}=(n+4)(n+3)(n+2)\). Taking \((n+4)(n+3)\) as the common factor gives \((n+4)(n+3)[(n+5)-(n+2)] = 3(n+4)(n+3)\). Hence, option B is correct. Option D misses the factor 3. Exam tip: In factorial quotients, expand only up to the denominator factorial and cancel first.
\((n+4)!=(n+4)(n+3)!\) लिखने पर अंश \((n+3)![(n+4)-1]=(n+3)!(n+3)\) हो जाता है। अतः दिया गया व्यंजक \(\frac{(n+3)!(n+3)}{(n+2)!}=(n+3)^2\) है। इसलिए \((n+3)^2=144\)। चूँकि फैक्टोरियल के लिए \(n\) गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, \(n+3=12\), जिससे \(n=9\) मिलता है। \(-12\) लेने पर \(n=-15\) होगा, जो यहाँ मान्य नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले प्रश्नों में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणनखंडों में लिखकर पहले रद्द करें। / Using \((n+4)!=(n+4)(n+3)!\), the numerator becomes \((n+3)![(n+4)-1]=(n+3)!(n+3)\). Hence the expression is \(\frac{(n+3)!(n+3)}{(n+2)!}=(n+3)^2\). Therefore, \((n+3)^2=144\). Since \(n\) must be a non-negative integer for the factorials here, \(n+3=12\), giving \(n=9\). The root \(n+3=-12\) gives \(n=-15\), which is not valid. Exam tip: In factorial questions, first expand the larger factorial in terms of the smaller one and cancel common factors.
\((n+4)!=(n+4)(n+3)!\) लिखने पर अंश \((n+3)![(n+4)-1]=(n+3)!(n+3)\) हो जाता है। अब \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\) रखने पर \(\frac{(n+3)!(n+3)}{(n+2)!}=(n+3)^2\) मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। \((n+4)^2\) में एक अतिरिक्त \(n+4\) गुणनखंड आ जाता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में पहले समान छोटा फैक्टोरियल बाहर निकालें। / Write \((n+4)!=(n+4)(n+3)!\). The numerator becomes \((n+3)![(n+4)-1]=(n+3)!(n+3)\). Since \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\), we get \(\frac{(n+3)!(n+3)}{(n+2)!}=(n+3)^2\). Hence, option A is correct. \((n+4)^2\) incorrectly retains an extra factor of \(n+4\). Exam tip: In factorial expressions, first factor out the smallest common factorial.
\(7!=7\cdot6!\) तथा \(9!=9\cdot8!\) लिखने पर
\[
\frac{7!\cdot9!}{8!\cdot6!}=\frac{(7\cdot6!)(9\cdot8!)}{8!\cdot6!}=7\cdot9=63.
\]
अतः सही उत्तर 63 है। 72 जैसा विकल्प तब आ सकता है जब क्रमागत फैक्टोरियल पदों को गलत ढंग से सरल किया जाए। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\) का प्रयोग करके फैक्टोरियल भिन्नों को तुरंत सरल करें। / Write \(7!=7\cdot6!\) and \(9!=9\cdot8!\). Then
\[
\frac{7!\cdot9!}{8!\cdot6!}=\frac{(7\cdot6!)(9\cdot8!)}{8!\cdot6!}=7\cdot9=63.
\]
Therefore, the correct answer is 63. A value such as 72 may result from cancelling consecutive factorial terms incorrectly. Exam tip: use \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\) to simplify factorial fractions quickly.
दिया गया व्यंजक \(\frac{(n+2)!}{(n-2)!}\times\frac{(n-3)!}{(n+1)!}\) है। समान गुणनखंड काटने पर यह \(\frac{n+2}{n-2}\) बनता है। अतः \(\frac{n+2}{n-2}=2\Rightarrow n+2=2n-4\Rightarrow n=6\)। इसलिए सही विकल्प 6 है। विकल्प 5 रखने पर मान \(\frac{7}{3}\) आता है, जो 2 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्नों में पहले फैक्टोरियल को क्रमिक गुणनखंडों में फैलाकर समान पद काटें। / The given expression can be written as \(\frac{(n+2)!}{(n-2)!}\times\frac{(n-3)!}{(n+1)!}\). Cancelling common factorial factors gives \(\frac{n+2}{n-2}\). Hence, \(\frac{n+2}{n-2}=2\Rightarrow n+2=2n-4\Rightarrow n=6\). Therefore, 6 is correct. If 5 is substituted, the value is \(\frac{7}{3}\), not 2. Exam tip: In factorial fractions, expand only enough consecutive factors to cancel common terms.
\((n+2)!/(n-2)!=(n+2)(n+1)n(n-1)\) तथा \((n+1)!/(n-3)!=(n+1)n(n-1)(n-2)\)। दोनों के समान गुणक \((n+1)n(n-1)\) कटने पर \(\frac{n+2}{n-2}\) प्राप्त होता है। विकल्प B में शेष गुणक गलत लिए गए हैं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके समान पद काटें। / \((n+2)!/(n-2)!=(n+2)(n+1)n(n-1)\), while \((n+1)!/(n-3)!=(n+1)n(n-1)(n-2)\). Cancelling the common factors \((n+1)n(n-1)\) gives \(\frac{n+2}{n-2}\). Option B uses incorrect remaining factors. Exam tip: In factorial quotients, expand the larger factorial only up to the smaller one, then cancel common factors.
\((n+1)!\) में से \((n-3)!\) कटने पर \(\frac{(n+1)!}{(n-3)!}=(n+1)n(n-1)(n-2)\) मिलता है। अतः \((n+1)n(n-1)(n-2)=5040\)। \(n=9\) रखने पर \(10\times9\times8\times7=5040\), इसलिए सही मान \(9\) है। \(n=8\) के लिए गुणनफल \(9\times8\times7\times6=3024\) होगा, जो 5040 नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे भिन्नात्मक फैक्टोरियल में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके पदों को काटें। / Cancelling \((n-3)!\) from \((n+1)!\) gives \(\frac{(n+1)!}{(n-3)!}=(n+1)n(n-1)(n-2)\). Hence, \((n+1)n(n-1)(n-2)=5040\). For \(n=9\), \(10\times9\times8\times7=5040\), so the correct value is \(9\). For \(n=8\), the product is \(9\times8\times7\times6=3024\), not 5040. Exam tip: In factorial ratios, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and then cancel common terms.
\((n+1)!=(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)!\)। इसे \((n-3)!\) से भाग देने पर \((n-3)!\) कट जाता है और \((n+1)n(n-1)(n-2)\) प्राप्त होता है। विकल्प B में \((n-2)\) गुणक छूट गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में ऊपर वाले फैक्टोरियल को नीचे वाले फैक्टोरियल तक लिखकर समान पदों को काटें। / \((n+1)!=(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)!\). On dividing by \((n-3)!\), the common factorial cancels, leaving \((n+1)n(n-1)(n-2)\). Option B incorrectly omits the factor \((n-2)\). Exam tip: In a factorial quotient, expand the numerator down to the denominator factorial and then cancel common terms.
\(\frac{25!}{23!\cdot2!}=\frac{25\times24}{2}=300\) तथा \(\frac{24!}{22!\cdot2!}=\frac{24\times23}{2}=276\)। अतः अंतर \(300-276=24\) है। विकल्प 23 केवल दूसरे पद के सरलीकरण में आने वाला गुणनखंड है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्न में पहले बड़े फैक्टोरियल को आवश्यक पदों तक फैलाकर समान फैक्टोरियल काटें। / \(\frac{25!}{23!\cdot2!}=\frac{25\times24}{2}=300\) and \(\frac{24!}{22!\cdot2!}=\frac{24\times23}{2}=276\). Therefore, the difference is \(300-276=24\). Option 23 is only a factor occurring while simplifying the second term; it is not the required difference. Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial only up to the common factorial, then cancel it first.
\((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)n(n-1)!\) लिखें। इसे दिए गए हर से भाग देने पर \((n-1)!\), \((n+2)\) और \((n+1)\) कट जाते हैं तथा \(n(n+3)\) बचता है। विकल्प B में \((n+3)\) के स्थान पर \((n+1)\) आ जाता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल को आवश्यक पदों तक फैलाकर समान गुणनखंडों को काटें। / Write \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)n(n-1)!\). On dividing by the given denominator, \((n-1)!\), \((n+2)\), and \((n+1)\) cancel, leaving \(n(n+3)\). Option B incorrectly retains \((n+1)\) instead of \((n+3)\). Exam tip: expand a factorial only as far as needed, then cancel common factors.
\(9!=9\cdot8\cdot7!\) तथा \(8!=8\cdot7!\)। इसलिए \(\frac{9!+2\cdot8!}{7!}=9\cdot8+2\cdot8=72+16=88\)। विकल्प 84 में \(2\cdot8!\) वाले पद का सही सरलीकरण नहीं होता। परीक्षा टिप: भिन्न में फैक्टोरियल पदों को हर के फैक्टोरियल के गुणज के रूप में लिखकर \(7!\) काटें। / Use \(9!=9\cdot8\cdot7!\) and \(8!=8\cdot7!\). Hence, \(\frac{9!+2\cdot8!}{7!}=9\cdot8+2\cdot8=72+16=88\). Option 84 results from an incorrect simplification of the \(2\cdot8!\) term. Exam tip: rewrite each factorial in terms of the denominator factorial before cancelling.
\(\frac{13!}{10!}=13\times12\times11=1716\) और \(\frac{12!}{10!}=12\times11=132\) है। इसलिए दिया गया व्यंजक \(1716-2\times132=1716-264=1452\) होगा। विकल्प D केवल पहला पद है; उसमें दूसरे पद को घटाया नहीं गया है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में समान \(10!\) को काटकर शेष क्रमागत गुणनखंडों का गुणन करें। / \(\frac{13!}{10!}=13\times12\times11=1716\), while \(\frac{12!}{10!}=12\times11=132\). Hence, the expression is \(1716-2\times132=1716-264=1452\). Option D is only the first term, without subtracting the second term. Exam tip: Cancel the common factorial first and then multiply the remaining consecutive factors.
क्योंकि \((n+5)!=(n+5)(n+4)!\), अंश \((n+4)![(n+5)+1]=(n+4)!(n+6)\) होगा। साथ ही \((n+4)!=(n+4)(n+3)!\)। अतः \(\frac{(n+4)!(n+6)}{(n+3)!}=(n+4)(n+6)\)। विकल्प B में \(n+5\) को गलत रूप से बनाए रखा गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले पदों में छोटे फैक्टोरियल को common factor लेकर पहले सरल करें। / Since \((n+5)!=(n+5)(n+4)!\), the numerator becomes \((n+4)![(n+5)+1]=(n+4)!(n+6)\). Also, \((n+4)!=(n+4)(n+3)!\). Therefore, \(\frac{(n+4)!(n+6)}{(n+3)!}=(n+4)(n+6)\). Option B incorrectly retains the factor \(n+5\). Exam tip: in factorial expressions, first take the smaller factorial as a common factor.
\(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\) तथा \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\)। अतः उनका अंतर \((n+3)[(n+4)-(n+2)]=2(n+3)\) होगा। इसलिए \(2(n+3)=24\), जिससे \(n+3=12\) और \(n=9\) प्राप्त होता है। विकल्प 8 लेने पर व्यंजक का मान 22 आएगा, 24 नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में समान फैक्टोरियल पदों को काटकर शेष क्रमागत गुणनखंड लिखें। / \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\) and \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\). Hence, their difference is \((n+3)[(n+4)-(n+2)]=2(n+3)\). So \(2(n+3)=24\), giving \(n+3=12\) and \(n=9\). For example, if \(n=8\), the expression equals 22, not 24. Exam tip: In factorial quotients, cancel the common factorial terms and write the remaining consecutive factors.
