factorial simplification MCQ Questions for Class 11
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\((n+6)!=(n+6)(n+5)(n+4)!\) होने से \(\frac{(n+6)!}{(n+4)!}=(n+6)(n+5)\) होगा। अतः \((n+6)(n+5)=272\)। क्योंकि \(16\times17=272\), इसलिए \(n+5=16\) और \(n=10\)। \(n=11\) लेने पर गुणनफल \(17\times18\) होगा, जो 272 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में समान \((n+4)!\) पद को काटने से पहले ऊपर के शेष क्रमागत गुणनखंड लिखें। / Since \((n+6)!=(n+6)(n+5)(n+4)!\), we get \(\frac{(n+6)!}{(n+4)!}=(n+6)(n+5)\). Thus, \((n+6)(n+5)=272\). As \(16\times17=272\), \(n+5=16\), so \(n=10\). For \(n=11\), the product would be \(17\times18\), not 272. Exam tip: In a factorial quotient, write the remaining consecutive factors before cancelling the common factorial term.
\(\frac{30!}{28!}=30\times29\), क्योंकि \(28!\) कट जाता है। इसी प्रकार, \(\frac{29!}{27!}=29\times28\)। अतः अंतर \(30\times29-29\times28=29(30-28)=58\) है। 56 निकट का विकल्प हो सकता है, पर वह गुणनखंड \(29\) के साथ सही अंतर \(2\) लेने पर नहीं मिलता। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्नों में छोटे फैक्टोरियल को काटकर शेष क्रमागत संख्याएँ लिखें। / \(\frac{30!}{28!}=30\times29\) because \(28!\) cancels. Similarly, \(\frac{29!}{27!}=29\times28\). Therefore, the difference is \(30\times29-29\times28=29(30-28)=58\). Option 56 may seem close, but it does not result from the correct common factor \(29\) and difference \(2\). Exam tip: In factorial fractions, cancel the smaller factorial first and write the remaining consecutive factors.
\(22!=22\times21!\), इसलिए \(22!-21!=21!(22-1)=21\times21!\)। अब \(21!=21\times20!\), अतः \(\frac{21\times21!}{20!}=21\times21=441\)। विकल्प 462 में गुणनखंडों का सही सरलीकरण नहीं होता। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के घटाव में पहले छोटे फैक्टोरियल को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में बाहर निकालें। / Since \(22!=22\times21!\), \(22!-21!=21!(22-1)=21\times21!\). Also, \(21!=21\times20!\), so \(\frac{21\times21!}{20!}=21\times21=441\). The value 462 does not follow from the correct factorial simplification. Exam tip: In subtraction involving factorials, first factor out the smaller common factorial.
\((n+5)!\) में से \((n+3)!\) कटने पर \(\frac{(n+5)!}{(n+3)!}=(n+5)(n+4)\) मिलता है। अतः \((n+5)(n+4)=210\)। 210 के क्रमागत गुणनखंड \(14\) और \(15\) हैं, इसलिए \(n+4=14\) तथा \(n=10\)। \(n=9\) लेने पर गुणनफल \(13\times14=182\) होगा, 210 नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे फैक्टोरियल भिन्न में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटकर बचे हुए क्रमागत पद लिखें। / On cancelling \((n+3)!\) from \((n+5)!\), we get \(\frac{(n+5)!}{(n+3)!}=(n+5)(n+4)\). Thus, \((n+5)(n+4)=210\). The consecutive factors of 210 are \(14\) and \(15\), so \(n+4=14\), giving \(n=10\). For \(n=9\), the product is \(13\times14=182\), not 210. Exam tip: In factorial fractions, first cancel the common factorial part and write the remaining consecutive factors.
\(\frac{21!}{19!\times2!}=\frac{21\times20}{2}=210\) तथा \(\frac{20!}{18!\times2!}=\frac{20\times19}{2}=190\)। अतः अभीष्ट अंतर \(210-190=20\) है। इसलिए सही विकल्प C है। निकटतम विकल्प 19 तब मिल सकता है जब गुणनखंडों को रद्द करते समय गलती हो जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्न में पहले बड़े फैक्टोरियल को आवश्यक पदों तक फैलाकर समान पदों को रद्द करें। / \(\frac{21!}{19!\times2!}=\frac{21\times20}{2}=210\), and \(\frac{20!}{18!\times2!}=\frac{20\times19}{2}=190\). Therefore, the required difference is \(210-190=20\). Hence, option C is correct. The nearby answer 19 may result from an error while cancelling factors. Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial only up to the required factors and then cancel common terms.
\(19! = 19\times18\times17!\), इसलिए \(\frac{19!}{17!}=19\times18\) होता है। इसी प्रकार, \(18!=18\times17\times16!\), अतः \(\frac{18!}{16!}=18\times17\)। इसलिए दिया गया मान \(19\times18-18\times17=18(19-17)=36\) है। निकटतम विकल्प 34 तब मिल सकता है जब गुणनखंडों को गलत ढंग से सरल किया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्न में छोटे फैक्टोरियल तक पदों को फैलाकर पहले समान पदों को काटें। / Since \(19! = 19\times18\times17!\), \(\frac{19!}{17!}=19\times18\). Similarly, \(18!=18\times17\times16!\), so \(\frac{18!}{16!}=18\times17\). Therefore, the value is \(19\times18-18\times17=18(19-17)=36\). The nearby value 34 may result from incorrect cancellation of factorial terms. Exam tip: Expand a factorial only up to the smaller factorial before cancelling common factors.
\(\frac{17!}{15!}=17\times16\) क्योंकि \(15!\) कट जाता है। इसी प्रकार, \(\frac{16!}{14!}=16\times15\)। अतः व्यंजक का मान \(17\times16-16\times15=16(17-15)=32\) है। विकल्प 30 या 34 तब मिल सकते हैं जब गुणनखंडों को गलत ढंग से घटाया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके समान पदों को काटें। / \(\frac{17!}{15!}=17\times16\) because \(15!\) cancels. Similarly, \(\frac{16!}{14!}=16\times15\). Therefore, the value is \(17\times16-16\times15=16(17-15)=32\). Values such as 30 or 34 can result from subtracting the factors incorrectly. Exam tip: In factorial fractions, expand only up to the smaller factorial and cancel the common part.
\((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!\), इसलिए \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\)। इसी प्रकार, \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\)। अतः दिया गया व्यंजक \((n+2)[(n+3)-(n+1)]=2(n+2)\) है। \(n+2\) वाला विकल्प समान गुणनखंड निकालने के बाद प्राप्त अंतर 2 को छोड़ देता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्नों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके पदों को निरस्त करें। / Since \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!\), \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\). Similarly, \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\). Hence, the expression becomes \((n+2)[(n+3)-(n+1)]=2(n+2)\). The option \(n+2\) incorrectly omits the difference factor 2. Exam tip: In factorial fractions, expand only until the denominator factorial and then cancel common factors.
क्योंकि \(16!=16\times15\times14!\), इसलिए \(\frac{16!}{14!\times8}=\frac{16\times15\times14!}{14!\times8}=\frac{16\times15}{8}=2\times15=30\)। अतः सही उत्तर 30 है। 32 निकट का विकल्प है, लेकिन यह सही सरलीकरण से प्राप्त नहीं होता। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक लिखकर समान पदों को पहले काटें। / Since \(16!=16\times15\times14!\), \(\frac{16!}{14!\times8}=\frac{16\times15\times14!}{14!\times8}=\frac{16\times15}{8}=2\times15=30\). Hence, the correct answer is 30. Option 32 is a close distractor, but it does not follow from the correct simplification. Exam tip: In a factorial fraction, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and cancel common factors first.
\(25! = 25\times24\times23!\) होता है। अतः \(\frac{25!}{23!}=\frac{25\times24\times23!}{23!}=25\times24=600\)। इसलिए विकल्प B सही है। \(625=25\times25\) होता है, जबकि यहाँ क्रमागत गुणनखंड \(25\) और \(24\) हैं। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{(n-r)!}\) में केवल बचे हुए क्रमागत गुणनखंडों का गुणन करें। / We have \(25!=25\times24\times23!\). Therefore, \(\frac{25!}{23!}=\frac{25\times24\times23!}{23!}=25\times24=600\). Hence, option B is correct. In contrast, \(625=25\times25\), whereas the required consecutive factors are \(25\) and \(24\). Exam tip: In \(\frac{n!}{(n-r)!}\), multiply only the consecutive factors that remain after cancellation.
\((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)!\) लिखने पर \((n+2)!\) कट जाता है और \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\) मिलता है। अतः \((n+4)(n+3)=156\)। क्योंकि \(12\times13=156\), इसलिए \(n+3=12\) और \(n=9\)। उदाहरण के लिए, \(n=10\) रखने पर मान \(14\times13=182\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके पदों को काटें। / Write \((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)!\). Cancelling \((n+2)!\) gives \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\). Thus, \((n+4)(n+3)=156\). Since \(12\times13=156\), we have \(n+3=12\), so \(n=9\). For example, if \(n=10\), the value would be \(14\times13=182\), so it is not correct. Exam tip: In a factorial quotient, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and then cancel common terms.
क्योंकि \(n!=n(n-1)(n-2)!\), इसलिए \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\)। अतः \(n(n-1)=132\)। \(12\times11=132\), इसलिए \(n=12\)। निकटतम विकल्प \(11\) के लिए \(11\times10=110\) मिलता है, जो 132 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को काटें। / Since \(n!=n(n-1)(n-2)!\), \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\). Thus, \(n(n-1)=132\). As \(12\times11=132\), \(n=12\). For the closest distractor, \(n=11\) gives \(11\times10=110\), not 132. Exam tip: Expand the larger factorial up to the smaller factorial and cancel common factors.
\(14!=14\times13!\), इसलिए \(14!+13!=14\times13!+13!=13!(14+1)=15\times13!\)। अब \(13!=13\times12!\), अतः \(\frac{15\times13!}{12!}=15\times13=195\)। इसलिए विकल्प B सही है। \(210\) योग को गलत ढंग से \(14\times15\) मान लेने पर मिल सकता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के योग में पहले समान छोटे फैक्टोरियल को गुणनखंड के रूप में बाहर निकालें। / Since \(14!=14\times13!\), we get \(14!+13!=14\times13!+13!=13!(14+1)=15\times13!\). As \(13!=13\times12!\), \(\frac{15\times13!}{12!}=15\times13=195\). Hence, option B is correct. \(210\) may result from incorrectly treating the expression as \(14\times15\). Exam tip: for sums of factorials, first factor out the smaller common factorial.
\(10!=10\times9!\) लिखने पर अंश \(10\times9!+9!=9!(10+1)=11\times9!\) हो जाता है। अतः \(\frac{11\times9!}{8!}=11\times9=99\)। इसलिए सही उत्तर 99 है। \(108\) जैसे विकल्प सामान्यतः गुणनखंड निकालते समय \(10+1\) के स्थान पर गलत योग लेने से प्राप्त हो सकते हैं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्नों में पहले अंश के पदों को एक ही छोटे फैक्टोरियल के रूप में लिखें। / Writing \(10!=10\times9!\), the numerator becomes \(10\times9!+9!=9!(10+1)=11\times9!\). Hence, \(\frac{11\times9!}{8!}=11\times9=99\). Therefore, 99 is the correct answer. A value such as 108 may result from an incorrect addition while taking the common factorial. Exam tip: In factorial fractions, first express numerator terms using the same smaller factorial.
\((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!\) होने के कारण
\[\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2).\]
अतः \((n+3)(n+2)=110\)। क्योंकि \(10\times11=110\), इसलिए \(n+2=10\) और \(n=8\)। दूसरा बीजगणितीय मूल \(n=-13\) होगा, पर उसके लिए \((n+1)!\) परिभाषित नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटकर शेष क्रमागत गुणनखंड लिखें। / Using \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!\),
\[\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2).\]
Hence, \((n+3)(n+2)=110\). Since \(10\times11=110\), we get \(n+2=10\), so \(n=8\). The other algebraic root is \(n=-13\), but then \((n+1)!\) is not defined. Exam tip: In a factorial quotient, cancel the common factorial part first and write the remaining consecutive factors.
\((n+2)!=(n+2)(n+1)n!\) होने पर \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\) होगा। अतः \((n+2)(n+1)=56\)। 56 के क्रमागत गुणनखंड \(7\) और \(8\) हैं, इसलिए \(n+1=7\) तथा \(n=6\)। निकटतम विकल्प 7 लेने पर \((9)(8)=72\) मिलता है, जो 56 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान \(n!\) को काटें। / Since \((n+2)!=(n+2)(n+1)n!\), we have \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\). Therefore, \((n+2)(n+1)=56\). The consecutive factors of 56 are \(7\) and \(8\), so \(n+1=7\) and hence \(n=6\). For the close distractor 7, the product is \(9\times8=72\), not 56. Exam tip: In a factorial fraction, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and cancel common terms.
\(n!=n(n-1)!\) तथा \((n+1)!=(n+1)n!\) का उपयोग करने पर
\(\frac{(n!)^2}{(n-1)!(n+1)!}=\frac{n}{n+1}\) मिलता है। अतः \(\frac{n}{n+1}=\frac{13}{14}\)। क्रॉस-गुणन से \(14n=13n+13\), इसलिए \(n=13\)। विकल्प 14 लेने पर मान \(\frac{14}{15}\) होता है, जो दिए गए भिन्न के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: क्रमागत फैक्टोरियल को विस्तार करके पहले समान पदों को काटें। / Using \(n!=n(n-1)!\) and \((n+1)!=(n+1)n!\), the given expression reduces to \(\frac{n}{n+1}\). Therefore, \(\frac{n}{n+1}=\frac{13}{14}\). Cross-multiplication gives \(14n=13n+13\), hence \(n=13\). If \(n=14\), the fraction would be \(\frac{14}{15}\), not the given value. Exam tip: expand consecutive factorials first and cancel common factors before solving.
\(\frac{(n+7)!}{(n+4)!}=(n+7)(n+6)(n+5)\) तथा \(\frac{(n+6)!}{(n+3)!}=(n+6)(n+5)(n+4)\)। दोनों में से समान गुणनखंड लेने पर अंतर \((n+6)(n+5)[(n+7)-(n+4)]=3(n+6)(n+5)\) मिलता है। इसलिए \(3(n+6)(n+5)=720\), अतः \((n+6)(n+5)=240\)। क्रमागत संख्याएँ \(15\) और \(16\) का गुणनफल 240 है, इसलिए \(n+5=15\) और \(n=10\)। विकल्प 9 के लिए गुणनफल \(14\times15=210\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के अनुपात को पहले लगातार गुणनखंडों में फैलाकर समान पदों को सरल करें। / \(\frac{(n+7)!}{(n+4)!}=(n+7)(n+6)(n+5)\), while \(\frac{(n+6)!}{(n+3)!}=(n+6)(n+5)(n+4)\). Factoring out the common terms gives the difference as \((n+6)(n+5)[(n+7)-(n+4)]=3(n+6)(n+5)\). Thus, \(3(n+6)(n+5)=720\), so \((n+6)(n+5)=240\). The consecutive numbers 15 and 16 have product 240, hence \(n+5=15\) and \(n=10\). For option 9, the product would be \(14\times15=210\), so it is not correct. Exam tip: Expand factorial ratios into consecutive factors before simplifying common terms.
\((n+6)!=(n+6)(n+5)!\) रखने पर अंश \((n+5)![(n+6)-1]=(n+5)(n+5)!\) हो जाता है। अतः दिया गया व्यंजक \((n+5)^2\) के बराबर है। इसलिए \((n+5)^2=196=14^2\)। फैक्टोरियल के परिभाषित होने के लिए \(n+4\) अऋणात्मक पूर्णांक होना चाहिए, इसलिए \(n+5=14\), न कि \(-14\)। अतः \(n=9\)। विकल्प 8 रखने पर मान \(169\) आएगा। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के घटाव में पहले छोटे फैक्टोरियल को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में बाहर निकालें। / Using \((n+6)!=(n+6)(n+5)!\), the numerator becomes \((n+5)![(n+6)-1]=(n+5)(n+5)!\). Thus, the given expression equals \((n+5)^2\). Hence \((n+5)^2=196=14^2\). Since \(n+4\) must be a non-negative integer for the factorials to be defined, \(n+5=14\), not \(-14\). Therefore, \(n=9\). Substituting 8 would give \(169\), not 196. Exam tip: In factorial subtraction, factor out the smaller common factorial first.
\((n+6)!=(n+6)(n+5)!\) रखने पर अंश \((n+5)![(n+6)-1]=(n+5)!(n+5)\) हो जाता है। अब \((n+5)!=(n+5)(n+4)!\), अतः \(\frac{(n+5)!(n+5)}{(n+4)!}=(n+5)^2\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प D में \((n+6)\) बना रहता है, लेकिन अंश में घटाव करने पर गुणक \((n+6)-1=(n+5)\) हो जाता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के घटाव में पहले छोटे समान फैक्टोरियल को common factor के रूप में बाहर लें। / Using \((n+6)!=(n+6)(n+5)!\), the numerator becomes \((n+5)![(n+6)-1]=(n+5)!(n+5)\). Also, \((n+5)!=(n+5)(n+4)!\). Therefore, \(\frac{(n+5)!(n+5)}{(n+4)!}=(n+5)^2\), so option A is correct. Option D incorrectly retains the factor \((n+6)\); after subtraction, the factor is \((n+6)-1=(n+5)\). Exam tip: In a factorial subtraction, factor out the smaller common factorial first.
\(8!=8\cdot7!\) और \(11!=11\cdot10!\) रखने पर
\(\frac{8!\cdot11!}{10!\cdot7!}=\frac{(8\cdot7!)(11\cdot10!)}{10!\cdot7!}=8\cdot11=88\)। इसलिए विकल्प C सही है। \(10!\) और \(7!\) को काटने के बाद केवल 8 और 11 शेष रहते हैं; 80 उनका सही गुणनफल नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्नों में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटें, फिर शेष गुणनखंडों का गुणन करें। / Substitute \(8!=8\cdot7!\) and \(11!=11\cdot10!\):
\(\frac{8!\cdot11!}{10!\cdot7!}=\frac{(8\cdot7!)(11\cdot10!)}{10!\cdot7!}=8\cdot11=88\). Therefore, option C is correct. After cancelling \(10!\) and \(7!\), only 8 and 11 remain; 80 is not their product. Exam tip: in factorial fractions, cancel common factorial terms before expanding or multiplying.
दिए गए व्यंजक को गुणन के रूप में लिखने पर \(\frac{(n+3)!(n-3)!}{(n-2)!(n+2)!}\) प्राप्त होता है। यहाँ \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\) और \((n-2)!=(n-2)(n-3)!\) रखने पर \((n+2)!\) तथा \((n-3)!\) कट जाते हैं। इसलिए शेष मान \(\frac{n+3}{n-2}\) है। विकल्प D इसका व्युत्क्रम है, इसलिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्नों में बड़े फैक्टोरियल को छोटे निकटतम फैक्टोरियल तक फैलाकर पहले उभयनिष्ठ पद काटें। / Writing the complex fraction as a product gives \(\frac{(n+3)!(n-3)!}{(n-2)!(n+2)!}\). Now use \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\) and \((n-2)!=(n-2)(n-3)!\). The factors \((n+2)!\) and \((n-3)!\) cancel, leaving \(\frac{n+3}{n-2}\). Option D is the reciprocal of the required result, so it is incorrect. Exam tip: expand a larger factorial only until a common smaller factorial appears, then cancel common factors.
\((n+2)!=(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)!\)। अतः \((n-2)!\) कटने पर \((n+2)(n+1)n(n-1)=5040\) मिलता है। चार क्रमागत संख्याओं का गुणनफल \(7\times8\times9\times10=5040\) है। इसलिए इनके मध्य के दो पदों में दूसरा पद \(n=8\) होगा। निकटतम विकल्प \(n=9\) के लिए गुणनफल \(8\times9\times10\times11\) होगा, जो 5040 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को काटें। / Using \((n+2)!=(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)!\), cancel \((n-2)!\) to obtain \((n+2)(n+1)n(n-1)=5040\). Now \(7\times8\times9\times10=5040\), so the four consecutive factors are \(n-1,n,n+1,n+2\) with \(n=8\). The close distractor \(n=9\) gives \(8\times9\times10\times11\), not 5040. Exam tip: expand the larger factorial only down to the smaller factorial before cancelling.
\((n+2)!\) को \((n-4)!\) तक लिखने पर \((n+2)!=(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)!\) मिलता है। अतः हर का \((n-4)!\) कटने पर 6 लगातार गुणक बचते हैं: \((n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)\)। 7 गुणक लेना गलत है, क्योंकि \(n-4\) वाला गुणक हर के फैक्टोरियल में शामिल होकर कट जाता है। परीक्षा टिप: \(\frac{a!}{b!}\) में \(a>b\) होने पर शेष गुणकों की संख्या \(a-b\) होती है। / Writing the numerator up to \((n-4)!\), we get \((n+2)!=(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)!\). Cancelling \((n-4)!\) leaves 6 consecutive factors: \((n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)\). Seven factors would incorrectly include \(n-4\), which is already cancelled by the denominator. Exam tip: in \(\frac{a!}{b!}\), when \(a>b\), the number of remaining factors is \(a-b\).
\(13!\) को काटने पर \(\frac{17!}{13!\cdot4!}=\frac{17\times16\times15\times14}{4!}=2380\) मिलता है। इसी प्रकार, \(\frac{16!}{13!\cdot3!}=\frac{16\times15\times14}{3!}=560\) है। इसलिए व्यंजक का मान \(2380-560=1820\) है। \(2380\) केवल पहला पद है; उसमें से दूसरा पद घटाना आवश्यक है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्न में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर सामान्य पद काटें। / After cancelling \(13!\), \(\frac{17!}{13!\cdot4!}=\frac{17\times16\times15\times14}{4!}=2380\). Similarly, \(\frac{16!}{13!\cdot3!}=\frac{16\times15\times14}{3!}=560\). Hence, the value of the expression is \(2380-560=1820\). \(2380\) is only the first term, so the second term must still be subtracted. Exam tip: expand the larger factorial only up to the smaller factorial, then cancel common factors before calculating.
\(27!=27\times26\times25!\) होने से \(\frac{27!}{25!\cdot2!}=\frac{27\times26}{2}=351\)। इसी प्रकार, \(\frac{26!}{24!\cdot2!}=\frac{26\times25}{2}=325\)। अतः मान \(351-325=26\) है। 25 दूसरे पद में आने वाला गुणनखंड है, लेकिन दोनों पदों का अंतर नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर पहले समान पदों को काटें। / Since \(27!=27\times26\times25!\), \(\frac{27!}{25!\cdot2!}=\frac{27\times26}{2}=351\). Similarly, \(\frac{26!}{24!\cdot2!}=\frac{26\times25}{2}=325\). Hence, the value is \(351-325=26\). Although 25 occurs as a factor in the second term, it is not the difference. Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and cancel common factors first.
D. कोई प्राकृतिक संख्या समाधान नहीं है/No natural-number solution
Explanation
Simple Explanation
\((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)n(n-1)!\) लिखने पर दिए गए व्यंजक का मान \(n(n+1)(n+4)\) मिलता है। \(n=7\) पर यह \(7\times8\times11=616\) तथा \(n=8\) पर \(8\times9\times12=864\) है। प्राकृतिक संख्याओं के लिए \(n(n+1)(n+4)\) बढ़ता है, इसलिए 616 और 864 के बीच का 840 प्राप्त नहीं हो सकता। अतः कोई प्राकृतिक संख्या समाधान नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले प्रश्नों में पहले उन्हें क्रमिक गुणनखंडों में फैलाकर कटने वाले पद हटाएँ। / Using \((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)n(n-1)!\), the expression simplifies to \(n(n+1)(n+4)\). At \(n=7\), it equals \(7\times8\times11=616\), and at \(n=8\), it equals \(8\times9\times12=864\). Since \(n(n+1)(n+4)\) increases for natural numbers, it cannot take the value 840 between these two consecutive cases. Hence, there is no natural-number solution. Exam tip: Expand factorials into consecutive factors first, then cancel common terms.
\((n+4)!\) को \((n-1)!\) तक फैलाने पर \((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)n(n-1)!\) मिलता है। दिए गए व्यंजक में \((n-1)!\), \((n+3)\) तथा \((n+2)\) कट जाते हैं। अतः शेष गुणनखंड \(n(n+1)(n+4)\) हैं, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \((n+2)\) को गलत रूप से रखा गया है, जबकि वह हर के साथ कट जाता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके ही काटें। / Expand \((n+4)!\) down to \((n-1)!\): \((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)n(n-1)!\). In the given expression, \((n-1)!\), \((n+3)\), and \((n+2)\) cancel, leaving \(n(n+1)(n+4)\). Hence, option A is correct. Option B incorrectly keeps \((n+2)\), although it cancels with the denominator. Exam tip: in factorial fractions, expand the larger factorial only up to the smaller factorial before cancelling.
\(10!=10\cdot9\cdot8!\) और \(9!=9\cdot8!\)। अतः \(\frac{10!+3\cdot9!}{8!}=\frac{10\cdot9\cdot8!+3\cdot9\cdot8!}{8!}=90+27=117\)। इसलिए सही उत्तर 117 है। 126 तब मिल सकता है जब \(3\cdot9!\) वाले पद का गुणन गलत किया जाए। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में सभी फैक्टोरियल पदों को हर में दिए गए फैक्टोरियल, यहाँ \(8!\), के रूप में लिखकर सरल करें। / Using \(10!=10\cdot9\cdot8!\) and \(9!=9\cdot8!\), we get \(\frac{10!+3\cdot9!}{8!}=\frac{10\cdot9\cdot8!+3\cdot9\cdot8!}{8!}=90+27=117\). Hence, 117 is correct. A result such as 126 may arise from multiplying the \(3\cdot9!\) term incorrectly. Exam tip: express every factorial in terms of the factorial in the denominator, here \(8!\), before simplifying.
पहला पद \(\frac{13!}{7!\cdot6!}=\binom{13}{6}=1716\) है और दूसरा पद \(\frac{13!}{8!\cdot5!}=\binom{13}{5}=1287\) है। अतः आवश्यक मान \(1716+1287=3003\) है। \(3432\), \(1716\) का दोगुना है, इसलिए वह योग नहीं है। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{r!(n-r)!}\) को \(\binom{n}{r}\) के रूप में पहचानने से फैक्टोरियल वाले प्रश्न जल्दी हल होते हैं। / The first term is \(\frac{13!}{7!\cdot6!}=\binom{13}{6}=1716\), and the second term is \(\frac{13!}{8!\cdot5!}=\binom{13}{5}=1287\). Hence, the required value is \(1716+1287=3003\). The value \(3432\) is twice \(1716\), so it is not the required sum. Exam tip: Recognising \(\frac{n!}{r!(n-r)!}\) as \(\binom{n}{r}\) makes factorial questions faster to solve.
