\((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!\) होने से \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\) होगा। अतः \((n+3)(n+2)=110\)। क्योंकि \(11\times10=110\), इसलिए \(n+3=11\) और \(n=8\)। बीजगणितीय रूप से दूसरा मान \(-13\) भी मिलता है, लेकिन तब \((n+1)!\) परिभाषित नहीं होगा। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटकर क्रमागत गुणनखंड लिखें। / Since \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!\), we get \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\). Thus, \((n+3)(n+2)=110\). As \(11\times10=110\), \(n+3=11\), so \(n=8\). Algebraically, \(-13\) is another root, but \((n+1)!\) would not be defined for it. Exam tip: In factorial quotients, first cancel the common factorial part and write the remaining consecutive factors.
\((n-4)!\) तक के सभी गुणक कट जाते हैं। अतः \(\frac{(n+2)!}{(n-4)!}=(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)\) होगा, जिसमें 6 लगातार गुणक हैं। 7 गुणक मानना गलत है, क्योंकि \(n-4\) वाला गुणक हर में होने के कारण कट जाता है। परीक्षा टिप: \(\frac{a!}{b!}\) में, जब \(a>b\), गुणकों की संख्या \(a-b\) होती है। / All factors up to \((n-4)!\) cancel. Hence, \(\frac{(n+2)!}{(n-4)!}=(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)\), which contains 6 consecutive factors. Choosing 7 would incorrectly include \(n-4\), which is cancelled by the denominator. Exam tip: for \(\frac{a!}{b!}\) with \(a>b\), the number of remaining factors is \(a-b\).
क्योंकि \((n+5)!=(n+5)(n+4)(n+3)(n+2)!\), इसलिए \((n+2)!\) कटने पर \((n+5)(n+4)(n+3)\) बचता है। अतः 3 क्रमागत गुणक बचते हैं। 4 गुणक तभी बचते जब हर में \((n+1)!\) होता। परीक्षा टिप: \(\frac{(n+r)!}{n!}\) में सामान्यतः \(r\) गुणक बचते हैं। / Since \((n+5)!=(n+5)(n+4)(n+3)(n+2)!\), cancelling \((n+2)!\) leaves \((n+5)(n+4)(n+3)\). Hence, 3 consecutive factors remain. Four factors would remain if the denominator were \((n+1)!\). Exam tip: in \(\frac{(n+r)!}{n!}\), usually \(r\) factors remain after cancellation.
\((n+3)!\) को \(n!\) तक फैलाने पर \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)n!\) प्राप्त होता है। इसलिए \(n!\) कटने पर \(\frac{(n+3)!}{n!}=(n+3)(n+2)(n+1)\) बचता है, जिसमें 3 क्रमागत गुणक हैं। \(4\) गुणक \(\frac{(n+4)!}{n!}\) में होते। परीक्षा टिप: \(\frac{(n+r)!}{n!}\) में सामान्यतः \(r\) क्रमागत गुणक बचते हैं। / Expanding \((n+3)!\) up to \(n!\) gives \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)n!\). After cancelling \(n!\), we get \(\frac{(n+3)!}{n!}=(n+3)(n+2)(n+1)\), which contains 3 consecutive factors. There would be 4 factors in \(\frac{(n+4)!}{n!}\). Exam tip: In \(\frac{(n+r)!}{n!}\), exactly \(r\) consecutive factors remain.
\(n!=n(n-1)(n-2)(n-3)!\) होने से \(\frac{n!}{(n-3)!}=n(n-1)(n-2)\) होगा। अतः \(n(n-1)(n-2)=120\)। \(n=6\) के लिए \(6\times5\times4=120\), इसलिए सही उत्तर 6 है। निकटतम विकल्प \(n=5\) पर \(5\times4\times3=60\) मिलता है, जो 120 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में समान फैक्टोरियल पदों को काटकर शेष क्रमागत गुणनखंड लिखें। / Using \(n!=n(n-1)(n-2)(n-3)!\), we get \(\frac{n!}{(n-3)!}=n(n-1)(n-2)\). Hence, \(n(n-1)(n-2)=120\). For \(n=6\), \(6\times5\times4=120\), so 6 is correct. The closest option, \(n=5\), gives \(5\times4\times3=60\), not 120. Exam tip: In a factorial fraction, cancel the common factorial term and write the remaining consecutive factors.
