हर को काटने पर (n(n-1)(n+1)=120) मिलता है और (n=4) संतुष्ट करता है। परीक्षा में पहले क्रमागत गुणनखंड लिखें। / After cancellation we get (n(n-1)(n+1)=120) and (n=4) satisfies it. In exams write consecutive factors first.
((n+4)(n+3)(n+2)=990) मिलता है। \(13\times12\times11=1716\) नहीं इसलिए क्रमागत गुणनखंड ध्यान से मिलाएं और (n=9) सही है। / We get ((n+4)(n+3)(n+2)=990). Match consecutive factors carefully; (n=9) is correct.
\(\frac{9!}{7!}=72\) और \(\frac{8!}{6!}=56\) इसलिए योग (128) है। परीक्षा में बड़े गुणनखंडों को तुरंत काटें। / Here \(\frac{9!}{7!}=72\) and \(\frac{8!}{6!}=56\) so the sum is (128). In exams cancel larger factorials quickly.
घात \(\left\lfloor\frac{75}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{75}{25}\right\rfloor=15+3=18\) है। अभाज्य की सभी संभव घातों के भागफल जोड़ें। / The exponent is \(\left\lfloor\frac{75}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{75}{25}\right\rfloor=15+3=18\). Add quotients of all possible powers of the prime.
\(\frac{12!}{10!\times 2!}=\frac{12\times11}{2}=66\) होता है। ऐसे प्रश्नों में पूरा गुणनफल न फैलाएं। / \(\frac{12!}{10!\times 2!}=\frac{12\times11}{2}=66\). Do not expand the whole product in such questions.
\(\frac{24!}{21!\times3!}=\frac{24\times23\times22}{6}=2024\) है। बड़े फैक्टोरियल को पूरा फैलाने से बचें। / \(\frac{24!}{21!\times3!}=\frac{24\times23\times22}{6}=2024\). Avoid expanding the whole large factorial.
\(\frac{15!}{13!\times3}=\frac{15\times14}{3}=70\) है। पहले समान भाज्य हटाने से गलती कम होती है। / \(\frac{15!}{13!\times3}=\frac{15\times14}{3}=70\). Removing common factorials first reduces mistakes.
यह (n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)=55440) है। \(11\times10\times9\times8\times7=55440\) इसलिए (n=11) है। / This is (n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)=55440). Since \(11\times10\times9\times8\times7=55440\), (n=11).
यह (n(n-1)(n-2)=210) देता है और \(7\times6\times5=210\) है। इसलिए (n=7) है। / This gives (n(n-1)(n-2)=210) and \(7\times6\times5=210\). Therefore (n=7).
क्योंकि 343 = 73, इसलिए n! में 7 के कम-से-कम तीन गुणनखंड होने चाहिए। 21! में 7, 14 और 21 से तीन गुणनखंड 7 मिलते हैं, अतः 73, 21! को विभाजित करता है। 20! में केवल 7 और 14 से दो गुणनखंड 7 मिलते हैं, इसलिए वह 343 से विभाज्य नहीं है। परीक्षा टिप: किसी अभाज्य घात p^k के लिए n! में p के गुणनखंडों की संख्या गिनें। / Since 343 = 73, n! must contain at least three factors of 7. In 21!, the numbers 7, 14, and 21 contribute three factors of 7, so 73 divides 21!. In contrast, 20! contains only two factors of 7, from 7 and 14, so it is not divisible by 343. Exam tip: For a prime power p^k, count the factors of p present in n!.
पहला पद \(30\times29\) और दूसरा \(29\times28\) है। अंतर (29(30-28)=58) है। / The first term is \(30\times29\) and the second is \(29\times28\). The difference is (29(30-28)=58).
\(\frac{20!}{18!\times19}=\frac{20\times19}{19}=20\) है। कटौती के बाद बचा हुआ गुणनखंड देखें। / \(\frac{20!}{18!\times19}=\frac{20\times19}{19}=20\). Look at the remaining factor after cancellation.
\(72=2^3\times3^2\) है और (6!) में ये सभी गुणनखंड हैं। ऐसे प्रश्नों में अभाज्य गुणनखंड पहले लिखें। / \(72=2^3\times3^2\) and (6!) contains all these factors. In such questions write prime factors first.
यहाँ \(125=5^3\) है, इसलिए \(n!\) में कम-से-कम तीन गुणनखंड \(5\) होने चाहिए। \(14!\) में केवल \(5\) और \(10\) से दो गुणनखंड \(5\) मिलते हैं, इसलिए वह \(125\) से विभाज्य नहीं है। \(15!\) में \(5,10,15\) से तीन गुणनखंड \(5\) मिलते हैं; अतः \(15!\), \(5^3=125\) से विभाज्य है। परीक्षा टिप: \(p^k\) से विभाज्यता के लिए \(n!\) में अभाज्य \(p\) की घात गिनें। / Since \(125=5^3\), \(n!\) must contain at least three factors of \(5\). In \(14!\), only \(5\) and \(10\) contribute factors of \(5\), so it has only two such factors and is not divisible by \(125\). In \(15!\), the terms \(5,10,15\) provide three factors of \(5\); hence \(15!\) is divisible by \(5^3=125\). Exam tip: for divisibility by \(p^k\), count the exponent of the prime \(p\) in \(n!\).
शून्य की संख्या \(\left\lfloor\frac{50}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{50}{25}\right\rfloor=10+2=12\) है। (5) की घात गिनना सबसे तेज तरीका है। / The number of zeros is \(\left\lfloor\frac{50}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{50}{25}\right\rfloor=10+2=12\). Counting powers of (5) is the fastest method.
घात \( \left\lfloor\frac{100}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{100}{25}\right\rfloor=20+4=24\) है। उच्च घात के लिए भागफल जोड़ें। / The exponent is \(\left\lfloor\frac{100}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{100}{25}\right\rfloor=20+4=24\). For highest power add the quotients.
घात \( \left\lfloor\frac{80}{7}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{80}{49}\right\rfloor=11+1=12\) है। अभाज्य की घातों तक ही जोड़ें। / The exponent is \(\left\lfloor\frac{80}{7}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{80}{49}\right\rfloor=11+1=12\). Add only up to powers of the prime.
\(\frac{25!}{23!}=25\times24=600\) होता है। केवल बचे हुए दो पदों को गुणा करें। / \(\frac{25!}{23!}=25\times24=600\). Multiply only the two remaining terms.
\(\frac{16!}{14!\times8}=\frac{16\times15}{8}=30\) है। पहले (16) को (8) से काटें। / \(\frac{16!}{14!\times8}=\frac{16\times15}{8}=30\). First cancel (16) with (8).
पहला पद ((n+3)(n+2)) और दूसरा ((n+2)(n+1)) है। अंतर (2(n+2)) है। / The first term is ((n+3)(n+2)) and the second is ((n+2)(n+1)). The difference is (2(n+2)).
ऊपर (n!(n+2)) बनता है और भाग देने पर (n(n+2)=150) मिलता है। \(10\times12=120\) नहीं इसलिए सावधानी से जाँचें। / The numerator becomes (n!(n+2)) and division gives (n(n+2)=150). Check carefully because \(10\times12=120\) is not enough.
मान (\(7\times6\)\times\frac{1}{6\times5}= \frac{7}{5}) नहीं बल्कि \(\frac{7!4!}{5!6!}=\frac{7}{5}\) है। विकल्पों में कोई नहीं दिखता इसलिए प्रश्न को सावधानी से पढ़ें। / The value is (\(7\times6\)\times\frac{1}{6\times5}= \frac{7}{5}) not an integer. Since options do not match, read the expression carefully.
बीच का (5!) कट जाता है और \(\frac{7!}{6!}=7\) बचता है। श्रृंखला कटौती में क्रम न बदलें। / The middle (5!) cancels and \(\frac{7!}{6!}=7\) remains. Do not change the order in chained cancellation.
पहला भाग \(8\times7\) और दूसरा \(7\times6\) है। अनुपात \(\frac{56}{42}=\frac{4}{3}\) है इसलिए दिए विकल्पों से मिलान नहीं होगा। / The first part is \(8\times7\) and the second is \(7\times6\). The ratio is \(\frac{56}{42}=\frac{4}{3}\), so it will not match these options.
यह \(\frac{8\times7}{7}=8\) देता है। भाग के प्रश्न में दूसरे भिन्न को उलटना याद रखें। / It gives \(\frac{8\times7}{7}=8\). In division questions remember to invert the second fraction.
सही उत्तर 6 है, क्योंकि \(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=720\)। जबकि \(5!=120\) होता है और \(7!=5040\) होता है, इसलिए वे 720 के बराबर नहीं हैं। परीक्षा टिप: \(1!\) से \(7!\) तक के मान याद रखने से ऐसे प्रश्न जल्दी हल होते हैं। / The correct answer is 6 because \(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=720\). In contrast, \(5!=120\) and \(7!=5040\), so neither equals 720. Exam tip: Memorising factorial values from \(1!\) to \(7!\) helps solve such questions quickly.
क्योंकि \(7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040\), इसलिए \((n-1)! = 7!\)। अतः \(n-1=7\), जिससे \(n=8\) प्राप्त होता है। विकल्प 7 में \(n-1\) का मान दिया गया है, \(n\) का नहीं। परीक्षा टिप: दिए गए फैक्टोरियल को पहले किसी ज्ञात फैक्टोरियल के बराबर पहचानें, फिर चर के लिए हल करें। / Since \(7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040\), we have \((n-1)! = 7!\). Therefore, \(n-1=7\), which gives \(n=8\). Option 7 is the value of \(n-1\), not of \(n\). Exam tip: First identify the known factorial equal to the given number, then solve for the variable.
(0!=1) और योग \(1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{8}{3}\) है। (0!) को (0) न मानें। / (0!=1) and the sum is \(1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{8}{3}\). Do not take (0!) as (0).
ऊपर (1+1+2+6=10) और (4!=24) है। इसलिए मान \(\frac{10}{24}=\frac{5}{12}\) है। / The numerator is (1+1+2+6=10) and (4!=24). Hence the value is \(\frac{10}{24}=\frac{5}{12}\).
क्योंकि \(4!=24\), इसलिए \(m=4\) है। इसी प्रकार \(6!=720\), अतः \(n=6\) है। इसलिए \((n-m)!=(6-4)!=2!=2\)। विकल्प C में दिया गया 6, \(3!\) का मान है, \(2!\) का नहीं। परीक्षा टिप: छोटे factorial मान याद रखें—\(4!=24\), \(5!=120\), \(6!=720\)। / Since \(4!=24\), we get \(m=4\). Similarly, \(6!=720\), so \(n=6\). Hence, \((n-m)!=(6-4)!=2!=2\). The value 6 in option C is \(3!\), not \(2!\). Exam tip: Remember small factorial values such as \(4!=24\), \(5!=120\), and \(6!=720\).
यह (n(n-1)(n-2)(n-3)=3024) है। \(9\times8\times7\times6=3024\) इसलिए (n=9) है। / This is (n(n-1)(n-2)(n-3)=3024). Since \(9\times8\times7\times6=3024\), (n=9).
पहला पद \(17\times16\) और दूसरा \(16\times15\) है। अंतर (16(17-15)=32) है। / The first term is \(17\times16\) and the second is \(16\times15\). The difference is (16(17-15)=32).
(8!) में (3) की घात \(\left\lfloor\frac{8}{3}\right\rfloor=2\) होती है इसलिए यह सही नहीं है। सही जाँच में (9!) के लिए घात (4) है। / For (8!), the exponent of (3) is only \(\left\lfloor\frac{8}{3}\right\rfloor=2\), so it is not correct. Checking properly gives exponent (4) for (9!).
घात \( \left\lfloor\frac{30}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{8}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{16}\right\rfloor=15+7+3+1=26\) है। सभी घातों के भागफल जोड़ें। / The exponent is \(\left\lfloor\frac{30}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{8}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{16}\right\rfloor=15+7+3+1=26\). Add quotients for all powers.
(10) की घात (2) और (5) की जोड़ी से बनती है। (5) की घात (8+1=9) है इसलिए उत्तर (9) है। / The power of (10) comes from pairs of (2) and (5). The exponent of (5) is (8+1=9), so the answer is (9).
पहला मान \(\frac{18\times17}{2}\) और दूसरा \(\frac{17\times16}{2}\) है। अंतर (17) है। / The first value is \(\frac{18\times17}{2}\) and the second is \(\frac{17\times16}{2}\). The difference is (17).
मान \(\frac{21\times20}{2}-\frac{20\times19}{2}\) है। यह (20) के बराबर है। / The value is \(\frac{21\times20}{2}-\frac{20\times19}{2}\). It equals (20).
((n+5)(n+4)=210) है। \(14\times15=210\) से (n=10) नहीं बल्कि (n+4=14) होने पर (n=10) मिलता है। / ((n+5)(n+4)=210). Since \(14\times15=210\), (n+4=14) gives (n=10).
