Class 11 Mathematics Permutations and Combinations Factorial notation Expert Level 57

सबसे छोटा (n) क्या है जिसके लिए (n!) संख्या (125) से विभाज्य है?

What is the least (n) for which (n!) is divisible by (125)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

C. 15

Explanation

Simple Explanation

यहाँ \(125=5^3\) है, इसलिए \(n!\) में कम-से-कम तीन गुणनखंड \(5\) होने चाहिए। \(14!\) में केवल \(5\) और \(10\) से दो गुणनखंड \(5\) मिलते हैं, इसलिए वह \(125\) से विभाज्य नहीं है। \(15!\) में \(5,10,15\) से तीन गुणनखंड \(5\) मिलते हैं; अतः \(15!\), \(5^3=125\) से विभाज्य है। परीक्षा टिप: \(p^k\) से विभाज्यता के लिए \(n!\) में अभाज्य \(p\) की घात गिनें। / Since \(125=5^3\), \(n!\) must contain at least three factors of \(5\). In \(14!\), only \(5\) and \(10\) contribute factors of \(5\), so it has only two such factors and is not divisible by \(125\). In \(15!\), the terms \(5,10,15\) provide three factors of \(5\); hence \(15!\) is divisible by \(5^3=125\). Exam tip: for divisibility by \(p^k\), count the exponent of the prime \(p\) in \(n!\).

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Correct Answer: C. 15. Explanation: यहाँ \(125=5^3\) है, इसलिए \(n!\) में कम-से-कम तीन गुणनखंड \(5\) होने चाहिए। \(14!\) में केवल \(5\) और \(10\) से दो गुणनखंड \(5\) मिलते हैं, इसलिए वह \(125\) से विभाज्य नहीं है। \(15!\) में \(5,10,15\) से तीन गुणनखंड \(5\) मिलते हैं; अतः \(15!\), \(5^3=125\) से विभाज्य है। परीक्षा टिप: \(p^k\) से विभाज्यता के लिए \(n!\) में अभाज्य \(p\) की घात गिनें। / Since \(125=5^3\), \(n!\) must contain at least three factors of \(5\). In \(14!\), only \(5\) and \(10\) contribute factors of \(5\), so it has only two such factors and is not divisible by \(125\). In \(15!\), the terms \(5,10,15\) provide three factors of \(5\); hence \(15!\) is divisible by \(5^3=125\). Exam tip: for divisibility by \(p^k\), count the exponent of the prime \(p\) in \(n!\).