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legendre formula MCQ Questions for Class 11

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2 questions tagged with legendre formula.

Question 1/2 Expert Mathematics Permutations and Combinations Factorial notation Class 11 Level 57

सबसे छोटा (n) क्या है जिसके लिए (n!) संख्या (343) से विभाज्य हो?

What is the least (n) for which (n!) is divisible by (343)?

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Correct Answer

A. 21

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क्योंकि 343 = 73, इसलिए n! में 7 के कम-से-कम तीन गुणनखंड होने चाहिए। 21! में 7, 14 और 21 से तीन गुणनखंड 7 मिलते हैं, अतः 73, 21! को विभाजित करता है। 20! में केवल 7 और 14 से दो गुणनखंड 7 मिलते हैं, इसलिए वह 343 से विभाज्य नहीं है। परीक्षा टिप: किसी अभाज्य घात p^k के लिए n! में p के गुणनखंडों की संख्या गिनें। / Since 343 = 73, n! must contain at least three factors of 7. In 21!, the numbers 7, 14, and 21 contribute three factors of 7, so 73 divides 21!. In contrast, 20! contains only two factors of 7, from 7 and 14, so it is not divisible by 343. Exam tip: For a prime power p^k, count the factors of p present in n!.

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Question 2/2 Expert Mathematics Permutations and Combinations Factorial notation Class 11 Level 57

सबसे छोटा (n) क्या है जिसके लिए (n!) संख्या (125) से विभाज्य है?

What is the least (n) for which (n!) is divisible by (125)?

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Correct Answer

C. 15

Explanation

Simple Explanation

यहाँ \(125=5^3\) है, इसलिए \(n!\) में कम-से-कम तीन गुणनखंड \(5\) होने चाहिए। \(14!\) में केवल \(5\) और \(10\) से दो गुणनखंड \(5\) मिलते हैं, इसलिए वह \(125\) से विभाज्य नहीं है। \(15!\) में \(5,10,15\) से तीन गुणनखंड \(5\) मिलते हैं; अतः \(15!\), \(5^3=125\) से विभाज्य है। परीक्षा टिप: \(p^k\) से विभाज्यता के लिए \(n!\) में अभाज्य \(p\) की घात गिनें। / Since \(125=5^3\), \(n!\) must contain at least three factors of \(5\). In \(14!\), only \(5\) and \(10\) contribute factors of \(5\), so it has only two such factors and is not divisible by \(125\). In \(15!\), the terms \(5,10,15\) provide three factors of \(5\); hence \(15!\) is divisible by \(5^3=125\). Exam tip: for divisibility by \(p^k\), count the exponent of the prime \(p\) in \(n!\).

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