factorial simplification MCQ Questions for Class 11
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\(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\) तथा \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\)। अतः उनका अंतर \((n+3)[(n+4)-(n+2)]=2(n+3)\) होगा। इसलिए \(2(n+3)=24\), जिससे \(n+3=12\) और \(n=9\) प्राप्त होता है। विकल्प 8 लेने पर व्यंजक का मान 22 आएगा, 24 नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में समान फैक्टोरियल पदों को काटकर शेष क्रमागत गुणनखंड लिखें। / \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\) and \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\). Hence, their difference is \((n+3)[(n+4)-(n+2)]=2(n+3)\). So \(2(n+3)=24\), giving \(n+3=12\) and \(n=9\). For example, if \(n=8\), the expression equals 22, not 24. Exam tip: In factorial quotients, cancel the common factorial terms and write the remaining consecutive factors.
\((3n+2)!=(3n+2)(3n+1)(3n)!\) होने से दिए गए अनुपात का मान \((3n+2)(3n+1)\) होगा। अतः \((3n+2)(3n+1)=182\)। क्योंकि \(182=14\times13\), इसलिए \(3n+2=14\) और \(n=4\)। निकटतम भ्रमित करने वाला विकल्प 5 हो सकता है, पर \(n=5\) रखने पर गुणनफल \(17\times16=272\) आता है, 182 नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे फैक्टोरियल अनुपात में समान फैक्टोरियल पदों को पहले काटकर लगातार बचे हुए गुणनखंड लिखें। / Since \((3n+2)!=(3n+2)(3n+1)(3n)!\), the given ratio becomes \((3n+2)(3n+1)\). Hence, \((3n+2)(3n+1)=182\). As \(182=14\times13\), we get \(3n+2=14\), so \(n=4\). Option 5 is a close distractor, but for \(n=5\), the product is \(17\times16=272\), not 182. Exam tip: in factorial ratios, cancel the common factorial first and write the consecutive remaining factors.
\((3n+2)!=(3n+2)(3n+1)(3n)!\) लिखने पर \((3n)!\) अंश और हर में कट जाता है। अतः \(\frac{(3n+2)!}{(3n)!}=(3n+2)(3n+1)\) होगा। विकल्प D में अतिरिक्त \(3n\) गुणक है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को काटें। / Write \((3n+2)!=(3n+2)(3n+1)(3n)!\). The factor \((3n)!\) cancels from the numerator and denominator, giving \(\frac{(3n+2)!}{(3n)!}=(3n+2)(3n+1)\). Option D incorrectly retains an extra factor of \(3n\). Exam tip: expand the larger factorial only up to the smaller factorial, then cancel common factors.
फैक्टोरियल को विस्तार देने पर \(\frac{(2n)!}{(2n-4)!}=(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)\) प्राप्त होता है। 1680 को चार क्रमागत पूर्णांकों के गुणनफल के रूप में \(5\times6\times7\times8\) लिखा जा सकता है। अतः \(2n=8\), इसलिए \(n=4\)। उदाहरण के लिए, \(n=5\) लेने पर गुणनफल \(10\times9\times8\times7\) होगा, जो 1680 नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में फैक्टोरियल के समान पदों को काटकर शेष क्रमागत गुणनखंड लिखें। / Expanding the factorial ratio gives \(\frac{(2n)!}{(2n-4)!}=(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)\). The number 1680 can be written as the product of four consecutive integers: \(5\times6\times7\times8\). Hence \(2n=8\), so \(n=4\). For instance, if \(n=5\), the product would be \(10\times9\times8\times7\), not 1680. Exam tip: In factorial-ratio questions, cancel the common factorial part and write the remaining consecutive factors.
\((2n)!=(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)(2n-4)!\)। अतः \((2n-4)!\) से भाग देने पर यह पद कट जाता है और \((2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)\) बचता है। विकल्प C में गुणक \(2n\) नहीं है तथा \(2n-4\) अनावश्यक रूप से शामिल है। परीक्षा टिप: \(\frac{m!}{(m-r)!}\) में ऊपर से लगातार \(r\) गुणक लिखे जाते हैं। / Using \((2n)!=(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)(2n-4)!\), the factor \((2n-4)!\) cancels from the numerator and denominator. Hence the result is \((2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)\). Option C incorrectly omits \(2n\) and includes \(2n-4\). Exam tip: in \(\frac{m!}{(m-r)!}\), write the first \(r\) consecutive descending factors from \(m\).
भाग को व्युत्क्रम से गुणा करने पर
\(\frac{14!}{10!\cdot4!}\times\frac{9!\cdot4!}{13!}\) प्राप्त होता है। यहाँ \(4!\), \(9!\) तथा \(13!\) के समान गुणनखंड काटने पर \(\frac{14}{10}=\frac{7}{5}\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प B है। \(\frac{5}{4}\) जैसे विकल्प तब मिल सकते हैं जब फैक्टोरियल पदों को सही क्रम में निरस्त न किया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भाग में पहले उसे व्युत्क्रम से गुणा में बदलें, फिर समान फैक्टोरियल पद काटें। / Convert the division into multiplication by the reciprocal:
\(\frac{14!}{10!\cdot4!}\times\frac{9!\cdot4!}{13!}\). Cancelling \(4!\), and then using \(14!=14\cdot13!\) and \(10!=10\cdot9!\), gives \(\frac{14}{10}=\frac{7}{5}\). Hence, option B is correct. A value such as \(\frac{5}{4}\) can result from cancelling factorial terms in the wrong order. Exam tip: first change division into multiplication by the reciprocal, then cancel common factorial factors.
\((n+3)!=(n+3)(n+2)!\) लिखने पर अंश \((n+2)![(n+3)-1]=(n+2)(n+2)!\) हो जाता है। अतः दिया गया व्यंजक \(\frac{(n+2)(n+2)!}{(n+1)!}=(n+2)^2\) है। इसलिए \((n+2)^2=121\), जिससे \(n+2=11\) मिलता है और \(n=9\)। \(n+2=-11\) से \(n=-13\) आएगा, जिसके लिए दिए गए फैक्टोरियल परिभाषित नहीं हैं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणनफल के रूप में लिखें। / Using \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\), the numerator becomes \((n+2)![(n+3)-1]=(n+2)(n+2)!\). Hence the given expression simplifies to \(\frac{(n+2)(n+2)!}{(n+1)!}=(n+2)^2\). Thus, \((n+2)^2=121\), giving \(n+2=11\) and \(n=9\). The other algebraic value, \(n+2=-11\), gives \(n=-13\), for which the factorials in the question are not defined. Exam tip: In factorial expressions, first expand the larger factorial in terms of the smaller one.
\((n+3)!=(n+3)(n+2)!\) लिखने पर अंश \((n+2)![(n+3)-1]=(n+2)!(n+2)\) बनता है। अब \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\) रखने पर \(\frac{(n+2)!(n+2)}{(n+1)!}=(n+2)^2\) प्राप्त होता है। \((n+3)^2\) में घटाए गए \((n+2)!\) पद का प्रभाव सही ढंग से शामिल नहीं होता। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले घटाव में पहले छोटे फैक्टोरियल को सामान्य गुणनखंड निकालें। / Using \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\), the numerator becomes \((n+2)![(n+3)-1]=(n+2)!(n+2)\). Since \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\), \(\frac{(n+2)!(n+2)}{(n+1)!}=(n+2)^2\). The option \((n+3)^2\) does not correctly account for subtracting \((n+2)!\). Exam tip: in factorial subtraction, first factor out the smaller common factorial.
\((n+2)!=(n+2)(n+1)!\) का उपयोग करने पर दिया गया व्यंजक \(\frac{(n+2)(n+1)!+(n+1)!}{(n+1)!}\) बनता है। \((n+1)!\) से भाग देने पर यह \(n+2+1=n+3\) होगा। अतः \(n+3=14\), इसलिए \(n=11\)। विकल्प 12 लेने पर व्यंजक का मान 15 आता है, 14 नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणनखंड के रूप में लिखकर पहले सरल करें। / Using \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\), the expression becomes \(\frac{(n+2)(n+1)!+(n+1)!}{(n+1)!}\). Dividing by \((n+1)!\) gives \(n+2+1=n+3\). Hence, \(n+3=14\), so \(n=11\). If 12 were used, the expression would equal 15, not 14. Exam tip: In factorial questions, rewrite the larger factorial in terms of the smaller one before simplifying.
\(\frac{(n+4)!}{n!}=(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)\) होता है। अतः चार क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल \(11880\) होना चाहिए। \(9\times10\times11\times12=11880\), इसलिए \(n+1=9\) और \(n=8\) है। उदाहरण के लिए, \(n=7\) पर गुणनफल \(8\times9\times10\times11=7920\) होगा, जो सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में फैक्टोरियल को काटकर क्रमागत गुणनखंडों के गुणनफल में बदलें। / \(\frac{(n+4)!}{n!}=(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)\). Thus, the product of four consecutive integers must be \(11880\). Since \(9\times10\times11\times12=11880\), we get \(n+1=9\), so \(n=8\). For instance, if \(n=7\), the product is \(8\times9\times10\times11=7920\), not \(11880\). Exam tip: cancel factorials first and rewrite the expression as a product of consecutive integers.
\(15!\) और \(11!\) को काटने पर \(\frac{15!}{11!\cdot4!}=\frac{15\times14\times13\times12}{4\times3\times2\times1}\) मिलता है। इसे सरल करने पर \(1365\) प्राप्त होता है। \(1820\), \(\binom{16}{4}\) का मान है, इसलिए वह इस प्रश्न के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{r!(n-r)!}=\binom{n}{r}\); यहाँ यह \(\binom{15}{4}\) है। / Cancelling \(11!\) from \(15!\) gives \(\frac{15!}{11!\cdot4!}=\frac{15\times14\times13\times12}{4\times3\times2\times1}\). Simplifying this expression gives \(1365\). The value \(1820\) is \(\binom{16}{4}\), so it does not apply here. Exam tip: use \(\frac{n!}{r!(n-r)!}=\binom{n}{r}\); here the expression is \(\binom{15}{4}\).
क्योंकि \((n+4)!=(n+4)(n+3)!\), अंश \((n+3)![(n+4)+1]=(n+3)!(n+5)\) होगा। अब \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\) रखने पर \(\frac{(n+3)!(n+5)}{(n+2)!}=(n+3)(n+5)\) मिलता है। विकल्प C में \(n+5\) के स्थान पर \(n+4\) रह जाता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: अलग-अलग फैक्टोरियल पदों में छोटे फैक्टोरियल को सामान्य लेकर सरल करें। / Since \((n+4)!=(n+4)(n+3)!\), the numerator becomes \((n+3)![(n+4)+1]=(n+3)!(n+5)\). Using \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\), we get \(\frac{(n+3)!(n+5)}{(n+2)!}=(n+3)(n+5)\). Option C incorrectly retains \(n+4\) instead of obtaining \(n+5\). Exam tip: when adding factorial terms, factor out the smaller factorial first.
\(\frac{10!}{8!}=10\times9=90\), क्योंकि \(8!\) कट जाता है। इसी प्रकार \(\frac{9!}{7!}=9\times8=72\)। अतः अपेक्षित अंतर \(90-72=18\) है। विकल्प 16 तब मिलता है जब गुणनफल या घटाव में त्रुटि हो। परीक्षा टिप: भिन्नात्मक फैक्टोरियल में छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके समान पदों को काटें। / \(\frac{10!}{8!}=10\times9=90\), since \(8!\) cancels out. Similarly, \(\frac{9!}{7!}=9\times8=72\). Therefore, the required difference is \(90-72=18\). Option 16 may result from an error in multiplication or subtraction. Exam tip: expand factorials only up to the smaller factorial and cancel the common part.
\(6!=6\times5\times4!=30\times4!\), \(5!=5\times4!\) और \(4!=1\times4!\) है। अतः \(\frac{6!+5!+4!}{4!}=30+5+1=36\)। इसलिए सही विकल्प B है। 35 केवल \(6!/4!+5!/4!\) लेने पर मिलता है; उसमें \(4!/4!=1\) छूट जाता है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में हर पद से समान फैक्टोरियल को अलग करके पहले सरल करें। / Since \(6!=6\times5\times4!=30\times4!\), \(5!=5\times4!\), and \(4!=1\times4!\), we get \(\frac{6!+5!+4!}{4!}=30+5+1=36\). Hence, option B is correct. The value 35 results if the term \(4!/4!=1\) is mistakenly omitted. Exam tip: factor out the common factorial before calculating individual factorial values.
\(19!=19\times18\times17!\) और \(2!=2\) रखने पर,
\[
\frac{19!}{17!\cdot2!}\times\frac{2}{19}
=\frac{19\times18\times17!}{17!\times2}\times\frac{2}{19}=18.
\]
अतः सही मान 18 है। 19 और \(17!\) कट जाते हैं तथा 2 भी कट जाता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले प्रश्नों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान गुणनखंडों को काटें। / Using \(19!=19\times18\times17!\) and \(2!=2\),
\[
\frac{19!}{17!\cdot2!}\times\frac{2}{19}
=\frac{19\times18\times17!}{17!\times2}\times\frac{2}{19}=18.
\]
Therefore, the correct value is 18. The factors 19, \(17!\), and 2 cancel out. Exam tip: In factorial expressions, expand the larger factorial only up to the smaller factorial before cancelling common factors.
\(\frac{(n+2)!}{(n-1)!}=n(n+1)(n+2)\) तथा \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=(n-1)n(n+1)\)। अतः अंतर \(n(n+1)[(n+2)-(n-1)]=3n(n+1)\) होगा। इसलिए \(3n(n+1)=330\), अर्थात \(n(n+1)=110\)। चूँकि \(10\times11=110\), इसलिए \(n=10\)। निकटतम विकल्प 11 के लिए \(11\times12\neq110\) होता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में समान पदों को काटकर क्रमागत गुणनखंड लिखें। / \(\frac{(n+2)!}{(n-1)!}=n(n+1)(n+2)\) and \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=(n-1)n(n+1)\). Hence, their difference is \(n(n+1)[(n+2)-(n-1)]=3n(n+1)\). Thus, \(3n(n+1)=330\), so \(n(n+1)=110\). Since \(10\times11=110\), \(n=10\). The nearby option 11 is incorrect because \(11\times12\neq110\). Exam tip: In factorial fractions, cancel common factorial terms and write the remaining consecutive factors.
\(\frac{9!}{4!5!}=\binom{9}{4}=126\) और \(\frac{8!}{4!4!}=\binom{8}{4}=70\) है। अतः दिया गया मान \(126-70=56\) होगा। 54 निकट का विकल्प हो सकता है, पर वह सही घटाव से प्राप्त नहीं होता। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{r!(n-r)!}\) को \(\binom{n}{r}\) के रूप में पहचानने से गणना तेज होती है। / \(\frac{9!}{4!5!}=\binom{9}{4}=126\) and \(\frac{8!}{4!4!}=\binom{8}{4}=70\). Therefore, the required value is \(126-70=56\). Option 54 is a close distractor, but it does not result from the correct subtraction. Exam tip: Recognising \(\frac{n!}{r!(n-r)!}\) as \(\binom{n}{r}\) makes such calculations quicker.
\(\frac{8!}{5!}=8\times7\times6=336\), क्योंकि \(5!\) कट जाता है। इसी प्रकार, \(\frac{7!}{4!}=7\times6\times5=210\)। अतः कुल मान \(336+210=546\) है। विकल्प 504 केवल पहले पद के मान के बराबर है, इसलिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: भिन्नात्मक फैक्टोरियल में छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके समान फैक्टोरियल को काटें। / \(\frac{8!}{5!}=8\times7\times6=336\), since \(5!\) cancels out. Similarly, \(\frac{7!}{4!}=7\times6\times5=210\). Therefore, the value is \(336+210=546\). Option 504 is only the value of neither complete sum and is incorrect. Exam tip: Expand the larger factorial only up to the smaller factorial, then cancel the common factorial term.
\(\frac{(n+3)!}{n!}=(n+3)(n+2)(n+1)\) और \(\frac{(n+2)!}{(n-1)!}=n(n+2)(n+1)\)। अतः उनका अंतर \((n+2)(n+1)[(n+3)-n]=3(n+2)(n+1)\) होगा। इसलिए \((n+2)(n+1)=90\)। चूँकि \(10\times9=90\), इसलिए \(n+2=10\) और \(n=8\)। विकल्प 9 के लिए गुणनफल \(11\times10=110\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्नों में पहले समान पदों को काटकर लगातार गुणनखंडों के रूप में लिखें। / \(\frac{(n+3)!}{n!}=(n+3)(n+2)(n+1)\) and \(\frac{(n+2)!}{(n-1)!}=n(n+2)(n+1)\). Their difference is \((n+2)(n+1)[(n+3)-n]=3(n+2)(n+1)\). Hence, \((n+2)(n+1)=90\). Since \(10\times9=90\), we get \(n+2=10\), so \(n=8\). For option 9, the product would be \(11\times10=110\), so it is not correct. Exam tip: In factorial fractions, first cancel common factorial terms and write the remaining consecutive factors.
\((n+4)!\) में से \((n+2)!\) कटने पर \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\) प्राप्त होता है। अतः \((n+4)(n+3)=182\)। क्योंकि \(182=14\times13\), इसलिए \(n+4=14\) और \(n=10\)। विकल्प 9 के लिए गुणनफल \(13\times12=156\) होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में पहले बड़े फैक्टोरियल को आवश्यक पदों तक फैलाकर समान फैक्टोरियल को काटें। / Cancelling \((n+2)!\) from \((n+4)!\) gives \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\). Hence, \((n+4)(n+3)=182\). Since \(182=14\times13\), we get \(n+4=14\), so \(n=10\). For option 9, the product would be \(13\times12=156\), so it is not correct. Exam tip: In a factorial fraction, expand the larger factorial only as far as needed and cancel the common factorial term.
\(20!=20\cdot19\cdot18!\) और \(2!=2\) है। इसलिए पहला पद \(\frac{20!}{18!\cdot2!}=\frac{20\cdot19}{2}=190\) होगा। साथ ही, \(\frac{19!}{18!}=19\)। अतः दिया गया मान \(190-19=171\) है। विकल्प 190 केवल पहला पद है, पूरा व्यंजक नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्नों में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटकर सरल करें। / Since \(20!=20\cdot19\cdot18!\) and \(2!=2\), the first term is \(\frac{20!}{18!\cdot2!}=\frac{20\cdot19}{2}=190\). Also, \(\frac{19!}{18!}=19\). Hence, the value of the expression is \(190-19=171\). Option 190 represents only the first term, not the complete expression. Exam tip: In factorial fractions, first cancel the common factorial terms before calculating.
\(\frac{(n+2)!}{(n-1)!}=n(n+1)(n+2)\) तथा \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=(n-1)n(n+1)\)। अतः अंतर \(n(n+1)[(n+2)-(n-1)]=3n(n+1)\) होगा। इसलिए \(3n(n+1)=216\), अर्थात \(n(n+1)=72\)। चूँकि \(8\times9=72\), इसलिए \(n=8\)। \(n=7\) लेने पर गुणनफल केवल \(56\) होता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्नों में समान पदों को काटकर लगातार गुणनखंडों के रूप में लिखें। / \(\frac{(n+2)!}{(n-1)!}=n(n+1)(n+2)\) and \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=(n-1)n(n+1)\). Their difference is \(n(n+1)[(n+2)-(n-1)]=3n(n+1)\). Hence, \(3n(n+1)=216\), so \(n(n+1)=72\). Since \(8\times9=72\), \(n=8\). For \(n=7\), the product is only \(56\). Exam tip: In factorial fractions, cancel common terms and rewrite the result as consecutive factors.
\(\frac{(n+2)!}{(n-1)!}=n(n+1)(n+2)\) तथा \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=(n-1)n(n+1)\)। अतः अंतर \(n(n+1)[(n+2)-(n-1)] = 3n(n+1)\) होगा। विकल्प C केवल पहला पद है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्न में ऊपर वाले फैक्टोरियल को नीचे वाले तक फैलाकर समान गुणनखंड बाहर निकालें। / \(\frac{(n+2)!}{(n-1)!}=n(n+1)(n+2)\), while \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=(n-1)n(n+1)\). Therefore, the difference is \(n(n+1)[(n+2)-(n-1)] = 3n(n+1)\). Option C is only the first term, so it is not correct. Exam tip: expand the numerator factorial down to the denominator factorial, then factor out common terms.
\(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=n(n+1)\) तथा \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\)। इसलिए उनका अंतर \(n(n+1)-n(n-1)=2n\) होगा। अतः \(2n=18\), जिससे \(n=9\) प्राप्त होता है। विकल्प 10 लेने पर अंतर \(20\) आता, 18 नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में फैक्टोरियल को साझा छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके काटें। / \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=n(n+1)\) and \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\). Their difference is therefore \(n(n+1)-n(n-1)=2n\). Hence \(2n=18\), giving \(n=9\). For example, if \(n=10\), the difference would be \(20\), not 18. Exam tip: expand factorials only up to the common smaller factorial, then cancel.
\(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=n(n+1)\) और \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\) होगा। अतः अंतर \(n(n+1)-n(n-1)=n[(n+1)-(n-1)]=2n\) है। \(2n+1\) लेने पर घटाव में होने वाला सही सरलीकरण छूट जाता है। परीक्षा टिप: भिन्नों में फैक्टोरियल को नीचे वाले फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को काटें। / \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=n(n+1)\), while \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\). Therefore, the difference is \(n(n+1)-n(n-1)=n[(n+1)-(n-1)]=2n\). \(2n+1\) would result from an incorrect simplification of the subtraction. Exam tip: expand factorials only up to the denominator factorial and cancel common factors.
\(\frac{9!}{7!}=9\times8=72\), क्योंकि \(7!\) कट जाता है। इसी प्रकार, \(\frac{8!}{6!}=8\times7=56\)। अतः आवश्यक अंतर \(72-56=16\) है। विकल्प 20 प्राप्त हो सकता है यदि गुणनफल या घटाव में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में समान छोटे फैक्टोरियल को काटकर केवल शेष क्रमागत संख्याओं का गुणन करें। / \(\frac{9!}{7!}=9\times8=72\) because \(7!\) cancels out. Similarly, \(\frac{8!}{6!}=8\times7=56\). Therefore, the required difference is \(72-56=16\). Option 20 can result from an error in multiplication or subtraction. Exam tip: In a factorial fraction, cancel the common smaller factorial first and multiply only the remaining consecutive numbers.
\((2n)!\) और \((2n-3)!\) को काटने पर \(\frac{(2n)!}{(2n-3)!}=(2n)(2n-1)(2n-2)\) मिलता है। अतः \((2n)(2n-1)(2n-2)=720\)। क्योंकि \(10\times9\times8=720\), इसलिए \(2n=10\) और \(n=5\)। विकल्प 6 के लिए गुणनफल \(12\times11\times10\) होगा, जो 720 नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे फैक्टोरियल भिन्न में छोटे फैक्टोरियल तक पदों को फैलाकर समान पदों को निरस्त करें। / Cancelling \((2n-3)!\) from \((2n)!\) gives \(\frac{(2n)!}{(2n-3)!}=(2n)(2n-1)(2n-2)\). Hence, \((2n)(2n-1)(2n-2)=720\). Since \(10\times9\times8=720\), we get \(2n=10\), so \(n=5\). For option 6, the product would be \(12\times11\times10\), not 720. Exam tip: In factorial ratios, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and then cancel common terms.
\((2n)!=(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)!\) लिखने पर हर में उपस्थित \((2n-3)!\) कट जाता है। अतः शेष विस्तार \((2n)(2n-1)(2n-2)\) है। विकल्प B में \(2n\) के स्थान पर \(2n-3\) लिया गया है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(\frac{m!}{(m-r)!}\) में ऊपर से लगातार \(r\) गुणक लिखें। / Write \((2n)!=(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)!\). The common factor \((2n-3)!\) cancels with the denominator, leaving \((2n)(2n-1)(2n-2)\). Option B incorrectly includes \(2n-3\) instead of starting with \(2n\). Exam tip: in \(\frac{m!}{(m-r)!}\), write the first \(r\) consecutive factors descending from \(m\).
\((3n)!\) में से \((3n-2)!\) कटने पर \(3n(3n-1)=132\) मिलता है। क्योंकि \(12\times 11=132\), अतः \(3n=12\)। इसलिए \(n=4\)। \(3n=-11\) लेने पर फैक्टोरियल परिभाषित नहीं होगा, इसलिए वह मान मान्य नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के ऐसे भागों में पहले बड़े फैक्टोरियल को आवश्यक क्रमागत गुणनखंडों तक फैलाकर काटें। / Cancelling \((3n-2)!\) from \((3n)!\) gives \(3n(3n-1)=132\). Since \(12\times 11=132\), we get \(3n=12\). Therefore, \(n=4\). The alternative value \(3n=-11\) is invalid because factorials are not defined for negative integers. Exam tip: In factorial ratios, expand the larger factorial only up to the factors needed for cancellation.
\((n+2)!\) और \((n-2)!\) में समान पदों को काटने पर \(\frac{(n+2)!}{(n-2)!}=(n+2)(n+1)n(n-1)\) मिलता है। अतः चार क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल 1680 होना चाहिए। \(8\times7\times6\times5=1680\), इसलिए \(n-1=5\) और \(n=6\)। निकटतम विकल्प 7 के लिए गुणनफल \(9\times8\times7\times6\) होगा, जो 1680 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के ऐसे अनुपात में पहले बड़े फैक्टोरियल को फैलाकर समान फैक्टोरियल पदों को रद्द करें। / Cancelling the common factorial terms gives \(\frac{(n+2)!}{(n-2)!}=(n+2)(n+1)n(n-1)\). Thus, the product of four consecutive integers must be 1680. Since \(8\times7\times6\times5=1680\), we get \(n-1=5\), so \(n=6\). For the closest distractor, \(n=7\) gives \(9\times8\times7\times6\), not 1680. Exam tip: In factorial ratios, expand the larger factorial first and cancel the common factorial part.
