factorial simplification MCQ Questions for Class 11
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\((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)n!\) होता है। इसलिए \(\frac{(n+3)!}{n!}=(n+3)(n+2)(n+1)\)। अब \(n+3\) से भाग देने पर \((n+2)(n+1)\) प्राप्त होता है। विकल्प B में \(n+3\) का गुणनखंड अभी भी बचा है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर लिखें, फिर समान गुणनखंड काटें। / Using \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)n!\), we get \(\frac{(n+3)!}{n!}=(n+3)(n+2)(n+1)\). Dividing this by \(n+3\) leaves \((n+2)(n+1)\). Option B is not correct because it still contains the factor \(n+3\). Exam tip: In factorial divisions, expand the larger factorial only up to the smaller factorial, then cancel common factors.
\(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\) तथा \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\)। अतः योग \((n+3)[(n+4)+(n+2)]=2(n+3)^2\) होगा। इसलिए \(2(n+3)^2=200\), अर्थात \((n+3)^2=100\)। फैक्टोरियल के लिए मान्य गैर-ऋणात्मक पूर्णांक मान लेने पर \(n+3=10\), इसलिए \(n=7\)। \(n=-13\) फैक्टोरियल पदों के लिए मान्य नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में समान पदों को काटकर शेष क्रमागत गुणनखंड लिखें। / \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\) and \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\). Hence, their sum is \((n+3)[(n+4)+(n+2)]=2(n+3)^2\). Thus \(2(n+3)^2=200\), giving \((n+3)^2=100\). For the valid non-negative integer factorial domain, \(n+3=10\), so \(n=7\). The other algebraic value, \(n=-13\), does not make the factorial terms valid. Exam tip: in factorial quotients, cancel common factors and write the remaining consecutive factors.
\(15! = 15\cdot14\cdot13!\), इसलिए \(\frac{15!}{13!}=15\cdot14=210\)। इसी प्रकार, \(14! = 14\cdot13\cdot12!\), अतः \(\frac{14!}{12!}=14\cdot13=182\)। इसलिए आवश्यक मान \(210-182=28\) है। विकल्प 32 तब मिल सकता है जब गुणनखंडों को गलत तरीके से काट दिया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके समान पदों को काटें। / Since \(15! = 15\cdot14\cdot13!\), \(\frac{15!}{13!}=15\cdot14=210\). Similarly, \(14! = 14\cdot13\cdot12!\), so \(\frac{14!}{12!}=14\cdot13=182\). Hence, the required value is \(210-182=28\). A value such as 32 may result from cancelling factorial terms incorrectly. Exam tip: expand the larger factorial only up to the smaller factorial before cancelling common factors.
\(9!=9\times8\times7\times6!\) होने से \(\frac{9!}{6!\cdot2!}=\frac{9\times8\times7}{2}=252\)। अतः सही उत्तर 252 है। 336 प्राप्त करना एक सामान्य त्रुटि है, जो \(2!\) से भाग न देने पर आता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्न में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटें, फिर शेष गुणन करें। / Since \(9!=9\times8\times7\times6!\), \(\frac{9!}{6!\cdot2!}=\frac{9\times8\times7}{2}=252\). Therefore, 252 is correct. The value 336 is a common error obtained by not dividing by \(2!\). Exam tip: In factorial fractions, cancel the common factorial term first and then multiply the remaining factors.
\(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\) तथा \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=n(n+1)\)। अतः अंतर \((n+1)[(n+2)-n]=2(n+1)\) होगा। इसलिए \(2(n+1)=18\), जिससे \(n+1=9\) और \(n=8\) मिलता है। विकल्प 9 तब आता यदि \(n+1\) को ही \(n\) मान लिया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्नों में पहले समान पदों को काटकर गुणनखंडों के रूप में लिखें। / \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\) and \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=n(n+1)\). Hence, their difference is \((n+1)[(n+2)-n]=2(n+1)\). So \(2(n+1)=18\), giving \(n+1=9\) and therefore \(n=8\). Option 9 results from incorrectly taking \(n+1\) itself as \(n\). Exam tip: In factorial fractions, cancel common factorial terms first and then expand the remaining factors.
\(18! = 18\times17\times16!\) होने पर \(\frac{18!}{16!\cdot2!}=\frac{18\times17}{2}=153\) मिलता है। अतः \(153\times\frac{2}{17}=18\)। इसलिए सही उत्तर 18 है। 17 प्राप्त करना एक सामान्य गलती है, जो अंतिम गुणन \(\frac{2}{17}\) को सही ढंग से सरल न करने पर होती है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले प्रश्नों में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर पहले समान पदों को काटें। / Since \(18! = 18\times17\times16!\), we get \(\frac{18!}{16!\cdot2!}=\frac{18\times17}{2}=153\). Therefore, \(153\times\frac{2}{17}=18\). Hence, the correct answer is 18. Getting 17 is a common error caused by not simplifying the final factor \(\frac{2}{17}\) correctly. Exam tip: In factorial questions, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and cancel common factors first.
\((n+1)!\) को \((n-2)!\) तक विस्तृत करने पर \((n+1)!=(n+1)n(n-1)(n-2)!\) मिलता है। अतः \((n-2)!\) कटने पर \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=(n+1)n(n-1)\) प्राप्त होता है। विकल्प B में \((n-2)\) अतिरिक्त है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल को हर में दिए गए फैक्टोरियल तक ही विस्तृत करें, फिर समान पदों को काटें। / Expanding \((n+1)!\) up to \((n-2)!\) gives \((n+1)!=(n+1)n(n-1)(n-2)!\). Cancelling \((n-2)!\), we get \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=(n+1)n(n-1)\). Option B incorrectly retains an extra factor \((n-2)\). Exam tip: expand the numerator factorial only until the denominator factorial appears, then cancel common factors.
\(\frac{8!}{5!}=8\times7\times6=336\), क्योंकि \(5!\) कट जाता है। अब \(3!=6\), अतः \(336\div6=56\)। विकल्प 336 केवल \(\frac{8!}{5!}\) का मान है; इसमें \(3!\) से भाग देना शेष है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल को फैलाकर समान फैक्टोरियल पदों को पहले काटें। / \(\frac{8!}{5!}=8\times7\times6=336\), since \(5!\) cancels. Now \(3!=6\), so \(336\div6=56\). Option 336 is only the value of \(\frac{8!}{5!}\); it does not include division by \(3!\). Exam tip: expand factorials and cancel common factorial terms first.
\(\frac{(n+5)!}{(n+3)!}\) में \((n+3)!\) कटने पर \((n+5)(n+4)=132\) मिलता है। 132 के क्रमागत गुणनखंड \(11\) और \(12\) हैं, इसलिए \(n+4=11\) तथा \(n=7\)। उदाहरण के लिए, \(n=6\) रखने पर गुणनफल \(11\times10=110\) आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके समान पद काटें। / On cancelling \((n+3)!\) from \(\frac{(n+5)!}{(n+3)!}\), we get \((n+5)(n+4)=132\). The consecutive factors of 132 are \(11\) and \(12\), so \(n+4=11\) and hence \(n=7\). For instance, if \(n=6\), the product is \(11\times10=110\), so it is not correct. Exam tip: In factorial quotients, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and cancel common terms.
\((n+3)!\) और \((n+1)!\) में \((n+1)!\) कटने पर \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\) मिलता है। अतः \((n+3)(n+2)=72\)। 72 के क्रमागत गुणनखंड \(8\) और \(9\) हैं, इसलिए \(n+2=8\) तथा \(n=6\)। विकल्प 7 के लिए गुणनफल \(9\times10=90\) होगा, 72 नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके समान पद काटें। / On cancelling \((n+1)!\) from \((n+3)!\), we get \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\). Hence, \((n+3)(n+2)=72\). The consecutive factors of 72 are \(8\) and \(9\), so \(n+2=8\) and \(n=6\). For option 7, the product would be \(9\times10=90\), not 72. Exam tip: In a factorial fraction, expand the larger factorial only up to the smaller one and cancel common factors.
\((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)!\)। अतः \((n+2)!\) से भाग देने पर यह गुणनखंड कट जाता है और \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\) प्राप्त होता है। विकल्प A में \((n+2)\) एक अतिरिक्त, गलत गुणनखंड है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक लिखकर समान भाग को काटें। / Since \((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)!\), dividing by \((n+2)!\) cancels the common factorial and gives \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\). Option A incorrectly retains an extra factor \((n+2)\). Exam tip: Expand the larger factorial only up to the smaller factorial, then cancel the common part.
\((n-2)!\) को काटने पर \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\) मिलता है। अतः \(n(n-1)=90\)। 90 को दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों के गुणनफल के रूप में \(10\times9\) लिखा जा सकता है, इसलिए \(n=10\)। विकल्प 9 के लिए गुणनफल \(9\times8=72\) होगा, 90 नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले फैक्टोरियल को फैलाकर समान फैक्टोरियल पदों को रद्द करें। / Cancelling \((n-2)!\) gives \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\). Hence, \(n(n-1)=90\). Since \(90=10\times9\), the required consecutive positive integers are 10 and 9, so \(n=10\). For option 9, the product would be \(9\times8=72\), not 90. Exam tip: In such questions, expand the factorial first and cancel the common factorial terms.
क्योंकि \(7!=7\times6!\), इसलिए \(\frac{7!+6!}{6!}=\frac{7\times6!+6!}{6!}=\frac{8\times6!}{6!}=8\)। विकल्प 7 केवल \(7!/6!\) का मान है; उसमें \(6!\) वाला अतिरिक्त पद शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के योग में पहले छोटे फैक्टोरियल को सामान्य गुणनखंड के रूप में बाहर निकालें। / Since \(7!=7\times6!\), \(\frac{7!+6!}{6!}=\frac{7\times6!+6!}{6!}=\frac{8\times6!}{6!}=8\). Option 7 is only the value of \(7!/6!\); it ignores the additional \(6!\) term. Exam tip: in a sum of factorial terms, first factor out the smaller common factorial.
\((n+1)!=(n+1)n(n-1)!\) होने से \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=n(n+1)\) होगा। अतः \(n(n+1)=42\), यानी \(n^2+n-42=0\)। इसका धनात्मक हल \(n=6\) है, क्योंकि \(6\times7=42\)। विकल्प 7 सही नहीं है, क्योंकि \(7\times8=56\) होगा। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के ऐसे अनुपात में समान फैक्टोरियल पदों को पहले काटकर क्रमागत गुणनफल लिखें। / Since \((n+1)!=(n+1)n(n-1)!\), we get \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=n(n+1)\). Hence, \(n(n+1)=42\), or \(n^2+n-42=0\). The positive solution is \(n=6\), because \(6\times7=42\). Option 7 is not correct because it gives \(7\times8=56\). Exam tip: In factorial ratios, first cancel the common factorial part and write the remaining consecutive factors.
क्योंकि \(18!=18\cdot17\cdot16!\), इसलिए \(\frac{18!}{16!\cdot2}=\frac{18\cdot17\cdot16!}{16!\cdot2}=\frac{18\cdot17}{2}=9\cdot17=153\)। अतः सही उत्तर 153 है। 144 केवल \(18\times 16/2\) करने पर आएगा, जिसमें 17 का गुणनखंड छूट जाता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को काटें। / Since \(18!=18\cdot17\cdot16!\), \(\frac{18!}{16!\cdot2}=\frac{18\cdot17\cdot16!}{16!\cdot2}=\frac{18\cdot17}{2}=9\cdot17=153\). Therefore, the correct answer is 153. The value 144 would result from using \(18\times16/2\), which incorrectly omits the factor 17. Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial up to the smaller factorial and cancel common factors.
\(11!\) में से \(8!\) कट जाता है: \(\frac{11!}{8!\cdot3!}=\frac{11\cdot10\cdot9}{3\cdot2\cdot1}=\frac{990}{6}=165\)। इसलिए सही विकल्प 165 है। \(180\) जैसा उत्तर प्रायः \(3!\) से सही भाग न देने पर आता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्न में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को काटें। / Cancel \(8!\) from \(11!\): \(\frac{11!}{8!\cdot3!}=\frac{11\cdot10\cdot9}{3\cdot2\cdot1}=\frac{990}{6}=165\). Hence, 165 is the correct option. An answer such as 180 can result from not dividing correctly by \(3!\). Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial only up to the smaller factorial, then cancel common factors.
क्योंकि \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\), इसलिए अंश \((n+2)(n+1)!+(n+1)!\) होगा। \((n+1)!\) को उभयनिष्ठ लेने पर यह \([(n+2)+1](n+1)!=(n+3)(n+1)!\) बनता है। अब \((n+1)!\) से भाग देने पर उत्तर \(n+3\) मिलता है। \(n+2\) विकल्प में दूसरे पद \((n+1)!\) का योगदान छूट जाता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में छोटे फैक्टोरियल को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में लें। / Since \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\), the numerator becomes \((n+2)(n+1)!+(n+1)!\). Taking \((n+1)!\) common gives \([(n+2)+1](n+1)!=(n+3)(n+1)!\). Dividing by \((n+1)!\) gives \(n+3\). Option \(n+2\) misses the contribution of the second term, \((n+1)!\). Exam tip: in factorial expressions, factor out the smaller factorial first.
\(7!=7\times6\times5\times4!\) है। अतः \(\frac{7!}{3!\cdot4!}=\frac{7\times6\times5}{3!}=\frac{7\times6\times5}{6}=35\)। इसलिए सही विकल्प 35 है। 42 प्राप्त करना एक सामान्य गलती है, जो \(3!=6\) से सही भाग न देने पर हो सकती है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्न में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटें, फिर शेष गुणन करें। / Since \(7!=7\times6\times5\times4!\), \(\frac{7!}{3!\cdot4!}=\frac{7\times6\times5}{3!}=\frac{7\times6\times5}{6}=35\). Therefore, 35 is the correct option. Getting 42 is a common error caused by not dividing correctly by \(3!=6\). Exam tip: In factorial fractions, cancel common factorial terms first and then multiply the remaining factors.
\(8! = 8\cdot7\cdot6\cdot5!\) और \(3!=6\) होता है। अतः \(\frac{8!}{5!\cdot3!}=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5!}{5!\cdot6}=8\cdot7=56\)। इसलिए सही उत्तर 56 है। 48 प्राप्त करना सामान्यतः \(3!\) से सही ढंग से भाग न देने के कारण होता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्न में पहले समान फैक्टोरियल को काटकर शेष गुणनफल लिखें। / Since \(8! = 8\cdot7\cdot6\cdot5!\) and \(3!=6\), \(\frac{8!}{5!\cdot3!}=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5!}{5!\cdot6}=8\cdot7=56\). Therefore, 56 is correct. The value 48 can result from not dividing correctly by \(3!\). Exam tip: In factorial fractions, cancel the common factorial first and then multiply the remaining factors.
क्योंकि \((n+1)!=(n+1)\,n\,(n-1)!\), अतः \((n-1)!\) से भाग देने पर \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=n(n+1)\) मिलता है। विकल्प D में \(n\) गुणनखंड छूट जाता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान गुणनखंड काटें। / Since \((n+1)!=(n+1)\,n\,(n-1)!\), dividing by \((n-1)!\) gives \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=n(n+1)\). In option D, the factor \(n\) is missing. Exam tip: In a factorial fraction, expand the larger factorial up to the smaller factorial and then cancel common factors.
क्योंकि \((n+2)!=(n+2)(n+1)n!\), इसलिए \(\frac{(n+2)!}{n!}=\frac{(n+2)(n+1)n!}{n!}=(n+2)(n+1)\)। अतः विकल्प C सही है। \(n+2\) केवल एक गुणनखंड है; इसमें \((n+1)\) गुणनखंड छूट जाता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के अनुपात में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर लिखें, फिर समान पदों को काटें। / Since \((n+2)!=(n+2)(n+1)n!\), we get \(\frac{(n+2)!}{n!}=\frac{(n+2)(n+1)n!}{n!}=(n+2)(n+1)\). Therefore, option C is correct. \(n+2\) is only one factor and misses the factor \((n+1)\). Exam tip: In a factorial ratio, expand the larger factorial up to the smaller one and then cancel common factors.
क्योंकि \(10!=10\cdot9\cdot8!\), इसलिए \(\frac{10!}{8!\cdot2!}=\frac{10\cdot9\cdot8!}{8!\cdot2}=\frac{90}{2}=45\)। अतः सही उत्तर 45 है। 90 निकटतम भ्रामक विकल्प है, लेकिन उसमें \(2!\) से भाग देना छूट जाता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को काटें। / Since \(10!=10\cdot9\cdot8!\), \(\frac{10!}{8!\cdot2!}=\frac{10\cdot9\cdot8!}{8!\cdot2}=\frac{90}{2}=45\). Hence, 45 is correct. The close distractor 90 results from forgetting to divide by \(2!\). Exam tip: expand the larger factorial only up to the smaller factorial, then cancel common factors.
\(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\) तथा \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\)। अतः व्यंजक \((n+3)[(n+4)-(n+2)] = 2(n+3)\) होगा। \(2n+4\) गलत है, क्योंकि सही गुणनखंड \(2(n+3)=2n+6\) है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में समान फैक्टोरियल पदों को काटकर शेष क्रमागत गुणनखंड लिखें। / \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\) and \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\). Therefore, the expression becomes \((n+3)[(n+4)-(n+2)] = 2(n+3)\). \(2n+4\) is incorrect because \(2(n+3)=2n+6\). Exam tip: In factorial quotients, cancel the common factorial part and write the remaining consecutive factors.
जटिल भिन्न में दोनों आंतरिक भिन्नों के हर में \(n!\) है, इसलिए \(n!\) कट जाता है: \(\frac{\frac{(n+3)!}{n!}}{\frac{(n+2)!}{n!}}=\frac{(n+3)!}{(n+2)!}\)। अब \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\), अतः \(\frac{(n+3)!}{(n+2)!}=n+3\)। इसलिए सही उत्तर \(n+3\) है। \(\frac{n+3}{n+2}\) प्राप्त करना \((n+2)!\) को केवल \(n+2\) मानने की गलती है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणनखंड के रूप में लिखकर काटें। / The \(n!\) in the denominators of the two inner fractions cancels, giving \(\frac{(n+3)!}{(n+2)!}\). Since \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\), this becomes \(n+3\). Therefore, the correct answer is \(n+3\). The expression \(\frac{n+3}{n+2}\) results from the incorrect assumption that \((n+2)!\) equals \(n+2\). Exam tip: In factorial division, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and then cancel.
\((n+2)!=(n+2)(n+1)!\) लिखने पर अंश \((n+1)!\big[(n+2)-1\big]=(n+1)!(n+1)\) हो जाता है। अब \((n+1)!=(n+1)n!\) होने से दिया गया व्यंजक \((n+1)^2\) के बराबर है। इसलिए \((n+1)^2=36\), अतः \(n+1=6\) और \(n=5\)। \(n=-7\) स्वीकार्य नहीं है, क्योंकि ऋणात्मक पूर्णांक का फैक्टोरियल परिभाषित नहीं होता। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले प्रश्नों में सभी पदों को सबसे छोटे फैक्टोरियल के रूप में लिखकर सरल करें। / Write \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\). The numerator becomes \((n+1)!\big[(n+2)-1\big]=(n+1)!(n+1)\). Since \((n+1)!=(n+1)n!\), the given expression simplifies to \((n+1)^2\). Thus, \((n+1)^2=36\), giving \(n+1=6\) and \(n=5\). The other algebraic value, \(n=-7\), is not valid because factorials of negative integers are undefined. Exam tip: Express factorial terms in terms of the smallest factorial before cancelling.
\(\frac{6!}{2!\,4!}=\frac{6\times5}{2\times1}=15\) और \(\frac{4!}{3!}=4\) है। अतः दिया गया व्यंजक \(15\times4=60\) होगा। \(4!\) को दोनों भिन्नों में देखकर बिना नियम के काटना गलत है, क्योंकि वह एक भिन्न के हर और दूसरी भिन्न के अंश में है; पूरे गुणन को लिखकर ही सरलीकरण करें। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल में समान पदों को काटने से पहले अंश और हर को स्पष्ट रूप से एक ही भिन्न में लिखें। / \(\frac{6!}{2!\,4!}=\frac{6\times5}{2\times1}=15\), and \(\frac{4!}{3!}=4\). Therefore, the given expression is \(15\times4=60\). Do not cancel \(4!\) casually just because it appears in both fractions; first combine the product into a single numerator and denominator. Exam tip: While simplifying factorials, write the full product clearly before cancelling common factors.
क्योंकि \(9!=9\times8\times7!\), इसलिए \(\frac{9!}{7!}=9\times8=72\)। अतः \(\frac{9!-7!}{7!}=\frac{9!}{7!}-\frac{7!}{7!}=72-1=71\)। विकल्प 72 केवल \(\frac{9!}{7!}\) का मान है; उसमें \(\frac{7!}{7!}=1\) घटाना शेष है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्नों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पद काटें। / Since \(9!=9\times8\times7!\), \(\frac{9!}{7!}=9\times8=72\). Therefore, \(\frac{9!-7!}{7!}=\frac{9!}{7!}-\frac{7!}{7!}=72-1=71\). Option 72 is only the value of \(\frac{9!}{7!}\); subtracting \(\frac{7!}{7!}=1\) is still required. Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial up to the smaller factorial before cancelling common factors.
दिए गए व्यंजक में factorial पदों का गुणन लिया गया है: \(\frac{8!\times3!}{6!\times2!}\)। अब \(\frac{8!}{6!}=8\times7=56\) तथा \(\frac{3!}{2!}=3\) होगा। अतः मान \(56\times3=168\) है। विकल्प 196 तब मिलता यदि factorial को सही प्रकार से सरल न किया जाए। परीक्षा टिप: समान factorial वाले अंश और हर में छोटे पदों तक काटकर पहले सरल करें। / The factorial terms in the given expression are multiplied: \(\frac{8!\times3!}{6!\times2!}\). Now, \(\frac{8!}{6!}=8\times7=56\) and \(\frac{3!}{2!}=3\). Hence, the value is \(56\times3=168\). A value such as 196 results from not simplifying the factorials correctly. Exam tip: Cancel common factorial parts first and then multiply the remaining factors.
क्योंकि \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\), इसलिए \(\frac{(n+2)!}{(n+1)!}=n+2\)। इसी प्रकार \((n+1)!=(n+1)n!\), अतः \(\frac{(n+1)!}{n!}=n+1\)। इसलिए पूरा व्यंजक \((n+2)(n+1)\) है। विकल्प \(n+2\) केवल पहले अनुपात को दर्शाता है और दूसरे गुणनखंड \(n+1\) को छोड़ देता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के अनुपात में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके समान पदों को काटें। / Since \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\), \(\frac{(n+2)!}{(n+1)!}=n+2\). Similarly, \((n+1)!=(n+1)n!\), so \(\frac{(n+1)!}{n!}=n+1\). Therefore, the complete expression is \((n+2)(n+1)\). The option \(n+2\) represents only the first ratio and misses the factor \(n+1\). Exam tip: In factorial ratios, expand the larger factorial up to the smaller one and cancel common factors.
\(\frac{7!}{5!}=7\times6=42\), क्योंकि \(5!\) कट जाता है। साथ ही, \(\frac{5!}{2!\,3!}=\frac{120}{2\times6}=10\) और \(1!=1\)। अतः कुल मान \(42+10+1=53\) है। \(52\) तब मिल सकता है जब \(1!\) को गलती से 0 मान लिया जाए, जबकि \(1!=1\) होता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्नों में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटकर गणना सरल करें। / \(\frac{7!}{5!}=7\times6=42\), since \(5!\) cancels out. Also, \(\frac{5!}{2!\,3!}=\frac{120}{2\times6}=10\), and \(1!=1\). Therefore, the total is \(42+10+1=53\). One may get \(52\) by incorrectly taking \(1!\) as 0, but \(1!=1\). Exam tip: simplify factorial fractions by cancelling common factorial terms before calculating.
