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\(\frac{19!}{16!}=17\times18\times19\) तथा \(\frac{18!}{15!}=16\times17\times18\) है। अतः व्यंजक को \(17\times18\times(19-16)=17\times18\times3=918\) लिखा जा सकता है। इसलिए सही उत्तर 918 है। 1026 जैसा उत्तर गुणनखंडों के गलत निरस्तीकरण या घटाव में त्रुटि से मिल सकता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्नों में पहले छोटे फैक्टोरियल को निरस्त करें, फिर सामान्य गुणनखंड बाहर निकालें। / \(\frac{19!}{16!}=17\times18\times19\) and \(\frac{18!}{15!}=16\times17\times18\). Therefore, the expression becomes \(17\times18\times(19-16)=17\times18\times3=918\). Hence, 918 is correct. A value such as 1026 may result from incorrect cancellation or subtraction. Exam tip: In factorial fractions, cancel the smaller factorial first, then factor out common consecutive terms where possible.
\(16! = 16\cdot15\cdot14\cdot13\cdot12!\) लिखने पर \(12!\) कट जाता है। इसलिए \(\frac{16!}{12!\cdot4!}=\frac{16\cdot15\cdot14\cdot13}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=1820\)। अतः विकल्प B सही है। यह व्यंजक \(\binom{16}{4}\) के बराबर है; 1365, \(\binom{15}{4}\) का मान है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्नों में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटें, फिर शेष गुणन करें। / Write \(16! = 16\cdot15\cdot14\cdot13\cdot12!\), so \(12!\) cancels. Hence, \(\frac{16!}{12!\cdot4!}=\frac{16\cdot15\cdot14\cdot13}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=1820\). Therefore, option B is correct. This expression is \(\binom{16}{4}\); 1365 is the value of \(\binom{15}{4}\), not of the given expression. Exam tip: In factorial fractions, cancel common factorial terms before carrying out the remaining multiplication.
यह \((n+5)(n+4)(n+3)(n+2)=11880\) देता है। \(12\cdot11\cdot10\cdot9=11880\), इसलिए \(n=7\)। / It gives \((n+5)(n+4)(n+3)(n+2)=11880\). Since \(12\cdot11\cdot10\cdot9=11880\), \(n=7\).
\((n+4)!=(n+4)(n+3)!\) लिखने पर अंश \((n+3)![(n+4)+1]=(n+3)!(n+5)\) हो जाता है। अब \((n+2)!\) से भाग देने पर \((n+3)(n+5)=143\) मिलता है। क्योंकि \(143=11\times13\), इसलिए \(n+3=11\) और \(n=8\)। विकल्प 7 के लिए मान \(10\times12=120\) होगा, जो 143 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्नों में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणज के रूप में लिखकर पहले सरलीकरण करें। / Write \((n+4)!=(n+4)(n+3)!\). The numerator then becomes \((n+3)![(n+4)+1]=(n+3)!(n+5)\). Dividing by \((n+2)!\) gives \((n+3)(n+5)=143\). Since \(143=11\times13\), we have \(n+3=11\), hence \(n=8\). For option 7, the value becomes \(10\times12=120\), not 143. Exam tip: In factorial fractions, express the larger factorial as a multiple of the smaller factorial before simplifying.
\((n+5)!=(n+5)(n+4)!\) लिखने पर अंश \((n+4)!\big[(n+5)-1\big]=(n+4)!(n+4)\) हो जाता है। अब \((n+4)!=(n+4)(n+3)!\), इसलिए \(\frac{(n+4)!(n+4)}{(n+3)!}=(n+4)^2\)। अतः विकल्प A सही है। \((n+4)(n+5)\) तब प्राप्त होता यदि घटाव करने से पहले गुणनखंडों को गलत ढंग से गुणा कर दिया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के घटाव वाले व्यंजक में पहले छोटे फैक्टोरियल को common factor के रूप में लें। / Using \((n+5)!=(n+5)(n+4)!\), the numerator becomes \((n+4)!\big[(n+5)-1\big]=(n+4)!(n+4)\). Also, \((n+4)!=(n+4)(n+3)!\). Therefore, \(\frac{(n+4)!(n+4)}{(n+3)!}=(n+4)^2\), so option A is correct. \((n+4)(n+5)\) would arise from incorrectly multiplying factors before carrying out the subtraction. Exam tip: in a factorial subtraction, first factor out the smaller common factorial.
\((n+5)!=(n+5)(n+4)!\) का उपयोग करने पर अंश \((n+4)![(n+5)-1]=(n+4)(n+4)!\) बनता है। इसलिए
\[
\frac{(n+5)!-(n+4)!}{(n+3)!}
=\frac{(n+4)(n+4)!}{(n+3)!}
=(n+4)^2.
\]
अतः \((n+4)^2=169=13^2\)। फैक्टोरियल के परिभाषित होने के लिए \(n\geq -3\) होना चाहिए, इसलिए \(n+4\) धनात्मक है और \(n+4=13\)। अतः \(n=9\)। विकल्प 8 देने पर मान \(12^2=144\) आता है, 169 नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के व्यंजकों में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणनफल के रूप में लिखकर पहले सरल करें। / Using \((n+5)!=(n+5)(n+4)!\), the numerator becomes \((n+4)![(n+5)-1]=(n+4)(n+4)!\). Therefore,
\[
\frac{(n+5)!-(n+4)!}{(n+3)!}
=\frac{(n+4)(n+4)!}{(n+3)!}
=(n+4)^2.
\]
Thus \((n+4)^2=169=13^2\). For all the factorials to be defined, \(n\geq -3\), so \(n+4\) is positive and \(n+4=13\). Hence \(n=9\). Option 8 gives \(12^2=144\), not 169. Exam tip: In factorial expressions, rewrite the larger factorial in terms of the smaller one before cancelling common factors.
( \frac{n!}{(n-3)!}=n(n-1)(n-2) ) और ( \frac{n!}{(n+3)!}=\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)} )। दोनों भागों को गुणा करें। / ( \frac{n!}{(n-3)!}=n(n-1)(n-2) ) and ( \frac{n!}{(n+3)!}=\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)} ). Multiply both parts.
सरल रूप में (n=6) रखने पर \( \frac{6\cdot5\cdot4}{7\cdot8\cdot9}=\frac{5}{21} \) मिलता है। विकल्प जांचते समय कटौती करें। / Putting (n=6) in the simplified form gives \( \frac{6\cdot5\cdot4}{7\cdot8\cdot9}=\frac{5}{21} \). Cancel while checking options.
घात \( \left\lfloor\frac{50}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{50}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{50}{8}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{50}{16}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{50}{32}\right\rfloor=47 \) है। सभी भागफल जोड़ना जरूरी है। / The exponent is \( \left\lfloor\frac{50}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{50}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{50}{8}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{50}{16}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{50}{32}\right\rfloor=47 \). Adding all quotients is necessary.
शून्यों की संख्या \( \left\lfloor\frac{60}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{60}{25}\right\rfloor=14 \) है। (25) के अतिरिक्त योगदान को जरूर जोड़ें। / The number of zeros is \( \left\lfloor\frac{60}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{60}{25}\right\rfloor=14 \). Always add the extra contribution of (25).
(11!) में (2) की घात (8) नहीं बल्कि (8) से अधिक (8) ही होती है, पर \(2^9\) के लिए (12!) चाहिए। इसलिए सही न्यूनतम (12) है। / (11!) has exponent (8) of (2), so \(2^9\) is not satisfied. Therefore the minimum is (12).
\(23!=23\times22\times21!\) होने से पहला पद \(\frac{23\times22}{2!}=253\) है। इसी प्रकार, \(22!=22\times21\times20!\), इसलिए दूसरा पद \(\frac{22\times21}{2!}=231\) है। अतः कुल मान \(253+231=484\) है। \(474\) सही नहीं है; यह गणना में गुणन या जोड़ की त्रुटि से प्राप्त हो सकता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्न में पहले सामान्य फैक्टोरियल को काटें, फिर शेष गुणन करें। / Since \(23!=23\times22\times21!\), the first term is \(\frac{23\times22}{2!}=253\). Similarly, \(22!=22\times21\times20!\), so the second term is \(\frac{22\times21}{2!}=231\). Hence, the value is \(253+231=484\). Option 474 is incorrect and can result from an error in multiplication or addition. Exam tip: In factorial fractions, cancel the common factorial first and then multiply the remaining factors.
पहला पद \(\frac{24!}{21!\cdot3!}=\binom{24}{3}\) और दूसरा पद \(\frac{23!}{20!\cdot3!}=\binom{23}{3}\) है। पास्कल की सर्वसमिका \(\binom{n}{r}-\binom{n-1}{r}=\binom{n-1}{r-1}\) लगाने पर व्यंजक \(\binom{23}{2}\) बनता है। अतः \(\binom{23}{2}=\frac{23\times22}{2}=253\), इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प 252 पास्कल की सर्वसमिका लागू करने के बाद होने वाली गलत गणना से मिल सकता है। परीक्षा टिप: क्रमागत द्विपद गुणांकों के अंतर में पहले पास्कल की सर्वसमिका पहचानें। / The first term is \(\frac{24!}{21!\cdot3!}=\binom{24}{3}\), and the second term is \(\frac{23!}{20!\cdot3!}=\binom{23}{3}\). By Pascal’s identity, \(\binom{n}{r}-\binom{n-1}{r}=\binom{n-1}{r-1}\), the expression becomes \(\binom{23}{2}\). Thus, \(\binom{23}{2}=\frac{23\times22}{2}=253\), so option C is correct. The value 252 may result from an incorrect calculation after applying the identity. Exam tip: in differences of consecutive binomial coefficients, look for Pascal’s identity first.
दिया गया व्यंजक \(\frac{15!}{11!\cdot4!}\times\frac{10!\cdot4!}{14!}\) है। \(4!\) निरस्त करने पर \(\frac{15!\cdot10!}{11!\cdot14!}\) मिलता है। अब \(15!=15\cdot14!\) तथा \(11!=11\cdot10!\) रखने पर सभी समान पद निरस्त होकर मान \(\frac{15}{11}\) प्राप्त होता है। \(\frac{14}{11}\) तब मिल सकता है जब \(15!\) के अतिरिक्त गुणक 15 को गलती से छोड़ दिया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल को केवल उतना ही फैलाएँ जितना समान फैक्टोरियल पदों को निरस्त करने के लिए आवश्यक हो। / The expression is \(\frac{15!}{11!\cdot4!}\times\frac{10!\cdot4!}{14!}\). After cancelling \(4!\), it becomes \(\frac{15!\cdot10!}{11!\cdot14!}\). Using \(15!=15\cdot14!\) and \(11!=11\cdot10!\), all common factors cancel and the value is \(\frac{15}{11}\). \(\frac{14}{11}\) could result from incorrectly omitting the extra factor 15 in \(15!\). Exam tip: Expand factorials only as far as needed to cancel common factorial terms.
अंश को हर के फैक्टोरियल तक फैलाने पर \((2n+3)!=(2n+3)(2n+2)(2n+1)(2n)(2n-1)!\) प्राप्त होता है। हर का \((2n-1)!\) कटने पर चार गुणक बचते हैं: \((2n+3),(2n+2),(2n+1)\) और \(2n\)। इसलिए सही उत्तर 4 है। विकल्प 5 गलत है, क्योंकि फैक्टोरियल के सूचकांकों का अंतर \((2n+3)-(2n-1)=4\) है। परीक्षा टिप: \(a!/b!\), जहाँ \(a>b\), में बचे गुणकों की संख्या \(a-b\) होती है। / Expanding the numerator down to the denominator factorial gives \((2n+3)!=(2n+3)(2n+2)(2n+1)(2n)(2n-1)!\). Cancelling \((2n-1)!\) leaves four factors: \((2n+3),(2n+2),(2n+1)\), and \(2n\). Hence, the correct answer is 4. Option 5 is incorrect because the difference between the factorial indices is \((2n+3)-(2n-1)=4\). Exam tip: in \(a!/b!\), where \(a>b\), the number of factors left is \(a-b\).
छोटे फैक्टोरियल तक के पद कट जाते हैं: \(\frac{(2n+3)!}{(2n-1)!}=(2n)(2n+1)(2n+2)(2n+3)\)। अब \(17160=10\times11\times12\times13\) है। अतः \(2n=10\), इसलिए \(n=5\)। विकल्प 4 के लिए गुणनफल \(8\times9\times10\times11\) होगा, जो 17160 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के अनुपात में हर के अंतिम पद के बाद आने वाले लगातार पदों का गुणनफल लिखें। / Cancelling the common factorial terms gives \(\frac{(2n+3)!}{(2n-1)!}=(2n)(2n+1)(2n+2)(2n+3)\). Since \(17160=10\times11\times12\times13\), we have \(2n=10\), and hence \(n=5\). For option 4, the product is \(8\times9\times10\times11\), which is not 17160. Exam tip: In a factorial ratio, expand only the consecutive factors that remain after the smaller factorial is cancelled.
\((4n+1)!\) को हर में दिए गए फैक्टोरियल तक विस्तार करने पर \((4n+1)!=(4n+1)(4n)(4n-1)!\) मिलता है। अब \((4n-1)!\) कट जाता है, इसलिए परिणाम \((4n+1)(4n)\) है। विकल्प D में \((4n-1)\) अनावश्यक रूप से बचा हुआ है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में अंश वाले बड़े फैक्टोरियल को हर वाले फैक्टोरियल तक ही फैलाएँ। / Expanding the numerator up to the factorial in the denominator gives \((4n+1)!=(4n+1)(4n)(4n-1)!\). The factor \((4n-1)!\) then cancels, leaving \((4n+1)(4n)\). Option D incorrectly retains the factor \((4n-1)\). Exam tip: In a factorial quotient, expand the larger factorial only as far as the denominator factorial.
\((4n+1)!=(4n+1)(4n)(4n-1)!\) लिखने पर \((4n-1)!\) कट जाता है। इसलिए \((4n+1)(4n)=420\)। चूँकि \(20\times21=420\), अतः \(4n=20\) और \(n=5\) है। निकटतम विकल्प \(n=4\) के लिए मान \(16\times17=272\) होगा, जो 420 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के ऐसे भाग में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को निरस्त करें। / Write \((4n+1)!=(4n+1)(4n)(4n-1)!\). Cancelling \((4n-1)!\) gives \((4n+1)(4n)=420\). Since \(20\times21=420\), we get \(4n=20\), hence \(n=5\). The nearest distractor, \(n=4\), gives \(16\times17=272\), not 420. Exam tip: for a quotient of nearby factorials, expand the larger factorial only up to the smaller one and cancel common factors.
सामान्य ((n+5)(n+4)) निकालने पर अंतर \((n+6)-(n+3)=3\) है। इसलिए रूप (3(n+5)(n+4)) है। / Taking common ((n+5)(n+4)), the difference is \((n+6)-(n+3)=3\). So the form is (3(n+5)(n+4)).
सरल रूप (3(n+5)(n+4)) है। \(3\cdot13\cdot12=468\) नहीं, सही \(3\cdot14\cdot13=546\) से (n=8) मिलता है। / The simplified form is (3(n+5)(n+4)). Since \(3\cdot13\cdot12=468\) is wrong and \(3\cdot14\cdot13=546\), (n=8).
\(\frac{(n+6)!}{(n+4)!}=(n+6)(n+5)\) और \(\frac{(n+5)!}{(n+3)!}=(n+5)(n+4)\)। इसलिए योग \((n+5)[(n+6)+(n+4)]\) होगा। अतः \((n+5)(2n+10)=2(n+5)^2\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(2n+9\) है, जबकि कोष्ठक के पदों का सही योग \(2n+10\) है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में हर के फैक्टोरियल तक पदों को निरस्त करके बचे हुए क्रमागत गुणनखंड लिखें। / \(\frac{(n+6)!}{(n+4)!}=(n+6)(n+5)\) and \(\frac{(n+5)!}{(n+3)!}=(n+5)(n+4)\). Hence, the sum is \((n+5)[(n+6)+(n+4)]\). This gives \((n+5)(2n+10)=2(n+5)^2\), so option A is correct. Option B has \(2n+9\), whereas the correct sum inside the bracket is \(2n+10\). Exam tip: In factorial division, cancel through the denominator factorial and multiply the remaining consecutive factors.
\(\frac{(n+6)!}{(n+4)!}=(n+6)(n+5)\) तथा \(\frac{(n+5)!}{(n+3)!}=(n+5)(n+4)\) है। इसलिए उनका योग \((n+5)[(n+6)+(n+4)]=2(n+5)^2\) होगा। अतः \(2(n+5)^2=338\), यानी \((n+5)^2=169\)। चूँकि फैक्टोरियल के लिए संबंधित पूर्णांक मान वैध होने चाहिए, \(n+5=13\) लेने पर \(n=8\) मिलता है। \(n=9\) रखने पर योग \(392\) आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटकर शेष क्रमागत गुणनखंड लिखें। / \(\frac{(n+6)!}{(n+4)!}=(n+6)(n+5)\) and \(\frac{(n+5)!}{(n+3)!}=(n+5)(n+4)\). Thus, their sum is \((n+5)[(n+6)+(n+4)]=2(n+5)^2\). Hence \(2(n+5)^2=338\), so \((n+5)^2=169\). Since the factorial arguments must be valid integers, take \(n+5=13\), which gives \(n=8\). Substituting \(n=9\) gives \(392\), not \(338\). Exam tip: In factorial fractions, cancel the common factorial part first and write the remaining consecutive factors.
पहला पद \(\frac{13!}{7!\cdot6!}=\binom{13}{6}=1716\) है और दूसरा पद \(\frac{13!}{8!\cdot5!}=\binom{13}{5}=1287\) है। अतः आवश्यक मान \(1716+1287=3003\) है। \(3432\), \(1716\) का दोगुना है, इसलिए वह योग नहीं है। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{r!(n-r)!}\) को \(\binom{n}{r}\) के रूप में पहचानने से फैक्टोरियल वाले प्रश्न जल्दी हल होते हैं। / The first term is \(\frac{13!}{7!\cdot6!}=\binom{13}{6}=1716\), and the second term is \(\frac{13!}{8!\cdot5!}=\binom{13}{5}=1287\). Hence, the required value is \(1716+1287=3003\). The value \(3432\) is twice \(1716\), so it is not the required sum. Exam tip: Recognising \(\frac{n!}{r!(n-r)!}\) as \(\binom{n}{r}\) makes factorial questions faster to solve.
\(\frac{12!}{6!\cdot6!}=\binom{12}{6}=924\)। अतः \(924\times\frac{3}{11}=84\times3=252\)। इसलिए सही उत्तर 252 है। 264 प्राप्त करने के लिए \(924\div11\) को गलत रूप से 88 मानना पड़ेगा, जबकि इसका सही मान 84 है। परीक्षा टिप: ऐसे व्यंजक में पहले फैक्टोरियल अनुपात को \(\binom{n}{r}\) के रूप में पहचानकर सरल करें। / \(\frac{12!}{6!\cdot6!}=\binom{12}{6}=924\). Therefore, \(924\times\frac{3}{11}=84\times3=252\). Hence, 252 is correct. Getting 264 would require incorrectly taking \(924\div11\) as 88, whereas it equals 84. Exam tip: first recognise such factorial ratios as \(\binom{n}{r}\), then simplify.
पहला पद \(14\cdot13\cdot12=2184\) और दूसरा \(3\cdot13\cdot12=468\) है। अंतर (1716) है। / The first term is \(14\cdot13\cdot12=2184\) and the second is \(3\cdot13\cdot12=468\). The difference is (1716).
\(10!=10\cdot9\cdot8!\) और \(9!=9\cdot8!\)। अतः \(\frac{10!+3\cdot9!}{8!}=\frac{10\cdot9\cdot8!+3\cdot9\cdot8!}{8!}=90+27=117\)। इसलिए सही उत्तर 117 है। 126 तब मिल सकता है जब \(3\cdot9!\) वाले पद का गुणन गलत किया जाए। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में सभी फैक्टोरियल पदों को हर में दिए गए फैक्टोरियल, यहाँ \(8!\), के रूप में लिखकर सरल करें। / Using \(10!=10\cdot9\cdot8!\) and \(9!=9\cdot8!\), we get \(\frac{10!+3\cdot9!}{8!}=\frac{10\cdot9\cdot8!+3\cdot9\cdot8!}{8!}=90+27=117\). Hence, 117 is correct. A result such as 126 may arise from multiplying the \(3\cdot9!\) term incorrectly. Exam tip: express every factorial in terms of the factorial in the denominator, here \(8!\), before simplifying.
\((n+4)!\) को \((n-1)!\) तक फैलाने पर \((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)n(n-1)!\) मिलता है। दिए गए व्यंजक में \((n-1)!\), \((n+3)\) तथा \((n+2)\) कट जाते हैं। अतः शेष गुणनखंड \(n(n+1)(n+4)\) हैं, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \((n+2)\) को गलत रूप से रखा गया है, जबकि वह हर के साथ कट जाता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके ही काटें। / Expand \((n+4)!\) down to \((n-1)!\): \((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)n(n-1)!\). In the given expression, \((n-1)!\), \((n+3)\), and \((n+2)\) cancel, leaving \(n(n+1)(n+4)\). Hence, option A is correct. Option B incorrectly keeps \((n+2)\), although it cancels with the denominator. Exam tip: in factorial fractions, expand the larger factorial only up to the smaller factorial before cancelling.
सरल रूप (n(n+1)(n+4)) है। \(9\cdot10\cdot13=1170\) नहीं, इसलिए सही विकल्पों में मान नहीं है। / The simplified form is (n(n+1)(n+4)). Since \(9\cdot10\cdot13=1170\), no given option satisfies the equation.
D. कोई प्राकृतिक संख्या समाधान नहीं है/No natural-number solution
Explanation
Simple Explanation
\((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)n(n-1)!\) लिखने पर दिए गए व्यंजक का मान \(n(n+1)(n+4)\) मिलता है। \(n=7\) पर यह \(7\times8\times11=616\) तथा \(n=8\) पर \(8\times9\times12=864\) है। प्राकृतिक संख्याओं के लिए \(n(n+1)(n+4)\) बढ़ता है, इसलिए 616 और 864 के बीच का 840 प्राप्त नहीं हो सकता। अतः कोई प्राकृतिक संख्या समाधान नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले प्रश्नों में पहले उन्हें क्रमिक गुणनखंडों में फैलाकर कटने वाले पद हटाएँ। / Using \((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)n(n-1)!\), the expression simplifies to \(n(n+1)(n+4)\). At \(n=7\), it equals \(7\times8\times11=616\), and at \(n=8\), it equals \(8\times9\times12=864\). Since \(n(n+1)(n+4)\) increases for natural numbers, it cannot take the value 840 between these two consecutive cases. Hence, there is no natural-number solution. Exam tip: Expand factorials into consecutive factors first, then cancel common terms.
घात \( \left\lfloor\frac{35}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{35}{9}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{35}{27}\right\rfloor=15 \) है। उच्च घातों का योगदान जोड़ना न भूलें। / The exponent is \( \left\lfloor\frac{35}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{35}{9}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{35}{27}\right\rfloor=15 \). Do not forget the contribution of higher powers.
(12!) में (2) की घात (10) और (3) की घात (5) होती है। इसलिए दी गई सभी शर्तें पहली बार (12!) में पूरी होती हैं। / (12!) has exponent (10) of (2) and exponent (5) of (3). Therefore all given conditions are first satisfied by (12!).
\(27!=27\times26\times25!\) होने से \(\frac{27!}{25!\cdot2!}=\frac{27\times26}{2}=351\)। इसी प्रकार, \(\frac{26!}{24!\cdot2!}=\frac{26\times25}{2}=325\)। अतः मान \(351-325=26\) है। 25 दूसरे पद में आने वाला गुणनखंड है, लेकिन दोनों पदों का अंतर नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर पहले समान पदों को काटें। / Since \(27!=27\times26\times25!\), \(\frac{27!}{25!\cdot2!}=\frac{27\times26}{2}=351\). Similarly, \(\frac{26!}{24!\cdot2!}=\frac{26\times25}{2}=325\). Hence, the value is \(351-325=26\). Although 25 occurs as a factor in the second term, it is not the difference. Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and cancel common factors first.
\(13!\) को काटने पर \(\frac{17!}{13!\cdot4!}=\frac{17\times16\times15\times14}{4!}=2380\) मिलता है। इसी प्रकार, \(\frac{16!}{13!\cdot3!}=\frac{16\times15\times14}{3!}=560\) है। इसलिए व्यंजक का मान \(2380-560=1820\) है। \(2380\) केवल पहला पद है; उसमें से दूसरा पद घटाना आवश्यक है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्न में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर सामान्य पद काटें। / After cancelling \(13!\), \(\frac{17!}{13!\cdot4!}=\frac{17\times16\times15\times14}{4!}=2380\). Similarly, \(\frac{16!}{13!\cdot3!}=\frac{16\times15\times14}{3!}=560\). Hence, the value of the expression is \(2380-560=1820\). \(2380\) is only the first term, so the second term must still be subtracted. Exam tip: expand the larger factorial only up to the smaller factorial, then cancel common factors before calculating.
\((n+2)!\) को \((n-4)!\) तक लिखने पर \((n+2)!=(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)!\) मिलता है। अतः हर का \((n-4)!\) कटने पर 6 लगातार गुणक बचते हैं: \((n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)\)। 7 गुणक लेना गलत है, क्योंकि \(n-4\) वाला गुणक हर के फैक्टोरियल में शामिल होकर कट जाता है। परीक्षा टिप: \(\frac{a!}{b!}\) में \(a>b\) होने पर शेष गुणकों की संख्या \(a-b\) होती है। / Writing the numerator up to \((n-4)!\), we get \((n+2)!=(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)!\). Cancelling \((n-4)!\) leaves 6 consecutive factors: \((n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)\). Seven factors would incorrectly include \(n-4\), which is already cancelled by the denominator. Exam tip: in \(\frac{a!}{b!}\), when \(a>b\), the number of remaining factors is \(a-b\).
\((n+2)!=(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)!\)। अतः \((n-2)!\) कटने पर \((n+2)(n+1)n(n-1)=5040\) मिलता है। चार क्रमागत संख्याओं का गुणनफल \(7\times8\times9\times10=5040\) है। इसलिए इनके मध्य के दो पदों में दूसरा पद \(n=8\) होगा। निकटतम विकल्प \(n=9\) के लिए गुणनफल \(8\times9\times10\times11\) होगा, जो 5040 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को काटें। / Using \((n+2)!=(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)!\), cancel \((n-2)!\) to obtain \((n+2)(n+1)n(n-1)=5040\). Now \(7\times8\times9\times10=5040\), so the four consecutive factors are \(n-1,n,n+1,n+2\) with \(n=8\). The close distractor \(n=9\) gives \(8\times9\times10\times11\), not 5040. Exam tip: expand the larger factorial only down to the smaller factorial before cancelling.
दिए गए व्यंजक को गुणन के रूप में लिखने पर \(\frac{(n+3)!(n-3)!}{(n-2)!(n+2)!}\) प्राप्त होता है। यहाँ \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\) और \((n-2)!=(n-2)(n-3)!\) रखने पर \((n+2)!\) तथा \((n-3)!\) कट जाते हैं। इसलिए शेष मान \(\frac{n+3}{n-2}\) है। विकल्प D इसका व्युत्क्रम है, इसलिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्नों में बड़े फैक्टोरियल को छोटे निकटतम फैक्टोरियल तक फैलाकर पहले उभयनिष्ठ पद काटें। / Writing the complex fraction as a product gives \(\frac{(n+3)!(n-3)!}{(n-2)!(n+2)!}\). Now use \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\) and \((n-2)!=(n-2)(n-3)!\). The factors \((n+2)!\) and \((n-3)!\) cancel, leaving \(\frac{n+3}{n-2}\). Option D is the reciprocal of the required result, so it is incorrect. Exam tip: expand a larger factorial only until a common smaller factorial appears, then cancel common factors.
सरल रूप \( \frac{n+3}{n-2} \) है। \( \frac{n+3}{n-2}=\frac{5}{2} \) से \(n=4\) मिलता है। / The simplified form is \( \frac{n+3}{n-2} \). From \( \frac{n+3}{n-2}=\frac{5}{2} \), we get \(n=4\).
शून्यों की संख्या \( \left\lfloor\frac{80}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{80}{25}\right\rfloor=19 \) है। (5) की घातों का योगदान जोड़ें। / The number of zeros is \( \left\lfloor\frac{80}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{80}{25}\right\rfloor=19 \). Add the contribution of powers of (5).
मान \( \frac{24\cdot23}{12\cdot11}=\frac{46}{11} \) है। भाग में दोनों फैक्टोरियल अनुपात फैलाएं। / The value is \( \frac{24\cdot23}{12\cdot11}=\frac{46}{11} \). Expand both factorial ratios in division.
\(8!=8\cdot7!\) और \(11!=11\cdot10!\) रखने पर
\(\frac{8!\cdot11!}{10!\cdot7!}=\frac{(8\cdot7!)(11\cdot10!)}{10!\cdot7!}=8\cdot11=88\)। इसलिए विकल्प C सही है। \(10!\) और \(7!\) को काटने के बाद केवल 8 और 11 शेष रहते हैं; 80 उनका सही गुणनफल नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्नों में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटें, फिर शेष गुणनखंडों का गुणन करें। / Substitute \(8!=8\cdot7!\) and \(11!=11\cdot10!\):
\(\frac{8!\cdot11!}{10!\cdot7!}=\frac{(8\cdot7!)(11\cdot10!)}{10!\cdot7!}=8\cdot11=88\). Therefore, option C is correct. After cancelling \(10!\) and \(7!\), only 8 and 11 remain; 80 is not their product. Exam tip: in factorial fractions, cancel common factorial terms before expanding or multiplying.
\((n+6)!=(n+6)(n+5)!\) रखने पर अंश \((n+5)![(n+6)-1]=(n+5)!(n+5)\) हो जाता है। अब \((n+5)!=(n+5)(n+4)!\), अतः \(\frac{(n+5)!(n+5)}{(n+4)!}=(n+5)^2\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प D में \((n+6)\) बना रहता है, लेकिन अंश में घटाव करने पर गुणक \((n+6)-1=(n+5)\) हो जाता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के घटाव में पहले छोटे समान फैक्टोरियल को common factor के रूप में बाहर लें। / Using \((n+6)!=(n+6)(n+5)!\), the numerator becomes \((n+5)![(n+6)-1]=(n+5)!(n+5)\). Also, \((n+5)!=(n+5)(n+4)!\). Therefore, \(\frac{(n+5)!(n+5)}{(n+4)!}=(n+5)^2\), so option A is correct. Option D incorrectly retains the factor \((n+6)\); after subtraction, the factor is \((n+6)-1=(n+5)\). Exam tip: In a factorial subtraction, factor out the smaller common factorial first.
\((n+6)!=(n+6)(n+5)!\) रखने पर अंश \((n+5)![(n+6)-1]=(n+5)(n+5)!\) हो जाता है। अतः दिया गया व्यंजक \((n+5)^2\) के बराबर है। इसलिए \((n+5)^2=196=14^2\)। फैक्टोरियल के परिभाषित होने के लिए \(n+4\) अऋणात्मक पूर्णांक होना चाहिए, इसलिए \(n+5=14\), न कि \(-14\)। अतः \(n=9\)। विकल्प 8 रखने पर मान \(169\) आएगा। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के घटाव में पहले छोटे फैक्टोरियल को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में बाहर निकालें। / Using \((n+6)!=(n+6)(n+5)!\), the numerator becomes \((n+5)![(n+6)-1]=(n+5)(n+5)!\). Thus, the given expression equals \((n+5)^2\). Hence \((n+5)^2=196=14^2\). Since \(n+4\) must be a non-negative integer for the factorials to be defined, \(n+5=14\), not \(-14\). Therefore, \(n=9\). Substituting 8 would give \(169\), not 196. Exam tip: In factorial subtraction, factor out the smaller common factorial first.
सामान्य ((n+6)(n+5)) निकालें। अंतर ((n+7)-(n+4)=3) नहीं, क्योंकि दूसरा पद ((n+6)(n+5)(n+4)) है और अंतर (3(n+6)(n+5)) है। / Take common ((n+6)(n+5)). The difference is ((n+7)-(n+4)=3), so the correct form is (3(n+6)(n+5)).
\(\frac{(n+7)!}{(n+4)!}=(n+7)(n+6)(n+5)\) तथा \(\frac{(n+6)!}{(n+3)!}=(n+6)(n+5)(n+4)\)। दोनों में से समान गुणनखंड लेने पर अंतर \((n+6)(n+5)[(n+7)-(n+4)]=3(n+6)(n+5)\) मिलता है। इसलिए \(3(n+6)(n+5)=720\), अतः \((n+6)(n+5)=240\)। क्रमागत संख्याएँ \(15\) और \(16\) का गुणनफल 240 है, इसलिए \(n+5=15\) और \(n=10\)। विकल्प 9 के लिए गुणनफल \(14\times15=210\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के अनुपात को पहले लगातार गुणनखंडों में फैलाकर समान पदों को सरल करें। / \(\frac{(n+7)!}{(n+4)!}=(n+7)(n+6)(n+5)\), while \(\frac{(n+6)!}{(n+3)!}=(n+6)(n+5)(n+4)\). Factoring out the common terms gives the difference as \((n+6)(n+5)[(n+7)-(n+4)]=3(n+6)(n+5)\). Thus, \(3(n+6)(n+5)=720\), so \((n+6)(n+5)=240\). The consecutive numbers 15 and 16 have product 240, hence \(n+5=15\) and \(n=10\). For option 9, the product would be \(14\times15=210\), so it is not correct. Exam tip: Expand factorial ratios into consecutive factors before simplifying common terms.
\(n!=n(n-1)!\) तथा \((n+1)!=(n+1)n!\) का उपयोग करने पर
\(\frac{(n!)^2}{(n-1)!(n+1)!}=\frac{n}{n+1}\) मिलता है। अतः \(\frac{n}{n+1}=\frac{13}{14}\)। क्रॉस-गुणन से \(14n=13n+13\), इसलिए \(n=13\)। विकल्प 14 लेने पर मान \(\frac{14}{15}\) होता है, जो दिए गए भिन्न के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: क्रमागत फैक्टोरियल को विस्तार करके पहले समान पदों को काटें। / Using \(n!=n(n-1)!\) and \((n+1)!=(n+1)n!\), the given expression reduces to \(\frac{n}{n+1}\). Therefore, \(\frac{n}{n+1}=\frac{13}{14}\). Cross-multiplication gives \(14n=13n+13\), hence \(n=13\). If \(n=14\), the fraction would be \(\frac{14}{15}\), not the given value. Exam tip: expand consecutive factorials first and cancel common factors before solving.
दोनों पदों का अनुपात सीधे \( \frac{19}{15} \) बनता है। बड़े मान निकालने के बजाय फैक्टोरियल काटें। / The ratio of the two terms directly becomes \( \frac{19}{15} \). Cancel factorials instead of finding large values.
\(\frac{(n+3)!}{n!}=(n+3)(n+2)(n+1)=n^3+6n^2+11n+6\)। तथा \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=(n+1)n(n-1)=n^3-n\)। दोनों को जोड़ने पर \(2n^3+6n^2+10n+6\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में रैखिक पद का गुणांक गलत है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्न में पहले समान पदों को काटकर शेष क्रमागत गुणनखंड लिखें। / \(\frac{(n+3)!}{n!}=(n+3)(n+2)(n+1)=n^3+6n^2+11n+6\). Also, \(\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=(n+1)n(n-1)=n^3-n\). Their sum is \(2n^3+6n^2+10n+6\), so option A is correct. In option B, the coefficient of the linear term is incorrect. Exam tip: In factorial fractions, cancel the common factorial first and then write the remaining consecutive factors.
(n=6) रखने पर \(9\cdot8\cdot7+7\cdot6\cdot5=504+210=714\) नहीं मिलता। इसलिए यह समीकरण विकल्पों से मेल नहीं खाता। / Putting (n=6) gives \(9\cdot8\cdot7+7\cdot6\cdot5=504+210=714\). Therefore the equation does not match the options.
पहला पद \(\frac{13!}{6!\cdot7!}=\binom{13}{6}=1716\) और दूसरा पद \(\frac{12!}{6!\cdot6!}=\binom{12}{6}=924\) है। इसलिए मान \(1716-924=792\) होगा। विकल्प 846, दूसरे संयोजन गुणांक का गलत मान लेने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{r!(n-r)!}\) को \(\binom{n}{r}\) के रूप में पहचानकर गणना तेज करें। / The first term is \(\frac{13!}{6!\cdot7!}=\binom{13}{6}=1716\), and the second term is \(\frac{12!}{6!\cdot6!}=\binom{12}{6}=924\). Hence, the value is \(1716-924=792\). Option 846 may result from evaluating the second binomial coefficient incorrectly. Exam tip: recognise \(\frac{n!}{r!(n-r)!}\) as \(\binom{n}{r}\) to calculate quickly.
दोनों पदों में ( (n+3)(n+2) ) सामान्य है। इसलिए सरल रूप ( (n+3)(n+2)(2n+5) ) मिलता है। / The common factor in both terms is ( (n+3)(n+2) ). Therefore the simplified form is ( (n+3)(n+2)(2n+5) ).
