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Subjects
Class 11 Mathematics Permutations and Combinations Factorial notation Expert Level 56

यदि \( \frac{(n+5)!-(n+4)!}{(n+3)!}=169 \), तो (n) का मान क्या है?

If \( \frac{(n+5)!-(n+4)!}{(n+3)!}=169 \), what is the value of (n)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

B. 9

Explanation

Simple Explanation

\((n+5)!=(n+5)(n+4)!\) का उपयोग करने पर अंश \((n+4)![(n+5)-1]=(n+4)(n+4)!\) बनता है। इसलिए \[ \frac{(n+5)!-(n+4)!}{(n+3)!} =\frac{(n+4)(n+4)!}{(n+3)!} =(n+4)^2. \] अतः \((n+4)^2=169=13^2\)। फैक्टोरियल के परिभाषित होने के लिए \(n\geq -3\) होना चाहिए, इसलिए \(n+4\) धनात्मक है और \(n+4=13\)। अतः \(n=9\)। विकल्प 8 देने पर मान \(12^2=144\) आता है, 169 नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के व्यंजकों में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणनफल के रूप में लिखकर पहले सरल करें। / Using \((n+5)!=(n+5)(n+4)!\), the numerator becomes \((n+4)![(n+5)-1]=(n+4)(n+4)!\). Therefore, \[ \frac{(n+5)!-(n+4)!}{(n+3)!} =\frac{(n+4)(n+4)!}{(n+3)!} =(n+4)^2. \] Thus \((n+4)^2=169=13^2\). For all the factorials to be defined, \(n\geq -3\), so \(n+4\) is positive and \(n+4=13\). Hence \(n=9\). Option 8 gives \(12^2=144\), not 169. Exam tip: In factorial expressions, rewrite the larger factorial in terms of the smaller one before cancelling common factors.

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Correct Answer: B. 9. Explanation: \((n+5)!=(n+5)(n+4)!\) का उपयोग करने पर अंश \((n+4)![(n+5)-1]=(n+4)(n+4)!\) बनता है। इसलिए \[ \frac{(n+5)!-(n+4)!}{(n+3)!} =\frac{(n+4)(n+4)!}{(n+3)!} =(n+4)^2. \] अतः \((n+4)^2=169=13^2\)। फैक्टोरियल के परिभाषित होने के लिए \(n\geq -3\) होना चाहिए, इसलिए \(n+4\) धनात्मक है और \(n+4=13\)। अतः \(n=9\)। विकल्प 8 देने पर मान \(12^2=144\) आता है, 169 नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के व्यंजकों में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणनफल के रूप में लिखकर पहले सरल करें। / Using \((n+5)!=(n+5)(n+4)!\), the numerator becomes \((n+4)![(n+5)-1]=(n+4)(n+4)!\). Therefore, \[ \frac{(n+5)!-(n+4)!}{(n+3)!} =\frac{(n+4)(n+4)!}{(n+3)!} =(n+4)^2. \] Thus \((n+4)^2=169=13^2\). For all the factorials to be defined, \(n\geq -3\), so \(n+4\) is positive and \(n+4=13\). Hence \(n=9\). Option 8 gives \(12^2=144\), not 169. Exam tip: In factorial expressions, rewrite the larger factorial in terms of the smaller one before cancelling common factors.