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Subjects
Class 11 Mathematics Permutations and Combinations Factorial notation Expert Level 56

यदि \( \frac{(n+6)!-(n+5)!}{(n+4)!}=196 \), तो (n) का मान क्या है?

If \( \frac{(n+6)!-(n+5)!}{(n+4)!}=196 \), what is the value of (n)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

B. 9

Explanation

Simple Explanation

\((n+6)!=(n+6)(n+5)!\) रखने पर अंश \((n+5)![(n+6)-1]=(n+5)(n+5)!\) हो जाता है। अतः दिया गया व्यंजक \((n+5)^2\) के बराबर है। इसलिए \((n+5)^2=196=14^2\)। फैक्टोरियल के परिभाषित होने के लिए \(n+4\) अऋणात्मक पूर्णांक होना चाहिए, इसलिए \(n+5=14\), न कि \(-14\)। अतः \(n=9\)। विकल्प 8 रखने पर मान \(169\) आएगा। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के घटाव में पहले छोटे फैक्टोरियल को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में बाहर निकालें। / Using \((n+6)!=(n+6)(n+5)!\), the numerator becomes \((n+5)![(n+6)-1]=(n+5)(n+5)!\). Thus, the given expression equals \((n+5)^2\). Hence \((n+5)^2=196=14^2\). Since \(n+4\) must be a non-negative integer for the factorials to be defined, \(n+5=14\), not \(-14\). Therefore, \(n=9\). Substituting 8 would give \(169\), not 196. Exam tip: In factorial subtraction, factor out the smaller common factorial first.

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Correct Answer: B. 9. Explanation: \((n+6)!=(n+6)(n+5)!\) रखने पर अंश \((n+5)![(n+6)-1]=(n+5)(n+5)!\) हो जाता है। अतः दिया गया व्यंजक \((n+5)^2\) के बराबर है। इसलिए \((n+5)^2=196=14^2\)। फैक्टोरियल के परिभाषित होने के लिए \(n+4\) अऋणात्मक पूर्णांक होना चाहिए, इसलिए \(n+5=14\), न कि \(-14\)। अतः \(n=9\)। विकल्प 8 रखने पर मान \(169\) आएगा। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के घटाव में पहले छोटे फैक्टोरियल को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में बाहर निकालें। / Using \((n+6)!=(n+6)(n+5)!\), the numerator becomes \((n+5)![(n+6)-1]=(n+5)(n+5)!\). Thus, the given expression equals \((n+5)^2\). Hence \((n+5)^2=196=14^2\). Since \(n+4\) must be a non-negative integer for the factorials to be defined, \(n+5=14\), not \(-14\). Therefore, \(n=9\). Substituting 8 would give \(169\), not 196. Exam tip: In factorial subtraction, factor out the smaller common factorial first.