Level 55 • 50/50 questions • 25 seconds per question.
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What is the value of \( \frac{18!}{15!}-\frac{17!}{14!} \)?
B. (816)
पहला पद \(18\cdot17\cdot16=4896\) और दूसरा \(17\cdot16\cdot15=4080\) है। अंतर (816) है। / The first term is \(18\cdot17\cdot16=4896\) and the second is \(17\cdot16\cdot15=4080\). The difference is (816).
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What is the simplified value of \( \frac{15!}{11!\cdot4!} \)?
C. 1365
\(15!\) और \(11!\) को काटने पर \(\frac{15!}{11!\cdot4!}=\frac{15\times14\times13\times12}{4\times3\times2\times1}\) मिलता है। इसे सरल करने पर \(1365\) प्राप्त होता है। \(1820\), \(\binom{16}{4}\) का मान है, इसलिए वह इस प्रश्न के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{r!(n-r)!}=\binom{n}{r}\); यहाँ यह \(\binom{15}{4}\) है। / Cancelling \(11!\) from \(15!\) gives \(\frac{15!}{11!\cdot4!}=\frac{15\times14\times13\times12}{4\times3\times2\times1}\). Simplifying this expression gives \(1365\). The value \(1820\) is \(\binom{16}{4}\), so it does not apply here. Exam tip: use \(\frac{n!}{r!(n-r)!}=\binom{n}{r}\); here the expression is \(\binom{15}{4}\).
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If \( \frac{(n+4)!}{n!}=11880 \), what will be the value of (n)?
C. 8
\(\frac{(n+4)!}{n!}=(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)\) होता है। अतः चार क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल \(11880\) होना चाहिए। \(9\times10\times11\times12=11880\), इसलिए \(n+1=9\) और \(n=8\) है। उदाहरण के लिए, \(n=7\) पर गुणनफल \(8\times9\times10\times11=7920\) होगा, जो सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में फैक्टोरियल को काटकर क्रमागत गुणनखंडों के गुणनफल में बदलें। / \(\frac{(n+4)!}{n!}=(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)\). Thus, the product of four consecutive integers must be \(11880\). Since \(9\times10\times11\times12=11880\), we get \(n+1=9\), so \(n=8\). For instance, if \(n=7\), the product is \(8\times9\times10\times11=7920\), not \(11880\). Exam tip: cancel factorials first and rewrite the expression as a product of consecutive integers.
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If \( \frac{(n+2)!+(n+1)!}{(n+1)!}=14 \), what is the value of (n)?
C. 11
\((n+2)!=(n+2)(n+1)!\) का उपयोग करने पर दिया गया व्यंजक \(\frac{(n+2)(n+1)!+(n+1)!}{(n+1)!}\) बनता है। \((n+1)!\) से भाग देने पर यह \(n+2+1=n+3\) होगा। अतः \(n+3=14\), इसलिए \(n=11\)। विकल्प 12 लेने पर व्यंजक का मान 15 आता है, 14 नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणनखंड के रूप में लिखकर पहले सरल करें। / Using \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\), the expression becomes \(\frac{(n+2)(n+1)!+(n+1)!}{(n+1)!}\). Dividing by \((n+1)!\) gives \(n+2+1=n+3\). Hence, \(n+3=14\), so \(n=11\). If 12 were used, the expression would equal 15, not 14. Exam tip: In factorial questions, rewrite the larger factorial in terms of the smaller one before simplifying.
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What is the simplified form of \( \frac{(n+3)!-(n+2)!}{(n+1)!} \)?
A. \((n+2)^2\)
\((n+3)!=(n+3)(n+2)!\) लिखने पर अंश \((n+2)![(n+3)-1]=(n+2)!(n+2)\) बनता है। अब \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\) रखने पर \(\frac{(n+2)!(n+2)}{(n+1)!}=(n+2)^2\) प्राप्त होता है। \((n+3)^2\) में घटाए गए \((n+2)!\) पद का प्रभाव सही ढंग से शामिल नहीं होता। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले घटाव में पहले छोटे फैक्टोरियल को सामान्य गुणनखंड निकालें। / Using \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\), the numerator becomes \((n+2)![(n+3)-1]=(n+2)!(n+2)\). Since \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\), \(\frac{(n+2)!(n+2)}{(n+1)!}=(n+2)^2\). The option \((n+3)^2\) does not correctly account for subtracting \((n+2)!\). Exam tip: in factorial subtraction, first factor out the smaller common factorial.
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If \( \frac{(n+3)!-(n+2)!}{(n+1)!}=121 \), what will be the value of (n)?
B. 9
\((n+3)!=(n+3)(n+2)!\) लिखने पर अंश \((n+2)![(n+3)-1]=(n+2)(n+2)!\) हो जाता है। अतः दिया गया व्यंजक \(\frac{(n+2)(n+2)!}{(n+1)!}=(n+2)^2\) है। इसलिए \((n+2)^2=121\), जिससे \(n+2=11\) मिलता है और \(n=9\)। \(n+2=-11\) से \(n=-13\) आएगा, जिसके लिए दिए गए फैक्टोरियल परिभाषित नहीं हैं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणनफल के रूप में लिखें। / Using \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\), the numerator becomes \((n+2)![(n+3)-1]=(n+2)(n+2)!\). Hence the given expression simplifies to \(\frac{(n+2)(n+2)!}{(n+1)!}=(n+2)^2\). Thus, \((n+2)^2=121\), giving \(n+2=11\) and \(n=9\). The other algebraic value, \(n+2=-11\), gives \(n=-13\), for which the factorials in the question are not defined. Exam tip: In factorial expressions, first expand the larger factorial in terms of the smaller one.
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If ( \frac{(n!)2}{(n-2)!(n+2)!}=\frac{10}{21} ), what is the value of (n)?
B. (5)
सरल रूप ( \frac{n(n-1)}{(n+1)(n+2)} ) है। (n=5) रखने पर \( \frac{20}{42}=\frac{10}{21} \) मिलता है। / The simplified form is ( \frac{n(n-1)}{(n+1)(n+2)} ). Putting (n=5) gives \( \frac{20}{42}=\frac{10}{21} \).
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What is the highest power of (2) that divides (20!)?
D. (18)
घात \( \left\lfloor\frac{20}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{20}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{20}{8}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{20}{16}\right\rfloor=18 \) है। अभाज्य घात के लिए सभी भागफल जोड़ें। / The exponent is \( \left\lfloor\frac{20}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{20}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{20}{8}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{20}{16}\right\rfloor=18 \). Add all quotients for a prime exponent.
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How many zeros will be at the end of (45!)?
A. (10)
शून्यों की संख्या \( \left\lfloor\frac{45}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{45}{25}\right\rfloor=10 \) है। (25) के योगदान को न भूलें। / The number of zeros is \( \left\lfloor\frac{45}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{45}{25}\right\rfloor=10 \). Do not forget the contribution of (25).
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What is the smallest positive (n) for which (n!) is divisible by (1440)?
C. (8)
\(1440=2^5\cdot3^2\cdot5\) है और यह जरूरत पहली बार (8!) में पूरी होती है। विभाज्यता में अभाज्य गुणनखंड जांचें। / \(1440=2^5\cdot3^2\cdot5\), and this requirement is first satisfied by (8!). For divisibility, check prime factors.
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What is the value of \( \frac{20!}{18!\cdot2!}+\frac{19!}{17!\cdot2!} \)?
C. 361
\(\frac{20!}{18!\cdot2!}=\frac{20\times19}{2}=190\) और \(\frac{19!}{17!\cdot2!}=\frac{19\times18}{2}=171\)। अतः योग \(190+171=361\) है। 371 जैसी संख्या तब मिल सकती है जब दूसरे पद में \(18\) के स्थान पर गलती से \(19\) ले लिया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल को काटने से पहले बड़े फैक्टोरियल को आवश्यक गुणनखंडों तक विस्तार करें। / \(\frac{20!}{18!\cdot2!}=\frac{20\times19}{2}=190\), and \(\frac{19!}{17!\cdot2!}=\frac{19\times18}{2}=171\). Therefore, the sum is \(190+171=361\). A value such as 371 can result from incorrectly using 19 instead of 18 in the second term. Exam tip: Expand a factorial only up to the factors needed before cancelling.
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What is the value of \( \frac{21!}{18!\cdot3!}-\frac{20!}{17!\cdot3!} \)?
C. 190
दिया गया व्यंजक \(\binom{21}{3}-\binom{20}{3}\) है। पास्कल के संबंध \(\binom{n}{r}-\binom{n-1}{r}=\binom{n-1}{r-1}\) से इसका मान \(\binom{20}{2}=\frac{20\times19}{2}=190\) होगा। इसलिए विकल्प C सही है। निकटतम विकल्प 180 सही नहीं है, क्योंकि संयोजन का सही अंतर \(\binom{20}{2}\) होता है। परीक्षा टिप: ऐसे क्रमागत संयोजनों के अंतर में पास्कल संबंध का प्रयोग करें। / The expression is \(\binom{21}{3}-\binom{20}{3}\). Using Pascal’s identity, \(\binom{n}{r}-\binom{n-1}{r}=\binom{n-1}{r-1}\), it becomes \(\binom{20}{2}=\frac{20\times19}{2}=190\). Hence, option C is correct. The nearby option 180 is incorrect because the required difference is \(\binom{20}{2}\). Exam tip: use Pascal’s identity for differences of consecutive combinations.
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What is the simplified value of \( \frac{14!}{10!\cdot4!}\div\frac{13!}{9!\cdot4!} \)?
B. \(\frac{7}{5}\)
भाग को व्युत्क्रम से गुणा करने पर \(\frac{14!}{10!\cdot4!}\times\frac{9!\cdot4!}{13!}\) प्राप्त होता है। यहाँ \(4!\), \(9!\) तथा \(13!\) के समान गुणनखंड काटने पर \(\frac{14}{10}=\frac{7}{5}\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प B है। \(\frac{5}{4}\) जैसे विकल्प तब मिल सकते हैं जब फैक्टोरियल पदों को सही क्रम में निरस्त न किया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भाग में पहले उसे व्युत्क्रम से गुणा में बदलें, फिर समान फैक्टोरियल पद काटें। / Convert the division into multiplication by the reciprocal: \(\frac{14!}{10!\cdot4!}\times\frac{9!\cdot4!}{13!}\). Cancelling \(4!\), and then using \(14!=14\cdot13!\) and \(10!=10\cdot9!\), gives \(\frac{14}{10}=\frac{7}{5}\). Hence, option B is correct. A value such as \(\frac{5}{4}\) can result from cancelling factorial terms in the wrong order. Exam tip: first change division into multiplication by the reciprocal, then cancel common factorial factors.
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Which is the correct expansion of \( \frac{(2n)!}{(2n-4)!} \)?
B. \((2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)\)
\((2n)!=(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)(2n-4)!\)। अतः \((2n-4)!\) से भाग देने पर यह पद कट जाता है और \((2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)\) बचता है। विकल्प C में गुणक \(2n\) नहीं है तथा \(2n-4\) अनावश्यक रूप से शामिल है। परीक्षा टिप: \(\frac{m!}{(m-r)!}\) में ऊपर से लगातार \(r\) गुणक लिखे जाते हैं। / Using \((2n)!=(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)(2n-4)!\), the factor \((2n-4)!\) cancels from the numerator and denominator. Hence the result is \((2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)\). Option C incorrectly omits \(2n\) and includes \(2n-4\). Exam tip: in \(\frac{m!}{(m-r)!}\), write the first \(r\) consecutive descending factors from \(m\).
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If \( \frac{(2n)!}{(2n-4)!}=1680 \), what is the value of (n)?
B. 4
फैक्टोरियल को विस्तार देने पर \(\frac{(2n)!}{(2n-4)!}=(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)\) प्राप्त होता है। 1680 को चार क्रमागत पूर्णांकों के गुणनफल के रूप में \(5\times6\times7\times8\) लिखा जा सकता है। अतः \(2n=8\), इसलिए \(n=4\)। उदाहरण के लिए, \(n=5\) लेने पर गुणनफल \(10\times9\times8\times7\) होगा, जो 1680 नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में फैक्टोरियल के समान पदों को काटकर शेष क्रमागत गुणनखंड लिखें। / Expanding the factorial ratio gives \(\frac{(2n)!}{(2n-4)!}=(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)\). The number 1680 can be written as the product of four consecutive integers: \(5\times6\times7\times8\). Hence \(2n=8\), so \(n=4\). For instance, if \(n=5\), the product would be \(10\times9\times8\times7\), not 1680. Exam tip: In factorial-ratio questions, cancel the common factorial part and write the remaining consecutive factors.
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What is \( \frac{(3n+2)!}{(3n)!} \) equal to?
A. \((3n+2)(3n+1)\)
\((3n+2)!=(3n+2)(3n+1)(3n)!\) लिखने पर \((3n)!\) अंश और हर में कट जाता है। अतः \(\frac{(3n+2)!}{(3n)!}=(3n+2)(3n+1)\) होगा। विकल्प D में अतिरिक्त \(3n\) गुणक है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को काटें। / Write \((3n+2)!=(3n+2)(3n+1)(3n)!\). The factor \((3n)!\) cancels from the numerator and denominator, giving \(\frac{(3n+2)!}{(3n)!}=(3n+2)(3n+1)\). Option D incorrectly retains an extra factor of \(3n\). Exam tip: expand the larger factorial only up to the smaller factorial, then cancel common factors.
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If \( \frac{(3n+2)!}{(3n)!}=182 \), what is the value of (n)?
B. 4
\((3n+2)!=(3n+2)(3n+1)(3n)!\) होने से दिए गए अनुपात का मान \((3n+2)(3n+1)\) होगा। अतः \((3n+2)(3n+1)=182\)। क्योंकि \(182=14\times13\), इसलिए \(3n+2=14\) और \(n=4\)। निकटतम भ्रमित करने वाला विकल्प 5 हो सकता है, पर \(n=5\) रखने पर गुणनफल \(17\times16=272\) आता है, 182 नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे फैक्टोरियल अनुपात में समान फैक्टोरियल पदों को पहले काटकर लगातार बचे हुए गुणनखंड लिखें। / Since \((3n+2)!=(3n+2)(3n+1)(3n)!\), the given ratio becomes \((3n+2)(3n+1)\). Hence, \((3n+2)(3n+1)=182\). As \(182=14\times13\), we get \(3n+2=14\), so \(n=4\). Option 5 is a close distractor, but for \(n=5\), the product is \(17\times16=272\), not 182. Exam tip: in factorial ratios, cancel the common factorial first and write the consecutive remaining factors.
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If \( \frac{(n+4)!}{(n+2)!}-\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=24 \), what is the value of (n)?
C. 9
\(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\) तथा \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\)। अतः उनका अंतर \((n+3)[(n+4)-(n+2)]=2(n+3)\) होगा। इसलिए \(2(n+3)=24\), जिससे \(n+3=12\) और \(n=9\) प्राप्त होता है। विकल्प 8 लेने पर व्यंजक का मान 22 आएगा, 24 नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में समान फैक्टोरियल पदों को काटकर शेष क्रमागत गुणनखंड लिखें। / \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\) and \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\). Hence, their difference is \((n+3)[(n+4)-(n+2)]=2(n+3)\). So \(2(n+3)=24\), giving \(n+3=12\) and \(n=9\). For example, if \(n=8\), the expression equals 22, not 24. Exam tip: In factorial quotients, cancel the common factorial terms and write the remaining consecutive factors.
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What is the simplified form of \( \frac{(n+5)!+(n+4)!}{(n+3)!} \)?
A. \((n+4)(n+6)\)
क्योंकि \((n+5)!=(n+5)(n+4)!\), अंश \((n+4)![(n+5)+1]=(n+4)!(n+6)\) होगा। साथ ही \((n+4)!=(n+4)(n+3)!\)। अतः \(\frac{(n+4)!(n+6)}{(n+3)!}=(n+4)(n+6)\)। विकल्प B में \(n+5\) को गलत रूप से बनाए रखा गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले पदों में छोटे फैक्टोरियल को common factor लेकर पहले सरल करें। / Since \((n+5)!=(n+5)(n+4)!\), the numerator becomes \((n+4)![(n+5)+1]=(n+4)!(n+6)\). Also, \((n+4)!=(n+4)(n+3)!\). Therefore, \(\frac{(n+4)!(n+6)}{(n+3)!}=(n+4)(n+6)\). Option B incorrectly retains the factor \(n+5\). Exam tip: in factorial expressions, first take the smaller factorial as a common factor.
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If \( \frac{(n+5)!+(n+4)!}{(n+3)!}=120 \), what is the value of (n)?
B. 6
\((n+5)!=(n+5)(n+4)!\) लिखने पर अंश \((n+4)![(n+5)+1]\) बनता है। अतः दिया गया व्यंजक \((n+4)(n+6)=120\) होगा। इसलिए \((n+5)^2=121\), जिससे \(n=6\) या \(n=-16\) मिलता है। फैक्टोरियल के लिए \(n+3\) एक अऋणात्मक पूर्णांक होना चाहिए, इसलिए केवल \(n=6\) मान्य है। विकल्प 5 रखने पर गुणनफल 99 आता है, 120 नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले प्रश्नों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणनखंडों में लिखकर काटें। / Write \((n+5)!=(n+5)(n+4)!\). Then the numerator becomes \((n+4)![(n+5)+1]\), so the expression simplifies to \((n+4)(n+6)=120\). Hence \((n+5)^2=121\), giving \(n=6\) or \(n=-16\). Since \(n+3\) must be a non-negative integer for the factorial to be defined, only \(n=6\) is valid. For instance, option 5 gives a product of 99, not 120. Exam tip: in factorial equations, first express the larger factorial in terms of the smaller one and cancel common factors.
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What is the value of \( \frac{12!}{8!\cdot4!}+\frac{12!}{9!\cdot3!} \)?
B. 715
पहला पद \(\frac{12!}{8!4!}=\binom{12}{4}=495\) है और दूसरा पद \(\frac{12!}{9!3!}=\binom{12}{3}=220\) है। अतः योग \(495+220=715\) होगा। 705 जैसी निकट संख्या जोड़ में त्रुटि से आ सकती है। परीक्षा टिप: ऐसे व्यंजकों को \(\binom{n}{r}\) के रूप में पहचानने से गणना तेज होती है। / The first term is \(\frac{12!}{8!4!}=\binom{12}{4}=495\), and the second term is \(\frac{12!}{9!3!}=\binom{12}{3}=220\). Therefore, their sum is \(495+220=715\). A nearby value such as 705 can result from an addition error. Exam tip: recognising such expressions as \(\binom{n}{r}\) makes calculation faster.
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What is the value of \( \frac{10!}{5!\cdot5!}\times\frac{5}{9} \)?
C. 140
\(\frac{10!}{5!\cdot5!}=\binom{10}{5}=252\) है। अतः \(252\times\frac{5}{9}=28\times5=140\)। इसलिए सही उत्तर 140 है। 150 निकट लग सकता है, पर \(252\) को 9 से भाग देने पर ठीक 28 मिलता है, इसलिए परिणाम 140 ही होगा। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले फैक्टोरियल अनुपात को संयोजन \(\binom{n}{r}\) के रूप में पहचानने से गणना तेज होती है। / \(\frac{10!}{5!\cdot5!}=\binom{10}{5}=252\). Therefore, \(252\times\frac{5}{9}=28\times5=140\). Hence, 140 is the correct answer. Although 150 may appear close, dividing 252 by 9 gives exactly 28, so the result is 140. Exam tip: Recognising factorial ratios as combinations such as \(\binom{n}{r}\) makes calculations quicker.
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What is the value of \( \frac{13!}{10!}-2\cdot\frac{12!}{10!} \)?
B. 1452
\(\frac{13!}{10!}=13\times12\times11=1716\) और \(\frac{12!}{10!}=12\times11=132\) है। इसलिए दिया गया व्यंजक \(1716-2\times132=1716-264=1452\) होगा। विकल्प D केवल पहला पद है; उसमें दूसरे पद को घटाया नहीं गया है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में समान \(10!\) को काटकर शेष क्रमागत गुणनखंडों का गुणन करें। / \(\frac{13!}{10!}=13\times12\times11=1716\), while \(\frac{12!}{10!}=12\times11=132\). Hence, the expression is \(1716-2\times132=1716-264=1452\). Option D is only the first term, without subtracting the second term. Exam tip: Cancel the common factorial first and then multiply the remaining consecutive factors.
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What is the value of \( \frac{9!+2\cdot8!}{7!} \)?
C. 88
\(9!=9\cdot8\cdot7!\) तथा \(8!=8\cdot7!\)। इसलिए \(\frac{9!+2\cdot8!}{7!}=9\cdot8+2\cdot8=72+16=88\)। विकल्प 84 में \(2\cdot8!\) वाले पद का सही सरलीकरण नहीं होता। परीक्षा टिप: भिन्न में फैक्टोरियल पदों को हर के फैक्टोरियल के गुणज के रूप में लिखकर \(7!\) काटें। / Use \(9!=9\cdot8\cdot7!\) and \(8!=8\cdot7!\). Hence, \(\frac{9!+2\cdot8!}{7!}=9\cdot8+2\cdot8=72+16=88\). Option 84 results from an incorrect simplification of the \(2\cdot8!\) term. Exam tip: rewrite each factorial in terms of the denominator factorial before cancelling.
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What is the simplified form of \( \frac{(n+3)!}{(n-1)!(n+2)(n+1)} \)?
A. \(n(n+3)\)
\((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)n(n-1)!\) लिखें। इसे दिए गए हर से भाग देने पर \((n-1)!\), \((n+2)\) और \((n+1)\) कट जाते हैं तथा \(n(n+3)\) बचता है। विकल्प B में \((n+3)\) के स्थान पर \((n+1)\) आ जाता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल को आवश्यक पदों तक फैलाकर समान गुणनखंडों को काटें। / Write \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)n(n-1)!\). On dividing by the given denominator, \((n-1)!\), \((n+2)\), and \((n+1)\) cancel, leaving \(n(n+3)\). Option B incorrectly retains \((n+1)\) instead of \((n+3)\). Exam tip: expand a factorial only as far as needed, then cancel common factors.
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If \( \frac{(n+3)!}{(n-1)!(n+2)(n+1)}=108 \), what is the value of (n)?
C. 9
\((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)n(n-1)!\) लिखने पर \((n-1)!\), \((n+2)\) और \((n+1)\) कट जाते हैं। अतः समीकरण \(n(n+3)=108\) बनता है। \(n=9\) रखने पर \(9\times12=108\), इसलिए सही उत्तर 9 है। उदाहरणार्थ, 8 रखने पर \(8\times11=88\) मिलता है, जो 108 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले प्रश्नों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान गुणनखंड काटें। / Write \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)n(n-1)!\). Cancelling \((n-1)!\), \((n+2)\), and \((n+1)\) gives \(n(n+3)=108\). For \(n=9\), \(9\times12=108\), so the correct answer is 9. For instance, \(n=8\) gives \(8\times11=88\), not 108. Exam tip: In factorial problems, expand the larger factorial up to the smaller one before cancelling common factors.
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What is the highest power of (3) that divides (25!)?
C. (10)
घात \( \left\lfloor\frac{25}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{25}{9}\right\rfloor=10 \) है। (9) के योगदान को जोड़ना जरूरी है। / The exponent is \( \left\lfloor\frac{25}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{25}{9}\right\rfloor=10 \). Adding the contribution of (9) is necessary.
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What is the smallest positive (n) for which (n!) is divisible by \(2^7\cdot3^4\cdot5\)?
B. (9)
(9!) में (2) की घात (7) और (3) की घात (4) मिल जाती है। इससे छोटा (n) यह शर्त पूरी नहीं करता। / (9!) contains exponent (7) of (2) and exponent (4) of (3). No smaller (n) satisfies this condition.
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What is the value of \( \frac{25!}{23!\cdot2!}-\frac{24!}{22!\cdot2!} \)?
C. 24
\(\frac{25!}{23!\cdot2!}=\frac{25\times24}{2}=300\) तथा \(\frac{24!}{22!\cdot2!}=\frac{24\times23}{2}=276\)। अतः अंतर \(300-276=24\) है। विकल्प 23 केवल दूसरे पद के सरलीकरण में आने वाला गुणनखंड है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्न में पहले बड़े फैक्टोरियल को आवश्यक पदों तक फैलाकर समान फैक्टोरियल काटें। / \(\frac{25!}{23!\cdot2!}=\frac{25\times24}{2}=300\) and \(\frac{24!}{22!\cdot2!}=\frac{24\times23}{2}=276\). Therefore, the difference is \(300-276=24\). Option 23 is only a factor occurring while simplifying the second term; it is not the required difference. Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial only up to the common factorial, then cancel it first.
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What is the value of \( \frac{16!}{12!\cdot4!}-\frac{15!}{12!\cdot3!} \)?
B. 1365
\(\frac{16!}{12!\cdot4!}=\binom{16}{4}=1820\) और \(\frac{15!}{12!\cdot3!}=\binom{15}{3}=455\) है। अतः आवश्यक मान \(1820-455=1365\) होगा। विकल्प 1450 सही नहीं है, क्योंकि दोनों संयोजन पदों का सही अंतर 1365 है। परीक्षा टिप: ऐसे व्यंजकों को पहले \(\binom{n}{r}\) के रूप में पहचानने से गणना तेज होती है। / \(\frac{16!}{12!\cdot4!}=\binom{16}{4}=1820\), while \(\frac{15!}{12!\cdot3!}=\binom{15}{3}=455\). Therefore, the required value is \(1820-455=1365\). Option 1450 is incorrect because the difference of the two combination terms is 1365. Exam tip: Recognising factorial expressions as \(\binom{n}{r}\) often makes calculations quicker.
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Which is the correct expansion of \( \frac{(n+1)!}{(n-3)!} \)?
A. \((n+1)n(n-1)(n-2)\)
\((n+1)!=(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)!\)। इसे \((n-3)!\) से भाग देने पर \((n-3)!\) कट जाता है और \((n+1)n(n-1)(n-2)\) प्राप्त होता है। विकल्प B में \((n-2)\) गुणक छूट गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में ऊपर वाले फैक्टोरियल को नीचे वाले फैक्टोरियल तक लिखकर समान पदों को काटें। / \((n+1)!=(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)!\). On dividing by \((n-3)!\), the common factorial cancels, leaving \((n+1)n(n-1)(n-2)\). Option B incorrectly omits the factor \((n-2)\). Exam tip: In a factorial quotient, expand the numerator down to the denominator factorial and then cancel common terms.
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If \( \frac{(n+1)!}{(n-3)!}=5040 \), what is the value of (n)?
C. 9
\((n+1)!\) में से \((n-3)!\) कटने पर \(\frac{(n+1)!}{(n-3)!}=(n+1)n(n-1)(n-2)\) मिलता है। अतः \((n+1)n(n-1)(n-2)=5040\)। \(n=9\) रखने पर \(10\times9\times8\times7=5040\), इसलिए सही मान \(9\) है। \(n=8\) के लिए गुणनफल \(9\times8\times7\times6=3024\) होगा, जो 5040 नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे भिन्नात्मक फैक्टोरियल में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके पदों को काटें। / Cancelling \((n-3)!\) from \((n+1)!\) gives \(\frac{(n+1)!}{(n-3)!}=(n+1)n(n-1)(n-2)\). Hence, \((n+1)n(n-1)(n-2)=5040\). For \(n=9\), \(10\times9\times8\times7=5040\), so the correct value is \(9\). For \(n=8\), the product is \(9\times8\times7\times6=3024\), not 5040. Exam tip: In factorial ratios, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and then cancel common terms.
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What is the simplified form of \( \frac{\frac{(n+2)!}{(n-2)!}}{\frac{(n+1)!}{(n-3)!}} \)?
A. \(\frac{n+2}{n-2}\)
\((n+2)!/(n-2)!=(n+2)(n+1)n(n-1)\) तथा \((n+1)!/(n-3)!=(n+1)n(n-1)(n-2)\)। दोनों के समान गुणक \((n+1)n(n-1)\) कटने पर \(\frac{n+2}{n-2}\) प्राप्त होता है। विकल्प B में शेष गुणक गलत लिए गए हैं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके समान पद काटें। / \((n+2)!/(n-2)!=(n+2)(n+1)n(n-1)\), while \((n+1)!/(n-3)!=(n+1)n(n-1)(n-2)\). Cancelling the common factors \((n+1)n(n-1)\) gives \(\frac{n+2}{n-2}\). Option B uses incorrect remaining factors. Exam tip: In factorial quotients, expand the larger factorial only up to the smaller one, then cancel common factors.
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If \( \frac{\frac{(n+2)!}{(n-2)!}}{\frac{(n+1)!}{(n-3)!}}=2 \), what is the value of (n)?
C. 6
दिया गया व्यंजक \(\frac{(n+2)!}{(n-2)!}\times\frac{(n-3)!}{(n+1)!}\) है। समान गुणनखंड काटने पर यह \(\frac{n+2}{n-2}\) बनता है। अतः \(\frac{n+2}{n-2}=2\Rightarrow n+2=2n-4\Rightarrow n=6\)। इसलिए सही विकल्प 6 है। विकल्प 5 रखने पर मान \(\frac{7}{3}\) आता है, जो 2 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भिन्नों में पहले फैक्टोरियल को क्रमिक गुणनखंडों में फैलाकर समान पद काटें। / The given expression can be written as \(\frac{(n+2)!}{(n-2)!}\times\frac{(n-3)!}{(n+1)!}\). Cancelling common factorial factors gives \(\frac{n+2}{n-2}\). Hence, \(\frac{n+2}{n-2}=2\Rightarrow n+2=2n-4\Rightarrow n=6\). Therefore, 6 is correct. If 5 is substituted, the value is \(\frac{7}{3}\), not 2. Exam tip: In factorial fractions, expand only enough consecutive factors to cancel common terms.
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How many zeros will be at the end of (30!)?
B. (7)
शून्यों की संख्या \( \left\lfloor\frac{30}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{25}\right\rfloor=7 \) है। (25) का अतिरिक्त योगदान जोड़ें। / The number of zeros is \( \left\lfloor\frac{30}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{25}\right\rfloor=7 \). Add the extra contribution of (25).
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What is the simplified value of \( \frac{22!}{20!}\div\frac{11!}{9!} \)?
B. \(\frac{21}{5}\)
मान \( \frac{22\cdot21}{11\cdot10}=\frac{21}{5} \) है। भाग में दोनों अनुपातों को फैलाकर काटें। / The value is \( \frac{22\cdot21}{11\cdot10}=\frac{21}{5} \). Expand and cancel both ratios in division.
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What is the simplified value of \( \frac{7!\cdot9!}{8!\cdot6!} \)?
B. 63
\(7!=7\cdot6!\) तथा \(9!=9\cdot8!\) लिखने पर \[ \frac{7!\cdot9!}{8!\cdot6!}=\frac{(7\cdot6!)(9\cdot8!)}{8!\cdot6!}=7\cdot9=63. \] अतः सही उत्तर 63 है। 72 जैसा विकल्प तब आ सकता है जब क्रमागत फैक्टोरियल पदों को गलत ढंग से सरल किया जाए। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\) का प्रयोग करके फैक्टोरियल भिन्नों को तुरंत सरल करें। / Write \(7!=7\cdot6!\) and \(9!=9\cdot8!\). Then \[ \frac{7!\cdot9!}{8!\cdot6!}=\frac{(7\cdot6!)(9\cdot8!)}{8!\cdot6!}=7\cdot9=63. \] Therefore, the correct answer is 63. A value such as 72 may result from cancelling consecutive factorial terms incorrectly. Exam tip: use \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\) to simplify factorial fractions quickly.
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What is the simplified form of \( \frac{(n+4)!-(n+3)!}{(n+2)!} \)?
A. \((n+3)^2\)
\((n+4)!=(n+4)(n+3)!\) लिखने पर अंश \((n+3)![(n+4)-1]=(n+3)!(n+3)\) हो जाता है। अब \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\) रखने पर \(\frac{(n+3)!(n+3)}{(n+2)!}=(n+3)^2\) मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। \((n+4)^2\) में एक अतिरिक्त \(n+4\) गुणनखंड आ जाता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में पहले समान छोटा फैक्टोरियल बाहर निकालें। / Write \((n+4)!=(n+4)(n+3)!\). The numerator becomes \((n+3)![(n+4)-1]=(n+3)!(n+3)\). Since \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\), we get \(\frac{(n+3)!(n+3)}{(n+2)!}=(n+3)^2\). Hence, option A is correct. \((n+4)^2\) incorrectly retains an extra factor of \(n+4\). Exam tip: In factorial expressions, first factor out the smallest common factorial.
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If \( \frac{(n+4)!-(n+3)!}{(n+2)!}=144 \), what is the value of (n)?
B. 9
\((n+4)!=(n+4)(n+3)!\) लिखने पर अंश \((n+3)![(n+4)-1]=(n+3)!(n+3)\) हो जाता है। अतः दिया गया व्यंजक \(\frac{(n+3)!(n+3)}{(n+2)!}=(n+3)^2\) है। इसलिए \((n+3)^2=144\)। चूँकि फैक्टोरियल के लिए \(n\) गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, \(n+3=12\), जिससे \(n=9\) मिलता है। \(-12\) लेने पर \(n=-15\) होगा, जो यहाँ मान्य नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले प्रश्नों में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणनखंडों में लिखकर पहले रद्द करें। / Using \((n+4)!=(n+4)(n+3)!\), the numerator becomes \((n+3)![(n+4)-1]=(n+3)!(n+3)\). Hence the expression is \(\frac{(n+3)!(n+3)}{(n+2)!}=(n+3)^2\). Therefore, \((n+3)^2=144\). Since \(n\) must be a non-negative integer for the factorials here, \(n+3=12\), giving \(n=9\). The root \(n+3=-12\) gives \(n=-15\), which is not valid. Exam tip: In factorial questions, first expand the larger factorial in terms of the smaller one and cancel common factors.
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What is the simplified form of \( \frac{(n+5)!}{(n+2)!}-\frac{(n+4)!}{(n+1)!} \)?
B. \(3(n+4)(n+3)\)
\(\frac{(n+5)!}{(n+2)!}=(n+5)(n+4)(n+3)\) तथा \(\frac{(n+4)!}{(n+1)!}=(n+4)(n+3)(n+2)\)। अतः \((n+4)(n+3)\) उभयनिष्ठ लेने पर व्यंजक \((n+4)(n+3)[(n+5)-(n+2)] = 3(n+4)(n+3)\) मिलता है। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प D में 3 गुणनखंड छूट गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में नीचे वाले फैक्टोरियल तक क्रमागत गुणनखंड लिखकर पहले काटें। / \(\frac{(n+5)!}{(n+2)!}=(n+5)(n+4)(n+3)\), while \(\frac{(n+4)!}{(n+1)!}=(n+4)(n+3)(n+2)\). Taking \((n+4)(n+3)\) as the common factor gives \((n+4)(n+3)[(n+5)-(n+2)] = 3(n+4)(n+3)\). Hence, option B is correct. Option D misses the factor 3. Exam tip: In factorial quotients, expand only up to the denominator factorial and cancel first.
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If \( \frac{(n+5)!}{(n+2)!}-\frac{(n+4)!}{(n+1)!}=396 \), what is the value of (n)?
B. 8
\(\frac{(n+5)!}{(n+2)!}=(n+5)(n+4)(n+3)\) तथा \(\frac{(n+4)!}{(n+1)!}=(n+4)(n+3)(n+2)\)। अतः अंतर \((n+4)(n+3)[(n+5)-(n+2)]=3(n+4)(n+3)\) होगा। इसलिए \((n+4)(n+3)=132=12\times11\), जिससे \(n=8\) प्राप्त होता है। विकल्प 7 के लिए गुणनफल \(11\times10\) होगा, जो 132 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्नों में पहले समान पदों को काटकर क्रमागत गुणनखंड लिखें। / \(\frac{(n+5)!}{(n+2)!}=(n+5)(n+4)(n+3)\) and \(\frac{(n+4)!}{(n+1)!}=(n+4)(n+3)(n+2)\). Their difference is \((n+4)(n+3)[(n+5)-(n+2)]=3(n+4)(n+3)\). Hence, \((n+4)(n+3)=132=12\times11\), giving \(n=8\). For option 7, the product would be \(11\times10\), not 132. Exam tip: In factorial fractions, first cancel the common factorial terms and write the remaining consecutive factors.
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If \( \frac{(n!)^2}{(n-1)!(n+1)!}=\frac{11}{12} \), what is the value of (n)?
B. (11)
सरल रूप \( \frac{n}{n+1} \) है। \( \frac{n}{n+1}=\frac{11}{12} \) से \(n=11\) मिलता है। / The simplified form is \( \frac{n}{n+1} \). From \( \frac{n}{n+1}=\frac{11}{12} \), we get \(n=11\).
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What is the simplified value of \( \frac{18!}{14!\cdot4!}\div\frac{17!}{13!\cdot4!} \)?
A. \(\frac{9}{7}\)
दिए गए व्यंजक में \(4!\) कट जाता है। फिर \(\frac{18!}{17!}=18\) और \(\frac{13!}{14!}=\frac{1}{14}\) होगा। अतः मान \(18\times\frac{1}{14}=\frac{9}{7}\) है। \(\frac{153}{119}\) सही नहीं है, क्योंकि \(\frac{3060}{2380}\) को पूर्णतः सरल करने पर भी \(\frac{9}{7}\) मिलता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले भाग में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटें, फिर लगातार संख्याओं को सरल करें। / In the given expression, \(4!\) cancels out. Next, \(\frac{18!}{17!}=18\) and \(\frac{13!}{14!}=\frac{1}{14}\). Hence, the value is \(18\times\frac{1}{14}=\frac{9}{7}\). \(\frac{153}{119}\) is not fully simplified; it also reduces to \(\frac{9}{7}\). Exam tip: In factorial divisions, cancel common factorial terms first and then simplify consecutive factors.
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What is the simplified form of \( \frac{(n+2)!}{n!}+\frac{n!}{(n-2)!} \)?
B. \(2n^2+2n+2\)
\((n+2)!=(n+2)(n+1)n!\), इसलिए \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)=n^2+3n+2\)। इसी प्रकार, \(n!=n(n-1)(n-2)!\), अतः \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)=n^2-n\)। दोनों पदों को जोड़ने पर \(n^2+3n+2+n^2-n=2n^2+2n+2\) मिलता है। विकल्प A में स्थिर पद \(2\) छूट गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में समान फैक्टोरियल पदों को पहले काटकर शेष क्रमागत गुणनखंड लिखें। / Since \((n+2)!=(n+2)(n+1)n!\), \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)=n^2+3n+2\). Also, \(n!=n(n-1)(n-2)!\), so \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)=n^2-n\). Adding gives \(n^2+3n+2+n^2-n=2n^2+2n+2\). Option A misses the constant term \(2\). Exam tip: in factorial quotients, cancel the common factorial first and then expand the remaining consecutive factors.
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If \( \frac{(n+2)!}{n!}+\frac{n!}{(n-2)!}=114 \), what is the value of (n)?
B. 7
\(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\) तथा \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\)। इसलिए समीकरण \((n+2)(n+1)+n(n-1)=114\) होगा। इसे सरल करने पर \(2n^2+2n+2=114\), अर्थात \(n^2+n-56=0\) मिलता है। अतः \((n+8)(n-7)=0\), जिससे \(n=7\) या \(-8\)। फैक्टोरियल के लिए \(n\ge2\) होना चाहिए, इसलिए \(n=7\) सही है। \(n=8\) रखने पर बायाँ पक्ष 146 आता है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्नों में पहले समान पदों को काटकर गुणनखंडों के रूप में लिखें। / \(\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)\) and \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\). Thus, \((n+2)(n+1)+n(n-1)=114\). Simplifying gives \(2n^2+2n+2=114\), or \(n^2+n-56=0\). Hence, \((n+8)(n-7)=0\), so \(n=7\) or \(-8\). Since the factorial expression requires \(n\ge2\), the valid value is \(n=7\). Substituting \(n=8\) gives 146 on the left-hand side, so it is a close but incorrect option. Exam tip: cancel factorials first by expanding only the required consecutive factors.
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What is the value of \( \frac{12!}{6!\cdot6!}-\frac{11!}{5!\cdot6!} \)?
C. 462
पहला पद \(\frac{12!}{6!6!}=\binom{12}{6}=924\) है। दूसरा पद \(\frac{11!}{5!6!}=\binom{11}{5}=462\) है। अतः आवश्यक मान \(924-462=462\) होगा। विकल्प 420 जैसा उत्तर प्रायः फैक्टोरियल पदों को अधूरा सरल करने पर मिलता है। परीक्षा टिप: समान फैक्टोरियल वाले व्यंजकों को पहले \(\binom{n}{r}\) के रूप में पहचानने से गणना तेज होती है। / The first term is \(\frac{12!}{6!6!}=\binom{12}{6}=924\). The second term is \(\frac{11!}{5!6!}=\binom{11}{5}=462\). Therefore, the required value is \(924-462=462\). An answer such as 420 can result from incomplete simplification of the factorial terms. Exam tip: Recognise expressions of the form \(\frac{n!}{r!(n-r)!}\) as combinations to calculate quickly.
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What is the simplified form of ( \frac{(n+6)!}{(n+2)!}-\frac{(n+5)!}{(n+1)!} )?
A. (4(n+5)(n+4)(n+3))
सामान्य ((n+5)(n+4)(n+3)) निकालने पर अंतर ((n+6)-(n+2)=4) है। पहले समान गुणकों को पहचानें। / Taking common ((n+5)(n+4)(n+3)), the difference is ((n+6)-(n+2)=4). Identify common factors first.
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If \( \frac{(n+6)!}{(n+2)!}-\frac{(n+5)!}{(n+1)!}=2880 \), what is the value of (n)?
B. 5
\(\frac{(n+6)!}{(n+2)!}=(n+3)(n+4)(n+5)(n+6)\) तथा \(\frac{(n+5)!}{(n+1)!}=(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)\)। उभयनिष्ठ गुणनखंड लेने पर अंतर \(4(n+3)(n+4)(n+5)\) मिलता है। अतः \(4(n+3)(n+4)(n+5)=2880\), यानी \((n+3)(n+4)(n+5)=720\)। \(8\times9\times10=720\), इसलिए \(n=5\)। निकटतम विकल्प 6 के लिए गुणनफल \(9\times10\times11\) होगा, जो 720 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में पहले समान पदों को काटकर क्रमागत गुणनखंडों में लिखें। / \(\frac{(n+6)!}{(n+2)!}=(n+3)(n+4)(n+5)(n+6)\) and \(\frac{(n+5)!}{(n+1)!}=(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)\). Taking the common factors, their difference becomes \(4(n+3)(n+4)(n+5)\). Hence \(4(n+3)(n+4)(n+5)=2880\), so \((n+3)(n+4)(n+5)=720\). Since \(8\times9\times10=720\), \(n=5\). For the nearby option 6, the product would be \(9\times10\times11\), not 720. Exam tip: first expand factorial ratios into consecutive factors and cancel common terms carefully.
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What is the smallest positive (n) for which (n!) is divisible by \(2^8\cdot3^2\cdot5^2\)?
C. (10)
(10!) में (2) की घात (8) और (5) की घात (2) मिलती है। (9!) में \(5^2\) नहीं आता, इसलिए (10) न्यूनतम है। / (10!) contains exponent (8) of (2) and exponent (2) of (5). (9!) does not contain \(5^2\), so (10) is minimum.
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What is the highest power of (7) that divides (100!)?
C. (16)
घात \( \left\lfloor\frac{100}{7}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{100}{49}\right\rfloor=16 \) है। उच्च घातों जैसे (49) का योगदान जरूर जोड़ें। / The exponent is \( \left\lfloor\frac{100}{7}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{100}{49}\right\rfloor=16 \). Always add the contribution of higher powers such as (49).
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