Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
एक ही पंक्ति के adjacent terms अगली पंक्ति का बीच वाला term देते हैं। परीक्षा में (r) और (r-1) साथ दिखें तो Pascal identity लगाएं। / Adjacent terms of the same row give the middle term in the next row. In exams apply Pascal identity when (r) and (r-1) appear together.
पास्कल पहचान में दूसरा case विशेष वस्तु को न चुनने का \(^{n-1}C_r\) होता है। परीक्षा में included और excluded case अलग करें। / In Pascal's identity, the other case is not choosing the special object, \(^{n-1}C_r\). In exams separate included and excluded cases.
\(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\) में (n=11) और (r=7) रखें। परीक्षा में दोनों terms का upper index (1) कम होता है। / Put (n=11) and (r=7) in \(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\). In exams the upper index of both terms decreases by (1).
पास्कल पहचान में दूसरा पद \(^{n-1}C_{r-1}\) होता है। परीक्षा में एक विशेष वस्तु के included case को याद रखें। / In Pascal's identity the second term is \(^{n-1}C_{r-1}\). In exams remember the included case of one special object.
\(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\) में (n=10) और (r=6) रखें। परीक्षा में दोनों पदों का upper index (1) कम होता है। / Put (n=10) and (r=6) in \(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\). In exams the upper index of both terms decreases by (1).
\(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\) में (n=9) और (r=5) रखें। परीक्षा में दोनों terms का upper index (1) घटता है। / Put (n=9) and (r=5) in \(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\). In exams the upper index of both terms decreases by (1).
एक fixed object को include या exclude करने से \(^{9}C_3\) और \(^{9}C_4\) मिलते हैं। परीक्षा में Pascal split में upper index (1) घटता है। / Including or excluding one fixed object gives \(^{9}C_3\) and \(^{9}C_4\). In exams the upper index decreases by (1) in a Pascal split.
खास वस्तु हटाने के बाद (n-1) वस्तुओं में से पूरे (r) चुनने हैं। परीक्षा में excluded case में lower index वही रहता है। / After removing the special object all (r) objects are chosen from (n-1). In exams the lower index remains the same in the excluded case.
खास वस्तु चुन ली गई तो बाकी (r-1) वस्तुएँ (n-1) में से चुननी हैं। परीक्षा में included case में lower index (1) घटता है। / If the special object is selected the remaining (r-1) objects are chosen from (n-1). In exams the lower index decreases by (1) in the included case.
\(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\) में (n=8) और (r=4) रखें। परीक्षा में दोनों terms का upper index (1) कम होता है। / Put (n=8) and (r=4) in \(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\). In exams the upper index of both terms decreases by (1).
सूत्र में (n=7) और (r=3) रखने पर \(^{6}C_3+^{6}C_2\) मिलता है। परीक्षा में पहले ऊपर का सूचक (1) घटाएँ। / Putting (n=7) and (r=3) gives \(^{6}C_3+^{6}C_2\). In exams first reduce the upper index by (1).
A. एक विशेष वस्तु को शामिल या अलग करने से/By including or excluding one special object
Explanation
Simple Explanation
कुल चयन को एक विशेष वस्तु के आने और न आने के दो मामलों में बाँटते हैं। परीक्षा में fixed object method याद रखें। / The total selection is split into two cases according to whether one special object appears or not. In exams remember the fixed object method.
सूत्र \(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\) में (n=6) और (r=2) रखें। परीक्षा में (n) दोनों पदों में (1) कम होता है। / Put (n=6) and (r=2) in \(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\). In exams (n) decreases by (1) in both terms.
C. विशेष वस्तु को चुनकर बाकी (r-1) चुनना/Choosing the special object and then choosing remaining (r-1)
Explanation
Simple Explanation
यदि विशेष वस्तु चुनी गई है तो बाकी (r-1) वस्तुएँ (n-1) में से चुननी होंगी। परीक्षा में included case को अलग लिखें। / If the special object is chosen the remaining (r-1) objects must be chosen from (n-1). In exams write the included case separately.
A. विशेष वस्तु को न चुनना/Not choosing the special object
Explanation
Simple Explanation
एक निश्चित वस्तु को छोड़कर बाकी (n-1) में से (r) चुनना \(^{n-1}C_r\) है। परीक्षा में मामलों को शामिल और अलग में बाँटें। / Choosing (r) from remaining (n-1) after excluding one fixed object is \(^{n-1}C_r\). In exams split cases into included and excluded.
