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Subjects
Class 11 Mathematics Permutations and Combinations Factorial notation Expert Level 56

यदि \( \frac{(n+7)!}{(n+4)!}-\frac{(n+6)!}{(n+3)!}=720 \), तो (n) का मान क्या है?

If \( \frac{(n+7)!}{(n+4)!}-\frac{(n+6)!}{(n+3)!}=720 \), what is the value of (n)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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B. 10

Explanation

Simple Explanation

\(\frac{(n+7)!}{(n+4)!}=(n+7)(n+6)(n+5)\) तथा \(\frac{(n+6)!}{(n+3)!}=(n+6)(n+5)(n+4)\)। दोनों में से समान गुणनखंड लेने पर अंतर \((n+6)(n+5)[(n+7)-(n+4)]=3(n+6)(n+5)\) मिलता है। इसलिए \(3(n+6)(n+5)=720\), अतः \((n+6)(n+5)=240\)। क्रमागत संख्याएँ \(15\) और \(16\) का गुणनफल 240 है, इसलिए \(n+5=15\) और \(n=10\)। विकल्प 9 के लिए गुणनफल \(14\times15=210\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के अनुपात को पहले लगातार गुणनखंडों में फैलाकर समान पदों को सरल करें। / \(\frac{(n+7)!}{(n+4)!}=(n+7)(n+6)(n+5)\), while \(\frac{(n+6)!}{(n+3)!}=(n+6)(n+5)(n+4)\). Factoring out the common terms gives the difference as \((n+6)(n+5)[(n+7)-(n+4)]=3(n+6)(n+5)\). Thus, \(3(n+6)(n+5)=720\), so \((n+6)(n+5)=240\). The consecutive numbers 15 and 16 have product 240, hence \(n+5=15\) and \(n=10\). For option 9, the product would be \(14\times15=210\), so it is not correct. Exam tip: Expand factorial ratios into consecutive factors before simplifying common terms.

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यदि \( \frac{(n+7)!}{(n+4)!}-\frac{(n+6)!}{(n+3)!}=720 \), तो (n) का मान क्या है? / If \( \frac{(n+7)!}{(n+4)!}-\frac{(n+6)!}{(n+3)!}=720 \), what is the value of (n)?

Correct Answer: B. 10. Explanation: \(\frac{(n+7)!}{(n+4)!}=(n+7)(n+6)(n+5)\) तथा \(\frac{(n+6)!}{(n+3)!}=(n+6)(n+5)(n+4)\)। दोनों में से समान गुणनखंड लेने पर अंतर \((n+6)(n+5)[(n+7)-(n+4)]=3(n+6)(n+5)\) मिलता है। इसलिए \(3(n+6)(n+5)=720\), अतः \((n+6)(n+5)=240\)। क्रमागत संख्याएँ \(15\) और \(16\) का गुणनफल 240 है, इसलिए \(n+5=15\) और \(n=10\)। विकल्प 9 के लिए गुणनफल \(14\times15=210\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के अनुपात को पहले लगातार गुणनखंडों में फैलाकर समान पदों को सरल करें। / \(\frac{(n+7)!}{(n+4)!}=(n+7)(n+6)(n+5)\), while \(\frac{(n+6)!}{(n+3)!}=(n+6)(n+5)(n+4)\). Factoring out the common terms gives the difference as \((n+6)(n+5)[(n+7)-(n+4)]=3(n+6)(n+5)\). Thus, \(3(n+6)(n+5)=720\), so \((n+6)(n+5)=240\). The consecutive numbers 15 and 16 have product 240, hence \(n+5=15\) and \(n=10\). For option 9, the product would be \(14\times15=210\), so it is not correct. Exam tip: Expand factorial ratios into consecutive factors before simplifying common terms.