फैक्टोरियल की पुनरावर्ती परिभाषा के अनुसार \((n+1)!=(n+1)\cdot n!\) होता है, क्योंकि \((n+1)!\) में 1 से \(n+1\) तक सभी गुणनखंड होते हैं। विकल्प B में फैक्टोरियल को जोड़ के रूप में गलत माना गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में पहले \((n+1)!\) को \((n+1)n!\) लिखें। / By the recursive definition of factorial, \((n+1)!=(n+1)\cdot n!\), since it includes every factor from 1 to \(n+1\). Option B incorrectly treats factorial as an addition. Exam tip: rewrite \((n+1)!\) as \((n+1)n!\) before comparing factorial expressions.
\(n!=1\cdot2\cdots r\cdot(r+1)\cdots n\) होता है। इसलिए \(1\) से \(r\) तक के गुणनफल \(r!\) से भाग देने पर केवल \((r+1)\cdots n\) बचता है। \((n-r)!\) केवल पदों की संख्या का फैक्टोरियल है। परीक्षा में पहले सामान्य पदों को काटकर देखें। / Since \(n!=1\cdot2\cdots r\cdot(r+1)\cdots n\), dividing by \(r!\) cancels the factors from 1 to \(r\). Thus the remaining product is \(n!/r!\). \((n-r)!\) is the factorial of the number of factors, not their product. Exam tip: expand just enough terms to spot cancellation.
क्रमगुणित के नियम के अनुसार \(10!=10\times 9!\)। दोनों पक्षों को 10 से भाग देने पर \(9!=\frac{10!}{10}\) प्राप्त होता है। \(\frac{10!}{9}\) गलत है, क्योंकि 9! प्राप्त करने के लिए 10! को उसके अगले गुणक 10 से विभाजित करना होता है। परीक्षा टिप: \(n!=n\times (n-1)!\) संबंध का उपयोग करके क्रमगुणित वाले प्रश्न जल्दी हल करें। / Using the factorial relation, \(10!=10\times 9!\). Dividing both sides by 10 gives \(9!=\frac{10!}{10}\). \(\frac{10!}{9}\) is incorrect because to obtain 9! from 10!, we divide by the extra factor 10. Exam tip: Use \(n!=n\times (n-1)!\) to simplify factorial expressions quickly.
