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Subjects
Class 11 Mathematics Permutations and Combinations Factorial notation Expert Level 57

पूर्णांक \(n>r\geq 0\) के लिए, \((r+1)(r+2)\cdots n\) को फैक्टोरियल संकेत में कौन-सा व्यंजक सही रूप से दर्शाता है?

For integers \(n>r\geq 0\), which expression correctly represents \((r+1)(r+2)\cdots n\) in factorial notation?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(\frac{n!}{r!}\)

Explanation

Simple Explanation

क्योंकि \(n!=1\cdot2\cdots r\cdot(r+1)(r+2)\cdots n\) और \(r!=1\cdot2\cdots r\) है, इसलिए \(n!\) को \(r!\) से भाग देने पर आरम्भिक गुणनखंड कट जाते हैं। अतः शेष गुणनफल \((r+1)(r+2)\cdots n=\frac{n!}{r!}\) होता है। \((n-r)!\) केवल पदों की संख्या \(n-r\) का फैक्टोरियल है, दिए गए पदों का गुणनफल नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्न में समान आरम्भिक गुणनखंडों को काटकर जाँच करें। / Since \(n!=1\cdot2\cdots r\cdot(r+1)(r+2)\cdots n\) and \(r!=1\cdot2\cdots r\), dividing \(n!\) by \(r!\) cancels the initial factors. Hence \((r+1)(r+2)\cdots n=\frac{n!}{r!}\). \((n-r)!\) is the factorial of the number of terms, not the product of the given terms. Exam tip: cancel the common initial factors in a factorial fraction to verify the result.

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Correct Answer: A. \(\frac{n!}{r!}\). Explanation: क्योंकि \(n!=1\cdot2\cdots r\cdot(r+1)(r+2)\cdots n\) और \(r!=1\cdot2\cdots r\) है, इसलिए \(n!\) को \(r!\) से भाग देने पर आरम्भिक गुणनखंड कट जाते हैं। अतः शेष गुणनफल \((r+1)(r+2)\cdots n=\frac{n!}{r!}\) होता है। \((n-r)!\) केवल पदों की संख्या \(n-r\) का फैक्टोरियल है, दिए गए पदों का गुणनफल नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्न में समान आरम्भिक गुणनखंडों को काटकर जाँच करें। / Since \(n!=1\cdot2\cdots r\cdot(r+1)(r+2)\cdots n\) and \(r!=1\cdot2\cdots r\), dividing \(n!\) by \(r!\) cancels the initial factors. Hence \((r+1)(r+2)\cdots n=\frac{n!}{r!}\). \((n-r)!\) is the factorial of the number of terms, not the product of the given terms. Exam tip: cancel the common initial factors in a factorial fraction to verify the result.