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कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) हैं। कम से कम एक अवयव के लिए रिक्त समुच्चय हटाएं, इसलिए 15। / Total subsets are \(2^4=16\). For at least one element, remove the empty set, giving 15.
हर वस्तु के लिए शामिल या अलग दो विकल्प होते हैं। परीक्षा में total subsets के लिए \(2^n\) याद रखें। / Each object has two options include or exclude. In exams remember \(2^n\) for total subsets.
कुल उपसमुच्चय \(2^n=32\) हैं इसलिए उचित उपसमुच्चय (32-1=31) होंगे। परीक्षा में मूल समुच्चय को उचित उपसमुच्चय में न गिनें। / Total subsets are \(2^n=32\) so proper subsets are (32-1=31). In exams do not count the original set as a proper subset.
जो उपसमुच्चय (A) के अंदर हैं वही दोनों के लिए उपसमुच्चय होंगे और उनकी संख्या \(2^3=8\) है। साझा सीमा को छोटे समुच्चय से तय करें। / The subsets lying inside (A) are subsets of both, and their number is \(2^3=8\). Decide the common limit using the smaller set.
क्योंकि \(B\subset A\), इसलिए (B) का हर उपसमुच्चय (A) का भी उपसमुच्चय है। यह ट्रांजिटिव सोच का प्रयोग है। / Because \(B\subset A\), every subset of (B) is also a subset of (A). This uses transitive reasoning.
(a) और (b) को निश्चित रखने पर बाकी (3) अवयव स्वतंत्र चुने जाते हैं। इसलिए संख्या \(2^3=8\) है और ऐसे प्रश्नों में निश्चित अवयव अलग कर दें। / After fixing (a) and (b), the remaining (3) elements can be chosen freely. So the number is \(2^3=8\) and fixed elements should be separated in such questions.
(2) निश्चित है, (4) बाहर है और (1,3,5) स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2^3=8\) उपसमुच्चय बनेंगे। / Element (2) is fixed, (4) is excluded, and (1,3,5) are free. Hence \(2^3=8\) subsets are possible.
सम योग के लिए चुने गए विषम सदस्यों की संख्या सम होनी चाहिए। चार-सदस्यीय सेट में कुल (16) उपसमुच्चयों में आधे यानी (8) सम योग देते हैं। / For an even sum, the number of selected odd elements must be even. Among the (16) subsets, half, that is (8), give even sum.
(2,3) के लिए दो वैध स्थितियां हैं और (1,4) स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2\times2^2=8\) है। / There are two valid states for (2,3), and (1,4) are free. Hence \(2\times2^2=8\).
चार-सदस्यीय उपसमुच्चय \(\binom{5}{4}=5\) और पांच-सदस्यीय (1) है। कुल (5+1=6) है। / There are \(\binom{5}{4}=5\) four-element subsets and (1) five-element subset. Total is (5+1=6).
तीन विषम संख्याओं में से दो चुनें और तीन सम संख्याएँ वैकल्पिक हैं। संख्या \(\binom{3}{2}\times2^3=24\) है। / Choose two from the three odd numbers, and the three even numbers are optional. The count is \(\binom{3}{2}\times2^3=24\).
कुल उपसमुच्चय (16) हैं और (a,b) दोनों को बाहर रखने वाले \(2^2=4\) हैं। इसलिए (16-4=12) है। / Total subsets are (16), and those excluding both (a,b) are \(2^2=4\). Hence (16-4=12).
(1) निश्चित है, (5) निषिद्ध है और (2,3,4) स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2^3=8\) है। / Element (1) is fixed, (5) is forbidden, and (2,3,4) are free. Hence \(2^3=8\).
तीन सदस्य चुनने की संख्या \(\binom{5}{3}=10\) है। उपसमुच्चय में क्रम नहीं गिना जाता। / The number of ways to choose three elements is \(\binom{5}{3}=10\). Order is not counted in subsets.
(0) निश्चित है और दूसरा सदस्य (1,2,3) में से चुना जाएगा। इसलिए (3) उपसमुच्चय बनते हैं। / Element (0) is fixed, and the second element is chosen from (1,2,3). So there are (3) subsets.
कुल उपसमुच्चय (16) हैं और केवल रिक्त समुच्चय हटाना है। इसलिए (16-1=15) है। / Total subsets are (16), and only the empty set is excluded. Hence (16-1=15).
(2,7) निश्चित हैं और (3,5) वैकल्पिक हैं। इसलिए \(2^2=4\) उपसमुच्चय हैं। / Elements (2,7) are fixed, while (3,5) are optional. So there are \(2^2=4\) subsets.
(1,2) निश्चित हैं, (5) निषिद्ध है और (3,4) वैकल्पिक हैं। इसलिए \(2^2=4\) उत्तर है। / Elements (1,2) are fixed, (5) is forbidden, and (3,4) are optional. Hence the answer is \(2^2=4\).
(p) हटाने के बाद (4) सदस्य स्वतंत्र रहते हैं। इसलिए \(2^4=16\) उपसमुच्चय बनते हैं। / After excluding (p), (4) elements remain free. Thus \(2^4=16\) subsets are possible.
(2) निश्चित है और बाकी (3) सदस्य वैकल्पिक हैं। इसलिए संख्या \(2^3=8\) है। / Element (2) is fixed, and the remaining (3) elements are optional. Therefore the count is \(2^3=8\).
कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) हैं और पूरा सेट हटाने पर (15) उचित उपसमुच्चय बचते हैं। अंतिम उत्तर में पूरा सेट घटाना न भूलें। / Total subsets are \(2^4=16\), and removing the whole set leaves (15) proper subsets. Do not forget to subtract the set itself.
तीन तत्व चुनने के तरीके \({}^4C_3=4\) हैं और ये सभी उचित उपसमुच्चय हैं। परीक्षा में आकार (n) से छोटा हो तो उपसमुच्चय उचित होता है। / The number of ways to choose three elements is \({}^4C_3=4\) and all are proper subsets. In exams a subset with size less than (n) is proper.
रिक्त समुच्चय का केवल एक उपसमुच्चय वही रिक्त समुच्चय है। परीक्षा में \(2^0=1\) याद रखें। / The empty set has only one subset which is the empty set itself. In exams remember \(2^0=1\).
दो तत्व चुनने की संख्या \({}^4C_2=6\) है। परीक्षा में निश्चित आकार के उपसमुच्चय के लिए संयोजन का प्रयोग करें। / The number of ways to choose two elements is \({}^4C_2=6\). In exams use combinations for subsets of fixed size.
(a) निश्चित है और (c) हटाया गया है, इसलिए (b,d,e) में से 2 चुनने हैं। संख्या \(\binom{3}{2}=3\) है। / (a) is fixed and (c) is excluded, so choose 2 from (b,d,e). The number is \(\binom{3}{2}=3\).
1 को निश्चित रखें और शेष 4 अवयवों को चुनना या न चुनना स्वतंत्र है। इसलिए \(2^4=16\) उपसमुच्चय मिलते हैं। / Fix 1, and each of the remaining 4 elements may be chosen or not. So there are \(2^4=16\) subsets.
(1) और (3) निश्चित हैं तथा (2,4) स्वतंत्र हैं इसलिए \(2^2=4\) उपसमुच्चय होंगे। किसी उपसमुच्चय को शामिल रखना हो तो उसके अवयव पहले तय करें। / (1) and (3) are fixed, while (2,4) are optional, so there are \(2^2=4\) subsets. When a subset must be contained, fix its elements first.
(2) और (3) निश्चित हैं तथा (1,4) स्वतंत्र हैं इसलिए \(2^2=4\) उपसमुच्चय मिलते हैं। निश्चित अवयवों को पहले शामिल करें। / (2) and (3) are fixed, while (1,4) are optional, so \(2^2=4\) subsets are obtained. Include fixed elements first.
\(A=\{25,50,75\}\) में (3) अवयव हैं इसलिए \(2^3=8\) उपसमुच्चय होंगे। सीमा में (100) शामिल नहीं है। / \(A=\{25,50,75\}\) has (3) elements, so it has \(2^3=8\) subsets. The boundary (100) is not included.
तीन या अधिक अवयवों की संख्या \(\binom{5}{3}+\binom{5}{4}+\binom{5}{5}=16\) है। आकार आधारित गिनती में संयोजन जोड़ें। / The number is \(\binom{5}{3}+\binom{5}{4}+\binom{5}{5}=16\). For size based counting, add the combinations.
(a) हटाने के बाद चार अवयव बचते हैं और उनसे \(2^4=16\) उपसमुच्चय बनते हैं। निषिद्ध अवयव को पहले बाहर करें। / After excluding (a), four elements remain and they form \(2^4=16\) subsets. Remove the forbidden element first.
(0) को निश्चित रखने पर बाकी तीन अवयव स्वतंत्र हैं इसलिए \(2^3=8\) उपसमुच्चय मिलते हैं। निश्चित अवयव को चुनकर बाकी पर गिनती करें। / Fixing (0), the remaining three elements are optional, so there are \(2^3=8\) subsets. For a fixed element, count choices for the remaining elements.
कुल उपसमुच्चय (16) हैं और शून्य या एक अवयव वाले (1+4=5) हैं। इसलिए उत्तर (16-5=11) है। / There are (16) total subsets and (1+4=5) subsets with zero or one element. So the answer is (16-5=11).
तीन अवयवों वाले समुच्चय के उपसमुच्चय \(2^3=8\) होते हैं। कुल उपसमुच्चय में रिक्त समुच्चय और वही समुच्चय भी गिनें। / A set with three elements has \(2^3=8\) subsets. Count the empty set and the set itself among all subsets.
(2) और (5) निश्चित हैं तथा (7) हटेगा, बाकी (4) अवयव स्वतंत्र हैं। इसलिए संख्या \(2^4=16\) है। / (2) and (5) are fixed and (7) is excluded, while the remaining (4) elements are free. Hence the number is \(2^4=16\).
(1) निश्चित है, इसलिए बाकी (5) अवयवों में से (2) चुनने हैं। संख्या \(\binom{5}{2}=10\) है। / (1) is fixed, so choose (2) elements from the remaining (5). The count is \(\binom{5}{2}=10\).
सभी अवयव विषम हैं, इसलिए विषम योग के लिए उपसमुच्चय में विषम संख्या में अवयव होने चाहिए। \(\binom{4}{1}+\binom{4}{3}=4+4=8\) है। / All elements are odd, so an odd sum needs an odd number of elements in the subset. \(\binom{4}{1}+\binom{4}{3}=4+4=8\).
दो विषम और दो सम अवयव हैं, और सम योग के लिए विषम अवयवों की संख्या सम होनी चाहिए। कुल \(2\times4=8\) उपसमुच्चय मिलते हैं। / There are two odd and two even elements, and an even sum needs an even number of odd elements. This gives \(2\times4=8\) subsets.
पांच अवयवों वाले समुच्चय में कोई निश्चित अवयव \(2^{4}=16\) उपसमुच्चयों में आता है। एक अवयव निश्चित रखकर बाकी चार को स्वतंत्र मानें। / In a five element set, any fixed element appears in \(2^4=16\) subsets. Fix one element and let the other four vary freely.
कम से कम तीन अवयव का अर्थ तीन या चार अवयव हैं। संख्या \(\binom{4}{3}+\binom{4}{4}=4+1=5\) है। / At least three elements means three or four elements. The count is \(\binom{4}{3}+\binom{4}{4}=4+1=5\).
अधिकतम दो अवयव का अर्थ (0,1,2) अवयव हैं। संख्या \(\binom{5}{0}+\binom{5}{1}+\binom{5}{2}=1+5+10=16\) है। / At most two elements means (0,1,2) elements. The count is \(\binom{5}{0}+\binom{5}{1}+\binom{5}{2}=1+5+10=16\).
(1,2) दोनों होने पर \(2^2=4\) और दोनों न होने पर \(2^2=4\) विकल्प हैं। कुल (8) उपसमुच्चय बनते हैं। / When both (1,2) are included there are \(2^2=4\) choices, and when neither is included there are \(2^2=4\) choices. Total is (8).
कुल उपसमुच्चय (16) हैं और जिनमें (p,q) दोनों नहीं हैं वे \(2^2=4\) हैं। अतः उत्तर (16-4=12) है। / Total subsets are (16), and those containing neither (p) nor (q) are \(2^2=4\). Hence the answer is (16-4=12).
(1) हटेगा और (6) निश्चित होगा, बाकी (2,3,4,5) स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2^4=16\) उपसमुच्चय बनते हैं। / (1) is excluded and (6) is fixed, while (2,3,4,5) are free. So \(2^4=16\) subsets are formed.
दो अवयव चुनने की संख्या \(\binom{5}{2}=10\) होती है। उपसमुच्चय में क्रम नहीं गिना जाता। / The number of ways to choose two elements is \(\binom{5}{2}=10\). Order is not counted in subsets.
यदि किसी सीमित समुच्चय में (n) सदस्य हों, तो उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है। / If a finite set has (n) elements, the number of subsets is \(2^n\).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (n=3), इसलिए \(2^3=8\)। / Here (n=3), so \(2^3=8\).
Step 3
Exam Tip
सदस्य गिनने के बाद सीधे \(2^n\) लगाएँ। / Count the elements first and then apply \(2^n\).
(\mathcal{P}(A)) में \(2^3=8\) तत्व हैं। \(\emptyset\) और (A) हटाने पर (6) तत्व बचते हैं। / (\mathcal{P}(A)) has \(2^3=8\) elements. Removing \(\emptyset\) and (A) leaves (6) elements.
Cardinality (2) से विभाज्य होने का अर्थ even cardinality है। (6)-element set के even subsets \(2^{6-1}=32\) होते हैं। / Cardinality divisible by (2) means even cardinality. A (6)-element set has \(2^{6-1}=32\) even subsets.
Disjoint subsets केवल ({3,4,5}) से बनेंगे, इसलिए \(2^3=8\) हैं। परीक्षा में disjoint condition के लिए forbidden elements हटा दें। / Disjoint subsets are formed only from ({3,4,5}), so there are \(2^3=8\). In exams, remove forbidden elements for a disjoint condition.
जब \(|A|=n\geq1\), even cardinality subsets की संख्या \(2^{n-1}\) होती है। यहां \(2^6=64\) है। / When \(|A|=n\geq1\), the number of even cardinality subsets is \(2^{n-1}\). Here it is \(2^6=64\).
Even cardinality subsets की संख्या \(2^{8-1}=128\) है। परीक्षा में \(n\geq1\) होने पर even और odd subsets बराबर याद रखें। / The number of even cardinality subsets is \(2^{8-1}=128\). In exams, remember that for \(n\geq1\), even and odd subsets are equal.
किसी (n)-तत्वीय समुच्चय में odd subsets की संख्या \(2^{n-1}\) होती है, अतः \(2^6=64\)। परीक्षा में even और odd subsets बराबर होते हैं। / For an (n)-element set, the number of odd subsets is \(2^{n-1}\), so \(2^6=64\). In exams, even and odd subsets are equal in number.
उचित उपसमुच्चय में पूरा समुच्चय स्वयं शामिल नहीं होता। इसलिए संख्या (1024-1=1023) है। / A proper subset does not include the whole set itself. Therefore the number is (1024-1=1023).
कुल उपसमुच्चय \(2^3=8\) हैं। अरिक्त उचित उपसमुच्चयों के लिए \(\varnothing\) और (A) हटाने पर (6) बचते हैं। / Total subsets are \(2^3=8\). Removing \(\varnothing\) and (A) gives (6) non-empty proper subsets.
चार तत्वों वाले समुच्चय के कुल \(2^4=16\) उपसमुच्चय होते हैं। दो तत्व वाले उपसमुच्चय (6) होते हैं। / A set with four elements has \(2^4=16\) total subsets. The number of two element subsets is (6).
चार तत्वों वाले समुच्चय के कुल \(2^4=16\) उपसमुच्चय होते हैं। एक तत्व वाले उपसमुच्चय (4) होते हैं। / A set with four elements has \(2^4=16\) total subsets. The number of one element subsets is (4).
(a) को हटाकर (4) सदस्य बचते हैं, जिनके \(2^4=16\) उपसमुच्चय हैं। ये सभी (A) के उचित उपसमुच्चय हैं। / After excluding (a), (4) elements remain, giving \(2^4=16\) subsets. All of them are proper subsets of (A).
(A) में दो अलग सदस्य हैं: \(\emptyset\) और \({\emptyset}\)। इसलिए उपसमुच्चय \(2^2=4\) हैं। / The set (A) has two distinct elements: \(\emptyset\) and \({\emptyset}\). Hence it has \(2^2=4\) subsets.
(\mathcal{P}(A)) में \(2^3=8\) सदस्य हैं। इसके उचित उपसमुच्चय \(2^8-1=255\) होंगे। / (\mathcal{P}(A)) has \(2^3=8\) elements. Its proper subsets are \(2^8-1=255\).
सम तत्व (2,4,6) हैं और इनके सभी उपसमुच्चय \(2^3=8\) होंगे। परीक्षा में "केवल" का अर्थ है बाकी तत्वों को पूरी तरह हटाना। / The even elements are (2,4,6), and all their subsets are \(2^3=8\). In exams "only" means all other elements are excluded.
विषम संख्याएं (1,3) हैं जिनमें से एक चुनें और सम संख्याएं (2,4) स्वतंत्र हैं इसलिए \({}^2C_1\times2^2=8\)। परीक्षा में शर्त वाले तत्व और स्वतंत्र तत्व अलग करें। / The odd numbers are (1,3); choose one of them and let even numbers (2,4) be free, so \({}^2C_1\times2^2=8\). In exams separate restricted and free elements.
(1) निश्चित है और (4) हट गया है इसलिए (2,3) स्वतंत्र हैं और \(2^2=4\) उपसमुच्चय बनते हैं। परीक्षा में शामिल और निष्कासित शर्तें अलग करें। / (1) is fixed and (4) is removed, so (2,3) are free and form \(2^2=4\) subsets. In exams separate included and excluded conditions.
(2) और (5) निश्चित हैं और बाकी (3) तत्व स्वतंत्र हैं इसलिए \(2^3=8\)। परीक्षा में अनिवार्य तत्वों को पहले निश्चित करें। / The elements (2) and (5) are fixed and the remaining (3) elements are free, so \(2^3=8\). In exams fix compulsory elements first.
दो तत्वों वाले (3) और तीन तत्वों वाला (1) उपसमुच्चय है इसलिए कुल (4) हैं। परीक्षा में "कम से कम" में सभी बड़े आकार जोड़ें। / There are (3) subsets with two elements and (1) subset with three elements, so the total is (4). In exams add all larger sizes for "at least".
(1) को हटाने पर बचे (3) तत्वों से \(2^3=8\) उपसमुच्चय बनते हैं। परीक्षा में निषिद्ध तत्व को पहले हटाएं। / After removing (1), the remaining (3) elements form \(2^3=8\) subsets. In exams remove the forbidden element first.
(p) निश्चित है और बाकी दो तत्वों को \(2^2\) तरीकों से चुना जा सकता है। परीक्षा में निश्चित तत्व अलग रखकर बाकी पर गिनती करें। / The element (p) is fixed and the remaining two elements can be chosen in \(2^2\) ways. In exams fix the compulsory element and count the rest.
1, 2 और 3 निश्चित हैं, जबकि 4 और 5 वैकल्पिक हैं। इसलिए \(2^2=4\) उपसमुच्चय होंगे। / 1, 2 and 3 are fixed, while 4 and 5 are optional. Hence \(2^2=4\) subsets.
1 निश्चित है और 2 नहीं लेना है, शेष 3 अवयव स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2^3=8\) उपसमुच्चय होंगे। / 1 is fixed and 2 is excluded, while the remaining 3 elements are optional. Thus \(2^3=8\) subsets.
कुल 16 उपसमुच्चय हैं और जिनमें न 1 है न 2, वे ({3,4}) के \(2^2=4\) उपसमुच्चय हैं। इसलिए (16-4=12)। / There are 16 total subsets, and those containing neither 1 nor 2 are the \(2^2=4\) subsets of ({3,4}). Hence (16-4=12).
5 को छोड़कर ({1,2,3,4}) से 2 अवयव चुनने हैं। संख्या \(\binom{4}{2}=6\) है। / Exclude 5 and choose 2 elements from ({1,2,3,4}). The number is \(\binom{4}{2}=6\).
2 निश्चित है और 11 निषिद्ध है, शेष 3 अवयव स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2^3=8\) उपसमुच्चय हैं। / 2 is fixed and 11 is excluded, while the remaining 3 elements are optional. Hence \(2^3=8\) subsets.
ठीक 3 अवयव चुनने के तरीके \(\binom{4}{3}=4\) हैं। क्रम बदलने से नया उपसमुच्चय नहीं बनता। / The number of ways to choose exactly 3 elements is \(\binom{4}{3}=4\). Changing order does not create a new subset.
यदि किसी समुच्चय में n अवयव होते हैं तो उसके उपसमुच्चयों की संख्या \\(2^n\\) होती है क्योंकि प्रत्येक अवयव को या तो उपसमुच्चय में रख सकते हैं या नहीं — दो विकल्प प्रति अवयव। यहाँ n = 5 है, अतः कुल उपसमुच्चय होंगे \\(2^5 = 32\\)。
गलत विकल्पों का संक्षिप्त कारण: 10 किसी द्वि-चयन या संयोजन का सामान्य परिणाम नहीं है; 25 = 52 है जो यहाँ प्रयुक्त नहीं होता; 120 = 5! है (5 का गुणनफल) और यह क्रमपरिवर्तन/व्यवस्थित क्रम से संबंधित है, न कि उपसमुच्चयों से।
परीक्षा टिप: किसी समुच्चय के उपसमुच्चयों की गिनती के लिए तुरंत सूत्र \\(2^n\\) याद रखें और खाली समुच्चय तथा पूरा समुच्चय दोनों गिने जाते हैं। / A set with n elements has \\(2^n\\) subsets because each element has two choices (included or excluded), giving 2 multiplied n times. For n = 5 we get \\(2^5 = 32\\).
Why the other options are wrong: 10 is not derived from the subsets formula; 25 equals 52 which is irrelevant here; 120 equals 5! (permutations of 5) and relates to ordering, not counting subsets.
Exam tip: Recall the formula \\(2^n\\) and remember the empty set and the set itself are counted among the subsets.
बराबर नहीं होने वाले उपसमुच्चय ही उचित उपसमुच्चय हैं और उनकी संख्या \(2^5-1=31\) है। पूरा समुच्चय केवल एक बार हटता है। / Subsets not equal to (A) are proper subsets, and their number is \(2^5-1=31\). Only the whole set is removed once.
\(2^n=64\) से (n=6) है और उचित उपसमुच्चय \(2^6-1=63\) होंगे। पावर समुच्चय और उचित उपसमुच्चय के सूत्र अलग रखें। / From \(2^n=64\), (n=6), and proper subsets are \(2^6-1=63\). Keep the formulas for power set and proper subsets separate.
तीन अवयव चुनने की संख्या \(\binom{4}{3}=4\) है। ये सभी उचित हैं क्योंकि पूरा समुच्चय चार अवयवों का है। / The number of ways to choose three elements is \(\binom{4}{3}=4\). All are proper because the whole set has four elements.
तीन अवयवों के कुल उपसमुच्चय \(2^3=8\) हैं। उचित उपसमुच्चय में पूरा (A) हटाने पर (7) बचते हैं। / A three element set has \(2^3=8\) total subsets. Removing the whole set (A) gives (7) proper subsets.
पहले तत्व 5 को बाहर कर दें; बचे हुए तत्व {1,2,3,4} में से किसी भी दो को चुनना है। इसलिए संख्या है \\(\\binom{4}{2} = 6\\)। विकल्प A (4) गलत है क्योंकि यह किसी त्रुटिपूर्ण, अधूरा गणना दर्शाता है। विकल्प C (8) गलत है — 8 किसी मान्य \(nCk\) का परिणाम नहीं है यहाँ। विकल्प D (10) गलत है; 10 बराबर होता है \(\\binom{5}{2}\\), जो तब मिलेगा जब 5 को बाहर न किया गया हो। परीक्षा टिप: किसी तत्व को "शामिल नहीं" करना हो तो पहले उसे सेट से हटा दें और बची वस्तुओं पर \(nCk\) लागू करें। / Exclude the element 5 first; then choose 2 elements from the remaining set {1,2,3,4}. The count is \\(\\binom{4}{2}=6\\). Option A (4) is an undercount due to incorrect selection. Option C (8) is not a valid result of a correct combination computation for this case. Option D (10) equals \\(\\binom{5}{2}\\), which you get only if you do not exclude 5. Exam tip: When a specific element must be excluded, remove it first and then apply combinations to the remaining elements.
किसी समुच्चय में यदि n अवयव हों तो उसके उपसमुच्चयों की संख्या \\(2^n\\) होती है (यहां प्रत्येक अवयव को शामिल या न־शामिल करने के 2 विकल्प होते हैं)। यहाँ n = 2 इसलिए \\(2^2 = 4\\)। उपसमुच्चय हैं: \\(\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\\)। निकटभ्रामक विकल्प B (3) गलत है क्योंकि वह किसी एक संभावित उपसमुच्चय को छोड़ देता है — खाली सेट और पूरा सेट दोनों गिने जाने चाहिए। परीक्षा-टिप: हमेशा खाली समुच्चय (\(\varnothing\\)) और पूरा समुच्चय दोनों को गिनें। / A set with n elements has \\(2^n\\) subsets because each element is either included or excluded. For A, n = 2 so \\(2^2 = 4\\). The subsets are \\(\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\\). The closest distractor B (3) is wrong because it omits one valid subset — remember to count the empty set and the set itself. Exam tip: list small sets' subsets explicitly to avoid missing the empty or whole set.
