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B. यदि \(n\) पूर्ण वर्ग नहीं है, तो \(\sqrt{n}\) अपरिमेय है।/If \(n\) is not a perfect square, then \(\sqrt{n}\) is irrational.
Explanation
Simple Explanation
सही विकल्प B है। यदि \(n\) पूर्ण वर्ग नहीं है, तो उसके अभाज्य गुणनखंडन में कम-से-कम एक घात विषम होगी; अतः \(\sqrt{n}\) परिमेय नहीं हो सकता। उदाहरण: \(12=2^2\times3\)। परीक्षा में पहले पूर्ण वर्ग जाँचें। / Option B is correct. If \(n\) is not a perfect square, its prime factorisation has at least one odd exponent, so \(\sqrt{n}\) cannot be rational. For example, \(12=2^2\times3\). Exam tip: first check whether the number is a perfect square.
B. क्योंकि (3) अभाज्य है और \(u^2\) को विभाजित करता है/Because (3) is prime and divides \(u^2\)
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य (3) यदि वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है। इसलिए (u) (3) का गुणज है। / If prime (3) divides a square, it divides the original number too. Therefore (u) is a multiple of (3).
रिया मानती है कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। \(p^2=3q^2\) से \(p\) के 3 से विभाज्य होने के बाद, विरोधाभास प्राप्त करने के लिए सही अगला कथन कौन-सा है?
A. \(q\) भी 3 से विभाज्य होना चाहिए/\(q\) must also be divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
यदि \(p=3k\), तो \(p^2=3q^2\) में रखने पर \(9k^2=3q^2\), अर्थात \(q^2=3k^2\) मिलता है। इसलिए \(q\) भी 3 से विभाज्य है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड वर्ग में हो तो मूल संख्या में भी होता है। / Let \(p=3k\). Substituting in \(p^2=3q^2\) gives \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\). Hence \(q\) is also divisible by 3, contradicting that \(p\) and \(q\) are coprime. Exam tip: if a prime divides a square, it divides the number itself.
मान लें \(\sqrt{3}=p/q\), जहाँ \(p,q\) सह-अभाज्य हैं। \(p^2=3q^2\) से 3, \(p\) को विभाजित करता है; \(p=3k\) रखने पर 3, \(q\) को भी विभाजित करता है। यह सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या का वर्ग को विभाजित करना संख्या को विभाजित करने का संकेत देता है। / Assume \(\sqrt{3}=p/q\) in lowest terms. From \(p^2=3q^2\), 3 divides \(p\); putting \(p=3k\) then shows that 3 also divides \(q\). This contradicts coprimality. Exam tip: if a prime divides a square, it divides the number itself.
C. (x) और (y) दोनों सम हों जबकि वे सहभाज्य हों/Both (x) and (y) are even while they are coprime
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास तब पूरा होता है जब अंश और हर दोनों में सामान्य गुणनखंड (2) मिल जाए। यह सहभाज्य शर्त के विरुद्ध है। / The contradiction completes when numerator and denominator both have common factor (2). This opposes the coprime condition.
yदि \(\sqrt{2}\) के अपरिमेय होने के विरोधाभास-प्रमाण में मान लिया जाए कि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), तो \(p\) और \(q\) को सह-अभाज्य चुनना क्यों आवश्यक है?
A. ताकि \(p\) और \(q\) दोनों के सम होने से प्राप्त विरोधाभास स्पष्ट हो सके।
Explanation
Simple Explanation
सह-अभाज्य रूप में \(p\) और \(q\) का कोई सामान्य गुणनखंड नहीं होता। प्रमाण में \(p^2=2q^2\) से \(p\) सम और फिर \(q\) भी सम मिलता है, जो इस शर्त के विरुद्ध है। परीक्षा-टिप: विरोधाभास के लिए भिन्न को पहले सरलतम रूप में लें। / In lowest terms, \(p\) and \(q\) have no common factor. From \(p^2=2q^2\), \(p\) is even; substituting \(p=2k\) shows that \(q\) is also even, contradicting coprimality. Exam tip: always begin with a fraction in lowest form.
एक विद्यार्थी
\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते हुए मानता है कि \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), जहाँ \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य हैं। उसे \(a^2=3b^2\) प्राप्त होता है। प्रमाण को आगे बढ़ाने के लिए कौन-सा निष्कर्ष सही है?
\(a^2=3b^2\) से \(a^2\), 3 से विभाज्य है। किसी पूर्णांक का वर्ग 3 से विभाज्य हो तो वह पूर्णांक भी 3 से विभाज्य होता है; अतः \(a=3k\) लें। रखने पर \(b\) भी 3 से विभाज्य निकलेगा, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: 3 के लिए शेषफल 0, 1, 2 के वर्ग जाँचें। / From \(a^2=3b^2\), \(a^2\) is divisible by 3. If the square of an integer is divisible by 3, the integer itself is divisible by 3, so write \(a=3k\). Substitution then makes \(b\) divisible by 3 too, contradicting coprimality. Exam tip: check squares of remainders 0, 1, and 2 modulo 3.
\(2+\sqrt{3}\) अपरिमेय है। यदि यह परिमेय होता, तो इसमें से परिमेय संख्या 2 घटाने पर \(\sqrt{3}\) परिमेय मिलता, जो असंभव है। \(\sqrt{9}=3\), जबकि समाप्त और आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। परीक्षा टिप: परिमेय संख्या में अपरिमेय जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। / \(2+\sqrt{3}\) is irrational. If it were rational, subtracting the rational number 2 would make \(\sqrt{3}\) rational, which is impossible. Also, \(\sqrt{9}=3\), and terminating or recurring decimals are rational. Exam tip: adding a rational number to an irrational number gives an irrational result.
\(3q^2=p^2\) से \(p^2\), और इसलिए \(p\), 3 से विभाज्य होता है। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, अतः \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: दोनों पदों की समान विभाज्यता जाँचें। / From \(3q^2=p^2\), \(p^2\), hence \(p\), is divisible by 3. Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), so \(q\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. Exam tip: check common divisibility of both terms.
मान लें कि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं। \(p^2=2q^2\) प्राप्त होने के बाद कौन-सा निष्कर्ष प्रमाण को सही ढंग से आगे बढ़ाता है?
A. \(p\) और \(q\) दोनों सम हैं/Both \(p\) and \(q\) are even
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है, इसलिए \(p\) सम होगा। \(p=2k\) रखने पर \(q^2=2k^2\) मिलता है, अतः \(q\) भी सम है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में याद रखें: वर्ग सम हो तो संख्या भी सम होती है। / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even, so \(p\) is even. Put \(p=2k\); then \(q^2=2k^2\), making \(q\) even too. This contradicts coprimality. Exam tip: an even square always has an even base.
displaystyle \(\sqrt{3}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में, यदि \(\frac{p}{q}\) को न्यूनतम रूप में मानकर \(p^2=3q^2\) प्राप्त हो, तो विरोधाभास स्थापित करने के लिए कौन-सा तथ्य आवश्यक है?
A. यदि किसी अभाज्य संख्या से \(p^2\) विभाज्य है, तो वह \(p\) को भी विभाजित करती है।
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। 3 अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\); \(p=3k\) रखने पर \(3\mid q\) भी मिलता है। अतः \(p,q\) सह-अभाज्य नहीं रहे। परीक्षा में अभाज्य गुणनखंड वाला नियम याद रखें। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\). Since 3 is prime, \(3\mid p\); putting \(p=3k\) then gives \(3\mid q\) too. Thus \(p,q\) are not coprime. Exam tip: use the prime-divisor property in such proofs.
A. \(u^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य बनाता है/\(u^2\) should not be divisible by (3), but the equation makes it divisible
Explanation
Simple Explanation
यदि (u) में (3) का गुणनखंड नहीं है तो \(u^2\) में भी नहीं होगा। पर \(u^2=3v^2\) इसे (3) से विभाज्य दिखाता है। / If (u) has no factor (3), then \(u^2\) also has none. But \(u^2=3v^2\) shows it divisible by (3).
A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं।/Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3.
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है। चूँकि 3 एक अभाज्य संख्या है, इसलिए \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। मान लें \(p=3k\)। तब \(9k^2=3q^2\), अर्थात \(q^2=3k^2\); इसलिए \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह \(p\) और \(q\) के सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है और इसी विरोधाभास से \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध होती है। विकल्प B अधूरा है, क्योंकि \(p\) के 3 से विभाज्य होने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य होना ही पड़ता है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या किसी वर्ग को विभाजित करे, तो वह मूल संख्या को भी विभाजित करती है। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3. Since 3 is prime, \(p\) must also be divisible by 3. Let \(p=3k\). Then \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\); hence \(q\) is also divisible by 3. This contradicts the fact that \(p\) and \(q\) are coprime, and this contradiction is used to prove that \(\sqrt{3}\) is irrational. Option B is incomplete because once \(p\) is divisible by 3, \(q\) must be divisible by 3 as well. Exam tip: If a prime divides a square, it also divides the original number.
विरोधाभास विधि में मान लें कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं। यदि \(3\mid p^2\) प्राप्त हो, तो अगला आवश्यक निष्कर्ष कौन-सा है?
\(3\) अभाज्य है। अभाज्य संख्या यदि किसी पूर्ण वर्ग \(p^2\) को विभाजित करे, तो वह \(p\) को भी विभाजित करती है; अतः \(3\mid p\)। आगे \(p=3k\) रखने पर \(3\mid q\) भी मिलता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा में इस अभाज्य-गुणधर्म को जरूर लिखें। / Since \(3\) is prime, if it divides the square \(p^2\), it must divide \(p\); hence \(3\mid p\). On putting \(p=3k\), we also obtain \(3\mid q\), contradicting coprimality. Exam tip: state this prime-divides-a-square property explicitly.
3 एक अभाज्य संख्या है। अभाज्य गुणनखंड के नियम से यदि \(3\mid p^2\), तो \(3\mid p\) अवश्य होगा। आगे \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य मिलता है, जो सबसे सरल रूप के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या के वर्ग वाले चरण को न छोड़ें। / Since 3 is prime, the prime-divisor property gives \(3\mid p\) whenever \(3\mid p^2\). Substituting \(p=3k\) later shows that \(q\) is also divisible by 3, contradicting lowest terms. Exam tip: state the prime-divisor step explicitly.
A. क्योंकि दोनों (3) से विभाज्य मिलने पर विरोधाभास स्पष्ट नहीं होगा/Because the contradiction is not clear when both become divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सरलतम सहभाज्य रूप ही अंतिम सामान्य गुणनखंड (3) से विरोधाभास बनाता है। इसे परीक्षा में जरूर लिखें। / The lowest coprime form creates contradiction with the final common factor (3). Write it in exams.
मान लें कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में विरोधाभास किस निष्कर्ष से प्राप्त होता है?
C. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं/\(p\) and \(q\) are both divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
\(3q^2=p^2\) से \(p^2\), अतः \(p\), 3 से विभाज्य होता है। \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य मिलता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: विरोधाभास हमेशा न्यूनतम रूप वाली भिन्न से जोड़ें। / From \(3q^2=p^2\), \(p^2\), and hence \(p\), is divisible by 3. Put \(p=3k\) to show that \(q\) is also divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: begin such proofs with a fraction in lowest terms.
दिया है कि u=3t, इसलिए u, 3 से विभाज्य है। इसे u²=3v² में रखने पर 9t²=3v², अर्थात v²=3t² प्राप्त होता है। अतः 3, v² को विभाजित करता है। चूँकि 3 एक अभाज्य संख्या है, इसलिए 3, v को भी विभाजित करेगा। इसलिए u और v दोनों 3 से विभाज्य हैं। परीक्षा टिप: किसी अभाज्य संख्या p के लिए यदि p, x² को विभाजित करे, तो p, x को भी विभाजित करता है। / Since u=3t, u is divisible by 3. Substituting this in u²=3v² gives 9t²=3v², so v²=3t². Hence 3 divides v². As 3 is prime, if it divides v², it must also divide v. Therefore, both u and v are divisible by 3. Exam tip: If a prime p divides x², then p divides x.
C. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं/Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से 3,
\(p^2\) को विभाजित करता है; इसलिए 3,
\(p\) को भी विभाजित करेगा।
\(p=3k\) रखने पर 3,
\(q\) को भी विभाजित करता है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: समान गुणनखंड खोजें। / From
\(p^2=3q^2\), 3 divides
\(p^2\), so 3 divides
\(p\). Put
\(p=3k\); then 3 also divides
\(q\). This contradicts coprimality. Exam tip: identify the common prime factor causing the contradiction.
A. यदि \(3\mid u^2\) तो \(3\mid u\)/If \(3\mid u^2\), then \(3\mid u\)
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य गुणनखंड वर्ग में तभी आता है जब मूल संख्या में आता है। यही प्रमाण का मुख्य आधार है। / A prime factor appears in a square only when it appears in the original number. This is the proof's key basis.
यदि
\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) को
\(p\) और
\(q\) के सह-अभाज्य होने की शर्त पर मानें और प्रमाण से
\(p\) तथा
\(q\) दोनों 3 से विभाज्य निकलें, तो यह क्या सिद्ध करता है?
C. \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य होने की शर्त का विरोधाभास है; अतः \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/It contradicts the condition that \(p\) and \(q\) are coprime; hence \(\sqrt{3}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
यदि 3,
\(p^2\) को विभाजित करता है, तो 3,
\(p\) को भी विभाजित करता है।
\(p=3k\) रखने पर
\(q^2=3k^2\) मिलता है, इसलिए 3,
\(q\) को भी विभाजित करता है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या के लिए यही विभाज्यता नियम लगाएँ। / If 3 divides
\(p^2\), then 3 must divide
\(p\). Put
\(p=3k\); this gives
\(q^2=3k^2\), so 3 also divides
\(q\). This contradicts coprimality. Exam tip: apply this prime-divisibility rule in irrationality proofs.
A. अधूरा कदम; पहले (u=3t) रखना चाहिए/Incomplete step; first (u=3t) should be taken
Explanation
Simple Explanation
पहले \(u^2\) से (u) (3) से विभाज्य मिलता है। फिर (u=3t) रखने पर (v) के लिए निष्कर्ष आता है। / First (u) is proved divisible by (3) from \(u^2\). Then taking (u=3t) gives the conclusion for (v).
A. दावा गलत है; यदि \(3\sqrt{2}\) परिमेय होता, तो 3 से भाग देने पर \(\sqrt{2}\) भी परिमेय होता।/The claim is false; if \(3\sqrt{2}\) were rational, dividing by 3 would make \(\sqrt{2}\) rational too.
Explanation
Simple Explanation
दावा गलत है। यदि \(3\sqrt{2}\) परिमेय होता, तो उसे 3 जैसे शून्येतर परिमेय से भाग देने पर \(\sqrt{2}\) परिमेय होता, जो असंभव है। परीक्षा में शून्येतर परिमेय गुणक से भाग देकर जाँच करें। / The claim is false. If \(3\sqrt{2}\) were rational, division by the non-zero rational number 3 would make \(\sqrt{2}\) rational, a contradiction. Exam tip: divide by a non-zero rational factor to test such claims.
C. \(\sqrt{3}=\frac{u}{v}\), जहाँ (\gcd(u,v)=1) और \(v\neq0\)/\(\sqrt{3}=\frac{u}{v}\), where (\gcd(u,v)=1) and \(v\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
परिमेय मान्यता को सरलतम भिन्न में लिखना चाहिए। (\gcd(u,v)=1) से ही अंत में विरोधाभास बनता है। / The rational assumption should be written in lowest fraction. (\gcd(u,v)=1) creates the final contradiction.
A. क्योंकि 3, \(p^2\) को विभाजित करता है और 3 अभाज्य है, इसलिए 3, \(p\) को भी विभाजित करता है/Since 3 divides \(p^2\) and 3 is prime, 3 also divides \(p\)
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से 3, \(p^2\) को विभाजित करता है। अभाज्य संख्या के लिए यदि वह किसी वर्ग को विभाजित करे, तो मूल संख्या को भी विभाजित करती है; अतः \(3\mid p\)। फिर \(p=3k\) रखने पर \(3\mid q\) भी मिलता है, जो निम्नतम रूप के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: यहाँ अभाज्य-विभाज्यता नियम लिखना न भूलें। / From \(p^2=3q^2\), 3 divides \(p^2\). A prime dividing a square must divide its base, so \(3\mid p\). On putting \(p=3k\), one also gets \(3\mid q\), contradicting lowest terms. Exam tip: explicitly state the prime-divisibility rule.
मान लें कि \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), जहाँ \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं। वर्ग करने पर \(a^2=3b^2\) प्राप्त होता है। इस चरण से कौन-सा निष्कर्ष उचित है?
A. \(3\) से \(a\) विभाज्य है/\(a\) is divisible by \(3\)
Explanation
Simple Explanation
\(a^2=3b^2\) से \(a^2\), 3 से विभाज्य है। चूँकि 3 अभाज्य है, इसलिए \(a\) भी 3 से विभाज्य होगा। फिर \(a=3k\) रखकर \(b\) के लिए भी यही दिखाते हैं। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड के वर्ग में होने पर मूल संख्या में भी होता है। / From \(a^2=3b^2\), \(a^2\) is divisible by 3. Since 3 is prime, \(a\) must be divisible by 3. Then put \(a=3k\) to show that \(b\) is also divisible by 3. Exam tip: if a prime divides a square, it divides the number itself.
D. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं/\(p\) and \(q\) are both divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है, इसलिए \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य मिलता है, जो निम्नतम रूप के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या से वर्ग की विभाज्यता जाँचें। / Since \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3, so \(p\) is divisible by 3. Put \(p=3k\); then \(q\) is also divisible by 3, contradicting lowest terms. Exam tip: use the prime-divisibility property of squares.
मानक प्रमाण में ext{मान लें } ext{
} \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं। \(p^2=3q^2\) से विरोधाभास स्थापित करने के लिए निम्न में से कौन-सा संख्या-सिद्धांत तथ्य आवश्यक है?
A. यदि 3, \(p^2\) को विभाजित करता है, तो 3, \(p\) को विभाजित करता है/If 3 divides \(p^2\), then 3 divides \(p\).
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि 3 अभाज्य है, \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) मिलता है। \(p=3k\) रखने पर \(3\mid q\) भी आता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। टिप: अभाज्य के वर्ग-विभाज्यता नियम को याद रखें। / Since 3 is prime, \(3\mid p^2\) implies \(3\mid p\). Substituting \(p=3k\) in \(p^2=3q^2\) gives \(3\mid q\), contradicting coprimality. Exam tip: remember this prime-divisibility rule.
B. सरलतम रूप के (u,v) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं/Lowest-form (u,v) both turn out divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
दोनों का (3) से विभाज्य होना (\gcd(u,v)=1) से विरोधाभास है। इसलिए परिमेय मान्यता गलत है। / Both being divisible by (3) contradicts (\gcd(u,v)=1). Therefore the rational assumption is false.
A. पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होती है/In a perfect square, every prime exponent is even
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग में अभाज्य घात सम होती है। (2) की घात से यही विरोधाभास गहराई से समझ आता है। / In a perfect square, prime exponents are even. The exponent of (2) explains the contradiction deeply.
A. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए, पर \(3v^2\) में वह विषम हो सकती है/In a perfect square, exponent of (3) must be even, but in \(3v^2\) it can become odd
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग में सभी अभाज्य घातें सम होती हैं। यही विचार \(\sqrt{3}\) के विरोधाभास को मजबूत करता है। / In a perfect square, all prime exponents are even. This idea strengthens the contradiction for \(\sqrt{3}\).
A. \(\gcd(x,y)=1\) और \(\gcd(x,y)\ge 2\) दोनों एक साथ सत्य नहीं हो सकते/\(\gcd(x,y)=1\) and \(\gcd(x,y)\ge 2\) cannot both be true
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य संख्याओं के लिए \(\gcd(x,y)=1\) होता है। लेकिन यदि \(x\) और \(y\) दोनों सम हैं, तो 2 दोनों का उभयनिष्ठ गुणनखंड है; इसलिए \(\gcd(x,y)\ge 2\) होगा। अतः एक ही समय में \(\gcd(x,y)=1\) और \(\gcd(x,y)\ge2\) होना विरोधाभास है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B, C और D सहभाज्य तथा सम संख्याओं के इस निष्कर्ष से प्राप्त नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: विरोधाभास विधि में प्रारम्भिक मान्यता से निकला निष्कर्ष यदि किसी निश्चित तथ्य, जैसे \(\gcd(x,y)=1\), के विपरीत हो, तो प्रारम्भिक मान्यता असत्य होती है। / For coprime numbers, \(\gcd(x,y)=1\). However, if both \(x\) and \(y\) are even, then 2 is a common factor of both, so \(\gcd(x,y)\ge 2\). Thus, \(\gcd(x,y)=1\) and \(\gcd(x,y)\ge2\) cannot hold simultaneously, making option A correct. Options B, C, and D do not follow from the numbers being coprime and even. Exam tip: In a proof by contradiction, if an assumption leads to a result that conflicts with a known fact such as \(\gcd(x,y)=1\), the assumption must be rejected.
A. (\gcd(u,v)=1) और (\gcd(u,v)\ge3) दोनों साथ नहीं हो सकते/(\gcd(u,v)=1) and (\gcd(u,v)\ge3) cannot both hold
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य होने से महत्तम समापवर्तक (1) है। दोनों (3) से विभाज्य होने से वह कम से कम (3) होगा। / Being coprime means the highest common factor is (1). Both divisible by (3) makes it at least (3).
A. \(y\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है, (\gcd(x,y)=1) विरोधाभास देता है/\(y\neq0\) keeps the fraction defined, (\gcd(x,y)=1) gives contradiction
Explanation
Simple Explanation
हर शून्य न होना परिभाषा की शर्त है। सहभाज्य शर्त अंतिम सामान्य गुणनखंड से टकराती है। / Non-zero denominator is a definition condition. The coprime condition conflicts with the final common factor.
A. \(v\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है, (\gcd(u,v)=1) अंतिम विरोधाभास का आधार है/\(v\neq0\) keeps the fraction defined, (\gcd(u,v)=1) is the basis of final contradiction
Explanation
Simple Explanation
\(v\neq0\) भिन्न के लिए जरूरी है। (\gcd(u,v)=1) दोनों (3) से विभाज्य होने पर विरोधाभास बनाता है। / \(v\neq0\) is necessary for the fraction. (\gcd(u,v)=1) creates contradiction when both are divisible by (3).
A. \(x\) सम सिद्ध करने के बाद \(y\) सम सिद्ध करना/After proving \(x\) even, proving \(y\) even
Explanation
Simple Explanation
मानक प्रमाण में \(\sqrt{2}=x/y\) माना जाता है, जहाँ \(x\) और \(y\) सहभाज्य पूर्णांक हैं। समीकरण \(2y^2=x^2\) से पहले \(x\) के सम होने का निष्कर्ष मिलता है। फिर \(x=2k\) रखने पर \(y\) भी सम सिद्ध होता है। इससे \(x\) और \(y\) दोनों का 2 सामान्य गुणनखंड हो जाता है, जो उनके सहभाज्य होने के विरुद्ध है। केवल \(x\) का सम होना विरोधाभास नहीं देता। परीक्षा टिप: अपरिमेयता के विरोधाभास-प्रमाण में सहभाज्य होने वाली शर्त का स्पष्ट उल्लंघन दिखाना आवश्यक है। / In the standard proof, assume \(\sqrt{2}=x/y\), where \(x\) and \(y\) are coprime integers. From \(2y^2=x^2\), we first conclude that \(x\) is even. Substituting \(x=2k\) then shows that \(y\) is also even. Thus, both \(x\) and \(y\) have the common factor 2, contradicting the assumption that they are coprime. Showing only that \(x\) is even gives no contradiction. Exam tip: In a contradiction proof of irrationality, explicitly reach a violation of the coprime condition.
विरोधाभास विधि से
\(\sqrt{2}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में मान लें कि \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\), जहाँ \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं। अंत में कौन-सी स्थिति इस मान्यता का विरोध करती है?
A. \(a\) और \(b\) दोनों सम हैं/Both \(a\) and \(b\) are even
Explanation
Simple Explanation
\(a^2=2b^2\) से \(a^2\), और इसलिए \(a\), सम होता है। \(a=2k\) रखने पर \(b^2=2k^2\) मिलता है, अतः \(b\) भी सम है। दोनों में 2 साझा गुणनखंड होना सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: ‘सह-अभाज्य’ का अर्थ कोई साझा गुणनखंड नहीं। / From \(a^2=2b^2\), \(a^2\), hence \(a\), must be even. Put \(a=2k\); then \(b^2=2k^2\), so \(b\) is also even. A common factor 2 contradicts coprimality. Exam tip: always begin this proof with the fraction in lowest terms.
A. दोनों सम निकलने पर विरोधाभास स्पष्ट नहीं होगा/The contradiction will not be clear when both become even
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप की शर्त ही बताती है कि (x,y) सहभाज्य हैं। इसी से दोनों सम होने पर विरोधाभास बनता है। / The lowest-form condition tells that (x,y) are coprime. This creates contradiction when both become even.
A. 3 से \(p^2\) विभाज्य होने पर \(p\) भी 3 से विभाज्य है/If \(p^2\) is divisible by 3, then \(p\) is also divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है। 3 अभाज्य होने से \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। B में 9 से विभाज्यता गलत ढंग से जोड़ी गई है। परीक्षा-युक्ति: अभाज्य \(r\mid n^2\Rightarrow r\mid n\) याद रखें। / From \(p^2=3q^2\), 3 divides \(p^2\). Since 3 is prime, it must divide \(p\). Option B incorrectly demands divisibility by 9. Exam tip: use \(r\mid n^2\Rightarrow r\mid n\) for prime \(r\).
A. क्योंकि दोनों \(2\) से विभाज्य हैं/Because both are divisible by \(2\)
Explanation
Simple Explanation
यदि \(x\) और \(y\) दोनों सम हैं, तो दोनों \(2\) से विभाज्य होंगे। अतः \(\frac{x}{y}=\frac{2m}{2n}=\frac{m}{n}\) लिखकर अंश और हर का सामान्य गुणनखंड \(2\) काटा जा सकता है। \(y=0\) होने पर भिन्न परिभाषित ही नहीं होती; केवल \(x=y\) होने से भिन्न का घटाना आवश्यक नहीं होता। परीक्षा टिप: भिन्न को घटाने के लिए अंश और हर में एक ही गैर-शून्य सामान्य गुणनखंड होना चाहिए। / If \(x\) and \(y\) are both even, each is divisible by \(2\). Thus \(\frac{x}{y}=\frac{2m}{2n}=\frac{m}{n}\), so the common factor \(2\) can be cancelled from the numerator and denominator. If \(y=0\), the fraction is undefined; merely having \(x=y\) does not necessarily show that a fraction is reducible. Exam tip: a fraction is reducible when its numerator and denominator have the same non-zero common factor.
√3 की अपरिमेयता के विरोधाभास-प्रमाण में \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। आगे \(3\mid p\) निष्कर्ष निकालने के लिए किस तथ्य का उपयोग किया जाता है?
A. यदि \(3\mid p^2\), तो \(3\mid p\)/If \(3\mid p^2\), then \(3\mid p\)
Explanation
Simple Explanation
3 एक अभाज्य संख्या है। अभाज्य 3 यदि \(p^2=p\times p\) को विभाजित करता है, तो वह \(p\) को भी विभाजित करेगा। फिर \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य मिलता है, जो सरलतम रूप के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड वाला नियम याद रखें। / Since 3 is prime, if it divides \(p^2=p\times p\), it must divide \(p\). Putting \(p=3k\) then shows that 3 also divides \(q\), contradicting the lowest-form assumption. Exam tip: apply this prime-factor property in irrationality proofs.
A. (2) वह सामान्य अभाज्य गुणनखंड बनता है जो अंश और हर दोनों में आकर विरोधाभास देता है/(2) becomes the common prime factor in both numerator and denominator and gives contradiction
Explanation
Simple Explanation
प्रमाण में पहले अंश और फिर हर में (2) का गुणनखंड सिद्ध होता है। यही सहभाज्य शर्त से टकराता है। / The proof first proves factor (2) in the numerator and then in the denominator. This conflicts with coprime condition.
A. यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है।
Explanation
Simple Explanation
मान लें \(\sqrt{2}=p/q\), जहाँ \(p,q\) सह-अभाज्य हैं। तब \(p^2=2q^2\), इसलिए \(p^2\) सम है और \(p\) भी सम होगा। आगे \(q\) भी सम निकलता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: सम वर्ग से सम मूल का नियम याद रखें। / Assume \(\sqrt{2}=p/q\) in lowest terms. Then \(p^2=2q^2\), so \(p^2\) is even and hence \(p\) is even. This later makes \(q\) even too, contradicting coprimality. Exam tip: remember that an even square has an even integer root.
A. विरोधाभास के लिए (y) को भी सम सिद्ध करना जरूरी है/To get contradiction, (y) must also be proved even
Explanation
Simple Explanation
एक ही संख्या में (2) का गुणनखंड होना सहभाज्य शर्त से विरोधाभास नहीं देता। दोनों में (2) चाहिए। / One number having factor (2) gives no contradiction with coprime condition. Both need factor (2).
A. विरोधाभास के लिए (v) को भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना जरूरी है/To get contradiction, (v) must also be proved divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सिर्फ (u) में (3) होना विरोधाभास नहीं है। (u) और (v) दोनों में (3) होने से सहभाज्य शर्त टूटती है। / Only (u) having factor (3) is not a contradiction. The coprime condition breaks when both (u) and (v) have factor (3).
B. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य सिद्ध होते हैं/Both \(p\) and \(q\) are proved divisible by 3.
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से 3, \(p^2\) को विभाजित करता है; अतः 3, \(p\) को भी विभाजित करेगा। फिर \(q\) भी 3 से विभाज्य मिलता है, जो सबसे सरल रूप के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड का नियम याद रखें। / From \(p^2=3q^2\), 3 divides \(p^2\), so 3 divides \(p\). Substitution then shows that 3 also divides \(q\), contradicting lowest terms. Exam tip: use the prime-factor property for a square.
B. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं/\(\sqrt{3}\) is irrational because numerator and denominator of a lowest fraction both become divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) मिलना सहभाज्य शर्त से विरोधाभास है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / Common factor (3) in both contradicts the coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
A. भिन्न को सरलतम सहभाज्य रूप में जरूर लिखें/Always write the fraction in lowest coprime form
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप न लिखने से अंतिम विरोधाभास कमजोर हो जाता है। यही परीक्षा में सबसे जरूरी शर्त है। / If lowest form is not written, the final contradiction becomes weak. This is the most important exam condition.
एक विद्यार्थी \(\sqrt{3}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में लिखता है: “यदि \(3\mid p^2\), तो केवल इतना निष्कर्ष निकलता है कि \(p^2=3k\)।” उसके तर्क को आगे बढ़ाने के लिए सही सुधार क्या है?
A. चूँकि 3 एक अभाज्य संख्या है, इसलिए \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) निष्कर्ष निकलता है।/Since 3 is prime, \(3\mid p^2\) implies \(3\mid p\).
Explanation
Simple Explanation
3 अभाज्य है। अभाज्य गुणनखंड प्रमेय के अनुसार यदि 3, \(p^2\) को विभाजित करता है, तो 3, \(p\) को भी विभाजित करेगा; अतः \(p=3r\) लिखते हैं। आगे रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य मिलता है, जो सह-अभाज्य मान्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य विभाजक वाला नियम स्पष्ट लिखें। / Since 3 is prime, the prime-factor property gives \(3\mid p\) whenever \(3\mid p^2\); hence write \(p=3r\). Substitution then shows that \(q\) is also divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: state the prime-divisor property before substituting.
A. मान लेते हैं कि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं।
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास-विधि में पहले \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) को न्यूनतम रूप में मानते हैं, इसलिए \(p,q\) सह-अभाज्य होते हैं। \(p^2=2q^2\) से दोनों सम सिद्ध होते हैं, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: न्यूनतम रूप वाली शर्त अवश्य लिखें। / In contradiction proof, assume \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) in lowest terms, so \(p\) and \(q\) are coprime. From \(p^2=2q^2\), both become even, contradicting coprimality. Exam tip: always state the lowest-terms condition.
