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गुणांक \( \binom{12}{5} \) है, इसलिए उत्तर (792) है। परीक्षा में ( (1+x)^n ) में \(x^r\) का गुणांक सीधे \( \binom{n}{r} \) लें। / The coefficient is \( \binom{12}{5} \), so the answer is (792). In exams, for ( (1+x)^n ), the coefficient of \(x^r\) is \( \binom{n}{r} \).
महिलाओं की संख्या (2,3,4,5) लेकर योग करने पर (596) मिलता है। ऐसे प्रश्नों में सभी वैध मामलों को अलग-अलग जोड़ें। / Taking the number of women as (2,3,4,5) and adding gives (596). In such questions, add all valid cases separately.
सममिति से (4= n-2), इसलिए (n=6) है। परीक्षा में \( \binom{n}{r}=\binom{n}{s} \) हो तो (r=s) या (r+s=n) जाँचें। / By symmetry, (4=n-2), so (n=6). In exams, when \( \binom{n}{r}=\binom{n}{s} \), check (r=s) or (r+s=n).
कुल रेखाखंड \( \binom{10}{2} \) हैं और (10) भुजाएँ घटाने पर (35) बचते हैं। बहुभुज में पहले सभी शीर्ष-युग्म गिनें। / The total segments are \( \binom{10}{2} \), and subtracting (10) sides gives (35). For polygons, first count all vertex pairs.
क्रमागत न होने का सूत्र \( \binom{10-3+1}{3}=\binom{8}{3}=56 \) देता है। ऐसे प्रश्नों में खाली स्थान विधि बहुत तेज होती है। / The no-consecutive formula gives \( \binom{10-3+1}{3}=\binom{8}{3}=56 \). In such questions, the gap method is very fast.
चयन \( \binom{4}{2}\binom{48}{3}=103776 \) है। ठीक वाले प्रश्नों में पहले विशेष वस्तुएँ और फिर बाकी वस्तुएँ चुनें। / The selection is \( \binom{4}{2}\binom{48}{3}=103776 \). For exactly-type questions, choose special objects first and then the remaining objects.
कुल \( \binom{12}{3} \) में से असंभव \( \binom{5}{3} \) घटाएँ, उत्तर (210) है। त्रिभुज के लिए तीन असरेखीय बिंदु चाहिए। / Subtract the impossible \( \binom{5}{3} \) from total \( \binom{12}{3} \), giving (210). A triangle needs three non-collinear points.
सभी उपसमुच्चय \(2^6\) हैं, खाली चयन हटाने पर (63) मिलते हैं। कम से कम एक में खाली स्थिति घटाना याद रखें। / There are \(2^6\) subsets, and removing the empty selection gives (63). For at least one, remember to subtract the empty case.
गिनती \( \binom{6}{3}\binom{4}{1}=80 \) है। अलग समूहों से चयन में गुणन नियम लगाएँ। / The count is \( \binom{6}{3}\binom{4}{1}=80 \). For selections from separate groups, use the multiplication rule.
रंग-वितरण (2,1,1) के तीन मामलों का योग (270) देता है। क्षमता सीमाएँ होने पर हर रंग के मामलों को अलग रखें। / The three cases of color distribution (2,1,1) add up to (270). When capacities are limited, keep the cases by color separate.
कुल (8) स्थानों में (3) ऊपर कदम चुनने हैं, इसलिए \( \binom{8}{3}=56 \) है। रास्तों में कदमों की जगहें चुनना संयोजन है। / Choose the (3) up-step positions among (8) total steps, so \( \binom{8}{3}=56 \). In paths, selecting step positions is a combination idea.
न्यूनतम मान घटाने पर (a+b+z=7) मिलता है, इसलिए \( \binom{9}{2}=36 \)। पहले शर्तों को शून्य-आधारित बनाइए। / After subtracting minimum values, (a+b+z=7), so \( \binom{9}{2}=36 \). First convert constraints to zero-based variables.
कुल \( \binom{12}{2} \) से किसी चर के (6) या अधिक होने के \(3\binom{6}{2}\) मामले घटते हैं, उत्तर (21) है। ऊपरी सीमा में पूरक गिनती उपयोगी रहती है। / From total \( \binom{12}{2} \), subtract \(3\binom{6}{2}\) cases where a variable is (6) or more, giving (21). For upper bounds, complementary counting is useful.
स्वरों की संख्या (2,3,4,5) लेकर योग (881) मिलता है। कम से कम वाली शर्त में सभी अनुमत गिनतियाँ जोड़ें। / Taking vowels as (2,3,4,5) gives a total of (881). For an at-least condition, add all permitted counts.
विषम और सम आकार के उपसमुच्चय बराबर होते हैं, इसलिए संख्या \(2^{8}=256\) है। ऐसे प्रश्नों में आधे उपसमुच्चय विषम आकार के होते हैं। / Odd- and even-sized subsets are equal in number, so the count is \(2^8=256\). In such questions, half the subsets have odd size.
यहाँ केवल 3 अलग अंकों का समुच्चय चुनना है, इसलिए क्रम का कोई महत्व नहीं है। अतः कुल समुच्चय \(\binom{9}{3}=\frac{9\times8\times7}{3\times2\times1}=84\) होंगे। विकल्प 504, \(9P3\) के बराबर है और वह तब लिया जाता है जब चुने गए अंकों का क्रम भी अलग-अलग माना जाए। परीक्षा टिप: ‘समुच्चय’ या ‘चुनना’ शब्द दिखे तो पहले जाँचें कि क्रम महत्वपूर्ण है या नहीं। / Only a set of 3 distinct digits is required, so the order of selection does not matter. Therefore, the number of sets is \(\binom{9}{3}=\frac{9\times8\times7}{3\times2\times1}=84\). Option 504 equals \(9P3\), which applies when different orders of the selected digits are counted separately. Exam tip: When you see “set” or “choose,” first check whether order matters.
कुल \( \binom{12}{5} \) में से दोनों विशेष व्यक्तियों वाले \( \binom{10}{3} \) चयन घटते हैं, उत्तर (672) है। साथ न होने पर निषिद्ध स्थिति घटाएँ। / From total \( \binom{12}{5} \), subtract \( \binom{10}{3} \) selections containing both particular persons, giving (672). For not-together conditions, subtract forbidden cases.
कुल \( \binom{11}{5} \) से (A,B) दोनों न होने वाले \( \binom{9}{5} \) घटाएँ, उत्तर (336) है। कम से कम एक के लिए पूरक सबसे सरल है। / Subtract \( \binom{9}{5} \), where neither (A) nor (B) is selected, from total \( \binom{11}{5} \), giving (336). For at least one, complement is simplest.
शर्त से लड़के (2) और लड़कियाँ (4) होंगी, इसलिए \( \binom{8}{2}\binom{6}{4}=420 \)। पहले संख्या-वितरण निकालें। / The condition gives (2) boys and (4) girls, so \( \binom{8}{2}\binom{6}{4}=420 \). First find the distribution of numbers.
(6) क्षैतिज और (5) ऊर्ध्व रेखाओं में से दो-दो चुनने पर \( \binom{6}{2}\binom{5}{2}=150 \) मिलता है। आयत के लिए दो क्षैतिज और दो ऊर्ध्व रेखाएँ चाहिए। / Choosing two horizontal lines from (6) and two vertical lines from (5) gives \( \binom{6}{2}\binom{5}{2}=150 \). A rectangle needs two horizontal and two vertical lines.
एक समांतर चतुर्भुज के लिए हर परिवार से (2) रेखाएँ चाहिए, इसलिए \( \binom{4}{2}\binom{5}{2}=60 \)। दो-दो समानांतर रेखाएँ चुनना मुख्य विचार है। / A parallelogram needs (2) lines from each family, so \( \binom{4}{2}\binom{5}{2}=60 \). The key idea is choosing two parallel lines from each family.
सूत्र \( \binom{15-4+1}{4}=\binom{12}{4}=495 \) देता है। क्रमागत-वर्जित चयन में घटे हुए स्थानों से संयोजन लें। / The formula gives \( \binom{15-4+1}{4}=\binom{12}{4}=495 \). For no-consecutive selections, take combinations from reduced positions.
योग सम तब होगा जब (3) सम या (2) विषम और (1) सम चुने जाएँ, कुल (28) हैं। सम-विषम मामलों को अलग-अलग गिनें। / The sum is even when (3) even numbers or (2) odd and (1) even number are chosen, giving (28). Count parity cases separately.
किसी एक सूट से \( \binom{13}{5} \) चयन और (4) सूट हैं, इसलिए (5148) है। सूट चुनना और फिर पत्ते चुनना दो चरण हैं। / From one suit there are \( \binom{13}{5} \) selections and there are (4) suits, so the count is (5148). Choose the suit and then the cards.
चयन \( \binom{5}{3}\binom{9}{4}=1260 \) है। ठीक (3) का अर्थ है बाकी (4) बाहर वाले समूह से आएँगे। / The selection is \( \binom{5}{3}\binom{9}{4}=1260 \). Exactly (3) means the remaining (4) come from outside the fixed group.
सममिति से (r+(r+2)=12), इसलिए (r=5) है। ऐसे प्रश्नों में निचले सूचकांकों का योग (n) के बराबर रखें। / By symmetry, (r+(r+2)=12), so (r=5). In such questions, make the lower indices add to (n).
सममिति से (r+(r-3)=11), इसलिए (r=7) है। \( \binom{n}{a}=\binom{n}{b} \) में अक्सर (a+b=n) काम आता है। / By symmetry, (r+(r-3)=11), so (r=7). In \( \binom{n}{a}=\binom{n}{b} \), often (a+b=n) is useful.
पहले (4) दंपति चुनें और हर दंपति से (1) व्यक्ति लें, \( \binom{8}{4}2^4=1120 \)। जोड़े से केवल एक चुनने पर (2) विकल्प बनते हैं। / First choose (4) couples and then (1) person from each, giving \( \binom{8}{4}2^4=1120 \). Choosing only one from a couple gives (2) choices.
जोड़ा \( \binom{6}{1} \), बाकी (3) दंपति \( \binom{5}{3} \), और उनसे एक-एक व्यक्ति \(2^3\), कुल (480) है। ठीक एक जोड़ा रखने के बाद बाकी जोड़ों से केवल एक व्यक्ति चुनें। / Choose the couple \( \binom{6}{1} \), then (3) other couples \( \binom{5}{3} \), and one person from each \(2^3\), giving (480). After fixing exactly one couple, choose only one person from each remaining couple.
ठीक (2) विशेष और ठीक (3) विशेष के मामलों का योग (140) है। कम से कम (2) में दोनों वैध मामले जोड़ें। / The cases of exactly (2) special and exactly (3) special persons add to (140). For at least (2), add both valid cases.
यह \(x_1+x_2+x_3+x_4=6\) के अशून्येतर नहीं बल्कि शून्य सहित हल हैं, इसलिए \( \binom{9}{3}=84 \)। असीमित समान प्रकारों में सितारे और पट्टियाँ लगाएँ। / This is the number of nonnegative solutions of \(x_1+x_2+x_3+x_4=6\), so \( \binom{9}{3}=84 \). For unlimited identical types, use stars and bars.
हर विद्यार्थी को (2) देने के बाद (6) कलमें बचती हैं, इसलिए \( \binom{8}{2}=28 \)। न्यूनतम शर्त घटाकर फिर शून्य सहित हल गिनें। / After giving (2) pens to each student, (6) pens remain, so \( \binom{8}{2}=28 \). Subtract the minimum condition and then count nonnegative solutions.
न्यूनतम (5,1,1,1) घटाने पर (12) बचता है, इसलिए \( \binom{15}{3}=455 \)। असमान न्यूनतम शर्तों को पहले घटाएँ। / After subtracting minimums (5,1,1,1), (12) remains, so \( \binom{15}{3}=455 \). Subtract unequal minimum conditions first.
कुल \( \binom{21}{3} \) से \(x_1\ge6\) वाले \( \binom{15}{3} \) घटते हैं, उत्तर (875) है। ऊपरी सीमा में प्रतिबंधित हल घटाना आसान है। / Subtract \( \binom{15}{3} \) cases with \(x_1\ge6\) from total \( \binom{21}{3} \), giving (875). For upper limits, subtract forbidden solutions.
कुल \( \binom{9}{5} \) से तीनों विशेष अवयवों वाले \( \binom{6}{2} \) घटाएँ, उत्तर (111) है। नहीं वाले प्रश्न में निषिद्ध चयन घटाएँ। / Subtract \( \binom{6}{2} \) subsets containing all three special elements from total \( \binom{9}{5} \), giving (111). In not-type questions, subtract forbidden selections.
चयन \( \binom{3}{2}\binom{6}{3}=60 \) है। ठीक (2) विशेष होने पर बाकी (3) सामान्य अवयवों से लें। / The selection is \( \binom{3}{2}\binom{6}{3}=60 \). With exactly (2) special elements, take the remaining (3) from ordinary elements.
(a) निश्चित रूप से चुना और (b) निश्चित रूप से छोड़ा गया, बाकी (8) अवयव स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2^8=256\)। निश्चित अवस्थाओं को पहले स्थिर करें। / (a) is fixed as selected and (b) is fixed as not selected, so the remaining (8) elements are free, giving \(2^8=256\). Fix compulsory states first.
विशेष अवयवों की संख्या (2,3,4) लेकर योग (456) है। छोटे विशेष समूह में सीधे वैध मामलों को जोड़ना आसान है। / Taking the number of special elements as (2,3,4) gives (456). With a small special group, directly add valid cases.
गुणनफल विषम तभी होगा जब चारों संख्याएँ विषम हों, इसलिए \( \binom{8}{4}=70 \)। गुणनफल की सम-विषम प्रकृति में सभी कारकों पर ध्यान दें। / The product is odd only when all four numbers are odd, so \( \binom{8}{4}=70 \). For product parity, check every factor.
योग विषम के लिए (1) विषम और (2) सम या (3) विषम चुनें, कुल (570) है। सम-विषम संयोजन तालिका बनाकर गलती घटती है। / For an odd sum, choose (1) odd and (2) even or (3) odd numbers, giving (570). Making a parity case table reduces errors.
सम योग के लिए विषम संख्याओं की संख्या (0,2,4) हो सकती है, कुल (255) है। चयन की संख्या पर नहीं, विषम चुने गए तत्वों की संख्या पर ध्यान दें। / For an even sum, the number of odd selected numbers can be (0,2,4), giving (255). Focus on how many odd elements are selected, not only on total selection size.
पहली समिति \( \binom{10}{3} \) और दूसरी \( \binom{7}{4} \) तरीकों से बनेगी, कुल (4200) है। नामित समितियों में चरणों का क्रम महत्त्व रखता है। / The first committee can be formed in \( \binom{10}{3} \) ways and the second in \( \binom{7}{4} \) ways, giving (4200). For named committees, the stages matter.
दोनों चुने जाने पर \( \binom{11}{4} \) और दोनों न चुने जाने पर \( \binom{11}{6} \), कुल (792) है। या तो दोनों या कोई नहीं को दो अलग मामलों में बाँटें। / If both are selected, count \( \binom{11}{4} \); if neither is selected, count \( \binom{11}{6} \), giving (792). Split either both or neither into two cases.
विशेष व्यक्ति चुनने के (2) तरीके और बाकी (4) व्यक्ति (8) में से, इसलिए \(2\binom{8}{4}=140\)। ठीक एक का अर्थ है दो समान मामले। / There are (2) ways to choose the special person and then (4) from the other (8), so \(2\binom{8}{4}=140\). Exactly one means two symmetric cases.
चतुर्भुज के लिए हर रेखा से (2) बिंदु चाहिए, इसलिए \( \binom{7}{2}\binom{5}{2}=210 \)। एक ही रेखा से (3) बिंदु लेने पर चतुर्भुज नहीं बनेगा। / A quadrilateral needs (2) points from each line, so \( \binom{7}{2}\binom{5}{2}=210 \). Taking (3) points from one line cannot form a quadrilateral.
अक्षर-सीमाएँ \(M\le1\), \(I\le4\), \(S\le4\), \(P\le2\) रखकर कुल (21) चयन मिलते हैं। बहुलता वाले अक्षरों में सीमित पूर्णांक हल गिनें। / Using the limits \(M\le1\), \(I\le4\), \(S\le4\), and \(P\le2\), the total selections are (21). For repeated letters, count bounded integer solutions.
वैध चयन \(A^3N^2\), \(BA^2N^2\), और \(BA^3N\) हैं, इसलिए कुल (3) हैं। छोटे बहुलता प्रश्नों में वैध वितरण सीधे लिखें। / The valid selections are \(A^3N^2\), \(BA^2N^2\), and \(BA^3N\), so the total is (3). In small repetition questions, list valid distributions directly.
गुणनफल ( (1+x)^{12} ) है, इसलिए गुणांक \( \binom{12}{8}=495 \)। द्विपद गुणन में घातें जोड़कर सरल करें। / The product is ( (1+x)^{12} ), so the coefficient is \( \binom{12}{8}=495 \). In binomial products, combine powers first.
वैंडरमोंड सर्वसमिका से योग \( \binom{14}{4}=1001 \) है। ऐसे योग में ऊपर की संख्याएँ जोड़कर कुल चयन देखें। / By Vandermonde's identity, the sum is \( \binom{14}{4}=1001 \). In such sums, view it as total selection after adding upper counts.
\( \binom{10}{2}=45 \) से (n=10), इसलिए \( \binom{10}{4}=210 \)। पहले (n) निकालें, फिर माँगा गया संयोजन रखें। / Since \( \binom{10}{2}=45 \), (n=10), so \( \binom{10}{4}=210 \). First find (n), then evaluate the required combination.
अनुपात \(\frac{^{n}C_{3}}{^{n}C_{2}}=\frac{n-2}{3}\) होगा, इसलिए (n=14)। परीक्षा में पहले अनुपात लिखें। / The ratio is \(\frac{^{n}C_{3}}{^{n}C_{2}}=\frac{n-2}{3}\), so (n=14). In exams write the ratio first.
संयोजन का सममिति गुण है: \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\)। यहाँ \(^{n}C_4=^{n}C_6\) होने के लिए \(6=n-4\) होगा। अतः \(n=10\)। विकल्प 8 सही नहीं है, क्योंकि \(^{8}C_4\) का सममित पद \(^{8}C_4\) ही होता है, \(^{8}C_6\) नहीं। परीक्षा टिप: जब दो \(nCr\) के निचले सूचकांक अलग हों और उनके मान समान हों, तो उनके सूचकांकों का योग प्रायः \(n\) होता है। / Use the symmetry property of combinations: \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\). For \(^{n}C_4=^{n}C_6\), we need \(6=n-4\). Hence, \(n=10\). Option 8 is not correct because the symmetric counterpart of \(^{8}C_4\) is \(^{8}C_4\), not \(^{8}C_6\). Exam tip: When two \(nCr\) values with different lower indices are equal, their lower indices usually add up to \(n\).
संयोजन का गुण है कि \({}^nC_r={}^nC_{n-r}\)। अतः \({}^{12}C_r={} ^{12}C_{r+4}\) में दूसरे उपसूचकांक पूरक होंगे: \(r+4=12-r\)। इसलिए \(2r=8\) और \(r=4\)। \(r=5\) लेने पर \({}^{12}C_5\) तथा \({}^{12}C_9\) बराबर नहीं होते, क्योंकि 5 और 9 का योग 12 नहीं है। परीक्षा टिप: \({}^nC_a={}^nC_b\) के लिए प्रायः \(a=b\) या \(a+b=n\) जाँचें। / Use the identity \({}^nC_r={}^nC_{n-r}\). Hence, in \({}^{12}C_r={} ^{12}C_{r+4}\), the two lower indices must be complementary: \(r+4=12-r\). Thus \(2r=8\), so \(r=4\). For example, \(r=5\) would compare \({}^{12}C_5\) and \({}^{12}C_9\), which are not equal because 5 and 9 do not add to 12. Exam tip: for \({}^nC_a={}^nC_b\), usually check whether \(a=b\) or \(a+b=n\).
दिया है कि \(^{n}C_2=66\)। अतः \(\frac{n(n-1)}{2}=66\), इसलिए \(n(n-1)=132\)। इससे \(n=12\) प्राप्त होता है। अब \(^{12}C_4=\frac{12\times11\times10\times9}{4\times3\times2\times1}=495\)। इसलिए सही उत्तर 495 है। विकल्प 220, \(^{12}C_3\) का मान है, \(^{12}C_4\) का नहीं। परीक्षा टिप: पहले \(^{n}C_2\) से \(n\) ज्ञात करें, फिर अपेक्षित संयोजन निकालें। / Given \(^{n}C_2=66\), we have \(\frac{n(n-1)}{2}=66\), so \(n(n-1)=132\). Hence \(n=12\). Therefore, \(^{12}C_4=\frac{12\times11\times10\times9}{4\times3\times2\times1}=495\). Thus, 495 is correct. The value 220 is \(^{12}C_3\), not \(^{12}C_4\). Exam tip: first find \(n\) from \(^{n}C_2\), then evaluate the required combination.
\(\frac{^{n}C_{5}}{^{n}C_{4}}=\frac{n-4}{5}=\frac{7}{2}\) से (n=21.5) नहीं आता, इसलिए सही अनुपात जांचना जरूरी है। यहां कोई पूर्णांक (n) संभव नहीं है। / \(\frac{^{n}C_{5}}{^{n}C_{4}}=\frac{n-4}{5}=\frac{7}{2}\) gives no integer (n). Always check validity of the ratio.
दोनों विशेष चुने जाएं तो \(^{10}C_{3}\), और दोनों न चुने जाएं तो \(^{10}C_{5}\)। कुल (120+252=372)। / If both special students are selected, count \(^{10}C_{3}\); if both are not selected, count \(^{10}C_{5}\). Total (120+252=372).
मामले (3W2M), (4W1M), (5W0M) हैं। मान \(^{6}C_{3}{}^{8}C_{2}+^{6}C_{4}{}^{8}C_{1}+^{6}C_{5}=560\)। / Cases are (3W2M), (4W1M), and (5W0M). The value is \(^{6}C_{3}{}^{8}C_{2}+^{6}C_{4}{}^{8}C_{1}+^{6}C_{5}=560\).
कुल \(^{10}C_{4}=210\) हैं। दोनों विशेष साथ होने वाले \(^{8}C_{2}=28\) हटाएं, उत्तर (182)। / Total selections are \(^{10}C_{4}=210\). Remove \(^{8}C_{2}=28\) selections containing both special players, giving (182).
कुल \(^{7}C_{4}=35\) हैं। दोनों निर्धारित पुस्तकें साथ होने पर \(^{5}C_{2}=10\) चयन हटेंगे। / Total selections are \(^{7}C_{4}=35\). If both specified books are together, \(^{5}C_{2}=10\) selections are removed.
एक त्रिभुज बनाने के लिए 9 बिंदुओं में से किसी भी 3 बिंदुओं का चयन करना है। क्योंकि कोई भी 3 बिंदु एक ही सरल रेखा पर नहीं हैं, इसलिए प्रत्येक चयन एक त्रिभुज बनाएगा। अतः कुल त्रिभुजों की संख्या
\(\binom{9}{3}=\frac{9\times8\times7}{3\times2\times1}=84\) है। बिंदुओं का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है, इसलिए क्रमचय नहीं बल्कि संयोजन लिया जाता है। परीक्षा टिप: “कोई तीन सह-रेखीय नहीं” दिया हो, तो सामान्यतः सभी 3-बिंदु चयन त्रिभुज बनाते हैं। / To form a triangle, we choose any 3 of the 9 points. Since no 3 points are collinear, every such selection forms a triangle. Therefore, the total number of triangles is
\(\binom{9}{3}=\frac{9\times8\times7}{3\times2\times1}=84\). The order of choosing the points does not matter, so combinations—not permutations—are used. Exam tip: When no three points are collinear, every choice of three points gives a triangle.
8 महिलाओं और 7 पुरुषों में से 5 सदस्यीय समिति बनानी है। यदि समिति में कम-से-कम 3 महिलाएँ होना अनिवार्य है, तो समितियों की संख्या को दर्शाने वाला सही व्यंजक कौन-सा है?
A. \(\binom{8}{3}\binom{7}{2}+\binom{8}{4}\binom{7}{1}+\binom{8}{5}\)
Explanation
Simple Explanation
कम-से-कम 3 महिलाओं के तीन असंगत मामले हैं: 3, 4 या 5 महिलाएँ। इसलिए प्रत्येक मामले में महिलाओं और पुरुषों के चयन को गुणा करके तीनों परिणाम जोड़े जाते हैं। विकल्प B केवल ‘कम-से-कम एक महिला’ की शर्त दर्शाता है। परीक्षा टिप: ‘at least’ में सभी संभव मामलों को शामिल करें। / There are three mutually exclusive cases: exactly 3, 4, or 5 women. Multiply the choices of women and men in each case, then add the results. Option B counts committees with at least one woman, not at least three. Exam tip: for “at least,” list every allowed case before forming the sum.
दो शीर्ष चुनने के कुल तरीके \(^{10}C_{2}\) हैं। भुजाएं (10) घटाने पर विकर्ण (35) मिलते हैं। / Total ways to choose two vertices are \(^{10}C_{2}\). Subtract (10) sides to get (35) diagonals.
उत्तल 12-भुज के किसी भी 4 शीर्षों को चुनने पर एक चतुर्भुज बनता है। अतः चतुर्भुजों की संख्या \(\binom{12}{4}=495\) होगी। यहाँ शीर्षों का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं है, इसलिए क्रमचय नहीं बल्कि संयोजन प्रयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 450 जैसा मान \(\binom{10}{2}\) से मिलता है, जो इस प्रश्न में आवश्यक 4 शीर्षों के चयन को नहीं दर्शाता। परीक्षा टिप: उत्तल \(n\)-भुज से बनने वाले चतुर्भुजों की संख्या \(\binom{n}{4}\) होती है। / Every selection of 4 vertices of a convex 12-sided polygon determines exactly one quadrilateral. Therefore, the required number is \(\binom{12}{4}=495\). Since the order of selecting vertices does not matter, combinations—not permutations—are used. For instance, 450 equals \(\binom{10}{2}\), which does not represent choosing 4 vertices here. Exam tip: The number of quadrilaterals formed from a convex \(n\)-gon is \(\binom{n}{4}\).
कुल 13 खिलाड़ियों में से 6 चुनने के तरीके
\(\binom{13}{6}=1716\) हैं। इनमें उन समूहों को हटाएँ जिनमें 0 या 1 गेंदबाज है। 0 गेंदबाज के लिए \(\binom{7}{6}=7\) तरीके और 1 गेंदबाज के लिए \(\binom{6}{1}\binom{7}{5}=6\times21=126\) तरीके हैं। अतः आवश्यक संख्या \(1716-7-126=1583\) है। विकल्प 1589 में एक गेंदबाज वाले मामलों की गणना गलत होती है। परीक्षा टिप: “कम से कम” वाली शर्त में प्रायः पूरक मामलों को घटाना तेज रहता है। / There are \(\binom{13}{6}=1716\) ways to choose 6 players from all 13 players. Exclude groups containing 0 or 1 bowler. With 0 bowlers, the number of groups is \(\binom{7}{6}=7\). With 1 bowler, it is \(\binom{6}{1}\binom{7}{5}=6\times21=126\). Hence the required number is \(1716-7-126=1583\). The option 1589 results from an incorrect count of the one-bowler cases. Exam tip: for an “at least” condition, counting by complement is often quicker.
कुल \(^{11}C_{4}=330\) से केवल भारतीय \(^{6}C_{4}=15\) और केवल विदेशी \(^{5}C_{4}=5\) हटाएं। उत्तर (310)। / Subtract all-Indian \(^{6}C_{4}=15\) and all-foreign \(^{5}C_{4}=5\) from total \(^{11}C_{4}=330\). Answer (310).
पहले (5) में से (3,4,5) चुनकर बाकी (10) से पूर्ति करें। \(^{5}C_{3}{}^{10}C_{7}+^{5}C_{4}{}^{10}C_{6}+^{5}C_{5}{}^{10}C_{5}=875\)। / Choose (3,4,5) from the first (5) and complete from the remaining (10). \(^{5}C_{3}{}^{10}C_{7}+^{5}C_{4}{}^{10}C_{6}+^{5}C_{5}{}^{10}C_{5}=875\).
एक परीक्षा में खंड (A) में (6) और खंड (B) में (7) प्रश्न हैं। कुल (8) प्रश्न चुनने हैं और प्रत्येक खंड से कम से कम (3) प्रश्न होने चाहिए। कितने चयन संभव हैं?
मामले (3,5), (4,4), और (5,3) हैं। योग \(^{6}C_{3}{}^{7}C_{5}+^{6}C_{4}{}^{7}C_{4}+^{6}C_{5}{}^{7}C_{3}=945\)। / Cases are (3,5), (4,4), and (5,3). Sum \(^{6}C_{3}{}^{7}C_{5}+^{6}C_{4}{}^{7}C_{4}+^{6}C_{5}{}^{7}C_{3}=945\).
विशेष अभ्यर्थी को निश्चित मानें और बाकी (2) को (7) में से चुनें। संख्या \(^{7}C_{2}=21\)। / Fix the particular candidate and choose remaining (2) from (7). The number is \(^{7}C_{2}=21\).
कुल \(^{9}C_{4}=126\) हैं। दोनों विरोधी साथ होने पर \(^{7}C_{2}=21\) हटाएं, उत्तर (105)। / Total selections are \(^{9}C_{4}=126\). Remove \(^{7}C_{2}=21\) selections containing both rivals, answer (105).
ठीक (2) भौतिकी के लिए \(^{4}C_{2}\) और (3) गणित के लिए \(^{5}C_{3}\)। गुणन से (60) मिलता है। / For exactly (2) physics books use \(^{4}C_{2}\), and for (3) mathematics books use \(^{5}C_{3}\). Product is (60).
5 गेंदों में तीनों रंगों की कम से कम एक गेंद होने पर रंगों का वितरण केवल (3,1,1) या (2,2,1) हो सकता है। वितरण (3,1,1) के लिए चयन हैं: \(\binom63\binom51\binom41+\binom61\binom53\binom41+\binom61\binom51\binom43=760\)। वितरण (2,2,1) के लिए चयन हैं: \(\binom62\binom52\binom41+\binom62\binom51\binom42+\binom61\binom52\binom42=1410\)। अतः कुल चयन \(760+1410=2170\) हैं। विकल्प 1410 केवल दूसरे वितरण का योग है। परीक्षा टिप: रंग-वितरण लिखते समय एक ही वितरण के रंगों के सभी क्रम अवश्य शामिल करें। / Since each colour must be represented among 5 balls, the only possible colour distributions are (3,1,1) and (2,2,1). For (3,1,1), the number of selections is \(\binom63\binom51\binom41+\binom61\binom53\binom41+\binom61\binom51\binom43=760\). For (2,2,1), it is \(\binom62\binom52\binom41+\binom62\binom51\binom42+\binom61\binom52\binom42=1410\). Hence, the total is \(760+1410=2170\). Option 1410 counts only the second distribution. Exam tip: when listing colour distributions, include every assignment of the quantities to the colours.
कुल \(^{18}C_{6}=18564\) से दोनों विशेष शामिल वाले \(^{16}C_{4}=1820\) नहीं, सही हटाना यही है और उत्तर (16744) होगा। दिए विकल्पों में सही उत्तर नहीं है। / Total is \(^{18}C_{6}=18564\), and selections with both special members are \(^{16}C_{4}=1820\), giving (16744). None of the options is correct.
दो विशेष में से (1) चुनें और बाकी (5) को (18) में से चुनें। संख्या \(^{2}C_{1}{}^{18}C_{5}=17136\) होती है। / Choose (1) of the two special students and (5) from the remaining (18). The number is \(^{2}C_{1}{}^{18}C_{5}=17136\).
दो (n) आकार के समूहों से (3) चुनने में सभी (3) एक समूह से या (2,1) विभाजन से आते हैं। यही पहचान है। / While choosing (3) from two groups of size (n), either all (3) come from one group or the split is (2,1). This proves the identity.
संयोजन के सममिति गुण के अनुसार \(^{n}C_a=^{n}C_b\) होने पर, जब \(a\ne b\), तब \(a+b=n\) होता है। यहाँ \(r\ne r-2\), इसलिए \(r+(r-2)=n\)। अतः \(n=2r-2\)। \(2r\) लेने पर पूरक सूचकांक \(r\) के बजाय \(r-2\) नहीं मिलेगा। परीक्षा टिप: \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\) पहचान का प्रयोग करें। / Using the symmetry property of combinations, if \(^{n}C_a=^{n}C_b\) and \(a\ne b\), then \(a+b=n\). Here, \(r\ne r-2\), so \(r+(r-2)=n\). Therefore, \(n=2r-2\). Taking \(2r\) would not make \(r-2\) the complementary index of \(r\). Exam tip: use the identity \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\).
कुल \(^{14}C_{3}=364\) है। अमान्य चयन \(^{6}C_{3}+^{4}C_{3}=24\), इसलिए उत्तर (340) नहीं बल्कि (340) है। / Total is \(^{14}C_{3}=364\). Invalid selections are \(^{6}C_{3}+^{4}C_{3}=24\), so the answer is (340).
कुल युग्म \(^{10}C_{2}=45\) हैं। (4) कोलिनियर बिंदुओं के \(^{4}C_{2}=6\) युग्मों की जगह (1) रेखा होगी, इसलिए (45-6+1=40)। / Total pairs are \(^{10}C_{2}=45\). The \(^{4}C_{2}=6\) pairs among collinear points give only (1) line, so (45-6+1=40).
गंतव्य तक पहुँचने के लिए 5 दाईं और 4 ऊपर की चालें, अर्थात कुल 9 चालें, आवश्यक हैं। प्रत्येक रास्ता इन 9 चालों में 5 दाईं चालों के स्थान चुनने से निर्धारित होता है। अतः रास्तों की संख्या \(\binom{9}{5}=126\) है। विकल्प 120, \(5!\) है, लेकिन यह केवल 5 वस्तुओं के क्रमचय को दर्शाता है; यहाँ दाईं और ऊपर की कुल चालों की व्यवस्था करनी है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में कुल चालों में से किसी एक प्रकार की चालों के स्थान चुनें। / To reach the destination, 5 right moves and 4 up moves are needed, making 9 moves in all. A path is determined by choosing the positions of the 5 right moves among these 9 moves. Hence, the number of paths is \(\binom{9}{5}=126\). Option 120 equals \(5!\), but that counts arrangements of only 5 objects; here the two types of moves must be arranged among all 9 positions. Exam tip: In such grid-path questions, choose the positions of one type of move from the total moves.
पहले भाग के रास्ते \(^{5}C_{2}=10\) और दूसरे भाग के रास्ते \(^{6}C_{4}=15\) नहीं, सही दूसरा \(^{6}C_{4}=15\) है। कुल (150) होता है। / First part has \(^{5}C_{2}=10\) paths and the second part has \(^{6}C_{4}=15\) paths. Total is (150).
कोई दो लगातार न हों तो सूत्र \(^{n-r+1}C_{r}\) है। यहां \(^{17}C_{4}=2380\), इसलिए सही विकल्प (2380) है। / If no two are consecutive, use \(^{n-r+1}C_{r}\). Here \(^{17}C_{4}=2380\), so the correct answer is (2380).
अलगाव विधि से संख्या \(^{15-5+1}C_{5}=^{11}C_{5}=462\)। ऐसी समस्याओं में पहले अंतर की शर्त पहचानें। / By the gap method, the count is \(^{15-5+1}C_{5}=^{11}C_{5}=462\). In such problems identify the gap condition first.
मामले (2) विशेष और (3) अन्य, या (3) विशेष और (2) अन्य हैं। \(^{3}C_{2}{}^{9}C_{3}+^{3}C_{3}{}^{9}C_{2}=288\) होता है। / Cases are (2) special and (3) others, or (3) special and (2) others. The value is \(^{3}C_{2}{}^{9}C_{3}+^{3}C_{3}{}^{9}C_{2}=288\).
कुल \(^{9}C_{5}=126\) से दोनों न चुने जाने वाले \(^{7}C_{5}=21\) घटते हैं। उत्तर (105) है। / Subtract cases where neither is chosen, \(^{7}C_{5}=21\), from total \(^{9}C_{5}=126\). The answer is (105).
शिक्षक अधिक होने के मामले (4T2S), (5T1S), (6T0S) हैं। योग \(^{7}C_{4}{}^{8}C_{2}+^{7}C_{5}{}^{8}C_{1}+^{7}C_{6}=1155\) होता है। / Cases are (4T2S), (5T1S), and (6T0S). Sum is \(^{7}C_{4}{}^{8}C_{2}+^{7}C_{5}{}^{8}C_{1}+^{7}C_{6}=1155\).
एक जैसी वस्तुओं में से (0) से (4) तक ली जा सकती हैं। योग \(\sum_{k=0}^{4}{}^{10}C_{4-k}=386\) नहीं, सही \(^{10}C_{4}+^{10}C_{3}+^{10}C_{2}+^{10}C_{1}+1=386\) है। / We can take (0) to (4) identical objects. The total is \(^{10}C_{4}+^{10}C_{3}+^{10}C_{2}+^{10}C_{1}+1=386\).
एक जैसी टॉफियों की संख्या (0) से (4) तक हो सकती है। योग \(^{7}C_{4}+^{7}C_{3}+^{7}C_{2}+^{7}C_{1}+1=99\)। / The number of identical candies can be (0) to (4). Sum \(^{7}C_{4}+^{7}C_{3}+^{7}C_{2}+^{7}C_{1}+1=99\).
समान पुरस्कार और अधिकतम एक पुरस्कार का अर्थ है केवल (5) विद्यार्थियों का चयन। संख्या \(^{12}C_{5}=792\) है। / Identical prizes with at most one per student means choosing (5) students. The number is \(^{12}C_{5}=792\).
एक हाथ मिलाने में 8 लोगों में से 2 लोगों का एक जोड़ा बनता है और जोड़े का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं होता। अतः कुल हाथ मिलाने की संख्या \(\binom{8}{2}=\frac{8\times7}{2}=28\) है। \(8\times7=56\) लेने पर प्रत्येक हाथ मिलाना दो बार गिना जाएगा, इसलिए 2 से भाग देते हैं। परीक्षा टिप: ‘हर जोड़ा एक बार’ वाले प्रश्नों में सामान्यतः \(\binom{n}{2}\) का प्रयोग करें। / Each handshake is formed by choosing a pair of people from the 8 people, and the order of the two people does not matter. Therefore, the number of handshakes is \(\binom{8}{2}=\frac{8\times7}{2}=28\). Using \(8\times7=56\) would count every handshake twice, so we divide by 2. Exam tip: for “every pair exactly once” questions, usually use \(\binom{n}{2}\).
यदि सभा में उपस्थित लोगों की संख्या n हो, तो प्रत्येक अलग जोड़े के एक बार हाथ मिलाने पर हाथ मिलाने की संख्या \(\binom{n}{2}\) होगी। यहाँ \(\binom{n}{2}=435\), अर्थात \(\frac{n(n-1)}{2}=435\)। इससे \(n(n-1)=870\) और \(n=30\) मिलता है। अतः अनुपस्थित लोगों की संख्या \(35-30=5\) है। विकल्प 6 तब होता यदि केवल 29 लोग उपस्थित होते, पर 29 लोगों के हाथ मिलाने \(\binom{29}{2}=406\) होते। परीक्षा टिप: हैंडशेक वाले प्रश्नों में हमेशा \(\binom{n}{2}\) का उपयोग करें। / If n people are present, the number of handshakes when each distinct pair shakes hands once is \(\binom{n}{2}\). Here, \(\binom{n}{2}=435\), so \(\frac{n(n-1)}{2}=435\). Thus, \(n(n-1)=870\), giving \(n=30\). Therefore, the number absent is \(35-30=5\). Option 6 would mean that only 29 people attended, but then the number of handshakes would be \(\binom{29}{2}=406\). Exam tip: use \(\binom{n}{2}\) for handshake questions when every pair meets once.
\(\binom{n}{r}\) वस्तुओं में से \(r\) चुनना उतना ही है जितना \(n-r\) वस्तुओं को छोड़ना, इसलिए \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\)। विकल्प D पास्कल की पहचान है, सममिति नहीं। परीक्षा में पूरक चयन का विचार याद रखें। / Choosing \(r\) objects from \(n\) is equivalent to deciding which \(n-r\) objects are left out; hence \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\). Option D is Pascal’s identity, not symmetry. Exam tip: use complementary selection to spot this relation quickly.
पास्कल का नियम है:
\(\binom{n}{r-1}+\binom{n}{r}=\binom{n+1}{r}\)। यहाँ \(r=3\) रखने पर \(\binom{n}{2}+\binom{n}{3}=\binom{n+1}{3}\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर पास्कल का नियम है। गुणन नियम स्वतंत्र चरणों में विकल्पों की संख्या गुणा करने के लिए होता है, इसलिए वह इस योगात्मक पहचान पर लागू नहीं होता। परीक्षा टिप: जिन दो क्रमागत संयोजनों का योग अगले ऊपरी सूचकांक वाले संयोजन के बराबर हो, उसे पास्कल का नियम पहचानें। / Pascal's rule is \(\binom{n}{r-1}+\binom{n}{r}=\binom{n+1}{r}\). On putting \(r=3\), we get \(\binom{n}{2}+\binom{n}{3}=\binom{n+1}{3}\). Hence, the correct answer is Pascal's rule. The multiplication rule is used to multiply the numbers of choices in successive independent steps, so it does not describe this additive identity. Exam tip: A sum of two consecutive binomial coefficients producing one coefficient with upper index increased by 1 indicates Pascal's rule.
क्योंकि \(^{15}C_{8}=^{15}C_{7}\), योग \(2,^{15}C_{7}\) है। पास्कल से यह \(^{16}C_{8}\) भी है। / Since \(^{15}C_{8}=^{15}C_{7}\), the sum is \(2,^{15}C_{7}\). By Pascal's rule it is also \(^{16}C_{8}\).
3 वस्तुएँ चुनने के तरीके \(\binom{10}{3}=120\) हैं और 4 वस्तुएँ चुनने के तरीके \(\binom{10}{4}=210\) हैं। कोई चयन एक साथ 3 और 4 वस्तुओं का नहीं हो सकता, इसलिए दोनों स्थितियाँ परस्पर अपवर्जी हैं और उनके तरीके जोड़े जाते हैं: \(120+210=330\)। अतः सही उत्तर 330 है। 340 जैसी संख्या तब नहीं मिलेगी क्योंकि संयोजन-संख्याओं का योग ठीक 330 है। परीक्षा टिप: “या” वाली परस्पर अपवर्जी चयन-स्थितियों में अलग-अलग मामलों के तरीकों को जोड़ें। / The number of ways to choose 3 objects is \(\binom{10}{3}=120\), and the number of ways to choose 4 objects is \(\binom{10}{4}=210\). A selection cannot contain both exactly 3 and exactly 4 objects, so these cases are mutually exclusive and their counts are added: \(120+210=330\). Therefore, the correct answer is 330. A value such as 340 is incorrect because the required combination counts add exactly to 330. Exam tip: For mutually exclusive cases joined by “or,” add the number of ways in the separate cases.
जिस निश्चित छात्र को नहीं चुनना है, उसे पहले ही समूह से हटा दें। तब शेष 12 छात्रों में से 5 छात्रों का चयन करना है। अतः तरीकों की संख्या \(\binom{12}{5}=792\) है। विकल्प 924, \(\binom{12}{6}\) के बराबर है, इसलिए यहाँ लागू नहीं होता। परीक्षा टिप: “न चुना जाए” वाली शर्त में उस व्यक्ति को हटाकर शेष समूह पर संयोजन लगाएँ। / Exclude the fixed student first. We then select 5 students from the remaining 12, so the number of selections is \(\binom{12}{5}=792\). Option 924 equals \(\binom{12}{6}\), so it does not apply here. Exam tip: for a person who must not be selected, remove that person and form the combination from the remaining group.
कुल \(^{12}C_{4}=495\) से सभी लाल \(^{5}C_{4}=5\) और सभी काली \(^{7}C_{4}=35\) हटाएं। उत्तर (455)। / Subtract all-red \(^{5}C_{4}=5\) and all-black \(^{7}C_{4}=35\) from total \(^{12}C_{4}=495\). Answer (455).
सम योग के लिए विषम अंकों की संख्या (0,2,4) होनी चाहिए। गणना \(^{4}C_{4}+^{5}C_{2}{}^{4}C_{2}+^{5}C_{4}=66\) है। / For an even sum, the number of odd digits must be (0,2,4). Count \(^{4}C_{4}+^{5}C_{2}{}^{4}C_{2}+^{5}C_{4}=66\).
(6) विषम और (6) सम संख्याएं हैं। विषम योग के लिए (1) या (3) विषम चुनें, संख्या \(^{6}C_{1}{}^{6}C_{2}+^{6}C_{3}=110\)। / There are (6) odd and (6) even numbers. For odd sum choose (1) or (3) odd numbers, giving \(^{6}C_{1}{}^{6}C_{2}+^{6}C_{3}=110\).
कुल \(^{11}C_{2}=55\) से केवल वृत्त \(^{5}C_{2}=10\) घटाने चाहिए। सही संख्या (45) है। / Subtract circle-only selections \(^{5}C_{2}=10\) from total \(^{11}C_{2}=55\). The correct count is (45).
विशेष खिलाड़ियों की संख्या (0,1,2) हो सकती है, पर (7) अन्य ही हैं। योग \(^{4}C_{0}{}^{7}C_{7}+^{4}C_{1}{}^{7}C_{6}+^{4}C_{2}{}^{7}C_{5}=155\) है। / The number of special players can be (0,1,2), with (7) ordinary players available. Sum \(^{4}C_{0}{}^{7}C_{7}+^{4}C_{1}{}^{7}C_{6}+^{4}C_{2}{}^{7}C_{5}=155\).
दिया है \(^{n}C_r=^{n}C_{r+1}\)। क्रमागत संयोजनों का अनुपात लें: \(\frac{^{n}C_{r+1}}{^{n}C_r}=\frac{n-r}{r+1}\)। समानता के लिए यह अनुपात 1 होगा, अतः \(n-r=r+1\), इसलिए \(n=2r+1\)। विकल्प \(n=2r\) में सामान्यतः दो क्रमागत संयोजन बराबर नहीं होते। परीक्षा टिप: \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\) सममिति का उपयोग करके भी सीधे \(r+1=n-r\) लिखा जा सकता है। / Given \(^{n}C_r=^{n}C_{r+1}\). Using the ratio of consecutive combinations, \(\frac{^{n}C_{r+1}}{^{n}C_r}=\frac{n-r}{r+1}\). For the two combinations to be equal, this ratio must be 1. Hence \(n-r=r+1\), so \(n=2r+1\). The relation \(n=2r\) does not generally make two consecutive combinations equal. Exam tip: use the symmetry \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\) to write \(r+1=n-r\) directly.
दिया है कि \(^{n}C_2=105\)। अतः \(\frac{n(n-1)}{2}=105\), इसलिए \(n(n-1)=210\) और \(n=15\) मिलता है। अब \(^{15}C_3=\frac{15\times14\times13}{3\times2\times1}=455\)। इसलिए सही उत्तर 455 है। 364, \(^{14}C_3\) का मान है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: पहले \(^{n}C_2\) से \(n\) ज्ञात करें, फिर आवश्यक संयोजन निकालें। / Given \(^{n}C_2=105\), we have \(\frac{n(n-1)}{2}=105\). Thus, \(n(n-1)=210\), which gives \(n=15\). Therefore, \(^{15}C_3=\frac{15\times14\times13}{3\times2\times1}=455\). Hence, 455 is correct. The nearby distractor 364 is \(^{14}C_3\), not \(^{15}C_3\). Exam tip: first determine \(n\) from \(^{n}C_2\), then calculate the required combination.
\(\frac{^{n}C_{5}}{^{n}C_{4}}=\frac{n-4}{5}\) होता है। इसे \(\frac{11}{5}\) के बराबर रखने पर (n=15)। / \(\frac{^{n}C_{5}}{^{n}C_{4}}=\frac{n-4}{5}\). Equating it to \(\frac{11}{5}\) gives (n=15).
संयोजन का गुण है: \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\)। यहाँ \(r\) और \(2r+4\) पूरक सूचकांक होंगे, इसलिए \(r+(2r+4)=16\)। अतः \(3r=12\), जिससे \(r=4\) मिलता है। \(r=-4\) वाला प्रत्यक्ष समानता-प्रसंग संयोजन के मान्य सूचकांक के लिए स्वीकार्य नहीं है। परीक्षा टिप: \(^{n}C_a=^{n}C_b\) में पहले \(a=b\) तथा \(a+b=n\), दोनों स्थितियाँ जाँचें। / Use the identity \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\). Here, \(r\) and \(2r+4\) must be complementary indices, so \(r+(2r+4)=16\). Thus, \(3r=12\), giving \(r=4\). The direct-equality case gives \(r=-4\), which is not a valid index for the combination here. Exam tip: For \(^{n}C_a=^{n}C_b\), check both cases: \(a=b\) and \(a+b=n\).
पास्कल के नियम के अनुसार \,\(^{n}C_r+{}^{n}C_{r+1}=^{n+1}C_{r+1}\)। अतः \(^{13}C_6+{}^{13}C_7=^{14}C_7\)। अब \(^{14}C_7=3432\), इसलिए सही विकल्प D है। विकल्प 1716 केवल \(^{13}C_6\) का मान है, योग का नहीं। परीक्षा टिप: समान ऊपरी सूचकांक वाले लगातार संयोजनों का योग दिखे, तो पास्कल नियम लगाइए। / Using Pascal’s identity, \(^{n}C_r+{}^{n}C_{r+1}=^{n+1}C_{r+1}\). Therefore, \(^{13}C_6+{}^{13}C_7=^{14}C_7\). Since \(^{14}C_7=3432\), option D is correct. The value 1716 is only \(^{13}C_6\), not the required sum. Exam tip: When two consecutive combinations have the same upper index, apply Pascal’s identity.
निश्चित सदस्य को पहले चुन लें और बाकी (2) को (17) में से चुनें। संख्या \(^{17}C_{2}=136\) है। / Fix the required member first and choose the remaining (2) from (17). The number is \(^{17}C_{2}=136\).
संभव मामले (2G3B) और (3G2B) हैं। योग \(^{5}C_{2}\times{}^{6}C_{3}+^{5}C_{3}\times{}^{6}C_{2}=350\)। / The possible cases are (2G3B) and (3G2B). The sum is \(^{5}C_{2}\times{}^{6}C_{3}+^{5}C_{3}\times{}^{6}C_{2}=350\).
ठीक (4) शिक्षक के लिए \(^{10}C_{4}\) और (2) छात्र के लिए \(^{8}C_{2}\) लें। गुणन से (5880) मिलता है। / Choose (4) teachers using \(^{10}C_{4}\) and (2) students using \(^{8}C_{2}\). Multiplication gives (5880).
विशेष लोगों में से (1) और बाकी (4) लोगों को शेष (9) में से चुनें। संख्या \(^{3}C_{1}\times{}^{9}C_{4}=378\)। / Choose (1) special person and the remaining (4) people from the other (9). The number is \(^{3}C_{1}\times{}^{9}C_{4}=378\).
कुल चयन \(^{14}C_{6}\) हैं। कोई नामित विद्यार्थी न चुने जाने वाले \(^{11}C_{6}\) घटाने पर (2541) मिलता है। / Total selections are \(^{14}C_{6}\). Subtract selections with no named student \(^{11}C_{6}\) to get (2541).
वरिष्ठ सदस्यों की संख्या (2), (3), या (4) हो सकती है। योग \(^{4}C_{2}{}^{12}C_{5}+^{4}C_{3}{}^{12}C_{4}+^{4}C_{4}{}^{12}C_{3}=6952\)। / The number of senior members can be (2), (3), or (4). The sum is \(^{4}C_{2}{}^{12}C_{5}+^{4}C_{3}{}^{12}C_{4}+^{4}C_{4}{}^{12}C_{3}=6952\).
(13) बिंदुओं में (5) बिंदु एक रेखा पर और (4) बिंदु दूसरी रेखा पर हैं। ये दोनों समूह अलग हैं और अन्य कोई (3) बिंदु सरल रेखा पर नहीं हैं। कितने त्रिभुज बनेंगे?
कुल \(^{13}C_{3}\) में से अमान्य चयन \(^{5}C_{3}+^{4}C_{3}\) घटाएं। उत्तर (286-14=272)। / Subtract invalid choices \(^{5}C_{3}+^{4}C_{3}\) from total \(^{13}C_{3}\). The answer is (286-14=272).
कुल युग्म \(^{12}C_{2}\) हैं। (5) कोलिनियर बिंदुओं के \(^{5}C_{2}\) युग्मों की जगह (1) रेखा होगी, इसलिए (66-10+1=57)। / Total pairs are \(^{12}C_{2}\). The \(^{5}C_{2}\) pairs from collinear points give only (1) line, so (66-10+1=57).
दो शीर्ष चुनने के तरीके \(^{18}C_{2}\) हैं। इनमें से (18) भुजाएं घटाने पर (135) विकर्ण मिलते हैं। / The ways to choose two vertices are \(^{18}C_{2}\). Subtracting (18) sides gives (135) diagonals.
वृत्त पर स्थित किन्हीं भी 4 बिंदुओं को चुनने पर एक चतुर्भुज बनता है, क्योंकि कोई भी तीन बिंदु एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते। अतः चतुर्भुजों की संख्या \,\(\binom{11}{4}=330\) है। विकल्प 286, \,\(\binom{13}{3}\) के बराबर है, इसलिए वह 11 बिंदुओं में से 4 बिंदु चुनने की स्थिति के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: जब वृत्त पर बिंदुओं से बहुभुज बनाने हों, तो आवश्यक शीर्षों की संख्या के अनुसार संयोजन चुनें। / Any selection of 4 points on a circle forms a quadrilateral because no three of the selected points are collinear. Therefore, the number of quadrilaterals is \,\(\binom{11}{4}=330\). Option 286 equals \,\(\binom{13}{3}\), so it does not represent choosing 4 points from 11. Exam tip: For polygons formed by points on a circle, use combinations by choosing the required number of vertices.
हर आंतरिक प्रतिच्छेद (4) शीर्षों के चयन से बनता है। इसलिए संख्या \(^{10}C_{4}=210\) है। / Each interior intersection is determined by choosing (4) vertices. Hence the number is \(^{10}C_{4}=210\).
वृत्तीय गैर-आसन्न चयन का सूत्र \(\frac{n}{n-r},{}^{n-r}C_{r}\) है। यहां \(\frac{12}{8}\times{}^{8}C_{4}=105\)। / The circular non-adjacent selection formula is \(\frac{n}{n-r},{}^{n-r}C_{r}\). Here \(\frac{12}{8}\times{}^{8}C_{4}=105\).
सबसे छोटे मार्ग में कुल 11 चालें होंगी: 7 दाईं और 4 ऊपर। प्रत्येक मार्ग इन 11 स्थानों में दाईं चालों के 7 स्थान चुनने से बनता है। अतः मार्गों की संख्या \(\binom{11}{7}=\binom{11}{4}=330\) है। \(252=\binom{10}{5}\) होता है, इसलिए वह यहाँ लागू नहीं है। परीक्षा टिप: ग्रिड-पथ के प्रश्नों में कुल चालों में से किसी एक प्रकार की चाल के स्थान चुनें। / A shortest path has 11 moves in total: 7 right moves and 4 up moves. Each path is determined by choosing the 7 positions for the right moves among these 11 positions. Therefore, the number of paths is \(\binom{11}{7}=\binom{11}{4}=330\). The value \(252=\binom{10}{5}\), so it does not apply here. Exam tip: In grid-path questions, choose the positions of one type of move among all moves.
पहले भाग में \(^{5}C_{3}\) और दूसरे भाग में \(^{6}C_{4}\) रास्ते हैं। कुल \(10\times15=150\)। / The first part has \(^{5}C_{3}\) paths and the second part has \(^{6}C_{4}\) paths. Total \(10\times15=150\).
कुल रास्ते \(^{11}C_{6}=462\) हैं। उस बिंदु से होकर जाने वाले \(^{4}C_{2}\times{}^{7}C_{4}=210\) घटाएं, उत्तर (252)। / Total paths are \(^{11}C_{6}=462\). Subtract paths through that point \(^{4}C_{2}\times{}^{7}C_{4}=210\), giving (252).
यदि चुनी गई संख्याएँ क्रम में \(x_1<x_2<\cdots<x_5\) हों, तो लगातार न होने के कारण \(x_{i+1}\ge x_i+2\) होगा। प्रत्येक अगली चुनी संख्या से उसके पहले चुने गए स्थानों की संख्या घटाने पर 21 स्थानों में से 5 स्थान चुनने की समस्या मिलती है। अतः चयन की संख्या \(\binom{25-5+1}{5}=\binom{21}{5}=20349\) है। \(\binom{25}{5}\) लेना गलत होगा, क्योंकि उसमें लगातार संख्याओं वाले चयन भी शामिल होते हैं। परीक्षा टिप: \(n\) वस्तुओं में से \(r\) गैर-लगातार वस्तुएँ चुनने के लिए \(\binom{n-r+1}{r}\) का प्रयोग करें। / Let the selected numbers be \(x_1<x_2<\cdots<x_5\). Since no two are consecutive, \(x_{i+1}\ge x_i+2\). Subtracting the number of earlier selections from each later selected position converts the problem into choosing 5 positions from 21 positions. Hence, the number of selections is \(\binom{25-5+1}{5}=\binom{21}{5}=20349\). Using \(\binom{25}{5}\) would be incorrect because it also counts selections containing consecutive numbers. Exam tip: for choosing \(r\) non-consecutive objects from \(n\) objects, use \(\binom{n-r+1}{r}\).
वृत्त पर \(n\) बिंदुओं में से \(r\) गैर-आसन्न बिंदु चुनने की संख्या \(\frac{n}{n-r}\binom{n-r}{r}\) होती है। अतः यहाँ संख्या \(\frac{10}{10-3}\binom{7}{3}=\frac{10}{7}\times35=50\) है। इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प 42 रैखिक व्यवस्था या अधूरी गणना से आ सकता है, पर वृत्त में पहले और अंतिम बिंदु भी आसन्न होते हैं। परीक्षा टिप: वृत्तीय प्रश्नों में अंतिम और प्रथम स्थान की आसन्नता अवश्य जाँचें। / For choosing \(r\) non-adjacent points from \(n\) points arranged on a circle, the count is \(\frac{n}{n-r}\binom{n-r}{r}\). Thus, \(\frac{10}{10-3}\binom{7}{3}=\frac{10}{7}\times35=50\). Hence, option C is correct. A value such as 42 can result from treating the arrangement as linear or from incomplete counting, but on a circle the first and last points are also adjacent. Exam tip: always account for the adjacency of the first and last positions in circular arrangements.
C. \(\binom{6}{3}\binom{8}{2}+\binom{6}{4}\binom{8}{1}+\binom{6}{5}\binom{8}{0}\)
Explanation
Simple Explanation
कम-से-कम 3 महिलाओं के मामले 3, 4 या 5 महिलाएँ हैं। इनके साथ क्रमशः 2, 1 या 0 पुरुष चुने जाते हैं, इसलिए तीनों गुणन पद जोड़े जाते हैं। परीक्षा में शेष सदस्य हमेशा कुल समिति आकार से जाँचें। / With at least 3 women, the possible cases are 3, 4, or 5 women. They require 2, 1, or 0 men respectively, so all three product terms are added. Exam tip: check that each case totals the committee size of 5.
यह धन पूर्णांक हलों का प्रश्न है। प्रत्येक चर में पहले 1 देने पर शेष योग 15 बचता है। अतः गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या \\(\binom{15+5-1}{5-1}=\binom{19}{4}=3876\\) होगी। इसलिए सही उत्तर 3876 है। \\(\binom{15}{4}\\) लेना गलत होगा, क्योंकि पाँचों चरों को प्रारम्भ में दिए गए 1 को समायोजित करना आवश्यक है। परीक्षा टिप: धन पूर्णांक हलों के लिए सामान्य सूत्र \\(\binom{n-1}{r-1}\\) है। / This is a positive-integer solution problem. First assign 1 to each of the five variables; the remaining sum is 15. The number of non-negative integer solutions is \\(\binom{15+5-1}{5-1}=\binom{19}{4}=3876\\). Hence, 3876 is correct. Using \\(\binom{15}{4}\\) would be incorrect because the initial 1 assigned to every variable must be accounted for. Exam tip: for positive integer solutions of a sum of n into r parts, use \\(\binom{n-1}{r-1}\\).
कुल \(^{16}C_{3}\) से \(x_i\geq6\) वाले मामले घटाकर दोहरे मामले जोड़ें। (560-480+24=104)। / Subtract cases with \(x_i\geq6\) from total \(^{16}C_{3}\) and add double-overlap cases. (560-480+24=104).
कुल \(^{12}C_{2}=66\) हल हैं। \(x\geq4\) वाले \(^{8}C_{2}=28\) घटाने पर (38) मिलते हैं। / There are \(^{12}C_{2}=66\) total solutions. Subtract \(^{8}C_{2}=28\) cases with \(x\geq4\) to get (38).
पहले (4) सूटों में से सूट चुनें और फिर (13) में से (5) पत्ते चुनें। संख्या \(4\times{}^{13}C_{5}=5148\)। / First choose one of (4) suits and then choose (5) cards from (13). The number is \(4\times{}^{13}C_{5}=5148\).
दिल के (2) पत्ते \(^{13}C_{2}\) तरीकों से और बाकी (3) पत्ते \(^{39}C_{3}\) तरीकों से चुने जाएंगे। गुणन से (712842)। / Choose (2) hearts in \(^{13}C_{2}\) ways and the other (3) cards in \(^{39}C_{3}\) ways. Multiplication gives (712842).
कम से कम एक इक्का वाले हाथों की संख्या ज्ञात करने के लिए पूरक विधि लें। कुल 5-पत्ती हाथों की संख्या \(\binom{52}{5}=2598960\) है। जिन हाथों में कोई इक्का नहीं है, वे शेष 48 पत्तों से चुने जाते हैं: \(\binom{48}{5}=1712304\)। अतः आवश्यक संख्या \(\binom{52}{5}-\binom{48}{5}=886656\) है। विकल्प A केवल ठीक एक इक्का वाले हाथों की संख्या है, जबकि प्रश्न में दो, तीन या चार इक्कों वाले हाथ भी शामिल हैं। परीक्षा टिप: “कम से कम” वाले प्रश्नों में अक्सर पूरक गणना सबसे तेज विधि होती है। / Use the complement method for hands containing at least one ace. The total number of 5-card hands is \(\binom{52}{5}=2598960\). Hands with no ace are selected from the remaining 48 cards, giving \(\binom{48}{5}=1712304\). Therefore, the required number is \(\binom{52}{5}-\binom{48}{5}=886656\). Option A counts hands with exactly one ace only, whereas the question also includes hands with two, three, or four aces. Exam tip: for “at least one” conditions, counting the complement is often quickest.
(4) रानियों में से (3) चुनें और बाकी (3) पत्ते (48) गैर-रानी पत्तों से चुनें। संख्या \(^{4}C_{3}\times{}^{48}C_{3}=69184\)। / Choose (3) queens from (4) and the other (3) cards from (48) non-queen cards. The number is \(^{4}C_{3}\times{}^{48}C_{3}=69184\).
सम योग के लिए विषम अंकों की संख्या (0), (2), या (4) होनी चाहिए। गणना \(^{5}C_{0}{}^{4}C_{4}+^{5}C_{2}{}^{4}C_{2}+^{5}C_{4}{}^{4}C_{0}=66\)। / For an even sum, the number of odd digits must be (0), (2), or (4). The count is \(^{5}C_{0}{}^{4}C_{4}+^{5}C_{2}{}^{4}C_{2}+^{5}C_{4}{}^{4}C_{0}=66\).
(3) के (5) गुणज और (10) गैर-गुणज हैं। चयन \(^{5}C_{2}\times{}^{10}C_{2}=450\) होगा। / There are (5) multiples of (3) and (10) non-multiples. The selection count is \(^{5}C_{2}\times{}^{10}C_{2}=450\).
आयत के लिए (6) क्षैतिज रेखाओं में से (2) और (7) ऊर्ध्व रेखाओं में से (2) चुनें। संख्या \(^{6}C_{2}\times{}^{7}C_{2}=315\)। / For a rectangle, choose (2) horizontal lines from (6) and (2) vertical lines from (7). The count is \(^{6}C_{2}\times{}^{7}C_{2}=315\).
पहले (5) विद्यार्थी \(^{10}C_{5}\) तरीकों से चुने जाते हैं। दो समूह अनाम हैं, इसलिए (2) से भाग दें और उत्तर (126) है। / First choose (5) students in \(^{10}C_{5}\) ways. Since the two groups are unnamed, divide by (2) to get (126).
पहले (4) लोगों को \(^{8}C_{4}\) तरीकों से चुनें और उन्हें (3) तरीकों से दो जोड़ों में बांटें। कुल \(70\times3=210\)। / First choose (4) people in \(^{8}C_{4}\) ways and split them into two pairs in (3) ways. Total \(70\times3=210\).
पहले (6) जोड़ों में से (4) जोड़े चुनें और हर चुने जोड़े से (1) व्यक्ति चुनें। संख्या \(^{6}C_{4}\times2^{4}=240\)। / Choose (4) couples from (6) and then choose (1) person from each selected couple. The number is \(^{6}C_{4}\times2^{4}=240\).
एक जैसी टॉफियों की संख्या (0) से (4) तक हो सकती है। योग \(^{8}C_{4}+^{8}C_{3}+^{8}C_{2}+^{8}C_{1}+1=163\)। / The number of identical candies can be from (0) to (4). Sum \(^{8}C_{4}+^{8}C_{3}+^{8}C_{2}+^{8}C_{1}+1=163\).
पत्रिकाएं (2), (3), या (4) ली जा सकती हैं। इसलिए संख्या \(^{9}C_{4}+^{9}C_{3}+^{9}C_{2}=246\)। / The number of magazines can be (2), (3), or (4). Hence the count is \(^{9}C_{4}+^{9}C_{3}+^{9}C_{2}=246\).
हर डिब्बे में पहले (1) गेंद रखें। बची (3) गेंदों का वितरण \(^{6}C_{3}=20\) तरीकों से होगा। / Place (1) ball in each box first. The remaining (3) balls can be distributed in \(^{6}C_{3}=20\) ways.
कुल \(^{11}C_{2}=55\) वितरण हैं। किसी एक डिब्बे में कम से कम (5) गेंदें होने वाले \(3\times{}^{6}C_{2}=45\) घटाएं, उत्तर (10)। / Total distributions are \(^{11}C_{2}=55\). Subtract \(3\times{}^{6}C_{2}=45\) cases where one box has at least (5) balls, giving (10).
ठीक (5) तत्वों वाला उपसमुच्चय चुनना (12) में से (5) तत्व चुनना है। संख्या \(^{12}C_{5}=792\) है। / Choosing a subset with exactly (5) elements means choosing (5) elements from (12). The number is \(^{12}C_{5}=792\).
10 तत्वों के समुच्चय के कुल उपसमुच्चय \(2^{10}=1024\) होते हैं। प्रत्येक सम आकार वाले उपसमुच्चय को किसी एक निश्चित तत्व की सदस्यता बदलकर विषम आकार वाले उपसमुच्चय से जोड़ा जा सकता है; इसलिए सम और विषम आकार वाले उपसमुच्चयों की संख्या बराबर होती है। अतः विषम आकार वाले उपसमुच्चय \(1024/2=512\) हैं। \(1024\) कुल उपसमुच्चयों की संख्या है, केवल विषम आकार वालों की नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(n\geq1\) के लिए सम तथा विषम आकार के उपसमुच्चय प्रत्येक \(2^{n-1}\) होते हैं। / A set with 10 elements has \(2^{10}=1024\) subsets in total. Every even-sized subset can be paired with an odd-sized subset by toggling the membership of one fixed element, so the numbers of even- and odd-sized subsets are equal. Hence, the number of odd-sized subsets is \(1024/2=512\). \(1024\) is the total number of subsets, not just the odd-sized ones. Exam tip: for \(n\geq1\), the number of even-sized subsets and odd-sized subsets is each \(2^{n-1}\).
कम से कम 6 तत्वों वाले उपसमुच्चयों के आकार 6, 7 या 8 हो सकते हैं। अतः उनकी संख्या
\(\binom{8}{6}+\binom{8}{7}+\binom{8}{8}=28+8+1=37\) है। विकल्प 28 केवल ठीक 6 तत्वों वाले उपसमुच्चयों की संख्या है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: “कम से कम” के लिए दिए गए आकार से लेकर अधिकतम आकार तक सभी संयोजन जोड़ें। / A subset with at least 6 elements can have 6, 7, or 8 elements. Therefore, the required number is
\(\binom{8}{6}+\binom{8}{7}+\binom{8}{8}=28+8+1=37\). Option 28 counts only the subsets having exactly 6 elements, so it is not correct. Exam tip: For “at least,” add combinations from the stated size up to the maximum size.
वैंडरमोंड पहचान के अनुसार
\(\sum_{r=0}^{4}{}^{7}C_r\,{}^{5}C_{4-r}={} ^{7+5}C_4={} ^{12}C_4\)। अतः मान \(495\) है। विकल्प 330, \({}^{11}C_4\) का मान है, इसलिए यह यहाँ लागू नहीं होता। परीक्षा टिप: ऐसे योग में ऊपर के दोनों मान जोड़ें और नीचे का मान वही रखें। / Using Vandermonde’s identity, \(\sum_{r=0}^{4}{}^{7}C_r\,{}^{5}C_{4-r}={} ^{7+5}C_4={} ^{12}C_4\). Therefore, the value is \(495\). Option 330 equals \({}^{11}C_4\), so it does not apply here. Exam tip: in this identity, add the upper indices and retain the common total lower index.
r वस्तुएँ चुनना ठीक उतना ही है जितना n-r वस्तुओं को न चुनना; दोनों स्थितियों में चयनित समूह एक-से-एक मिलते हैं। इसलिए \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\)। विकल्प B क्रमचय का सूत्र है। परीक्षा टिप: पूरक शब्द दिखे तो r को n-r से बदलकर जाँचें। / Choosing r objects is equivalent to deciding which n-r objects are left out; these choices correspond one-to-one. Hence \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\). Option B is the permutation formula. Exam tip: for a complement-based choice, replace r with n-r.
द्विपद प्रसार में सामान्य पद \(\binom{8}{r}a^{8-r}b^r\) होता है। \(a^3b^5\) पाने के लिए \(r=5\) होगा, इसलिए गुणांक \(\binom{8}{5}=\binom{8}{3}=56\) है। \(\binom{8}{3}\) और \(\binom{8}{5}\) बराबर होते हैं; दोनों उसी पद का गुणांक देते हैं। परीक्षा टिप: घातों का योग पहले जाँचें—यहाँ \(3+5=8\) है। / In the binomial expansion, the general term is \(\binom{8}{r}a^{8-r}b^r\). To obtain \(a^3b^5\), take \(r=5\); hence the coefficient is \(\binom{8}{5}=\binom{8}{3}=56\). Although one may choose the positions of either the three \(a\)'s or the five \(b\)'s, both counts are equal and refer to the same term. Exam tip: first check that the exponents add up to the binomial power; here, \(3+5=8\).
विजेता संख्याओं में से (4) और गैर-विजेता (24) में से (2) चुनें। संख्या \(^{6}C_{4}\times{}^{24}C_{2}=4140\)। / Choose (4) winning numbers and (2) numbers from the (24) non-winning numbers. The count is \(^{6}C_{4}\times{}^{24}C_{2}=4140\).
मामले (1S1C1O), (1S2C), और (2S1C) हैं। कुल \(2\times3\times4+2\times{}^{3}C_{2}+{}^{2}C_{2}\times3=33\)। / The cases are (1S1C1O), (1S2C), and (2S1C). Total \(2\times3\times4+2\times{}^{3}C_{2}+{}^{2}C_{2}\times3=33\).
(9) सदस्यों में से (4) चुनने हैं। एक जोड़ी (P) के दोनों सदस्य साथ नहीं चुने जा सकते और दूसरी जोड़ी (Q) से कम से कम (1) सदस्य चुना जाना चाहिए। दोनों जोड़ियां अलग हैं। कितने चयन संभव हैं?
पहले (Q) से कम से कम (1) सदस्य वाले चयन \(^{9}C_{4}-^{7}C_{4}=91\) हैं। इनमें (P) की दोनों सदस्य वाली \(^{7}C_{2}-^{5}C_{2}=11\) स्थितियां घटाएं, उत्तर (80)। / First count selections with at least (1) member from (Q): \(^{9}C_{4}-^{7}C_{4}=91\). Subtract \(^{7}C_{2}-^{5}C_{2}=11\) cases containing both members of (P), giving (80).
हर पेशे से (2) चुनें और परिणामों को गुणा करें। संख्या \(^{5}C_{2}\times{}^{6}C_{2}\times{}^{7}C_{2}=3150\)। / Choose (2) people from each profession and multiply the results. The number is \(^{5}C_{2}\times{}^{6}C_{2}\times{}^{7}C_{2}=3150\).
निश्चित सदस्य को शामिल मानकर शेष (14) में से (5) चुनें और दोनों विशेष साथ वाले \(^{12}C_{3}\) घटाएं। उत्तर \(^{14}C_{5}-{}^{12}C_{3}=1782\) है। / After fixing the required member, choose (5) from the remaining (14) and subtract cases where both special members are together, \(^{12}C_{3}\). The answer is \(^{14}C_{5}-{}^{12}C_{3}=1782\).
