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Subjects
Class 11 Mathematics Permutations and Combinations Combinations Expert Level 63

यदि \(^{16}C_{r}=^{16}C_{2r+4}\) है, तो (r) का मान क्या है?

If \(^{16}C_{r}=^{16}C_{2r+4}\), what is the value of (r)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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A. 4

Explanation

Simple Explanation

संयोजन का गुण है: \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\)। यहाँ \(r\) और \(2r+4\) पूरक सूचकांक होंगे, इसलिए \(r+(2r+4)=16\)। अतः \(3r=12\), जिससे \(r=4\) मिलता है। \(r=-4\) वाला प्रत्यक्ष समानता-प्रसंग संयोजन के मान्य सूचकांक के लिए स्वीकार्य नहीं है। परीक्षा टिप: \(^{n}C_a=^{n}C_b\) में पहले \(a=b\) तथा \(a+b=n\), दोनों स्थितियाँ जाँचें। / Use the identity \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\). Here, \(r\) and \(2r+4\) must be complementary indices, so \(r+(2r+4)=16\). Thus, \(3r=12\), giving \(r=4\). The direct-equality case gives \(r=-4\), which is not a valid index for the combination here. Exam tip: For \(^{n}C_a=^{n}C_b\), check both cases: \(a=b\) and \(a+b=n\).

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यदि \(^{16}C_{r}=^{16}C_{2r+4}\) है, तो (r) का मान क्या है? / If \(^{16}C_{r}=^{16}C_{2r+4}\), what is the value of (r)?

Correct Answer: A. 4. Explanation: संयोजन का गुण है: \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\)। यहाँ \(r\) और \(2r+4\) पूरक सूचकांक होंगे, इसलिए \(r+(2r+4)=16\)। अतः \(3r=12\), जिससे \(r=4\) मिलता है। \(r=-4\) वाला प्रत्यक्ष समानता-प्रसंग संयोजन के मान्य सूचकांक के लिए स्वीकार्य नहीं है। परीक्षा टिप: \(^{n}C_a=^{n}C_b\) में पहले \(a=b\) तथा \(a+b=n\), दोनों स्थितियाँ जाँचें। / Use the identity \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\). Here, \(r\) and \(2r+4\) must be complementary indices, so \(r+(2r+4)=16\). Thus, \(3r=12\), giving \(r=4\). The direct-equality case gives \(r=-4\), which is not a valid index for the combination here. Exam tip: For \(^{n}C_a=^{n}C_b\), check both cases: \(a=b\) and \(a+b=n\).