Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
C. \(\binom{6}{3}\binom{8}{2}+\binom{6}{4}\binom{8}{1}+\binom{6}{5}\binom{8}{0}\)
Explanation
Simple Explanation
कम-से-कम 3 महिलाओं के मामले 3, 4 या 5 महिलाएँ हैं। इनके साथ क्रमशः 2, 1 या 0 पुरुष चुने जाते हैं, इसलिए तीनों गुणन पद जोड़े जाते हैं। परीक्षा में शेष सदस्य हमेशा कुल समिति आकार से जाँचें। / With at least 3 women, the possible cases are 3, 4, or 5 women. They require 2, 1, or 0 men respectively, so all three product terms are added. Exam tip: check that each case totals the committee size of 5.
8 महिलाओं और 7 पुरुषों में से 5 सदस्यीय समिति बनानी है। यदि समिति में कम-से-कम 3 महिलाएँ होना अनिवार्य है, तो समितियों की संख्या को दर्शाने वाला सही व्यंजक कौन-सा है?
A. \(\binom{8}{3}\binom{7}{2}+\binom{8}{4}\binom{7}{1}+\binom{8}{5}\)
Explanation
Simple Explanation
कम-से-कम 3 महिलाओं के तीन असंगत मामले हैं: 3, 4 या 5 महिलाएँ। इसलिए प्रत्येक मामले में महिलाओं और पुरुषों के चयन को गुणा करके तीनों परिणाम जोड़े जाते हैं। विकल्प B केवल ‘कम-से-कम एक महिला’ की शर्त दर्शाता है। परीक्षा टिप: ‘at least’ में सभी संभव मामलों को शामिल करें। / There are three mutually exclusive cases: exactly 3, 4, or 5 women. Multiply the choices of women and men in each case, then add the results. Option B counts committees with at least one woman, not at least three. Exam tip: for “at least,” list every allowed case before forming the sum.
समिति में ठीक 4 पुरुष होने पर शेष 3 सदस्य महिलाएँ होंगी। 12 पुरुषों में से 4 चुनने के
\(\binom{12}{4}=495\) तरीके और 10 महिलाओं में से 3 चुनने के \(\binom{10}{3}=120\) तरीके हैं। अतः कुल तरीके \(\binom{12}{4}\binom{10}{3}=495\times120=59400\) हैं। केवल \(\binom{22}{7}\) लेना गलत होगा, क्योंकि उसमें पुरुषों की संख्या ठीक 4 होने की शर्त लागू नहीं होती। परीक्षा टिप: ‘ठीक’ दी गई संख्या के लिए प्रत्येक समूह से अलग-अलग चयन करके परिणामों का गुणन करें। / With exactly 4 men in the committee, the remaining 3 members must be women. There are \(\binom{12}{4}=495\) ways to choose 4 men and \(\binom{10}{3}=120\) ways to choose 3 women. Hence, the total number of committees is \(\binom{12}{4}\binom{10}{3}=495\times120=59400\). Using only \(\binom{22}{7}\) would be incorrect because it does not enforce the condition of exactly 4 men. Exam tip: For an “exactly” condition, choose separately from each group and multiply the results.
समिति में ठीक 3 पुरुष होने पर शेष 3 सदस्य महिलाएँ होंगी। 11 पुरुषों में से 3 चुनने के \(\binom{11}{3}=165\) तरीके और 9 महिलाओं में से 3 चुनने के \(\binom{9}{3}=84\) तरीके हैं। अतः कुल तरीके \(\binom{11}{3}\binom{9}{3}=165\times84=13860\) हैं। केवल \(\binom{20}{6}\) लेना गलत होगा, क्योंकि उससे ठीक 3 पुरुष होने की शर्त सुनिश्चित नहीं होती। परीक्षा टिप: ‘ठीक’ दिए होने पर प्रत्येक समूह से आवश्यक संख्या अलग-अलग चुनकर गुणा करें। / With exactly 3 men in the committee, the remaining 3 members must be women. There are \(\binom{11}{3}=165\) ways to choose the men and \(\binom{9}{3}=84\) ways to choose the women. Hence, the total number of committees is \(\binom{11}{3}\binom{9}{3}=165\times84=13860\). Using only \(\binom{20}{6}\) would be incorrect because it does not enforce the condition of exactly 3 men. Exam tip: When ‘exactly’ is specified, choose from each group separately and multiply.
समिति में ठीक 3 पुरुष होने हैं, इसलिए शेष 3 सदस्य महिलाएँ होंगी। 10 पुरुषों में से 3 चुनने के
\(\binom{10}{3}=120\) तरीके और 8 महिलाओं में से 3 चुनने के \(\binom{8}{3}=56\) तरीके हैं। अतः कुल तरीके \(\binom{10}{3}\binom{8}{3}=120\times56=6720\) हैं। विकल्प 5040 में महिलाओं के चयन की संख्या सही नहीं ली गई है। परीक्षा टिप: “ठीक” शब्द आने पर प्रत्येक समूह से आवश्यक संख्या अलग-अलग चुनकर गुणा करें। / Since the committee must contain exactly 3 men, the remaining 3 members must be women. The number of ways to choose 3 men from 10 is \(\binom{10}{3}=120\), and the number of ways to choose 3 women from 8 is \(\binom{8}{3}=56\). Therefore, the total number of committees is \(\binom{10}{3}\binom{8}{3}=120\times56=6720\). Option 5040 results from an incorrect count for selecting the women. Exam tip: When “exactly” is specified, choose the required members from each group separately and multiply.
समिति में ठीक 2 पुरुष होने चाहिए, इसलिए शेष 4 स्थान महिलाओं के होंगे। 9 पुरुषों में से 2 चुनने के \(\binom{9}{2}=36\) तरीके और 7 महिलाओं में से 4 चुनने के \(\binom{7}{4}=35\) तरीके हैं। अतः कुल तरीके \(\binom{9}{2}\binom{7}{4}=36\times35=1260\) हैं। इसलिए विकल्प C सही है। परीक्षा टिप: “ठीक” दिए होने पर प्रत्येक समूह से आवश्यक संख्या अलग-अलग चुनकर गुणा करें। / Exactly 2 men must be selected, so the remaining 4 committee members must be women. The number of ways to choose 2 of the 9 men is \(\binom{9}{2}=36\), and the number of ways to choose 4 of the 7 women is \(\binom{7}{4}=35\). Hence, the total number of committees is \(\binom{9}{2}\binom{7}{4}=36\times35=1260\). Therefore, option C is correct. Exam tip: When “exactly” is specified, choose the required members from each group separately and multiply the results.
समिति में ठीक 3 पुरुष होने पर शेष 2 सदस्य महिलाएँ होंगी। 7 पुरुषों में से 3 चुनने के
\(\binom{7}{3}=35\) तरीके और 6 महिलाओं में से 2 चुनने के \(\binom{6}{2}=15\) तरीके हैं। अतः कुल तरीके \(\binom{7}{3}\binom{6}{2}=35\times15=525\) हैं। \(\binom{13}{5}\) लेना गलत होगा, क्योंकि उसमें पुरुषों की संख्या ठीक 3 होने की शर्त लागू नहीं होती। परीक्षा टिप: ऐसी समिति-चयन समस्याओं में प्रत्येक समूह से आवश्यक संख्या अलग-अलग चुनकर गुणा करें। / With exactly 3 men, the remaining 2 committee members must be women. The number of ways to choose 3 of the 7 men is \(\binom{7}{3}=35\), and the number of ways to choose 2 of the 6 women is \(\binom{6}{2}=15\). Hence, the total number of committees is \(\binom{7}{3}\binom{6}{2}=35\times15=525\). Using \(\binom{13}{5}\) would be incorrect because it does not enforce the condition of exactly 3 men. Exam tip: when fixed numbers are chosen from separate groups, multiply the respective combinations.
एक समिति में 8 सदस्य हैं। इनमें से अध्यक्ष और सचिव के दो अलग-अलग पद भरने हैं। यदि किसी सदस्य को दोनों पद नहीं दिए जा सकते, तो अध्यक्ष और सचिव चुनने के कितने तरीके हैं?
पद अलग-अलग हैं, इसलिए चयन का क्रम महत्त्वपूर्ण है। अध्यक्ष के लिए 8 और फिर सचिव के लिए शेष 7 विकल्प हैं। अतः तरीके \(8\times7=56\) होंगे। \(\binom{8}{2}=28\) केवल दो सदस्यों का क्रमरहित चयन है। परीक्षा टिप: अलग पद हों तो क्रमचय लगाएँ। / Because the posts are distinct, order matters. There are 8 choices for chairperson and then 7 remaining choices for secretary, so \(8\times7=56\). \(\binom{8}{2}=28\) counts an unordered pair only. Exam tip: use permutations when positions are different.
निश्चित सदस्य को शामिल नहीं करना है, इसलिए चयन के लिए केवल 8 सदस्य उपलब्ध हैं। समिति में क्रम का महत्व नहीं होता, अतः संयोजन का प्रयोग करेंगे: \(\binom{8}{3}=\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56\)। इसलिए सही उत्तर 56 है। विकल्प 84, \(\binom{9}{3}\) है, जो निषिद्ध सदस्य को हटाए बिना प्राप्त होता है। परीक्षा टिप: समिति बनाने वाले प्रश्नों में क्रम महत्त्वपूर्ण न हो तो \(nCr\) का उपयोग करें। / Since the fixed member cannot be included, only 8 members are available for selection. The order of members in a committee does not matter, so use combinations: \(\binom{8}{3}=\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56\). Hence, the correct answer is 56. Option 84 equals \(\binom{9}{3}\), which incorrectly includes the excluded member among the available people. Exam tip: use \(nCr\) when forming a committee because order is irrelevant.
अध्यक्ष या सचिव जैसे पद नहीं दिए गए हैं, इसलिए समिति में सदस्यों का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं है। अतः 6 सदस्यों में से 3 चुनने के तरीके \(\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!3!}=20\) हैं। विकल्प 120 क्रम को महत्त्व देने पर मिलने वाला क्रमचय \(^{6}P_3\) है, इसलिए यहाँ सही नहीं है। परीक्षा टिप: पद निर्धारित न हों तो सामान्यतः संयोजन का प्रयोग करें। / Since no positions such as president or secretary are assigned, the order of selected members does not matter. Therefore, the number of ways is \(\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!3!}=20\). The value 120 is \(^{6}P_3\), which counts arrangements where order matters, so it is not applicable here. Exam tip: use combinations when only selection is involved and no posts are assigned.
A. तीन छात्रों की समिति चुनना/Selecting a committee of three students
Explanation
Simple Explanation
समिति चुनने में चुने गए छात्रों का क्रम नहीं बदलता; वही तीन छात्र एक ही समिति बनाते हैं, इसलिए संयोजन प्रयुक्त होता है। विकल्प B में स्थान अलग-अलग हैं, अतः क्रम महत्त्वपूर्ण है। परीक्षा टिप: ‘चुनना’ या ‘समिति’ दिखे तो पहले संयोजन पर विचार करें। / While selecting a committee, the order of the chosen students does not create a new committee, so combinations apply. In option B, positions are different, making order important. Exam tip: words such as “select” and “committee” usually indicate combinations.
A. 5 विद्यार्थियों की समिति चुनना/Selecting a committee of 5 students
Explanation
Simple Explanation
समिति में चुने गए 5 विद्यार्थियों का क्रम बदलने पर समिति नहीं बदलती, इसलिए संयोजन लागू होता है। पदों, रैंक और पासवर्ड में क्रम अलग परिणाम देता है। परीक्षा टिप: “चयन” में पद न हों तो संयोजन सोचें। / Changing the order of the same 5 students does not change a committee, so combinations apply. In ranks, offices and passwords, order creates a different outcome. Exam tip: use combinations for selections without designated roles.
A. 8 विद्यार्थियों में से 3 विद्यार्थियों की समिति चुनना/Choosing a committee of 3 students from 8 students
Explanation
Simple Explanation
समिति चुनने में सदस्यों का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं होता; अतः 3 विद्यार्थियों का वही समूह एक ही चयन है और संयोजन लागू होता है। रैंक देने में क्रम बदलने पर परिणाम बदलता है, इसलिए वहाँ क्रमचय होगा। परीक्षा टिप: “चयन” में क्रम न हो तो संयोजन लें। / In choosing a committee, the order of selected members does not matter, so the same group of 3 is counted once; hence combinations apply. In awarding ranks, changing the order changes the result, so permutations are used. Exam tip: use combinations when order is irrelevant.
