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at least condition MCQ Questions for Class 11

at least condition se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.

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Practice Questions

7 questions tagged with at least condition.

Question 1/7 Expert Mathematics Permutations and Combinations Combinations Class 11 Level 62

एक क्रिकेट दल में (7) बल्लेबाज और (6) गेंदबाज हैं। (6) खिलाड़ियों का समूह चुनना है जिसमें कम से कम (2) गेंदबाज हों। कितने तरीके हैं?

A cricket squad has (7) batters and (6) bowlers. A group of (6) players is to be chosen with at least (2) bowlers. How many ways are possible?

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Correct Answer

A. 1583

Explanation

Simple Explanation

कुल 13 खिलाड़ियों में से 6 चुनने के तरीके \(\binom{13}{6}=1716\) हैं। इनमें उन समूहों को हटाएँ जिनमें 0 या 1 गेंदबाज है। 0 गेंदबाज के लिए \(\binom{7}{6}=7\) तरीके और 1 गेंदबाज के लिए \(\binom{6}{1}\binom{7}{5}=6\times21=126\) तरीके हैं। अतः आवश्यक संख्या \(1716-7-126=1583\) है। विकल्प 1589 में एक गेंदबाज वाले मामलों की गणना गलत होती है। परीक्षा टिप: “कम से कम” वाली शर्त में प्रायः पूरक मामलों को घटाना तेज रहता है। / There are \(\binom{13}{6}=1716\) ways to choose 6 players from all 13 players. Exclude groups containing 0 or 1 bowler. With 0 bowlers, the number of groups is \(\binom{7}{6}=7\). With 1 bowler, it is \(\binom{6}{1}\binom{7}{5}=6\times21=126\). Hence the required number is \(1716-7-126=1583\). The option 1589 results from an incorrect count of the one-bowler cases. Exam tip: for an “at least” condition, counting by complement is often quicker.

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Question 2/7 Expert Mathematics Permutations and Combinations Combinations Class 11 Level 62

8 महिलाओं और 7 पुरुषों में से 5 सदस्यीय समिति बनानी है। यदि समिति में कम-से-कम 3 महिलाएँ होना अनिवार्य है, तो समितियों की संख्या को दर्शाने वाला सही व्यंजक कौन-सा है?

A 5-member committee is to be formed from 8 women and 7 men. If the committee must contain at least 3 women, which expression correctly represents the number of such committees?

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Correct Answer

A. \(\binom{8}{3}\binom{7}{2}+\binom{8}{4}\binom{7}{1}+\binom{8}{5}\)

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Simple Explanation

कम-से-कम 3 महिलाओं के तीन असंगत मामले हैं: 3, 4 या 5 महिलाएँ। इसलिए प्रत्येक मामले में महिलाओं और पुरुषों के चयन को गुणा करके तीनों परिणाम जोड़े जाते हैं। विकल्प B केवल ‘कम-से-कम एक महिला’ की शर्त दर्शाता है। परीक्षा टिप: ‘at least’ में सभी संभव मामलों को शामिल करें। / There are three mutually exclusive cases: exactly 3, 4, or 5 women. Multiply the choices of women and men in each case, then add the results. Option B counts committees with at least one woman, not at least three. Exam tip: for “at least,” list every allowed case before forming the sum.

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Question 3/7 Hard Mathematics Permutations and Combinations Combinations Class 11 Level 63

(11) शिक्षकों और (13) छात्रों में से (7) लोगों का समूह बनाना है जिसमें कम से कम (4) शिक्षक हों। कितने तरीके हैं?

From (11) teachers and (13) students a group of (7) people is to be formed with at least (4) teachers. How many ways are there?

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Correct Answer

D. 136752

Explanation

Simple Explanation

समूह में शिक्षकों की संख्या 4, 5, 6 या 7 हो सकती है। अतः कुल तरीके हैं: \(\binom{11}{4}\binom{13}{3}+\binom{11}{5}\binom{13}{2}+\binom{11}{6}\binom{13}{1}+\binom{11}{7}\binom{13}{0}\) = \(94380+36036+6006+330=136752\)। इसलिए सही उत्तर 136752 है। विकल्प 94380 केवल ठीक 4 शिक्षक चुनने वाले मामले को दर्शाता है, ‘कम से कम 4’ के सभी मामलों को नहीं। परीक्षा टिप: ‘कम से कम’ में दी गई संख्या से लेकर संभव अधिकतम संख्या तक सभी मामले जोड़ें। / The group can contain 4, 5, 6, or 7 teachers. Therefore, the total number of ways is \(\binom{11}{4}\binom{13}{3}+\binom{11}{5}\binom{13}{2}+\binom{11}{6}\binom{13}{1}+\binom{11}{7}\binom{13}{0}\) = \(94380+36036+6006+330=136752\). Hence, 136752 is correct. Option 94380 counts only the case of exactly 4 teachers, not every case covered by “at least 4”. Exam tip: For “at least,” add all cases from the stated number up to the maximum possible number.

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Question 4/7 Hard Mathematics Permutations and Combinations Combinations Class 11 Level 63

(12) गणित और (9) भौतिकी पुस्तकों में से (7) पुस्तकें चुननी हैं जिनमें कम से कम (4) गणित पुस्तकें हों। कितने तरीके हैं?

From (12) mathematics and (9) physics books (7) books are to be selected with at least (4) mathematics books. How many ways are there?

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Correct Answer

C. 79200

Explanation

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कम से कम 4 गणित पुस्तकें लेने के लिए गणित पुस्तकों की संख्या 4, 5, 6 या 7 हो सकती है। अतः कुल तरीके हैं: \(\binom{12}{4}\binom{9}{3}+\binom{12}{5}\binom{9}{2}+\binom{12}{6}\binom{9}{1}+\binom{12}{7}\binom{9}{0}\) = \(41580+28512+8316+792=79200\)। इसलिए सही उत्तर 79200 है। केवल \(\binom{12}{4}\binom{9}{3}\) लेने पर केवल 4 गणित पुस्तकों वाला मामला गिना जाएगा, जबकि प्रश्न में 4 से अधिक गणित पुस्तकें भी अनुमत हैं। परीक्षा टिप: “कम से कम” वाले प्रश्नों में सभी सम्भव अधिक मानों के मामले जोड़ें। / With at least 4 mathematics books, the number of mathematics books selected can be 4, 5, 6, or 7. Hence the total number of selections is \(\binom{12}{4}\binom{9}{3}+\binom{12}{5}\binom{9}{2}+\binom{12}{6}\binom{9}{1}+\binom{12}{7}\binom{9}{0}\) = \(41580+28512+8316+792=79200\). Therefore, 79200 is correct. Using only \(\binom{12}{4}\binom{9}{3}\) counts exactly 4 mathematics books, but the question also allows more than 4. Exam tip: for “at least” conditions, add all the permitted cases above the minimum.

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Question 5/7 Hard Mathematics Permutations and Combinations Combinations Class 11 Level 62

(10) शिक्षकों और (12) छात्रों में से (7) लोगों का समूह बनाना है जिसमें कम से कम (3) शिक्षक हों। कितने तरीके हैं?

From (10) teachers and (12) students a group of (7) people is to be formed with at least (3) teachers. How many ways are there?

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Correct Answer

C. 124872

Explanation

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समूह में शिक्षकों की संख्या 3, 4, 5, 6 या 7 हो सकती है। अतः कुल तरीके हैं: \(\binom{10}{3}\binom{12}{4}+\binom{10}{4}\binom{12}{3}+\binom{10}{5}\binom{12}{2}+\binom{10}{6}\binom{12}{1}+\binom{10}{7}\binom{12}{0}\) = \(59400+46200+16632+2520+120=124872\)। इसलिए सही विकल्प C है। केवल \(\binom{10}{3}\binom{12}{4}\) लेने पर केवल ठीक 3 शिक्षकों वाला मामला गिना जाएगा, जबकि प्रश्न में कम से कम 3 शिक्षक हैं। परीक्षा टिप: “कम से कम” वाले प्रश्नों में सभी संभव मामलों का योग करें। / The number of teachers in the group can be 3, 4, 5, 6, or 7. Hence, the total number of groups is \(\binom{10}{3}\binom{12}{4}+\binom{10}{4}\binom{12}{3}+\binom{10}{5}\binom{12}{2}+\binom{10}{6}\binom{12}{1}+\binom{10}{7}\binom{12}{0}\) = \(59400+46200+16632+2520+120=124872\). Therefore, option C is correct. Using only \(\binom{10}{3}\binom{12}{4}\) counts exactly 3 teachers, not at least 3 teachers. Exam tip: for “at least” conditions, add all the valid cases.

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Question 6/7 Hard Mathematics Permutations and Combinations Combinations Class 11 Level 61

(9) शिक्षकों और (11) छात्रों में से (6) लोगों का समूह बनाना है जिसमें कम से कम (3) शिक्षक हों। कितने तरीके हैं?

From (9) teachers and (11) students a group of (6) people is to be formed with at least (3) teachers. How many ways are there?

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Correct Answer

C. 22260

Explanation

Simple Explanation

समूह में शिक्षकों की संख्या 3, 4, 5 या 6 हो सकती है। अतः कुल तरीके हैं: \(\binom{9}{3}\binom{11}{3}+\binom{9}{4}\binom{11}{2}+\binom{9}{5}\binom{11}{1}+\binom{9}{6}\binom{11}{0}\) = \(13860+6930+1386+84=22260\)। इसलिए सही उत्तर 22260 है। विकल्प 13860 केवल ठीक 3 शिक्षक चुनने के तरीकों को दर्शाता है, जबकि प्रश्न में कम से कम 3 शिक्षक हैं। परीक्षा टिप: ‘कम से कम’ वाले प्रश्नों में सभी संभव मामलों का योग करें। / The group can contain 3, 4, 5, or 6 teachers. Hence, the total number of ways is \(\binom{9}{3}\binom{11}{3}+\binom{9}{4}\binom{11}{2}+\binom{9}{5}\binom{11}{1}+\binom{9}{6}\binom{11}{0}\) = \(13860+6930+1386+84=22260\). Therefore, 22260 is correct. Option 13860 counts only the case of exactly 3 teachers, whereas the question requires at least 3 teachers. Exam tip: For ‘at least’ conditions, add all permitted cases.

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Question 7/7 Hard Mathematics Permutations and Combinations Combinations Class 11 Level 61

(10) गणित और (7) भौतिकी पुस्तकों में से (6) पुस्तकें चुननी हैं जिनमें कम से कम (3) गणित पुस्तकें हों। कितने तरीके हैं?

From (10) mathematics and (7) physics books (6) books are to be selected with at least (3) mathematics books. How many ways are there?

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Correct Answer

C. 10584

Explanation

Simple Explanation

कम से कम 3 गणित पुस्तकें चुनने के लिए गणित पुस्तकों की संख्या 3, 4, 5 या 6 हो सकती है। अतः कुल तरीके हैं: \(\binom{10}{3}\binom{7}{3}+\binom{10}{4}\binom{7}{2}+\binom{10}{5}\binom{7}{1}+\binom{10}{6}\binom{7}{0}\) \(=4200+4410+1764+210=10584\)। इसलिए सही उत्तर 10584 है। केवल 3 गणित पुस्तकों वाला मामला लेने पर अन्य वैध मामले छूट जाएंगे। परीक्षा टिप: “कम से कम” वाले प्रश्नों में सभी संभव मामलों का योग करें। / With at least 3 mathematics books, the number of mathematics books selected can be 3, 4, 5, or 6. Hence, the total number of selections is \(\binom{10}{3}\binom{7}{3}+\binom{10}{4}\binom{7}{2}+\binom{10}{5}\binom{7}{1}+\binom{10}{6}\binom{7}{0}\) \(=4200+4410+1764+210=10584\). Therefore, 10584 is correct. Counting only the case of exactly 3 mathematics books misses the other valid cases. Exam tip: for “at least” conditions, add all permissible cases.

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