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दिया है कि \(^{n}C_2=105\)। अतः \(\frac{n(n-1)}{2}=105\), इसलिए \(n(n-1)=210\) और \(n=15\) मिलता है। अब \(^{15}C_3=\frac{15\times14\times13}{3\times2\times1}=455\)। इसलिए सही उत्तर 455 है। 364, \(^{14}C_3\) का मान है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: पहले \(^{n}C_2\) से \(n\) ज्ञात करें, फिर आवश्यक संयोजन निकालें। / Given \(^{n}C_2=105\), we have \(\frac{n(n-1)}{2}=105\). Thus, \(n(n-1)=210\), which gives \(n=15\). Therefore, \(^{15}C_3=\frac{15\times14\times13}{3\times2\times1}=455\). Hence, 455 is correct. The nearby distractor 364 is \(^{14}C_3\), not \(^{15}C_3\). Exam tip: first determine \(n\) from \(^{n}C_2\), then calculate the required combination.
\(\frac{^{n}C_{5}}{^{n}C_{4}}=\frac{n-4}{5}\) होता है। इसे \(\frac{11}{5}\) के बराबर रखने पर (n=15)। / \(\frac{^{n}C_{5}}{^{n}C_{4}}=\frac{n-4}{5}\). Equating it to \(\frac{11}{5}\) gives (n=15).
संयोजन का गुण है: \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\)। यहाँ \(r\) और \(2r+4\) पूरक सूचकांक होंगे, इसलिए \(r+(2r+4)=16\)। अतः \(3r=12\), जिससे \(r=4\) मिलता है। \(r=-4\) वाला प्रत्यक्ष समानता-प्रसंग संयोजन के मान्य सूचकांक के लिए स्वीकार्य नहीं है। परीक्षा टिप: \(^{n}C_a=^{n}C_b\) में पहले \(a=b\) तथा \(a+b=n\), दोनों स्थितियाँ जाँचें। / Use the identity \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\). Here, \(r\) and \(2r+4\) must be complementary indices, so \(r+(2r+4)=16\). Thus, \(3r=12\), giving \(r=4\). The direct-equality case gives \(r=-4\), which is not a valid index for the combination here. Exam tip: For \(^{n}C_a=^{n}C_b\), check both cases: \(a=b\) and \(a+b=n\).
पास्कल के नियम के अनुसार \,\(^{n}C_r+{}^{n}C_{r+1}=^{n+1}C_{r+1}\)। अतः \(^{13}C_6+{}^{13}C_7=^{14}C_7\)। अब \(^{14}C_7=3432\), इसलिए सही विकल्प D है। विकल्प 1716 केवल \(^{13}C_6\) का मान है, योग का नहीं। परीक्षा टिप: समान ऊपरी सूचकांक वाले लगातार संयोजनों का योग दिखे, तो पास्कल नियम लगाइए। / Using Pascal’s identity, \(^{n}C_r+{}^{n}C_{r+1}=^{n+1}C_{r+1}\). Therefore, \(^{13}C_6+{}^{13}C_7=^{14}C_7\). Since \(^{14}C_7=3432\), option D is correct. The value 1716 is only \(^{13}C_6\), not the required sum. Exam tip: When two consecutive combinations have the same upper index, apply Pascal’s identity.
निश्चित सदस्य को पहले चुन लें और बाकी (2) को (17) में से चुनें। संख्या \(^{17}C_{2}=136\) है। / Fix the required member first and choose the remaining (2) from (17). The number is \(^{17}C_{2}=136\).
संभव मामले (2G3B) और (3G2B) हैं। योग \(^{5}C_{2}\times{}^{6}C_{3}+^{5}C_{3}\times{}^{6}C_{2}=350\)। / The possible cases are (2G3B) and (3G2B). The sum is \(^{5}C_{2}\times{}^{6}C_{3}+^{5}C_{3}\times{}^{6}C_{2}=350\).
ठीक (4) शिक्षक के लिए \(^{10}C_{4}\) और (2) छात्र के लिए \(^{8}C_{2}\) लें। गुणन से (5880) मिलता है। / Choose (4) teachers using \(^{10}C_{4}\) and (2) students using \(^{8}C_{2}\). Multiplication gives (5880).
विशेष लोगों में से (1) और बाकी (4) लोगों को शेष (9) में से चुनें। संख्या \(^{3}C_{1}\times{}^{9}C_{4}=378\)। / Choose (1) special person and the remaining (4) people from the other (9). The number is \(^{3}C_{1}\times{}^{9}C_{4}=378\).
कुल चयन \(^{14}C_{6}\) हैं। कोई नामित विद्यार्थी न चुने जाने वाले \(^{11}C_{6}\) घटाने पर (2541) मिलता है। / Total selections are \(^{14}C_{6}\). Subtract selections with no named student \(^{11}C_{6}\) to get (2541).
वरिष्ठ सदस्यों की संख्या (2), (3), या (4) हो सकती है। योग \(^{4}C_{2}{}^{12}C_{5}+^{4}C_{3}{}^{12}C_{4}+^{4}C_{4}{}^{12}C_{3}=6952\)। / The number of senior members can be (2), (3), or (4). The sum is \(^{4}C_{2}{}^{12}C_{5}+^{4}C_{3}{}^{12}C_{4}+^{4}C_{4}{}^{12}C_{3}=6952\).
(13) बिंदुओं में (5) बिंदु एक रेखा पर और (4) बिंदु दूसरी रेखा पर हैं। ये दोनों समूह अलग हैं और अन्य कोई (3) बिंदु सरल रेखा पर नहीं हैं। कितने त्रिभुज बनेंगे?
कुल \(^{13}C_{3}\) में से अमान्य चयन \(^{5}C_{3}+^{4}C_{3}\) घटाएं। उत्तर (286-14=272)। / Subtract invalid choices \(^{5}C_{3}+^{4}C_{3}\) from total \(^{13}C_{3}\). The answer is (286-14=272).
कुल युग्म \(^{12}C_{2}\) हैं। (5) कोलिनियर बिंदुओं के \(^{5}C_{2}\) युग्मों की जगह (1) रेखा होगी, इसलिए (66-10+1=57)। / Total pairs are \(^{12}C_{2}\). The \(^{5}C_{2}\) pairs from collinear points give only (1) line, so (66-10+1=57).
दो शीर्ष चुनने के तरीके \(^{18}C_{2}\) हैं। इनमें से (18) भुजाएं घटाने पर (135) विकर्ण मिलते हैं। / The ways to choose two vertices are \(^{18}C_{2}\). Subtracting (18) sides gives (135) diagonals.
वृत्त पर स्थित किन्हीं भी 4 बिंदुओं को चुनने पर एक चतुर्भुज बनता है, क्योंकि कोई भी तीन बिंदु एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते। अतः चतुर्भुजों की संख्या \,\(\binom{11}{4}=330\) है। विकल्प 286, \,\(\binom{13}{3}\) के बराबर है, इसलिए वह 11 बिंदुओं में से 4 बिंदु चुनने की स्थिति के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: जब वृत्त पर बिंदुओं से बहुभुज बनाने हों, तो आवश्यक शीर्षों की संख्या के अनुसार संयोजन चुनें। / Any selection of 4 points on a circle forms a quadrilateral because no three of the selected points are collinear. Therefore, the number of quadrilaterals is \,\(\binom{11}{4}=330\). Option 286 equals \,\(\binom{13}{3}\), so it does not represent choosing 4 points from 11. Exam tip: For polygons formed by points on a circle, use combinations by choosing the required number of vertices.
हर आंतरिक प्रतिच्छेद (4) शीर्षों के चयन से बनता है। इसलिए संख्या \(^{10}C_{4}=210\) है। / Each interior intersection is determined by choosing (4) vertices. Hence the number is \(^{10}C_{4}=210\).
वृत्तीय गैर-आसन्न चयन का सूत्र \(\frac{n}{n-r},{}^{n-r}C_{r}\) है। यहां \(\frac{12}{8}\times{}^{8}C_{4}=105\)। / The circular non-adjacent selection formula is \(\frac{n}{n-r},{}^{n-r}C_{r}\). Here \(\frac{12}{8}\times{}^{8}C_{4}=105\).
सबसे छोटे मार्ग में कुल 11 चालें होंगी: 7 दाईं और 4 ऊपर। प्रत्येक मार्ग इन 11 स्थानों में दाईं चालों के 7 स्थान चुनने से बनता है। अतः मार्गों की संख्या \(\binom{11}{7}=\binom{11}{4}=330\) है। \(252=\binom{10}{5}\) होता है, इसलिए वह यहाँ लागू नहीं है। परीक्षा टिप: ग्रिड-पथ के प्रश्नों में कुल चालों में से किसी एक प्रकार की चाल के स्थान चुनें। / A shortest path has 11 moves in total: 7 right moves and 4 up moves. Each path is determined by choosing the 7 positions for the right moves among these 11 positions. Therefore, the number of paths is \(\binom{11}{7}=\binom{11}{4}=330\). The value \(252=\binom{10}{5}\), so it does not apply here. Exam tip: In grid-path questions, choose the positions of one type of move among all moves.
पहले भाग में \(^{5}C_{3}\) और दूसरे भाग में \(^{6}C_{4}\) रास्ते हैं। कुल \(10\times15=150\)। / The first part has \(^{5}C_{3}\) paths and the second part has \(^{6}C_{4}\) paths. Total \(10\times15=150\).
कुल रास्ते \(^{11}C_{6}=462\) हैं। उस बिंदु से होकर जाने वाले \(^{4}C_{2}\times{}^{7}C_{4}=210\) घटाएं, उत्तर (252)। / Total paths are \(^{11}C_{6}=462\). Subtract paths through that point \(^{4}C_{2}\times{}^{7}C_{4}=210\), giving (252).
यदि चुनी गई संख्याएँ क्रम में \(x_1<x_2<\cdots<x_5\) हों, तो लगातार न होने के कारण \(x_{i+1}\ge x_i+2\) होगा। प्रत्येक अगली चुनी संख्या से उसके पहले चुने गए स्थानों की संख्या घटाने पर 21 स्थानों में से 5 स्थान चुनने की समस्या मिलती है। अतः चयन की संख्या \(\binom{25-5+1}{5}=\binom{21}{5}=20349\) है। \(\binom{25}{5}\) लेना गलत होगा, क्योंकि उसमें लगातार संख्याओं वाले चयन भी शामिल होते हैं। परीक्षा टिप: \(n\) वस्तुओं में से \(r\) गैर-लगातार वस्तुएँ चुनने के लिए \(\binom{n-r+1}{r}\) का प्रयोग करें। / Let the selected numbers be \(x_1<x_2<\cdots<x_5\). Since no two are consecutive, \(x_{i+1}\ge x_i+2\). Subtracting the number of earlier selections from each later selected position converts the problem into choosing 5 positions from 21 positions. Hence, the number of selections is \(\binom{25-5+1}{5}=\binom{21}{5}=20349\). Using \(\binom{25}{5}\) would be incorrect because it also counts selections containing consecutive numbers. Exam tip: for choosing \(r\) non-consecutive objects from \(n\) objects, use \(\binom{n-r+1}{r}\).
वृत्त पर \(n\) बिंदुओं में से \(r\) गैर-आसन्न बिंदु चुनने की संख्या \(\frac{n}{n-r}\binom{n-r}{r}\) होती है। अतः यहाँ संख्या \(\frac{10}{10-3}\binom{7}{3}=\frac{10}{7}\times35=50\) है। इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प 42 रैखिक व्यवस्था या अधूरी गणना से आ सकता है, पर वृत्त में पहले और अंतिम बिंदु भी आसन्न होते हैं। परीक्षा टिप: वृत्तीय प्रश्नों में अंतिम और प्रथम स्थान की आसन्नता अवश्य जाँचें। / For choosing \(r\) non-adjacent points from \(n\) points arranged on a circle, the count is \(\frac{n}{n-r}\binom{n-r}{r}\). Thus, \(\frac{10}{10-3}\binom{7}{3}=\frac{10}{7}\times35=50\). Hence, option C is correct. A value such as 42 can result from treating the arrangement as linear or from incomplete counting, but on a circle the first and last points are also adjacent. Exam tip: always account for the adjacency of the first and last positions in circular arrangements.
C. \(\binom{6}{3}\binom{8}{2}+\binom{6}{4}\binom{8}{1}+\binom{6}{5}\binom{8}{0}\)
Explanation
Simple Explanation
कम-से-कम 3 महिलाओं के मामले 3, 4 या 5 महिलाएँ हैं। इनके साथ क्रमशः 2, 1 या 0 पुरुष चुने जाते हैं, इसलिए तीनों गुणन पद जोड़े जाते हैं। परीक्षा में शेष सदस्य हमेशा कुल समिति आकार से जाँचें। / With at least 3 women, the possible cases are 3, 4, or 5 women. They require 2, 1, or 0 men respectively, so all three product terms are added. Exam tip: check that each case totals the committee size of 5.
यह धन पूर्णांक हलों का प्रश्न है। प्रत्येक चर में पहले 1 देने पर शेष योग 15 बचता है। अतः गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या \\(\binom{15+5-1}{5-1}=\binom{19}{4}=3876\\) होगी। इसलिए सही उत्तर 3876 है। \\(\binom{15}{4}\\) लेना गलत होगा, क्योंकि पाँचों चरों को प्रारम्भ में दिए गए 1 को समायोजित करना आवश्यक है। परीक्षा टिप: धन पूर्णांक हलों के लिए सामान्य सूत्र \\(\binom{n-1}{r-1}\\) है। / This is a positive-integer solution problem. First assign 1 to each of the five variables; the remaining sum is 15. The number of non-negative integer solutions is \\(\binom{15+5-1}{5-1}=\binom{19}{4}=3876\\). Hence, 3876 is correct. Using \\(\binom{15}{4}\\) would be incorrect because the initial 1 assigned to every variable must be accounted for. Exam tip: for positive integer solutions of a sum of n into r parts, use \\(\binom{n-1}{r-1}\\).
कुल \(^{16}C_{3}\) से \(x_i\geq6\) वाले मामले घटाकर दोहरे मामले जोड़ें। (560-480+24=104)। / Subtract cases with \(x_i\geq6\) from total \(^{16}C_{3}\) and add double-overlap cases. (560-480+24=104).
कुल \(^{12}C_{2}=66\) हल हैं। \(x\geq4\) वाले \(^{8}C_{2}=28\) घटाने पर (38) मिलते हैं। / There are \(^{12}C_{2}=66\) total solutions. Subtract \(^{8}C_{2}=28\) cases with \(x\geq4\) to get (38).
पहले (4) सूटों में से सूट चुनें और फिर (13) में से (5) पत्ते चुनें। संख्या \(4\times{}^{13}C_{5}=5148\)। / First choose one of (4) suits and then choose (5) cards from (13). The number is \(4\times{}^{13}C_{5}=5148\).
दिल के (2) पत्ते \(^{13}C_{2}\) तरीकों से और बाकी (3) पत्ते \(^{39}C_{3}\) तरीकों से चुने जाएंगे। गुणन से (712842)। / Choose (2) hearts in \(^{13}C_{2}\) ways and the other (3) cards in \(^{39}C_{3}\) ways. Multiplication gives (712842).
कम से कम एक इक्का वाले हाथों की संख्या ज्ञात करने के लिए पूरक विधि लें। कुल 5-पत्ती हाथों की संख्या \(\binom{52}{5}=2598960\) है। जिन हाथों में कोई इक्का नहीं है, वे शेष 48 पत्तों से चुने जाते हैं: \(\binom{48}{5}=1712304\)। अतः आवश्यक संख्या \(\binom{52}{5}-\binom{48}{5}=886656\) है। विकल्प A केवल ठीक एक इक्का वाले हाथों की संख्या है, जबकि प्रश्न में दो, तीन या चार इक्कों वाले हाथ भी शामिल हैं। परीक्षा टिप: “कम से कम” वाले प्रश्नों में अक्सर पूरक गणना सबसे तेज विधि होती है। / Use the complement method for hands containing at least one ace. The total number of 5-card hands is \(\binom{52}{5}=2598960\). Hands with no ace are selected from the remaining 48 cards, giving \(\binom{48}{5}=1712304\). Therefore, the required number is \(\binom{52}{5}-\binom{48}{5}=886656\). Option A counts hands with exactly one ace only, whereas the question also includes hands with two, three, or four aces. Exam tip: for “at least one” conditions, counting the complement is often quickest.
(4) रानियों में से (3) चुनें और बाकी (3) पत्ते (48) गैर-रानी पत्तों से चुनें। संख्या \(^{4}C_{3}\times{}^{48}C_{3}=69184\)। / Choose (3) queens from (4) and the other (3) cards from (48) non-queen cards. The number is \(^{4}C_{3}\times{}^{48}C_{3}=69184\).
सम योग के लिए विषम अंकों की संख्या (0), (2), या (4) होनी चाहिए। गणना \(^{5}C_{0}{}^{4}C_{4}+^{5}C_{2}{}^{4}C_{2}+^{5}C_{4}{}^{4}C_{0}=66\)। / For an even sum, the number of odd digits must be (0), (2), or (4). The count is \(^{5}C_{0}{}^{4}C_{4}+^{5}C_{2}{}^{4}C_{2}+^{5}C_{4}{}^{4}C_{0}=66\).
(3) के (5) गुणज और (10) गैर-गुणज हैं। चयन \(^{5}C_{2}\times{}^{10}C_{2}=450\) होगा। / There are (5) multiples of (3) and (10) non-multiples. The selection count is \(^{5}C_{2}\times{}^{10}C_{2}=450\).
आयत के लिए (6) क्षैतिज रेखाओं में से (2) और (7) ऊर्ध्व रेखाओं में से (2) चुनें। संख्या \(^{6}C_{2}\times{}^{7}C_{2}=315\)। / For a rectangle, choose (2) horizontal lines from (6) and (2) vertical lines from (7). The count is \(^{6}C_{2}\times{}^{7}C_{2}=315\).
पहले (5) विद्यार्थी \(^{10}C_{5}\) तरीकों से चुने जाते हैं। दो समूह अनाम हैं, इसलिए (2) से भाग दें और उत्तर (126) है। / First choose (5) students in \(^{10}C_{5}\) ways. Since the two groups are unnamed, divide by (2) to get (126).
पहले (4) लोगों को \(^{8}C_{4}\) तरीकों से चुनें और उन्हें (3) तरीकों से दो जोड़ों में बांटें। कुल \(70\times3=210\)। / First choose (4) people in \(^{8}C_{4}\) ways and split them into two pairs in (3) ways. Total \(70\times3=210\).
पहले (6) जोड़ों में से (4) जोड़े चुनें और हर चुने जोड़े से (1) व्यक्ति चुनें। संख्या \(^{6}C_{4}\times2^{4}=240\)। / Choose (4) couples from (6) and then choose (1) person from each selected couple. The number is \(^{6}C_{4}\times2^{4}=240\).
एक जैसी टॉफियों की संख्या (0) से (4) तक हो सकती है। योग \(^{8}C_{4}+^{8}C_{3}+^{8}C_{2}+^{8}C_{1}+1=163\)। / The number of identical candies can be from (0) to (4). Sum \(^{8}C_{4}+^{8}C_{3}+^{8}C_{2}+^{8}C_{1}+1=163\).
पत्रिकाएं (2), (3), या (4) ली जा सकती हैं। इसलिए संख्या \(^{9}C_{4}+^{9}C_{3}+^{9}C_{2}=246\)। / The number of magazines can be (2), (3), or (4). Hence the count is \(^{9}C_{4}+^{9}C_{3}+^{9}C_{2}=246\).
हर डिब्बे में पहले (1) गेंद रखें। बची (3) गेंदों का वितरण \(^{6}C_{3}=20\) तरीकों से होगा। / Place (1) ball in each box first. The remaining (3) balls can be distributed in \(^{6}C_{3}=20\) ways.
कुल \(^{11}C_{2}=55\) वितरण हैं। किसी एक डिब्बे में कम से कम (5) गेंदें होने वाले \(3\times{}^{6}C_{2}=45\) घटाएं, उत्तर (10)। / Total distributions are \(^{11}C_{2}=55\). Subtract \(3\times{}^{6}C_{2}=45\) cases where one box has at least (5) balls, giving (10).
ठीक (5) तत्वों वाला उपसमुच्चय चुनना (12) में से (5) तत्व चुनना है। संख्या \(^{12}C_{5}=792\) है। / Choosing a subset with exactly (5) elements means choosing (5) elements from (12). The number is \(^{12}C_{5}=792\).
10 तत्वों के समुच्चय के कुल उपसमुच्चय \(2^{10}=1024\) होते हैं। प्रत्येक सम आकार वाले उपसमुच्चय को किसी एक निश्चित तत्व की सदस्यता बदलकर विषम आकार वाले उपसमुच्चय से जोड़ा जा सकता है; इसलिए सम और विषम आकार वाले उपसमुच्चयों की संख्या बराबर होती है। अतः विषम आकार वाले उपसमुच्चय \(1024/2=512\) हैं। \(1024\) कुल उपसमुच्चयों की संख्या है, केवल विषम आकार वालों की नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(n\geq1\) के लिए सम तथा विषम आकार के उपसमुच्चय प्रत्येक \(2^{n-1}\) होते हैं। / A set with 10 elements has \(2^{10}=1024\) subsets in total. Every even-sized subset can be paired with an odd-sized subset by toggling the membership of one fixed element, so the numbers of even- and odd-sized subsets are equal. Hence, the number of odd-sized subsets is \(1024/2=512\). \(1024\) is the total number of subsets, not just the odd-sized ones. Exam tip: for \(n\geq1\), the number of even-sized subsets and odd-sized subsets is each \(2^{n-1}\).
कम से कम 6 तत्वों वाले उपसमुच्चयों के आकार 6, 7 या 8 हो सकते हैं। अतः उनकी संख्या
\(\binom{8}{6}+\binom{8}{7}+\binom{8}{8}=28+8+1=37\) है। विकल्प 28 केवल ठीक 6 तत्वों वाले उपसमुच्चयों की संख्या है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: “कम से कम” के लिए दिए गए आकार से लेकर अधिकतम आकार तक सभी संयोजन जोड़ें। / A subset with at least 6 elements can have 6, 7, or 8 elements. Therefore, the required number is
\(\binom{8}{6}+\binom{8}{7}+\binom{8}{8}=28+8+1=37\). Option 28 counts only the subsets having exactly 6 elements, so it is not correct. Exam tip: For “at least,” add combinations from the stated size up to the maximum size.
वैंडरमोंड पहचान के अनुसार
\(\sum_{r=0}^{4}{}^{7}C_r\,{}^{5}C_{4-r}={} ^{7+5}C_4={} ^{12}C_4\)। अतः मान \(495\) है। विकल्प 330, \({}^{11}C_4\) का मान है, इसलिए यह यहाँ लागू नहीं होता। परीक्षा टिप: ऐसे योग में ऊपर के दोनों मान जोड़ें और नीचे का मान वही रखें। / Using Vandermonde’s identity, \(\sum_{r=0}^{4}{}^{7}C_r\,{}^{5}C_{4-r}={} ^{7+5}C_4={} ^{12}C_4\). Therefore, the value is \(495\). Option 330 equals \({}^{11}C_4\), so it does not apply here. Exam tip: in this identity, add the upper indices and retain the common total lower index.
r वस्तुएँ चुनना ठीक उतना ही है जितना n-r वस्तुओं को न चुनना; दोनों स्थितियों में चयनित समूह एक-से-एक मिलते हैं। इसलिए \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\)। विकल्प B क्रमचय का सूत्र है। परीक्षा टिप: पूरक शब्द दिखे तो r को n-r से बदलकर जाँचें। / Choosing r objects is equivalent to deciding which n-r objects are left out; these choices correspond one-to-one. Hence \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\). Option B is the permutation formula. Exam tip: for a complement-based choice, replace r with n-r.
द्विपद प्रसार में सामान्य पद \(\binom{8}{r}a^{8-r}b^r\) होता है। \(a^3b^5\) पाने के लिए \(r=5\) होगा, इसलिए गुणांक \(\binom{8}{5}=\binom{8}{3}=56\) है। \(\binom{8}{3}\) और \(\binom{8}{5}\) बराबर होते हैं; दोनों उसी पद का गुणांक देते हैं। परीक्षा टिप: घातों का योग पहले जाँचें—यहाँ \(3+5=8\) है। / In the binomial expansion, the general term is \(\binom{8}{r}a^{8-r}b^r\). To obtain \(a^3b^5\), take \(r=5\); hence the coefficient is \(\binom{8}{5}=\binom{8}{3}=56\). Although one may choose the positions of either the three \(a\)'s or the five \(b\)'s, both counts are equal and refer to the same term. Exam tip: first check that the exponents add up to the binomial power; here, \(3+5=8\).
विजेता संख्याओं में से (4) और गैर-विजेता (24) में से (2) चुनें। संख्या \(^{6}C_{4}\times{}^{24}C_{2}=4140\)। / Choose (4) winning numbers and (2) numbers from the (24) non-winning numbers. The count is \(^{6}C_{4}\times{}^{24}C_{2}=4140\).
मामले (1S1C1O), (1S2C), और (2S1C) हैं। कुल \(2\times3\times4+2\times{}^{3}C_{2}+{}^{2}C_{2}\times3=33\)। / The cases are (1S1C1O), (1S2C), and (2S1C). Total \(2\times3\times4+2\times{}^{3}C_{2}+{}^{2}C_{2}\times3=33\).
(9) सदस्यों में से (4) चुनने हैं। एक जोड़ी (P) के दोनों सदस्य साथ नहीं चुने जा सकते और दूसरी जोड़ी (Q) से कम से कम (1) सदस्य चुना जाना चाहिए। दोनों जोड़ियां अलग हैं। कितने चयन संभव हैं?
पहले (Q) से कम से कम (1) सदस्य वाले चयन \(^{9}C_{4}-^{7}C_{4}=91\) हैं। इनमें (P) की दोनों सदस्य वाली \(^{7}C_{2}-^{5}C_{2}=11\) स्थितियां घटाएं, उत्तर (80)। / First count selections with at least (1) member from (Q): \(^{9}C_{4}-^{7}C_{4}=91\). Subtract \(^{7}C_{2}-^{5}C_{2}=11\) cases containing both members of (P), giving (80).
हर पेशे से (2) चुनें और परिणामों को गुणा करें। संख्या \(^{5}C_{2}\times{}^{6}C_{2}\times{}^{7}C_{2}=3150\)। / Choose (2) people from each profession and multiply the results. The number is \(^{5}C_{2}\times{}^{6}C_{2}\times{}^{7}C_{2}=3150\).
निश्चित सदस्य को शामिल मानकर शेष (14) में से (5) चुनें और दोनों विशेष साथ वाले \(^{12}C_{3}\) घटाएं। उत्तर \(^{14}C_{5}-{}^{12}C_{3}=1782\) है। / After fixing the required member, choose (5) from the remaining (14) and subtract cases where both special members are together, \(^{12}C_{3}\). The answer is \(^{14}C_{5}-{}^{12}C_{3}=1782\).
