Level 62 • 50/50 questions • 25 seconds per question.
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If \(^{n}C_{3}=4,^{n}C_{2}\), what is the value of (n)?
B. (14)
अनुपात \(\frac{^{n}C_{3}}{^{n}C_{2}}=\frac{n-2}{3}\) होगा, इसलिए (n=14)। परीक्षा में पहले अनुपात लिखें। / The ratio is \(\frac{^{n}C_{3}}{^{n}C_{2}}=\frac{n-2}{3}\), so (n=14). In exams write the ratio first.
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If \(^{n}C_{4}=^{n}C_{6}\), what is the value of (n)?
C. 10
संयोजन का सममिति गुण है: \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\)। यहाँ \(^{n}C_4=^{n}C_6\) होने के लिए \(6=n-4\) होगा। अतः \(n=10\)। विकल्प 8 सही नहीं है, क्योंकि \(^{8}C_4\) का सममित पद \(^{8}C_4\) ही होता है, \(^{8}C_6\) नहीं। परीक्षा टिप: जब दो \(nCr\) के निचले सूचकांक अलग हों और उनके मान समान हों, तो उनके सूचकांकों का योग प्रायः \(n\) होता है। / Use the symmetry property of combinations: \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\). For \(^{n}C_4=^{n}C_6\), we need \(6=n-4\). Hence, \(n=10\). Option 8 is not correct because the symmetric counterpart of \(^{8}C_4\) is \(^{8}C_4\), not \(^{8}C_6\). Exam tip: When two \(nCr\) values with different lower indices are equal, their lower indices usually add up to \(n\).
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If \(^{12}C_{r}=^{12}C_{r+4}\), what is the value of (r)?
B. \(4\)
संयोजन का गुण है कि \({}^nC_r={}^nC_{n-r}\)। अतः \({}^{12}C_r={} ^{12}C_{r+4}\) में दूसरे उपसूचकांक पूरक होंगे: \(r+4=12-r\)। इसलिए \(2r=8\) और \(r=4\)। \(r=5\) लेने पर \({}^{12}C_5\) तथा \({}^{12}C_9\) बराबर नहीं होते, क्योंकि 5 और 9 का योग 12 नहीं है। परीक्षा टिप: \({}^nC_a={}^nC_b\) के लिए प्रायः \(a=b\) या \(a+b=n\) जाँचें। / Use the identity \({}^nC_r={}^nC_{n-r}\). Hence, in \({}^{12}C_r={} ^{12}C_{r+4}\), the two lower indices must be complementary: \(r+4=12-r\). Thus \(2r=8\), so \(r=4\). For example, \(r=5\) would compare \({}^{12}C_5\) and \({}^{12}C_9\), which are not equal because 5 and 9 do not add to 12. Exam tip: for \({}^nC_a={}^nC_b\), usually check whether \(a=b\) or \(a+b=n\).
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If \(^{n}C_{2}=66\), what is the value of \(^{n}C_{4}\)?
A. 495
दिया है कि \(^{n}C_2=66\)। अतः \(\frac{n(n-1)}{2}=66\), इसलिए \(n(n-1)=132\)। इससे \(n=12\) प्राप्त होता है। अब \(^{12}C_4=\frac{12\times11\times10\times9}{4\times3\times2\times1}=495\)। इसलिए सही उत्तर 495 है। विकल्प 220, \(^{12}C_3\) का मान है, \(^{12}C_4\) का नहीं। परीक्षा टिप: पहले \(^{n}C_2\) से \(n\) ज्ञात करें, फिर अपेक्षित संयोजन निकालें। / Given \(^{n}C_2=66\), we have \(\frac{n(n-1)}{2}=66\), so \(n(n-1)=132\). Hence \(n=12\). Therefore, \(^{12}C_4=\frac{12\times11\times10\times9}{4\times3\times2\times1}=495\). Thus, 495 is correct. The value 220 is \(^{12}C_3\), not \(^{12}C_4\). Exam tip: first find \(n\) from \(^{n}C_2\), then evaluate the required combination.
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If \(^{n}C_{5}:^{n}C_{4}=7:2\), what is the value of (n)?
D. (21)
\(\frac{^{n}C_{5}}{^{n}C_{4}}=\frac{n-4}{5}=\frac{7}{2}\) से (n=21.5) नहीं आता, इसलिए सही अनुपात जांचना जरूरी है। यहां कोई पूर्णांक (n) संभव नहीं है। / \(\frac{^{n}C_{5}}{^{n}C_{4}}=\frac{n-4}{5}=\frac{7}{2}\) gives no integer (n). Always check validity of the ratio.
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C. (372)
दोनों विशेष चुने जाएं तो \(^{10}C_{3}\), और दोनों न चुने जाएं तो \(^{10}C_{5}\)। कुल (120+252=372)। / If both special students are selected, count \(^{10}C_{3}\); if both are not selected, count \(^{10}C_{5}\). Total (120+252=372).
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C. (560)
मामले (3W2M), (4W1M), (5W0M) हैं। मान \(^{6}C_{3}{}^{8}C_{2}+^{6}C_{4}{}^{8}C_{1}+^{6}C_{5}=560\)। / Cases are (3W2M), (4W1M), and (5W0M). The value is \(^{6}C_{3}{}^{8}C_{2}+^{6}C_{4}{}^{8}C_{1}+^{6}C_{5}=560\).
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C. (182)
कुल \(^{10}C_{4}=210\) हैं। दोनों विशेष साथ होने वाले \(^{8}C_{2}=28\) हटाएं, उत्तर (182)। / Total selections are \(^{10}C_{4}=210\). Remove \(^{8}C_{2}=28\) selections containing both special players, giving (182).
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B. (25)
कुल \(^{7}C_{4}=35\) हैं। दोनों निर्धारित पुस्तकें साथ होने पर \(^{5}C_{2}=10\) चयन हटेंगे। / Total selections are \(^{7}C_{4}=35\). If both specified books are together, \(^{5}C_{2}=10\) selections are removed.
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There are (9) points with no (3) collinear. How many triangles can be formed?
C. 84
एक त्रिभुज बनाने के लिए 9 बिंदुओं में से किसी भी 3 बिंदुओं का चयन करना है। क्योंकि कोई भी 3 बिंदु एक ही सरल रेखा पर नहीं हैं, इसलिए प्रत्येक चयन एक त्रिभुज बनाएगा। अतः कुल त्रिभुजों की संख्या \(\binom{9}{3}=\frac{9\times8\times7}{3\times2\times1}=84\) है। बिंदुओं का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है, इसलिए क्रमचय नहीं बल्कि संयोजन लिया जाता है। परीक्षा टिप: “कोई तीन सह-रेखीय नहीं” दिया हो, तो सामान्यतः सभी 3-बिंदु चयन त्रिभुज बनाते हैं। / To form a triangle, we choose any 3 of the 9 points. Since no 3 points are collinear, every such selection forms a triangle. Therefore, the total number of triangles is \(\binom{9}{3}=\frac{9\times8\times7}{3\times2\times1}=84\). The order of choosing the points does not matter, so combinations—not permutations—are used. Exam tip: When no three points are collinear, every choice of three points gives a triangle.
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A. \(\binom{8}{3}\binom{7}{2}+\binom{8}{4}\binom{7}{1}+\binom{8}{5}\)
कम-से-कम 3 महिलाओं के तीन असंगत मामले हैं: 3, 4 या 5 महिलाएँ। इसलिए प्रत्येक मामले में महिलाओं और पुरुषों के चयन को गुणा करके तीनों परिणाम जोड़े जाते हैं। विकल्प B केवल ‘कम-से-कम एक महिला’ की शर्त दर्शाता है। परीक्षा टिप: ‘at least’ में सभी संभव मामलों को शामिल करें। / There are three mutually exclusive cases: exactly 3, 4, or 5 women. Multiply the choices of women and men in each case, then add the results. Option B counts committees with at least one woman, not at least three. Exam tip: for “at least,” list every allowed case before forming the sum.
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How many diagonals are there in a convex polygon with (10) sides?
B. (35)
दो शीर्ष चुनने के कुल तरीके \(^{10}C_{2}\) हैं। भुजाएं (10) घटाने पर विकर्ण (35) मिलते हैं। / Total ways to choose two vertices are \(^{10}C_{2}\). Subtract (10) sides to get (35) diagonals.
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How many quadrilaterals can be formed from a convex polygon with (12) sides?
C. 495
उत्तल 12-भुज के किसी भी 4 शीर्षों को चुनने पर एक चतुर्भुज बनता है। अतः चतुर्भुजों की संख्या \(\binom{12}{4}=495\) होगी। यहाँ शीर्षों का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं है, इसलिए क्रमचय नहीं बल्कि संयोजन प्रयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 450 जैसा मान \(\binom{10}{2}\) से मिलता है, जो इस प्रश्न में आवश्यक 4 शीर्षों के चयन को नहीं दर्शाता। परीक्षा टिप: उत्तल \(n\)-भुज से बनने वाले चतुर्भुजों की संख्या \(\binom{n}{4}\) होती है। / Every selection of 4 vertices of a convex 12-sided polygon determines exactly one quadrilateral. Therefore, the required number is \(\binom{12}{4}=495\). Since the order of selecting vertices does not matter, combinations—not permutations—are used. For instance, 450 equals \(\binom{10}{2}\), which does not represent choosing 4 vertices here. Exam tip: The number of quadrilaterals formed from a convex \(n\)-gon is \(\binom{n}{4}\).
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A. 1583
कुल 13 खिलाड़ियों में से 6 चुनने के तरीके \(\binom{13}{6}=1716\) हैं। इनमें उन समूहों को हटाएँ जिनमें 0 या 1 गेंदबाज है। 0 गेंदबाज के लिए \(\binom{7}{6}=7\) तरीके और 1 गेंदबाज के लिए \(\binom{6}{1}\binom{7}{5}=6\times21=126\) तरीके हैं। अतः आवश्यक संख्या \(1716-7-126=1583\) है। विकल्प 1589 में एक गेंदबाज वाले मामलों की गणना गलत होती है। परीक्षा टिप: “कम से कम” वाली शर्त में प्रायः पूरक मामलों को घटाना तेज रहता है। / There are \(\binom{13}{6}=1716\) ways to choose 6 players from all 13 players. Exclude groups containing 0 or 1 bowler. With 0 bowlers, the number of groups is \(\binom{7}{6}=7\). With 1 bowler, it is \(\binom{6}{1}\binom{7}{5}=6\times21=126\). Hence the required number is \(1716-7-126=1583\). The option 1589 results from an incorrect count of the one-bowler cases. Exam tip: for an “at least” condition, counting by complement is often quicker.
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C. (310)
कुल \(^{11}C_{4}=330\) से केवल भारतीय \(^{6}C_{4}=15\) और केवल विदेशी \(^{5}C_{4}=5\) हटाएं। उत्तर (310)। / Subtract all-Indian \(^{6}C_{4}=15\) and all-foreign \(^{5}C_{4}=5\) from total \(^{11}C_{4}=330\). Answer (310).
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A. (875)
पहले (5) में से (3,4,5) चुनकर बाकी (10) से पूर्ति करें। \(^{5}C_{3}{}^{10}C_{7}+^{5}C_{4}{}^{10}C_{6}+^{5}C_{5}{}^{10}C_{5}=875\)। / Choose (3,4,5) from the first (5) and complete from the remaining (10). \(^{5}C_{3}{}^{10}C_{7}+^{5}C_{4}{}^{10}C_{6}+^{5}C_{5}{}^{10}C_{5}=875\).
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D. (945)
मामले (3,5), (4,4), और (5,3) हैं। योग \(^{6}C_{3}{}^{7}C_{5}+^{6}C_{4}{}^{7}C_{4}+^{6}C_{5}{}^{7}C_{3}=945\)। / Cases are (3,5), (4,4), and (5,3). Sum \(^{6}C_{3}{}^{7}C_{5}+^{6}C_{4}{}^{7}C_{4}+^{6}C_{5}{}^{7}C_{3}=945\).
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B. (21)
विशेष अभ्यर्थी को निश्चित मानें और बाकी (2) को (7) में से चुनें। संख्या \(^{7}C_{2}=21\)। / Fix the particular candidate and choose remaining (2) from (7). The number is \(^{7}C_{2}=21\).
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A. (105)
कुल \(^{9}C_{4}=126\) हैं। दोनों विरोधी साथ होने पर \(^{7}C_{2}=21\) हटाएं, उत्तर (105)। / Total selections are \(^{9}C_{4}=126\). Remove \(^{7}C_{2}=21\) selections containing both rivals, answer (105).
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B. (60)
ठीक (2) भौतिकी के लिए \(^{4}C_{2}\) और (3) गणित के लिए \(^{5}C_{3}\)। गुणन से (60) मिलता है। / For exactly (2) physics books use \(^{4}C_{2}\), and for (3) mathematics books use \(^{5}C_{3}\). Product is (60).
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C. 2170
5 गेंदों में तीनों रंगों की कम से कम एक गेंद होने पर रंगों का वितरण केवल (3,1,1) या (2,2,1) हो सकता है। वितरण (3,1,1) के लिए चयन हैं: \(\binom63\binom51\binom41+\binom61\binom53\binom41+\binom61\binom51\binom43=760\)। वितरण (2,2,1) के लिए चयन हैं: \(\binom62\binom52\binom41+\binom62\binom51\binom42+\binom61\binom52\binom42=1410\)। अतः कुल चयन \(760+1410=2170\) हैं। विकल्प 1410 केवल दूसरे वितरण का योग है। परीक्षा टिप: रंग-वितरण लिखते समय एक ही वितरण के रंगों के सभी क्रम अवश्य शामिल करें। / Since each colour must be represented among 5 balls, the only possible colour distributions are (3,1,1) and (2,2,1). For (3,1,1), the number of selections is \(\binom63\binom51\binom41+\binom61\binom53\binom41+\binom61\binom51\binom43=760\). For (2,2,1), it is \(\binom62\binom52\binom41+\binom62\binom51\binom42+\binom61\binom52\binom42=1410\). Hence, the total is \(760+1410=2170\). Option 1410 counts only the second distribution. Exam tip: when listing colour distributions, include every assignment of the quantities to the colours.
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B. (16128)
कुल \(^{18}C_{6}=18564\) से दोनों विशेष शामिल वाले \(^{16}C_{4}=1820\) नहीं, सही हटाना यही है और उत्तर (16744) होगा। दिए विकल्पों में सही उत्तर नहीं है। / Total is \(^{18}C_{6}=18564\), and selections with both special members are \(^{16}C_{4}=1820\), giving (16744). None of the options is correct.
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C. (18144)
दो विशेष में से (1) चुनें और बाकी (5) को (18) में से चुनें। संख्या \(^{2}C_{1}{}^{18}C_{5}=17136\) होती है। / Choose (1) of the two special students and (5) from the remaining (18). The number is \(^{2}C_{1}{}^{18}C_{5}=17136\).
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If (^{2n}C_{3}=2,^{n}C_{3}+n^{2}(n-1)), for which condition is the statement true?
A. सभी \(n\geq 3\)all \(n\geq 3\)
दो (n) आकार के समूहों से (3) चुनने में सभी (3) एक समूह से या (2,1) विभाजन से आते हैं। यही पहचान है। / While choosing (3) from two groups of size (n), either all (3) come from one group or the split is (2,1). This proves the identity.
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If \(^{n}C_{r}=^{n}C_{r-2}\) and (r>2), then (n) is equal to what?
A. \(2r-2\)
संयोजन के सममिति गुण के अनुसार \(^{n}C_a=^{n}C_b\) होने पर, जब \(a\ne b\), तब \(a+b=n\) होता है। यहाँ \(r\ne r-2\), इसलिए \(r+(r-2)=n\)। अतः \(n=2r-2\)। \(2r\) लेने पर पूरक सूचकांक \(r\) के बजाय \(r-2\) नहीं मिलेगा। परीक्षा टिप: \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\) पहचान का प्रयोग करें। / Using the symmetry property of combinations, if \(^{n}C_a=^{n}C_b\) and \(a\ne b\), then \(a+b=n\). Here, \(r\ne r-2\), so \(r+(r-2)=n\). Therefore, \(n=2r-2\). Taking \(2r\) would not make \(r-2\) the complementary index of \(r\). Exam tip: use the identity \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\).
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B. (324)
कुल \(^{14}C_{3}=364\) है। अमान्य चयन \(^{6}C_{3}+^{4}C_{3}=24\), इसलिए उत्तर (340) नहीं बल्कि (340) है। / Total is \(^{14}C_{3}=364\). Invalid selections are \(^{6}C_{3}+^{4}C_{3}=24\), so the answer is (340).
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Among (10) distinct points, (4) points are collinear. How many straight lines are determined?
D. (40)
कुल युग्म \(^{10}C_{2}=45\) हैं। (4) कोलिनियर बिंदुओं के \(^{4}C_{2}=6\) युग्मों की जगह (1) रेखा होगी, इसलिए (45-6+1=40)। / Total pairs are \(^{10}C_{2}=45\). The \(^{4}C_{2}=6\) pairs among collinear points give only (1) line, so (45-6+1=40).
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A. 126
गंतव्य तक पहुँचने के लिए 5 दाईं और 4 ऊपर की चालें, अर्थात कुल 9 चालें, आवश्यक हैं। प्रत्येक रास्ता इन 9 चालों में 5 दाईं चालों के स्थान चुनने से निर्धारित होता है। अतः रास्तों की संख्या \(\binom{9}{5}=126\) है। विकल्प 120, \(5!\) है, लेकिन यह केवल 5 वस्तुओं के क्रमचय को दर्शाता है; यहाँ दाईं और ऊपर की कुल चालों की व्यवस्था करनी है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में कुल चालों में से किसी एक प्रकार की चालों के स्थान चुनें। / To reach the destination, 5 right moves and 4 up moves are needed, making 9 moves in all. A path is determined by choosing the positions of the 5 right moves among these 9 moves. Hence, the number of paths is \(\binom{9}{5}=126\). Option 120 equals \(5!\), but that counts arrangements of only 5 objects; here the two types of moves must be arranged among all 9 positions. Exam tip: In such grid-path questions, choose the positions of one type of move from the total moves.
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B. (700)
पहले भाग के रास्ते \(^{5}C_{2}=10\) और दूसरे भाग के रास्ते \(^{6}C_{4}=15\) नहीं, सही दूसरा \(^{6}C_{4}=15\) है। कुल (150) होता है। / First part has \(^{5}C_{2}=10\) paths and the second part has \(^{6}C_{4}=15\) paths. Total is (150).
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C. (3876)
कोई दो लगातार न हों तो सूत्र \(^{n-r+1}C_{r}\) है। यहां \(^{17}C_{4}=2380\), इसलिए सही विकल्प (2380) है। / If no two are consecutive, use \(^{n-r+1}C_{r}\). Here \(^{17}C_{4}=2380\), so the correct answer is (2380).
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Choose (5) numbers from (1) to (15) such that no two are consecutive. How many ways are possible?
A. (462)
अलगाव विधि से संख्या \(^{15-5+1}C_{5}=^{11}C_{5}=462\)। ऐसी समस्याओं में पहले अंतर की शर्त पहचानें। / By the gap method, the count is \(^{15-5+1}C_{5}=^{11}C_{5}=462\). In such problems identify the gap condition first.
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A. (225)
मामले (2) विशेष और (3) अन्य, या (3) विशेष और (2) अन्य हैं। \(^{3}C_{2}{}^{9}C_{3}+^{3}C_{3}{}^{9}C_{2}=288\) होता है। / Cases are (2) special and (3) others, or (3) special and (2) others. The value is \(^{3}C_{2}{}^{9}C_{3}+^{3}C_{3}{}^{9}C_{2}=288\).
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A. (91)
कुल \(^{9}C_{5}=126\) से दोनों न चुने जाने वाले \(^{7}C_{5}=21\) घटते हैं। उत्तर (105) है। / Subtract cases where neither is chosen, \(^{7}C_{5}=21\), from total \(^{9}C_{5}=126\). The answer is (105).
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A. (917)
शिक्षक अधिक होने के मामले (4T2S), (5T1S), (6T0S) हैं। योग \(^{7}C_{4}{}^{8}C_{2}+^{7}C_{5}{}^{8}C_{1}+^{7}C_{6}=1155\) होता है। / Cases are (4T2S), (5T1S), and (6T0S). Sum is \(^{7}C_{4}{}^{8}C_{2}+^{7}C_{5}{}^{8}C_{1}+^{7}C_{6}=1155\).
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D. (385)
एक जैसी वस्तुओं में से (0) से (4) तक ली जा सकती हैं। योग \(\sum_{k=0}^{4}{}^{10}C_{4-k}=386\) नहीं, सही \(^{10}C_{4}+^{10}C_{3}+^{10}C_{2}+^{10}C_{1}+1=386\) है। / We can take (0) to (4) identical objects. The total is \(^{10}C_{4}+^{10}C_{3}+^{10}C_{2}+^{10}C_{1}+1=386\).
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B. (99)
एक जैसी टॉफियों की संख्या (0) से (4) तक हो सकती है। योग \(^{7}C_{4}+^{7}C_{3}+^{7}C_{2}+^{7}C_{1}+1=99\)। / The number of identical candies can be (0) to (4). Sum \(^{7}C_{4}+^{7}C_{3}+^{7}C_{2}+^{7}C_{1}+1=99\).
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A. (792)
समान पुरस्कार और अधिकतम एक पुरस्कार का अर्थ है केवल (5) विद्यार्थियों का चयन। संख्या \(^{12}C_{5}=792\) है। / Identical prizes with at most one per student means choosing (5) students. The number is \(^{12}C_{5}=792\).
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In a meeting of (8) people, how many handshakes occur if every pair shakes hands exactly once?
B. 28
एक हाथ मिलाने में 8 लोगों में से 2 लोगों का एक जोड़ा बनता है और जोड़े का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं होता। अतः कुल हाथ मिलाने की संख्या \(\binom{8}{2}=\frac{8\times7}{2}=28\) है। \(8\times7=56\) लेने पर प्रत्येक हाथ मिलाना दो बार गिना जाएगा, इसलिए 2 से भाग देते हैं। परीक्षा टिप: ‘हर जोड़ा एक बार’ वाले प्रश्नों में सामान्यतः \(\binom{n}{2}\) का प्रयोग करें। / Each handshake is formed by choosing a pair of people from the 8 people, and the order of the two people does not matter. Therefore, the number of handshakes is \(\binom{8}{2}=\frac{8\times7}{2}=28\). Using \(8\times7=56\) would count every handshake twice, so we divide by 2. Exam tip: for “every pair exactly once” questions, usually use \(\binom{n}{2}\).
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C. 5
यदि सभा में उपस्थित लोगों की संख्या n हो, तो प्रत्येक अलग जोड़े के एक बार हाथ मिलाने पर हाथ मिलाने की संख्या \(\binom{n}{2}\) होगी। यहाँ \(\binom{n}{2}=435\), अर्थात \(\frac{n(n-1)}{2}=435\)। इससे \(n(n-1)=870\) और \(n=30\) मिलता है। अतः अनुपस्थित लोगों की संख्या \(35-30=5\) है। विकल्प 6 तब होता यदि केवल 29 लोग उपस्थित होते, पर 29 लोगों के हाथ मिलाने \(\binom{29}{2}=406\) होते। परीक्षा टिप: हैंडशेक वाले प्रश्नों में हमेशा \(\binom{n}{2}\) का उपयोग करें। / If n people are present, the number of handshakes when each distinct pair shakes hands once is \(\binom{n}{2}\). Here, \(\binom{n}{2}=435\), so \(\frac{n(n-1)}{2}=435\). Thus, \(n(n-1)=870\), giving \(n=30\). Therefore, the number absent is \(35-30=5\). Option 6 would mean that only 29 people attended, but then the number of handshakes would be \(\binom{29}{2}=406\). Exam tip: use \(\binom{n}{2}\) for handshake questions when every pair meets once.
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A. \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\)
\(\binom{n}{r}\) वस्तुओं में से \(r\) चुनना उतना ही है जितना \(n-r\) वस्तुओं को छोड़ना, इसलिए \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\)। विकल्प D पास्कल की पहचान है, सममिति नहीं। परीक्षा में पूरक चयन का विचार याद रखें। / Choosing \(r\) objects from \(n\) is equivalent to deciding which \(n-r\) objects are left out; hence \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\). Option D is Pascal’s identity, not symmetry. Exam tip: use complementary selection to spot this relation quickly.
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If \(^{n}C_{2}+^{n}C_{3}=^{n+1}C_{3}\), this identity is based on which rule?
B. पास्कल का नियमPascal's rule
पास्कल का नियम है: \(\binom{n}{r-1}+\binom{n}{r}=\binom{n+1}{r}\)। यहाँ \(r=3\) रखने पर \(\binom{n}{2}+\binom{n}{3}=\binom{n+1}{3}\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर पास्कल का नियम है। गुणन नियम स्वतंत्र चरणों में विकल्पों की संख्या गुणा करने के लिए होता है, इसलिए वह इस योगात्मक पहचान पर लागू नहीं होता। परीक्षा टिप: जिन दो क्रमागत संयोजनों का योग अगले ऊपरी सूचकांक वाले संयोजन के बराबर हो, उसे पास्कल का नियम पहचानें। / Pascal's rule is \(\binom{n}{r-1}+\binom{n}{r}=\binom{n+1}{r}\). On putting \(r=3\), we get \(\binom{n}{2}+\binom{n}{3}=\binom{n+1}{3}\). Hence, the correct answer is Pascal's rule. The multiplication rule is used to multiply the numbers of choices in successive independent steps, so it does not describe this additive identity. Exam tip: A sum of two consecutive binomial coefficients producing one coefficient with upper index increased by 1 indicates Pascal's rule.
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The simplified value of \(^{15}C_{7}+^{15}C_{8}\) is equal to what?
D. \(2,^{15}C_{7}\)
क्योंकि \(^{15}C_{8}=^{15}C_{7}\), योग \(2,^{15}C_{7}\) है। पास्कल से यह \(^{16}C_{8}\) भी है। / Since \(^{15}C_{8}=^{15}C_{7}\), the sum is \(2,^{15}C_{7}\). By Pascal's rule it is also \(^{16}C_{8}\).
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How many total ways are there to choose (3) or (4) objects from (10) distinct objects?
A. 330
3 वस्तुएँ चुनने के तरीके \(\binom{10}{3}=120\) हैं और 4 वस्तुएँ चुनने के तरीके \(\binom{10}{4}=210\) हैं। कोई चयन एक साथ 3 और 4 वस्तुओं का नहीं हो सकता, इसलिए दोनों स्थितियाँ परस्पर अपवर्जी हैं और उनके तरीके जोड़े जाते हैं: \(120+210=330\)। अतः सही उत्तर 330 है। 340 जैसी संख्या तब नहीं मिलेगी क्योंकि संयोजन-संख्याओं का योग ठीक 330 है। परीक्षा टिप: “या” वाली परस्पर अपवर्जी चयन-स्थितियों में अलग-अलग मामलों के तरीकों को जोड़ें। / The number of ways to choose 3 objects is \(\binom{10}{3}=120\), and the number of ways to choose 4 objects is \(\binom{10}{4}=210\). A selection cannot contain both exactly 3 and exactly 4 objects, so these cases are mutually exclusive and their counts are added: \(120+210=330\). Therefore, the correct answer is 330. A value such as 340 is incorrect because the required combination counts add exactly to 330. Exam tip: For mutually exclusive cases joined by “or,” add the number of ways in the separate cases.
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A. 792
जिस निश्चित छात्र को नहीं चुनना है, उसे पहले ही समूह से हटा दें। तब शेष 12 छात्रों में से 5 छात्रों का चयन करना है। अतः तरीकों की संख्या \(\binom{12}{5}=792\) है। विकल्प 924, \(\binom{12}{6}\) के बराबर है, इसलिए यहाँ लागू नहीं होता। परीक्षा टिप: “न चुना जाए” वाली शर्त में उस व्यक्ति को हटाकर शेष समूह पर संयोजन लगाएँ। / Exclude the fixed student first. We then select 5 students from the remaining 12, so the number of selections is \(\binom{12}{5}=792\). Option 924 equals \(\binom{12}{6}\), so it does not apply here. Exam tip: for a person who must not be selected, remove that person and form the combination from the remaining group.
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C. (455)
कुल \(^{12}C_{4}=495\) से सभी लाल \(^{5}C_{4}=5\) और सभी काली \(^{7}C_{4}=35\) हटाएं। उत्तर (455)। / Subtract all-red \(^{5}C_{4}=5\) and all-black \(^{7}C_{4}=35\) from total \(^{12}C_{4}=495\). Answer (455).
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Choose (4) digits from \(1,2,\ldots,9\) such that their sum is even. How many selections are there?
C. (64)
सम योग के लिए विषम अंकों की संख्या (0,2,4) होनी चाहिए। गणना \(^{4}C_{4}+^{5}C_{2}{}^{4}C_{2}+^{5}C_{4}=66\) है। / For an even sum, the number of odd digits must be (0,2,4). Count \(^{4}C_{4}+^{5}C_{2}{}^{4}C_{2}+^{5}C_{4}=66\).
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Choose (3) numbers from (1) to (12) such that their sum is odd. How many selections are possible?
B. (110)
(6) विषम और (6) सम संख्याएं हैं। विषम योग के लिए (1) या (3) विषम चुनें, संख्या \(^{6}C_{1}{}^{6}C_{2}+^{6}C_{3}=110\)। / There are (6) odd and (6) even numbers. For odd sum choose (1) or (3) odd numbers, giving \(^{6}C_{1}{}^{6}C_{2}+^{6}C_{3}=110\).
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C. (55)
कुल \(^{11}C_{2}=55\) से केवल वृत्त \(^{5}C_{2}=10\) घटाने चाहिए। सही संख्या (45) है। / Subtract circle-only selections \(^{5}C_{2}=10\) from total \(^{11}C_{2}=55\). The correct count is (45).
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A. (126)
विशेष खिलाड़ियों की संख्या (0,1,2) हो सकती है, पर (7) अन्य ही हैं। योग \(^{4}C_{0}{}^{7}C_{7}+^{4}C_{1}{}^{7}C_{6}+^{4}C_{2}{}^{7}C_{5}=155\) है। / The number of special players can be (0,1,2), with (7) ordinary players available. Sum \(^{4}C_{0}{}^{7}C_{7}+^{4}C_{1}{}^{7}C_{6}+^{4}C_{2}{}^{7}C_{5}=155\).
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If \(^{n}C_{r}=^{n}C_{r+1}\), what is the relation between (n) and (r)?
B. \(n=2r+1\)
दिया है \(^{n}C_r=^{n}C_{r+1}\)। क्रमागत संयोजनों का अनुपात लें: \(\frac{^{n}C_{r+1}}{^{n}C_r}=\frac{n-r}{r+1}\)। समानता के लिए यह अनुपात 1 होगा, अतः \(n-r=r+1\), इसलिए \(n=2r+1\)। विकल्प \(n=2r\) में सामान्यतः दो क्रमागत संयोजन बराबर नहीं होते। परीक्षा टिप: \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\) सममिति का उपयोग करके भी सीधे \(r+1=n-r\) लिखा जा सकता है। / Given \(^{n}C_r=^{n}C_{r+1}\). Using the ratio of consecutive combinations, \(\frac{^{n}C_{r+1}}{^{n}C_r}=\frac{n-r}{r+1}\). For the two combinations to be equal, this ratio must be 1. Hence \(n-r=r+1\), so \(n=2r+1\). The relation \(n=2r\) does not generally make two consecutive combinations equal. Exam tip: use the symmetry \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\) to write \(r+1=n-r\) directly.
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