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Subjects
Class 11 Mathematics Permutations and Combinations Combinations Expert Level 62

यदि \(^{n}C_{r}=^{n}C_{r+1}\) है, तो (n) और (r) के बीच संबंध क्या है?

If \(^{n}C_{r}=^{n}C_{r+1}\), what is the relation between (n) and (r)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

B. \(n=2r+1\)

Explanation

Simple Explanation

दिया है \(^{n}C_r=^{n}C_{r+1}\)। क्रमागत संयोजनों का अनुपात लें: \(\frac{^{n}C_{r+1}}{^{n}C_r}=\frac{n-r}{r+1}\)। समानता के लिए यह अनुपात 1 होगा, अतः \(n-r=r+1\), इसलिए \(n=2r+1\)। विकल्प \(n=2r\) में सामान्यतः दो क्रमागत संयोजन बराबर नहीं होते। परीक्षा टिप: \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\) सममिति का उपयोग करके भी सीधे \(r+1=n-r\) लिखा जा सकता है। / Given \(^{n}C_r=^{n}C_{r+1}\). Using the ratio of consecutive combinations, \(\frac{^{n}C_{r+1}}{^{n}C_r}=\frac{n-r}{r+1}\). For the two combinations to be equal, this ratio must be 1. Hence \(n-r=r+1\), so \(n=2r+1\). The relation \(n=2r\) does not generally make two consecutive combinations equal. Exam tip: use the symmetry \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\) to write \(r+1=n-r\) directly.

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Correct Answer: B. \(n=2r+1\). Explanation: दिया है \(^{n}C_r=^{n}C_{r+1}\)। क्रमागत संयोजनों का अनुपात लें: \(\frac{^{n}C_{r+1}}{^{n}C_r}=\frac{n-r}{r+1}\)। समानता के लिए यह अनुपात 1 होगा, अतः \(n-r=r+1\), इसलिए \(n=2r+1\)। विकल्प \(n=2r\) में सामान्यतः दो क्रमागत संयोजन बराबर नहीं होते। परीक्षा टिप: \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\) सममिति का उपयोग करके भी सीधे \(r+1=n-r\) लिखा जा सकता है। / Given \(^{n}C_r=^{n}C_{r+1}\). Using the ratio of consecutive combinations, \(\frac{^{n}C_{r+1}}{^{n}C_r}=\frac{n-r}{r+1}\). For the two combinations to be equal, this ratio must be 1. Hence \(n-r=r+1\), so \(n=2r+1\). The relation \(n=2r\) does not generally make two consecutive combinations equal. Exam tip: use the symmetry \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\) to write \(r+1=n-r\) directly.