(1) से (25) तक की संख्याओं में से (5) संख्याएं चुननी हैं ताकि कोई दो लगातार न हों। कितने चयन होंगे?

Correct Answer: D. 20349. Explanation: यदि चुनी गई संख्याएँ क्रम में \(x_1<x_2<\cdots<x_5\) हों, तो लगातार न होने के कारण \(x_{i+1}\ge x_i+2\) होगा। प्रत्येक अगली चुनी संख्या से उसके पहले चुने गए स्थानों की संख्या घटाने पर 21 स्थानों में से 5 स्थान चुनने की समस्या मिलती है। अतः चयन की संख्या \(\binom{25-5+1}{5}=\binom{21}{5}=20349\) है। \(\binom{25}{5}\) लेना गलत होगा, क्योंकि उसमें लगातार संख्याओं वाले चयन भी शामिल होते हैं। परीक्षा टिप: \(n\) वस्तुओं में से \(r\) गैर-लगातार वस्तुएँ चुनने के लिए \(\binom{n-r+1}{r}\) का प्रयोग करें। / Let the selected numbers be \(x_1<x_2<\cdots<x_5\). Since no two are consecutive, \(x_{i+1}\ge x_i+2\). Subtracting the number of earlier selections from each later selected position converts the problem into choosing 5 positions from 21 positions. Hence, the number of selections is \(\binom{25-5+1}{5}=\binom{21}{5}=20349\). Using \(\binom{25}{5}\) would be incorrect because it also counts selections containing consecutive numbers. Exam tip: for choosing \(r\) non-consecutive objects from \(n\) objects, use \(\binom{n-r+1}{r}\).