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A. एक अर्ध-समतल, जिसकी सीमा एक सीधी रेखा होती है/A half-plane bounded by a straight line
Explanation
Simple Explanation
दो चरों वाली रैखिक असमता, जैसे \(ax+by<c\), के सभी हल एक सीधी रेखा \(ax+by=c\) के एक ओर स्थित होते हैं। इसलिए उसका आलेख एक अर्ध-समतल होता है। \(\leq\) या \(\geq\) में सीमा रेखा शामिल होती है, जबकि \(<\) या \(>\) में शामिल नहीं होती। केवल सीधी रेखा रैखिक समीकरण का आलेख होती है, असमता का नहीं। परीक्षा टिप: किसी परीक्षण बिंदु, जैसे \((0,0)\), से सही पक्ष चुनें। / The solutions of a linear inequality in two variables, such as \(ax+by<c\), lie on one side of the line \(ax+by=c\). Hence, its graph represents a half-plane. The boundary line is included for \(\leq\) or \(\geq\), but excluded for \(<\) or \(>\). A straight line alone represents a linear equation, not a linear inequality. Exam tip: Use a test point such as \((0,0)\) to identify the correct side of the boundary line.
\(x=4\) रखने पर \(4>-2\) सत्य है और \(4\le 4\) भी सत्य है, क्योंकि \(\le\) में बराबरी शामिल होती है। \(x=-2\) पहली असमानता को संतुष्ट नहीं करता, क्योंकि वहाँ \(x>-2\) है, \(x\ge -2\) नहीं। परीक्षा-युक्ति: संयुक्त असमानता में प्रत्येक विकल्प को दोनों शर्तों में अलग-अलग जाँचें। / For \(x=4\), both \(4>-2\) and \(4\le 4\) are true; equality is allowed in \(\le\). The value \(x=-2\) fails the first inequality because it requires \(x>-2\), not \(x\ge -2\). Exam tip: test each option against both conditions separately.
विकल्प A में दोनों पक्षों से 4 घटाने पर \(x+4<10\) से \(x<6\) प्राप्त होता है। विकल्प B और D को सरल करने पर \(x>6\) मिलता है। विकल्प C में ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न पलटता है, इसलिए \(-x<-6\) से \(x>6\) मिलता है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य उलटें। / In option A, subtracting 4 from both sides of \(x+4<10\) gives \(x<6\). Options B and D simplify to \(x>6\). In option C, dividing by the negative number \(-1\) reverses the inequality, so \(-x<-6\) also gives \(x>6\). Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों पक्षों से \(2x\) घटाने पर \(2x-3<9\) मिलता है। दोनों पक्षों में \(3\) जोड़ने पर \(2x<12\), और धनात्मक संख्या \(2\) से भाग देने पर \(x<6\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प B गलत है क्योंकि यहाँ किसी ऋणात्मक संख्या से भाग नहीं दिया गया, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलेगा। परीक्षा-टिप: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर ही चिह्न की दिशा बदलती है। / Subtracting \(2x\) from both sides gives \(2x-3<9\). Adding \(3\) to both sides gives \(2x<12\), and dividing by the positive number \(2\) gives \(x<6\). Therefore, option A is correct. Option B is wrong because no division by a negative number occurs, so the inequality sign does not reverse. Exam tip: Reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर \(5-x>6\) मिलता है, इसलिए \(-x>1\)। अब दोनों पक्षों को \(-1\) से गुणा करने पर असमानता की दिशा बदल जाती है और \(x<-1\) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य पलटें। / Multiplying both sides by 2 gives \(5-x>6\), so \(-x>1\). Multiplying both sides by \(-1\) reverses the inequality sign, yielding \(x<-1\). Therefore, option A is correct. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
दिए गए असमिका \(x\ge 1\) के दोनों पक्षों में समान संख्या 2 जोड़ने पर \(x+2\ge 3\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A प्रत्येक \(x\ge 1\) के लिए सत्य है। विकल्प B, C और D हमेशा सत्य नहीं हैं; उदाहरण के लिए \(x=1\) रखने पर B और D असत्य हो जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: असमिका के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ने या घटाने पर असमिका की दिशा नहीं बदलती। / Adding the same number, 2, to both sides of the given inequality \(x\ge 1\) gives \(x+2\ge 3\). Hence, option A is true for every value of \(x\ge 1\). Options B, C, and D are not always true; for example, when \(x=1\), B and D are false. Exam tip: Adding or subtracting the same number on both sides of an inequality does not reverse its sign.
दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर \(x-3>4\) मिलता है। अब दोनों पक्षों में 3 जोड़ने पर \(x>7\) प्राप्त होता है, इसलिए सही उत्तर B है। विकल्प C में असमानता का चिह्न गलत दिशा में बदल दिया गया है; चिह्न तभी उलटता है जब किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग किया जाए। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Dividing both sides by 2 gives \(x-3>4\). Adding 3 to both sides yields \(x>7\), so option B is correct. In option C, the inequality sign has been incorrectly reversed; the sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number. Exam tip: division by a positive number does not change the inequality sign.
कोष्ठक खोलने पर \(3x+6\le 2x+11\) मिलता है। दोनों पक्षों से \(2x\) घटाने पर \(x+6\le 11\), अतः \(x\le 5\)। विकल्प B में असमानता की दिशा गलत है; यहाँ किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग नहीं किया गया है, इसलिए चिन्ह नहीं बदलता। परीक्षा-युक्ति: पहले कोष्ठक खोलें और चर वाले पदों को एक ही पक्ष में लाएँ। / Expanding the bracket gives \(3x+6\le 2x+11\). Subtracting \(2x\) from both sides yields \(x+6\le 11\), so \(x\le 5\). Option B reverses the inequality incorrectly; the sign does not change because we have not multiplied or divided by a negative number. Exam tip: expand brackets first and collect variable terms on one side.
असमानता \(x-7\ge -2\) में दोनों पक्षों में 7 जोड़ने पर \(x\ge -2+7=5\) प्राप्त होता है। इसलिए सही हल \(x\ge 5\) है। विकल्प B में असमानता की दिशा अनावश्यक रूप से बदल दी गई है; केवल जोड़ने या घटाने पर दिशा नहीं बदलती। परीक्षा-युक्ति: असमानता की दिशा तभी बदलती है जब दोनों पक्षों को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग दिया जाए। / For the inequality \(x-7\ge -2\), add 7 to both sides: \(x\ge -2+7=5\). Therefore, the solution is \(x\ge 5\). Option B is incorrect because adding a number does not reverse the inequality sign. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing both sides by a negative number.
असमानता \(2x-7\leq 9\) में दोनों पक्षों में 7 जोड़ने पर \(2x\leq 16\) मिलता है। अब 2 से भाग देने पर \(x\leq 8\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(x=8\) भी हल का भाग है। परीक्षा में याद रखें: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Adding 7 to both sides of \(2x-7\leq 9\) gives \(2x\leq 16\). Dividing by 2 yields \(x\leq 8\), so option A is correct. Option C is incorrect because the boundary value \(x=8\) is included. Exam tip: the inequality sign changes only when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों पक्षों को (-4) से भाग देने पर असमानता का चिन्ह उलट जाता है, क्योंकि (-4) ऋणात्मक है। इसलिए (x > -5) प्राप्त होता है। विकल्प B में चिन्ह उलटने की प्रक्रिया नहीं अपनाई गई है। परीक्षा-युक्ति: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिन्ह अवश्य बदलें। / Dividing both sides by (-4) reverses the inequality sign because (-4) is negative. Thus, (x > -5) is obtained. Option B is incorrect because it does not reverse the sign. Exam tip: Always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता के दोनों पक्षों में 4 जोड़ने पर \(x\geq 10\) मिलता है। अतः 10 तथा उससे बड़े सभी वास्तविक संख्याएँ हल हैं, इसलिए हल-समुच्चय \([10,\infty)\) है। विकल्प B में 10 को शामिल नहीं किया गया है, जबकि \(\geq\) में सीमा-बिंदु शामिल होता है। परीक्षा टिप: \(\geq\) या \(\leq\) होने पर सीमा-बिंदु के लिए वर्ग कोष्ठक लगाएँ। / Adding 4 to both sides gives \(x\geq 10\). Thus, 10 and every real number greater than 10 are solutions, so the solution set is \([10,\infty)\). Option B excludes 10, but \(\geq\) includes the boundary value. Exam tip: use a square bracket at an included endpoint for \(\geq\) or \(\leq\).
दोनों पक्षों से \(3x\) घटाने पर \(4x+3\geq 15\) मिलता है। फिर दोनों पक्षों से 3 घटाने पर \(4x\geq 12\), और 4 से भाग देने पर \(x\geq 3\) प्राप्त होता है। क्योंकि 4 धनात्मक है, असमानता का चिह्न नहीं बदलता। विकल्प B में चिह्न उलट दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न बदलता है। / Subtracting \(3x\) from both sides gives \(4x+3\geq 15\). Subtracting 3 and then dividing by the positive number 4 gives \(x\geq 3\). The inequality sign therefore remains unchanged. Option B incorrectly reverses the sign. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
पहले दोनों पक्षों से 2 घटाने पर \(\frac{x}{3}<3\) प्राप्त होता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 3 से गुणा करने पर \(x<9\) मिलता है, इसलिए सही उत्तर A है। धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिन्ह नहीं बदलता। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिन्ह उलटता है। / Subtracting 2 from both sides gives \(\frac{x}{3}<3\). Multiplying both sides by the positive number 3 yields \(x<9\), so option A is correct. The inequality sign remains unchanged when multiplying or dividing by a positive number. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता \\(\frac{x-1}{2}\geq 4\\) में दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर, क्योंकि 2 धनात्मक है, असमानता का चिन्ह नहीं बदलेगा: \\(x-1\geq 8\\)। अतः \\(x\geq 9\\), इसलिए न्यूनतम पूर्णांक मान 9 है। 8 सही नहीं है, क्योंकि रखने पर \\(\frac{8-1}{2}=3.5<4\\) मिलता है। परीक्षा-युक्ति: किसी धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिन्ह अपरिवर्तित रहता है। / In \\(\frac{x-1}{2}\geq 4\\), multiplying both sides by 2 preserves the inequality because 2 is positive: \\(x-1\geq 8\\). Hence, \\(x\geq 9\\), so the least integer value is 9. The close distractor 8 is incorrect because \\(\frac{8-1}{2}=3.5<4\\). Exam tip: multiplying or dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
\(4x-5<2x+7\) में दोनों पक्षों से \(2x\) घटाने पर \(2x-5<7\) मिलता है। दोनों पक्षों में 5 जोड़ने पर \(2x<12\), और 2 से भाग देने पर \(x<6\) प्राप्त होता है। चूँकि मूल चिह्न '<' है, इसलिए 6 इसमें शामिल नहीं है; अतः \(x\leq 6\) गलत है। परीक्षा में धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Starting with \(4x-5<2x+7\), subtract \(2x\) from both sides to get \(2x-5<7\). Adding 5 gives \(2x<12\), and dividing by the positive number 2 gives \(x<6\). Since the original sign is '<', the endpoint 6 is not included, so \(x\leq 6\) is incorrect. Exam tip: the inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता को हल करने पर \(6x+1\leq 2x+17\) से \(4x\leq 16\), अतः \(x\leq 4\) मिलता है। इसलिए सभी पूर्णांक हल 4 या उससे छोटे हैं और सबसे बड़ा पूर्णांक हल 4 है। विकल्प 5 गलत है, क्योंकि 5 रखने पर \(31\leq 27\) असत्य हो जाता है। परीक्षा में असमानता हल करते समय ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलटने का ध्यान रखें। / Solving the inequality, \(6x+1\leq 2x+17\) gives \(4x\leq 16\), so \(x\leq 4\). Thus, all integer solutions are 4 or less, and the greatest integer solution is 4. Option 5 is incorrect because substituting it gives \(31\leq 27\), which is false. In exams, remember to reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(3\) से भाग देने पर \(x-2>4\) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों में \(2\) जोड़ने पर \(x>6\) मिलता है, इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प C में \(3\) से भाग देने के बाद \(2\) जोड़ना भूल गया है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिन्ह नहीं बदलता। / Dividing both sides by the positive number \(3\) gives \(x-2>4\). Adding \(2\) to both sides yields \(x>6\), so option A is correct. Option C results from forgetting to add \(2\) after division by \(3\). Exam tip: Dividing or multiplying an inequality by a positive number does not reverse its sign.
कोष्ठक खोलने पर \\(6x+2\geq 4x+10\\) मिलता है। दोनों पक्षों से \\(4x\\) घटाने पर \\(2x+2\geq 10\\), अर्थात \\(2x\geq 8\\)। 2 से भाग देने पर \\(x\geq 4\\) प्राप्त होता है, क्योंकि 2 धनात्मक है; इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता। अतः सही उत्तर A है। परीक्षा-टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न उलटता है। / Expanding the bracket gives \\(6x+2\geq 4x+10\\). Subtracting \\(4x\\) from both sides yields \\(2x+2\geq 10\\), so \\(2x\geq 8\\). Dividing by the positive number 2 gives \\(x\geq 4\\); therefore, the inequality sign does not reverse. Hence, option A is correct. Exam tip: the inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number.
A. जब असमानता का चिह्न ≤ या ≥ हो/When the inequality sign is ≤ or ≥
Explanation
Simple Explanation
≤ या ≥ में समानता भी शामिल होती है, इसलिए सीमा मान हल होता है। < और > में सीमा मान शामिल नहीं होता। परीक्षा टिप: संख्या रेखा पर ≤, ≥ के लिए भरा हुआ बिंदु बनाइए। / The signs ≤ and ≥ include equality, so the boundary value is a solution. The signs < and > exclude it. Exam tip: use a filled dot on the number line for ≤ or ≥.
पहले, \\(9-3x<0\\) से \\(-3x<-9\\) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को \\(-3\\) से भाग देने पर असमानता का चिन्ह उलट जाता है, इसलिए \\(x>3\\) मिलता है। विकल्प B में चिन्ह न उलटने की गलती है, जबकि बराबरी वाले विकल्पों में \\(x=3\\) को शामिल किया गया है, पर वह मूल असमानता को संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिन्ह अवश्य उलटें। / From \\(9-3x<0\\), we get \\(-3x<-9\\). Dividing both sides by \\(-3\\) reverses the inequality sign, giving \\(x>3\\). Option B results from forgetting this sign reversal, while the options with equality incorrectly include \\(x=3\\), which does not satisfy the original strict inequality. Exam tip: Reverse the inequality sign whenever you multiply or divide by a negative number.
असमानता \(2x+3>11\) में दोनों पक्षों से 3 घटाने पर \(2x>8\) और 2 से भाग देने पर \(x>4\) प्राप्त होता है। चूँकि \(x\) पूर्णांक है, 4 स्वयं हल नहीं है; 4 से बड़ा सबसे छोटा पूर्णांक 5 है। परीक्षा-युक्ति: \(>\) होने पर सीमा-बिंदु शामिल नहीं होता। / Subtracting 3 from both sides of \(2x+3>11\) gives \(2x>8\), and dividing by 2 gives \(x>4\). Since \(x\) is an integer, 4 is not included; the smallest integer greater than 4 is 5. Exam tip: For a strict inequality \(>\), the boundary value is excluded.
दोनों पक्षों में 1 घटाने पर \(9<3x\) मिलता है। अब 3 से भाग देने पर, क्योंकि 3 धनात्मक है, असमानता का चिह्न नहीं बदलता और \(3<x\), अर्थात् \(x>3\), प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: किसी धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न वही रहता है; चिह्न केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर उलटता है। / Subtracting 1 from both sides gives \(9<3x\). Dividing by 3, which is positive, does not reverse the inequality sign, so we obtain \(3<x\), equivalent to \(x>3\). Therefore, option A is correct. Exam tip: the inequality sign changes direction only when multiplying or dividing by a negative number, not by a positive number.
असमानता \(x+5<12\) में दोनों पक्षों से 5 घटाने पर \(x<7\) प्राप्त होता है। साथ ही \(0\leq x\) है, इसलिए \(x\) के पूर्णांक मान 0 से 6 तक होंगे: \(\{0,1,2,3,4,5,6\}\)। 7 शामिल नहीं है, क्योंकि \(7<7\) असत्य है। परीक्षा-युक्ति: सख्त असमानता \(<\) में सीमा मान शामिल नहीं होता। / Subtracting 5 from both sides of \(x+5<12\) gives \(x<7\). Together with \(0\leq x\), the possible integer values of \(x\) are \(\{0,1,2,3,4,5,6\}\). The value 7 is excluded because \(7<7\) is false. Exam tip: In a strict inequality such as \(<\), the boundary value is not included.
दोनों पक्षों से \\(x\\) घटाने पर \\(2x-2>8\\) मिलता है। दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर \\(2x>10\\), और 2 से भाग देने पर \\(x>5\\) प्राप्त होता है। चूँकि मूल असमानता में ‘>’ है, इसलिए \\(x=5\\) शामिल नहीं है; अतः \\(x\\geq5\\) गलत है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से असमानता को भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Subtracting \\(x\\) from both sides gives \\(2x-2>8\\). Adding 2 to both sides gives \\(2x>10\\), and dividing by 2 yields \\(x>5\\). Since the original inequality is strict, \\(x=5\\) is not included; therefore, \\(x\\geq5\\) is incorrect. Exam tip: Dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
विकल्प A में \(x+3\leq 0\) से दोनों पक्षों में 3 घटाने पर \(x\leq -3\) प्राप्त होता है। विकल्प B का हल \(x\leq 3\), विकल्प C का हल \(x\geq -3\), और विकल्प D का हल \(x\geq 3\) है। परीक्षा में स्थिरांक को दूसरी ओर ले जाते समय उसके चिह्न का ध्यान रखें। / For option A, subtracting 3 from both sides of \(x+3\leq 0\) gives \(x\leq -3\). Option B gives \(x\leq 3\), option C gives \(x\geq -3\), and option D gives \(x\geq 3\). In an exam, carefully track the sign when moving a constant to the other side.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(5\) से विभाजित करने पर असमिका का चिन्ह नहीं बदलता: \(x\leq \frac{-20}{5}=-4\)। इसलिए सही उत्तर \(x\leq -4\) है। विकल्प B में चिन्ह अनावश्यक रूप से उलट दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमिका का चिन्ह उलटता है। / Dividing both sides by the positive number \(5\) does not reverse the inequality sign: \(x\leq \frac{-20}{5}=-4\). Therefore, \(x\leq -4\) is correct. In option B, the sign has been reversed unnecessarily. Exam tip: the inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों पक्षों को \\(-5\\) से भाग देने पर असमानता का चिन्ह उलट जाता है, क्योंकि \\(-5\\) ऋणात्मक संख्या है: \\(x \leq -3\\)। विकल्प B में चिन्ह को उलटने की यह आवश्यक प्रक्रिया नहीं की गई है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर चिन्ह अवश्य बदलें। / Dividing both sides by \\(-5\\) reverses the inequality sign because \\(-5\\) is negative: \\(x \leq -3\\)。 Option B is incorrect because it does not reverse the sign. Exam tip: Always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता \\(4x+6>22\\) में दोनों पक्षों से 6 घटाने पर \\(4x>16\\) प्राप्त होता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 4 से भाग देने पर \\(x>4\\) मिलता है; इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C गलत है क्योंकि \\(x=4\\) रखने पर \\(4x+6=22\\) होता है, जबकि असमानता में 22 से बड़ा होना आवश्यक है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिन्ह नहीं बदलता, लेकिन ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह पलट जाता है। / Starting with \\(4x+6>22\\), subtracting 6 from both sides gives \\(4x>16\\). Dividing by the positive number 4 gives \\(x>4\\), so option A is correct. Option C is incorrect because including \\(x=4\\) would make the left side equal to 22, not greater than 22. Exam tip: dividing or multiplying an inequality by a negative number reverses its sign; a positive number does not.
A. असमानता-चिह्न की दिशा उलटनी होती है/The inequality sign must be reversed
Explanation
Simple Explanation
ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर क्रम उलट जाता है, इसलिए असमानता-चिह्न की दिशा बदलती है। उदाहरण: \(2<5\) को \(-1\) से गुणा करने पर \(-2>-5\) मिलता है। परीक्षा में ऋणात्मक गुणन/भाग दिखते ही चिह्न पलटें। / Multiplication or division by a negative number reverses order, so the inequality sign must be reversed. For example, multiplying \(2<5\) by \(-1\) gives \(-2>-5\). Exam tip: immediately flip the sign when using a negative factor.
दोनों पक्षों को −6 से भाग देने पर असमिका का चिन्ह उलट जाता है, इसलिए 18 को −6 से भाग देने पर x<−3 प्राप्त होता है। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में चिन्ह उलटने की गलती है। परीक्षा में ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमिका का चिन्ह अवश्य बदलें। / Dividing both sides by −6 reverses the inequality sign. Since 18÷(−6)=−3, the result is x<−3, so option A is correct. Option B results from forgetting to reverse the sign. In an exam, always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता \(3x-2<13\) को हल करने पर \(3x<15\), अतः \(x<5\) प्राप्त होता है। इसलिए \(x=5\) हल नहीं है, क्योंकि रखने पर \(3(5)-2=13\) मिलता है और \(13<13\) असत्य है। इसके विपरीत \(x=4\) रखने पर \(10<13\) सत्य है। परीक्षा-टिप: '<' या '>' जैसी कठोर असमानताओं में सीमा-बिंदु शामिल नहीं होता। / Solving \(3x-2<13\) gives \(3x<15\), hence \(x<5\). Therefore, \(x=5\) is not a solution because substitution gives \(3(5)-2=13\), and \(13<13\) is false. In contrast, \(x=4\) satisfies the inequality since \(10<13\). Exam tip: In strict inequalities such as '<' or '>', the boundary value is not included.
पूर्ण संख्याओं का समुच्चय \(\mathbb{W}=\{0,1,2,3,\ldots\}\) होता है। इसलिए \(x\leq 4\) को संतुष्ट करने वाली पूर्ण संख्याएँ \(0,1,2,3,4\) हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें \(0\) शामिल नहीं है, जबकि \(0\) पूर्ण संख्या है। परीक्षा-युक्ति: पहले चर का समुच्चय पहचानें; यहाँ हल वास्तविक संख्याओं का अंतराल नहीं, बल्कि पूर्ण संख्याओं का सीमित समुच्चय है। / The whole-number set is \(\mathbb{W}=\{0,1,2,3,\ldots\}\). Hence the whole numbers satisfying \(x\leq 4\) are \(0,1,2,3,4\). Option B is incorrect because it excludes \(0\), which is a whole number. Exam tip: identify the domain of the variable first; here the solution is a finite set of whole numbers, not an interval of real numbers.
दोनों पक्षों में 11 जोड़ने पर \(8x\geq 5x+21\) मिलता है। दोनों पक्षों से \(5x\) घटाने पर \(3x\geq 21\), अतः 3 से भाग देने पर \(x\geq 7\) प्राप्त होता है। चूँकि 3 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता; अतः \(x\leq 7\) सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है। / Adding 11 to both sides gives \(8x\geq 5x+21\). Subtracting \(5x\) from both sides gives \(3x\geq 21\), and dividing by the positive number 3 yields \(x\geq 7\). The inequality sign does not reverse because the divisor is positive, so \(x\leq 7\) is incorrect. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
पहले दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर \(\frac{x}{4}>3\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 4 से गुणा करने पर \(x>12\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(x=12\) रखने पर असमानता में बराबरी आती है, जबकि यहाँ सख्त चिन्ह \(>\) है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिन्ह नहीं बदलता। / Adding 1 to both sides gives \(\frac{x}{4}>3\). Multiplying both sides by the positive number 4 yields \(x>12\), so option A is correct. Option C is incorrect because \(x=12\) gives equality, whereas the inequality requires a strict greater-than sign. Exam tip: Multiplication or division by a positive number does not reverse the inequality sign.
असमानता \(\frac{x+3}{2}>6\) में दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर \(x+3>12\), अर्थात् \(x>9\) प्राप्त होता है। 9 से बड़ा सबसे छोटा पूर्णांक 10 है, इसलिए सही उत्तर 10 है। ध्यान रखें कि ‘>’ में 9 शामिल नहीं होता; यदि चिह्न ‘\(\geq\)’ होता, तो 9 भी मान्य होता। / Multiplying \(\frac{x+3}{2}>6\) by 2 gives \(x+3>12\), so \(x>9\). The smallest integer greater than 9 is 10. Therefore, the correct answer is 10. Remember that the strict sign ‘>’ excludes 9; with ‘\(\geq\)’, 9 would also be included.
\(6x+5<4x+19\) में दोनों पक्षों से \(4x\) और \(5\) घटाने पर \(2x<14\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(2\) से भाग देने पर \(x<7\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर A है। \(x>7\) चुनना असमानता की दिशा अनावश्यक रूप से बदलने की गलती है; दिशा केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर बदलती है। परीक्षा-युक्ति: किसी हल को मूल असमानता में रखकर जाँच लें। / Subtracting \(4x\) and \(5\) from the respective sides of \(6x+5<4x+19\) gives \(2x<14\). Dividing both sides by the positive number \(2\) yields \(x<7\), so option A is correct. The inequality sign does not reverse because the divisor is positive; reversal is required only when multiplying or dividing by a negative number. Exam tip: Verify the result by testing a value such as \(x=0\) in the original inequality.
दोनों पक्षों से \(5x\) घटाने पर \(4x-4\leq 20\) मिलता है। दोनों पक्षों में 4 जोड़ने पर \(4x\leq 24\), अतः \(x\leq 6\)। इसलिए सभी पूर्णांक \(6\) या उससे छोटे हैं और सबसे बड़ा पूर्णांक हल 6 है। परीक्षा-युक्ति: असमानता हल करने के बाद पूर्णांक हलों की सीमा में सबसे बड़ा मान चुनें। / Subtracting \(5x\) from both sides gives \(4x-4\leq 20\). Adding 4 and dividing by 4 yields \(x\leq 6\). Thus every integer less than or equal to 6 is a solution, and the greatest integer solution is 6. Exam tip: after solving an inequality, identify the largest integer included in the solution set.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 4 से विभाजित करने पर \(x+1>7\) मिलता है। अब दोनों पक्षों से 1 घटाने पर \(x>6\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में 7 को घटाने की गलती हुई है। परीक्षा-युक्ति: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या विभाजित करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है। / Dividing both sides by the positive number 4 gives \(x+1>7\). Subtracting 1 from both sides yields \(x>6\), so option A is correct. Option C results from incorrectly treating 7 as the value of \(x\). Exam tip: the inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number.
कोष्ठक खोलने पर \(6x-15\geq x+10\) मिलता है। दोनों पक्षों से \(x\) घटाने पर \(5x-15\geq 10\), अर्थात \(5x\geq 25\), इसलिए \(x\geq 5\)। ध्यान रखें कि धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Expanding the bracket gives \(6x-15\geq x+10\). Subtracting \(x\) from both sides gives \(5x-15\geq 10\), or \(5x\geq 25\), so \(x\geq 5\). Remember that dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
\(4x-1>15\) में दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर \(4x>16\) और 4 से भाग देने पर \(x>4\) मिलता है। 4 स्वयं हल नहीं है, क्योंकि असमानता सख्त है; 4 से बड़ा सबसे छोटा पूर्णांक 5 है। परीक्षा-युक्ति: \(>\) या \(<\) वाली सख्त असमानता में सीमा-बिंदु शामिल नहीं होता। / Adding 1 to both sides gives \(4x>16\), and dividing by 4 gives \(x>4\). Since the inequality is strict, 4 is not included; the smallest integer greater than 4 is 5. Exam tip: In a strict inequality such as \(>\) or \(<\), the boundary value is excluded.
दोनों पक्षों से 3 घटाने पर \(9 \geq 3x\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 3 से विभाजित करने पर \(3 \geq x\), अर्थात् \(x \leq 3\) प्राप्त होता है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलट दी गई है, जबकि यहाँ 3 से भाग देने पर दिशा नहीं बदलती। परीक्षा में याद रखें: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न बदलता है। / Subtracting 3 from both sides gives \(9 \geq 3x\). Dividing both sides by the positive number 3 gives \(3 \geq x\), which is equivalent to \(x \leq 3\). Option B incorrectly reverses the inequality sign; division by a positive number does not change its direction. Exam tip: the inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों पक्षों से 4 घटाने पर \(10<2x\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 2 से विभाजित करने पर \(5<x\), अर्थात \(x>5\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C गलत है क्योंकि मूल असमानता में बराबरी शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: किसी असमानता को धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Subtracting 4 from both sides gives \(10<2x\). Dividing both sides by the positive number 2 gives \(5<x\), which is equivalent to \(x>5\). Therefore, option A is correct. Option C is incorrect because the original inequality does not include equality. Exam tip: The inequality sign remains unchanged when both sides are multiplied or divided by a positive number.
असमानता \(x-2<5\) में दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर \(x<7\) मिलता है। साथ ही \(x\geq 2\) और \(x\) पूर्णांक है, इसलिए \(x\) के मान 2 से 6 तक होंगे: \(\{2,3,4,5,6\}\)। विकल्प B में 7 शामिल है, लेकिन \(x<7\) के कारण 7 मान्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: सख्त असमानता \(<\) या \(>\) में सीमा-बिंदु शामिल नहीं होता। / Adding 2 to both sides of \(x-2<5\) gives \(x<7\). Since \(x\geq 2\) and \(x\) is an integer, the possible values are the integers from 2 through 6: \(\{2,3,4,5,6\}\). Option B is incorrect because 7 is not allowed by the strict inequality \(x<7\). Exam tip: a strict inequality, such as \(<\) or \(>\), excludes its boundary value.
दोनों पक्षों से \(2x\) घटाने पर \(3x+1>16\) मिलता है। फिर 1 घटाने पर \(3x>15\), और 3 से भाग देने पर \(x>5\) प्राप्त होता है। चूँकि मूल असमानता में ‘>’ है, इसलिए \(x=5\) शामिल नहीं है; अतः \(x\geq5\) गलत है। परीक्षा-टिप: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है, लेकिन यहाँ 3 धनात्मक है। / Subtracting \(2x\) from both sides gives \(3x+1>16\). Subtracting 1 and then dividing by the positive number 3 gives \(x>5\). Since the original inequality is strict, \(x=5\) is not included; therefore, \(x\geq5\) is incorrect. Exam tip: Reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number; here, 3 is positive.
विकल्प A में दोनों पक्षों से 1 घटाने पर \(x+1\geq 0\Rightarrow x\geq -1\) प्राप्त होता है। विकल्प C से \(x\leq -1\) मिलता है, इसलिए वह विपरीत दिशा का हल है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमानता में धनात्मक संख्या जोड़ने या घटाने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / In option A, subtracting 1 from both sides gives \(x+1\geq 0\Rightarrow x\geq -1\). Option C gives \(x\leq -1\), which has the opposite direction. Exam tip: adding or subtracting a positive number does not reverse the inequality sign.
असमानता \\(7x\geq -21\\) में दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 7 से भाग देने पर असमानता का चिन्ह नहीं बदलता। इसलिए \\(x\geq -3\\) प्राप्त होता है। विकल्प B में चिन्ह उलट दिया गया है, जो केवल ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर होता। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिन्ह अवश्य उलटें। / In \\(7x\geq -21\\), dividing both sides by the positive number 7 does not reverse the inequality sign. Thus, \\(x\geq -3\\). Option B is incorrect because the sign would reverse only when multiplying or dividing by a negative number. Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों पक्षों को \(-7\) से भाग देने पर ऋणात्मक संख्या से भाग देने के कारण असमानता का चिह्न उलट जाता है: \(x\geq \frac{28}{-7}=-4\)। अतः सही उत्तर \(x\geq -4\) है। विकल्प B में चिह्न उलटने की इस आवश्यकता को नहीं माना गया है। परीक्षा-टिप: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर चिह्न अवश्य उलटें। / Dividing both sides by \(-7\) reverses the inequality sign because the divisor is negative: \(x\geq \frac{28}{-7}=-4\). Hence, \(x\geq -4\) is correct. Option B is incorrect because it does not reverse the sign. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing an inequality by a negative number.
दोनों पक्षों में 5 जोड़ने पर \(3x<15\) मिलता है। अब 3 से भाग देने पर \(x<5\) प्राप्त होता है; क्योंकि 3 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता। विकल्प C और D में बराबरी का चिह्न अनावश्यक है, जबकि विकल्प B में असमानता की दिशा गलत है। परीक्षा-टिप: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न पलटता है। / Adding 5 to both sides gives \(3x<15\). Dividing by 3 gives \(x<5\); since 3 is positive, the inequality sign remains unchanged. Option C and option D incorrectly include equality, while option B reverses the inequality. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
पहले दोनों पक्षों से 7 घटाने पर \\(-2x\geq -6\\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को \\(-2\\) से भाग देने पर असमानता का चिन्ह उलट जाता है, इसलिए \\(x\leq 3\\) प्राप्त होता है। विकल्प B में चिन्ह उलटने की प्रक्रिया नहीं अपनाई गई है। परीक्षा-टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिन्ह अवश्य बदलें। / Subtracting 7 from both sides gives \\(-2x\geq -6\\). Dividing by \\(-2\\) reverses the inequality sign, so \\(x\leq 3\\). Option B is incorrect because it does not reverse the sign after division by a negative number. Exam tip: Always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
दिए गए असमानता से पहले 2 घटाने पर \(\frac{x}{4}\leq 3\) मिलता है। दोनों पक्षों को 4 से गुणा करने पर \(x\leq 12\) प्राप्त होता है। चूँकि 4 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिन्ह नहीं बदलता; अतः विकल्प A सही है। परीक्षा टिप: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर ही चिन्ह उलटता है। / Subtracting 2 from both sides gives \(\frac{x}{4}\leq 3\). Multiplying both sides by 4 yields \(x\leq 12\). Since 4 is positive, the inequality sign remains unchanged, so option A is correct. Exam tip: the inequality sign reverses only when both sides are multiplied or divided by a negative number.
असमानता को हल करने पर \(5x+8>3x+20\) से \(2x>12\) मिलता है। दोनों पक्षों से \(3x\) घटाने और फिर 2 से भाग देने पर \(x>6\) प्राप्त होता है। 2 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता। विकल्प C गलत है क्योंकि \(x=6\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर होते हैं, जबकि यहाँ 'से बड़ा' चाहिए। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है। / Solving the inequality \(5x+8>3x+20\), subtract \(3x\) from both sides to obtain \(2x>12\). Dividing by the positive number 2 gives \(x>6\), so option A is correct. Option C is incorrect because it includes \(x=6\), but at \(x=6\) both sides are equal, whereas the inequality is strict. Exam tip: reverse the inequality sign whenever you multiply or divide by a negative number.
\(2x\leq 16\) इसलिए \(x\leq 8\) है। चिन्ह तभी बदलता है जब ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करें। / Since \(2x\leq 16\), \(x\leq 8\). The sign changes only when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता को सुलझाएँ: \(2(x-3)\geq x+4\) से पहले ब्रैकेट खोलें: \(2x-6\geq x+4\)। अब दोनों ओर से \(x\) घटाएँ: \(2x-x-6\geq 4\) अर्थात् \(x-6\geq 4\)। दोनों ओर 6 जोड़ने पर \(x\geq 10\) मिलता है। विकल्प C (\(x>10\)) गलत है क्योंकि असमानता में बराबरी की अनुमति है; विकल्प B और D उल्टा सम्बन्ध दिखाते हैं। परीक्षा सुझाव: गुणा/वितरण और फिर समान पदों का घटाव/योग सावधानी से करें; यदि किसी चरण में ऋणात्मक संख्या से गुणा/भाग करना हो तो असमानता का चिह्न उलट जाए। / Solve stepwise: \(2(x-3)\geq x+4\). Expand to get \(2x-6\geq x+4\). Subtract \(x\) from both sides: \(x-6\geq 4\). Add 6 to both sides: \(x\geq 10\). Thus the solution is \(x\geq 10\). Option C (\(x>10\)) is incorrect because the original inequality allows equality. Options B and D give the wrong direction. Exam tip: always expand and then isolate the variable; remember to reverse the inequality only when multiplying or dividing by a negative number.
कोष्ठक खोलने पर \\(3x+6<2x+14\\) मिलता है। दोनों पक्षों से \\(2x\\) घटाने पर \\(x+6<14\\), अतः \\(x<8\\)। इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प C गलत है क्योंकि मूल असमानता में बराबरी का चिन्ह नहीं है; \\(x=8\\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर हो जाते हैं, जो इस सख्त असमानता को संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: सख्त असमानता \\(<\\) में सीमा-बिंदु शामिल नहीं होता। / Expanding the brackets gives \\(3x+6<2x+14\\). Subtracting \\(2x\\) from both sides yields \\(x+6<14\\), so \\(x<8\\). Therefore, option A is correct. Option C is incorrect because the original inequality is strict; when \\(x=8\\), both sides are equal, so the inequality is not satisfied. Exam tip: a strict inequality sign \\(<\\) excludes the boundary value.
\(2x-1\geq 15\) से \(2x\geq 16\) और \(x\geq 8\) मिलता है। सकारात्मक हर हटाने पर चिन्ह वही रहता है। / From \(2x-1\geq 15\), we get \(2x\geq 16\) and \(x\geq 8\). Removing a positive denominator keeps the sign unchanged.
दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर \(5-x>8\) मिलता है। अतः \(-x>3\)। अब दोनों पक्षों को \(-1\) से गुणा करने पर असमानता का चिन्ह उलट जाता है, इसलिए \(x<-3\)। \(x\leq -3\) गलत है, क्योंकि \(x=-3\) रखने पर \(\frac{5-(-3)}{2}=4\) मिलता है, जबकि असमानता में 4 से बड़ा मान चाहिए। परीक्षा में ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय चिन्ह बदलना न भूलें। / Multiplying both sides by 2 gives \(5-x>8\), so \(-x>3\). Multiplying both sides by \(-1\) reverses the inequality sign, yielding \(x<-3\). The option \(x\leq -3\) is incorrect because at \(x=-3\), the left-hand side is \(\frac{5-(-3)}{2}=4\), whereas it must be greater than 4. Exam tip: reverse the inequality sign whenever you multiply or divide by a negative number.
असमानता \(2x+1<9\) में से 1 घटाने पर \(2x<8\) और 2 से भाग देने पर \(x<4\) प्राप्त होता है। चूँकि \(x\) पूर्णांक है, 4 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 3 है। विकल्प 4 गलत है, क्योंकि \(2(4)+1=9\), जो 9 से छोटा नहीं है। परीक्षा-युक्ति: कड़ी असमानता \(<\) में सीमा का मान शामिल नहीं होता। / Subtracting 1 from \(2x+1<9\) gives \(2x<8\), and dividing by the positive number 2 gives \(x<4\). Since \(x\) is an integer, the greatest integer less than 4 is 3. Option 4 is incorrect because \(2(4)+1=9\), which is not less than 9. Exam tip: In a strict inequality \(<\), the boundary value is not included.
असमानता को हल करने पर \(3x-2\leq 13\Rightarrow 3x\leq 15\Rightarrow x\leq 5\) प्राप्त होता है। प्राकृतिक संख्याएँ \(1,2,3,4,5\) हैं, इसलिए \(x\) के कुल 5 संभव मान हैं। परीक्षा में याद रखें कि इस संदर्भ में प्राकृतिक संख्याएँ 1 से शुरू मानी गई हैं; 0 को शामिल करने पर गिनती बदल जाएगी। / Solving the inequality gives \(3x-2\leq 13\Rightarrow 3x\leq 15\Rightarrow x\leq 5\). The natural numbers satisfying this condition are \(1,2,3,4,5\), so there are 5 possible values of \(x\). Exam tip: in this context, natural numbers are taken to start from 1; including 0 would change the count.
दोनों पक्षों से \(2x\) घटाने पर \(2x+3\ge -5\) मिलता है। अब दोनों पक्षों से \(3\) घटाने पर \(2x\ge -8\), और \(2\) से भाग देने पर \(x\ge -4\) प्राप्त होता है। इसलिए हल-समुच्चय \(\{x\mid x\ge -4\}\) है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलट गई है, जबकि विकल्प C और D में \(-4\) पर समता की स्थिति गलत है। परीक्षा में ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न बदलता है। / Subtracting \(2x\) from both sides gives \(2x+3\ge -5\). Subtracting \(3\) and then dividing by \(2\) gives \(2x\ge -8\), so \(x\ge -4\). Therefore, the solution set is \(\{x\mid x\ge -4\}\). Option B reverses the inequality incorrectly, while options C and D mishandle equality at \(-4\). In an exam, remember that the inequality sign changes only when multiplying or dividing by a negative number.
\(-5x\leq 10\) में (-5) से भाग देने पर \(x\geq -2\) होता है। ऋणात्मक भाग से चिन्ह पलटता है। / In \(-5x\leq 10\), dividing by (-5) gives \(x\geq -2\). Division by a negative number reverses the sign.
असमानता को हल करने पर \(8x-3<5x+12\) से \(3x<15\), अतः \(x<5\) प्राप्त होता है। यहाँ दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(3\) से विभाजित किया गया है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता। \(x=5\) शामिल नहीं है क्योंकि मूल असमानता सख्त \(<\) है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है। / Solving \(8x-3<5x+12\) gives \(3x<15\), and hence \(x<5\). Since both sides are divided by the positive number \(3\), the inequality sign remains unchanged. The value \(x=5\) is excluded because the original inequality is strict, \(<\). Exam tip: reverse the inequality sign whenever you multiply or divide by a negative number.
(-4x>-8) में (-4) से भाग देने पर (x<2) मिलता है। खुले चिन्ह का अर्थ सीमा शामिल नहीं है। / In (-4x>-8), dividing by (-4) gives (x<2). The strict sign means the boundary is not included.
असमानता को हल करने के लिए पहले कोष्ठक खोलें: \(5(2x-1)=10x-5\)। इसलिए \(10x-5\leq 3x+16\), अर्थात \(7x\leq 21\)। 7 से भाग देने पर \(x\leq 3\) प्राप्त होता है, इसलिए सही उत्तर A है। ध्यान दें कि 7 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिन्ह नहीं बदलता; विकल्प C में \(x=3\) शामिल नहीं है, जबकि \(x=3\) मूल असमानता को संतुष्ट करता है। / First expand the bracket: \(5(2x-1)=10x-5\). Thus \(10x-5\leq 3x+16\), which gives \(7x\leq 21\). Dividing by the positive number 7 yields \(x\leq 3\), so option A is correct. The inequality sign does not reverse because the divisor is positive; option C is incorrect because it excludes \(x=3\), which satisfies the original inequality. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
कोष्ठक खोलने पर 2(3x + 4) > 4x + 18 से 6x + 8 > 4x + 18 मिलता है। दोनों पक्षों से 4x और 8 घटाने पर 2x > 10, अतः x > 5। इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प C में x = 5 को भी शामिल किया गया है, लेकिन यह सख्त असमानता है; x = 5 रखने पर दोनों पक्ष बराबर हो जाते हैं, इसलिए x = 5 मान्य नहीं है। परीक्षा-टिप: > या < वाली सख्त असमानता में सीमा-बिंदु शामिल नहीं होता। / Expanding the brackets gives 6x + 8 > 4x + 18. Subtracting 4x and 8 from both sides yields 2x > 10, so x > 5. Therefore, option A is correct. Option C incorrectly includes x = 5; substituting x = 5 makes both sides equal, whereas the given inequality is strict. Exam tip: For a strict inequality using > or <, the boundary value is not included.
दोनों पक्षों को 5 से गुणा करने पर, और 5 के धनात्मक होने के कारण असमानता का चिन्ह नहीं बदलता: \(x+3<10\)। अतः दोनों पक्षों से 3 घटाने पर \(x<7\) मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलट गई है, जबकि C और D में बराबरी का चिन्ह अनावश्यक रूप से जोड़ दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिन्ह उलटता है। / Multiplying both sides by 5 does not reverse the inequality because 5 is positive: \(x+3<10\). Subtracting 3 from both sides gives \(x<7\), so option A is correct. Option B reverses the inequality incorrectly, while options C and D add equality, which is not included in the original strict inequality. Exam tip: Reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों पक्षों को 4 से गुणा करने पर, और क्योंकि 4 धनात्मक है, असमानता का चिह्न नहीं बदलेगा: \(3x+2\geq2x+12\)। दोनों पक्षों से \(2x\) घटाने और 2 घटाने पर \(x\geq10\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में असमानता की दिशा गलत है; धनात्मक संख्या से गुणा करने पर चिह्न उलटा नहीं जाता। परीक्षा-टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न उलटता है। / Multiplying both sides by 4, which is positive, does not reverse the inequality: \(3x+2\geq2x+12\). Subtracting \(2x\) and then 2 from both sides gives \(x\geq10\), so option A is correct. Option B reverses the inequality incorrectly; the sign changes only when multiplying or dividing by a negative number. Exam tip: Always check the sign of the number used to multiply or divide an inequality.
हरों 3 और 2 का लघुत्तम समापवर्त्य 6 है। दोनों पक्षों को 6 से गुणा करने पर \(2(x-1)+3(x+2)\leq 24\) मिलता है। अतः \(2x-2+3x+6\leq 24\), यानी \(5x+4\leq 24\), इसलिए \(5x\leq 20\) और \(x\leq 4\)। इस कारण सही उत्तर A है। ध्यान रखें कि धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / The least common multiple of the denominators 3 and 2 is 6. Multiplying both sides by 6 gives \(2(x-1)+3(x+2)\leq 24\). Thus, \(2x-2+3x+6\leq 24\), so \(5x+4\leq 24\), which leads to \(5x\leq 20\) and hence \(x\leq 4\). Therefore, option A is correct. Remember that multiplying or dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
पहले दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर \(\frac{2x+5}{3}>5\) मिलता है। 3 से गुणा करने पर \(2x+5>15\), इसलिए \(2x>10\) और \(x>5\)। चूँकि मूल असमानता में \(>\) है, इसलिए 5 शामिल नहीं होगा; अतः \(x\geq 5\) सही नहीं है। परीक्षा में सख्त असमानता के लिए सीमा-बिंदु को शामिल न करना याद रखें। / Adding 1 to both sides gives \(\frac{2x+5}{3}>5\). Multiplying by 3 yields \(2x+5>15\), so \(2x>10\) and hence \(x>5\). Since the original inequality is strict, 5 is not included; therefore, \(x\geq 5\) is not correct. In an exam, remember that a strict inequality excludes its boundary point.
\(16\leq 4x\) से \(4\leq x\) अर्थात \(x\geq 4\) मिलता है। बाईं तरफ से पढ़ते समय क्रम को ठीक रखें। / From \(16\leq 4x\), we get \(4\leq x\), that is \(x\geq 4\). Keep the order correct when reading from the left.
\(2x+7\geq19\) में दोनों पक्षों से 7 घटाने पर \(2x\geq12\) मिलता है। 2 से भाग देने पर \(x\geq6\) प्राप्त होता है। इसलिए 6 हल-समुच्चय में शामिल है और इसे बंद कोष्ठक से लिखते हैं; अंतराल \([6,\infty)\) होगा। विकल्प B में 6 शामिल नहीं है, इसलिए वह \(x>6\) को दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: \(\geq\) या \(\leq\) होने पर संबंधित अंतिम बिंदु पर बंद कोष्ठक लगाएँ। / Subtracting 7 from both sides gives \(2x\geq12\), and dividing by 2 gives \(x\geq6\). Since equality is included, 6 belongs to the solution set, so it is written with a closed bracket. The interval is therefore \([6,\infty)\). Option B excludes 6 and represents \(x>6\), not \(x\geq6\). Exam tip: use a closed bracket at an endpoint when the inequality includes equality, such as \(\geq\) or \(\leq\).
पहले 5 घटाने पर -2x\geq 6 मिलता है। दोनों पक्षों को -2 से भाग देने पर असमानता की दिशा बदल जाती है, इसलिए x\leq -3। अतः अंतराल (-\infty,-3] है। -3 शामिल है क्योंकि मूल असमानता में बराबर का चिह्न है; इसलिए खुले सिरे वाला विकल्प C गलत है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य पलटें। / Subtracting 5 from both sides gives -2x\geq 6. Dividing by -2 reverses the inequality, so x\leq -3. Therefore, the interval is (-\infty,-3]. The endpoint -3 is included because the original inequality contains equality, so the open-end option C is incorrect. Exam tip: always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता से (4x>16) और (x>4) मिलता है। दिए गए विकल्पों में केवल (5) इस शर्त को मानता है। / The inequality gives (4x>16) and (x>4). Among the options, only (5) satisfies this condition.
\(12\leq 3x\) से \(x\geq 4\) मिलता है। दिए गए विकल्पों में (4) सही है क्योंकि बराबरी शामिल है। / From \(12\leq 3x\), we get \(x\geq 4\). Among the options, (4) is correct because equality is included.
A. क्योंकि हल \\(x\leq 4\\) है/Because the solution is \\(x\leq 4\\)
Explanation
Simple Explanation
असमानता को हल करने पर \\(2x-3\leq x+1\\) से \\(x\leq 4\\) प्राप्त होता है। इसलिए \\(x=4\\) हल-समुच्चय में शामिल है। सीधे जाँचने पर दोनों पक्ष 5 मिलते हैं, अर्थात \\(5\leq 5\\), जो सत्य है। \\(\leq\\) चिह्न बराबरी को भी स्वीकार करता है; इसलिए \\(x<4\\) सही हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: यदि असमानता में \\(\leq\\) या \\(\geq\\) हो, तो सीमा-बिंदु को शामिल करें। / Solving \\(2x-3\leq x+1\\) gives \\(x\leq 4\\), so \\(x=4\\) belongs to the solution set. Substituting \\(x=4\\) gives 5 on both sides, so \\(5\leq 5\\) is true. The symbol \\(\leq\\) includes equality, which is why \\(x<4\\) is not the correct solution. Exam tip: Include the boundary value when the inequality sign is \\(\leq\\) or \\(\geq\\).
दोनों तरफ से (6x) घटाने पर (1>-5) मिलता है जो हमेशा सत्य है। इसलिए सभी वास्तविक (x) हल हैं। / Subtracting (6x) from both sides gives (1>-5), which is always true. Therefore all real (x) are solutions.
दोनों पक्षों से \(4x\) घटाने पर \(9<2\) प्राप्त होता है, जो सदैव असत्य है। इसलिए किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए दी गई असमानता सत्य नहीं होगी और इसका हल समुच्चय रिक्त है। विकल्प B तब सही होता जब सरलीकरण के बाद कोई सदैव सत्य कथन मिलता। परीक्षा-टिप: यदि चर के पद कटने के बाद असत्य स्थिर कथन मिले, तो हल ‘कोई नहीं’ होता है। / Subtracting \(4x\) from both sides gives \(9<2\), which is always false. Therefore, no real value of \(x\) can satisfy the inequality, so the solution set is empty. Option B would apply only if simplification produced an always-true statement. Exam tip: when the variable terms cancel and leave a false constant inequality, the answer is no solution.
असमानता \(ax+b<c\) में दोनों पक्षों से \(b\) घटाने पर \(ax<c-b\) मिलता है। अब \(a>0\) है, इसलिए दोनों पक्षों को \(a\) से भाग देने पर असमानता का चिन्ह नहीं बदलता और \(x<\frac{c-b}{a}\) प्राप्त होता है। विकल्प B तब बनता जब \(a<0\) होता; C और D में अनावश्यक रूप से बराबरी का चिन्ह है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिन्ह उलटता है। / Starting with \(ax+b<c\), subtracting \(b\) from both sides gives \(ax<c-b\). Since \(a>0\), division by \(a\) does not reverse the inequality sign, so \(x<\frac{c-b}{a}\). Option B would be correct only for a negative coefficient \(a\), while C and D incorrectly include equality. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
‘20 से अधिक नहीं’ का अर्थ 20 से कम या उसके बराबर होता है, इसलिए असमिका \(x+7\leq20\) बनेगी। दोनों पक्षों से 7 घटाने पर \(x\leq13\) प्राप्त होता है। विकल्प B में असमिका की दिशा उलट दी गई है, जबकि विकल्प C और D में 13 पर समानता की संभावना गलत रूप से हटा दी गई है। परीक्षा-युक्ति: ‘नहीं से अधिक’ या ‘at most’ को \(\leq\) के रूप में लिखें। / ‘Not more than 20’ means less than or equal to 20, so the inequality is \(x+7\leq20\). Subtracting 7 from both sides gives \(x\leq13\). Option B reverses the inequality, while options C and D incorrectly exclude or reverse the equality case at 13. Exam tip: Translate ‘not more than’ or ‘at most’ as \(\leq\).
संख्या को \(x\) मानने पर असमिका \(3x-5\geq 16\) बनती है। दोनों पक्षों में 5 जोड़ने पर \(3x\geq 21\), और 3 से भाग देने पर \(x\geq 7\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प B में असमिका की दिशा गलत है, जबकि विकल्प C में ‘कम से कम’ के लिए आवश्यक बराबरी का चिन्ह शामिल नहीं है। परीक्षा-टिप: ‘कम से कम’ का अर्थ \(\geq\) और ‘से अधिक’ का अर्थ \(>\) होता है। / Let the number be \(x\). The inequality is \(3x-5\geq 16\). Adding 5 to both sides gives \(3x\geq 21\), and dividing by 3 gives \(x\geq 7\). Therefore, option A is correct. Option B reverses the inequality incorrectly, while option C excludes the value \(x=7\), even though ‘at least’ includes equality. Exam tip: ‘at least’ means \(\geq\), whereas ‘greater than’ means \(>\).
यदि रवि x कॉपियाँ खरीदता है, तो बची हुई राशि \(50-8x\) रुपये होगी। कम से कम 10 रुपये बचाने की शर्त \(50-8x\ge 10\) है, जिससे \(x\le 5\) प्राप्त होता है। इसलिए अधिकतम पूर्णांक संख्या 5 है। विकल्प 6 गलत है, क्योंकि 6 कॉपियों पर 48 रुपये खर्च होंगे और केवल 2 रुपये बचेंगे। परीक्षा-युक्ति: ऐसी समस्याओं में पहले असमिका बनाकर, फिर पूर्णांक और अधिकतम मान चुनें। / If Ravi buys x notebooks, the amount left is \(50-8x\) rupees. The condition for saving at least 10 rupees is \(50-8x\ge 10\), which gives \(x\le 5\). Therefore, the greatest possible whole number of notebooks is 5. Option 6 is incorrect because buying 6 notebooks costs 48 rupees and leaves only 2 rupees. Exam tip: Form the inequality first, then choose the greatest feasible whole-number value.
असमानता \(x+12\ge 40\) में दोनों पक्षों से 12 घटाने पर \(x\ge 28\) प्राप्त होता है। इसलिए \(x\) का सबसे छोटा संभव मान 28 है। विकल्प 27 गलत है, क्योंकि \(27+12=39\), जो 40 से कम है और उत्तीर्ण होने की शर्त पूरी नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: ‘कम से कम’ का अर्थ \(\ge\) होता है, इसलिए सीमा-बिंदु भी शामिल किया जाता है। / Subtracting 12 from both sides of \(x+12\ge 40\) gives \(x\ge 28\). Therefore, the smallest possible value of \(x\) is 28. Option 27 is incorrect because \(27+12=39\), which is less than 40 and does not satisfy the passing condition. Exam tip: ‘At least’ means \(\ge\), so the boundary value is included.
कोष्ठक खोलने पर 2x + 2 - 3x + 6 < 10 मिलता है, अर्थात् -x + 8 < 10। इसलिए -x < 2 होगा। दोनों पक्षों को -1 से गुणा करने पर असमानता की दिशा बदल जाती है और x > -2 प्राप्त होता है। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य उलटें; इसलिए x < -2 वाला विकल्प गलत है। / Expanding the brackets gives 2x + 2 - 3x + 6 < 10, so -x + 8 < 10 and hence -x < 2. Multiplying both sides by -1 reverses the inequality sign, giving x > -2. Therefore, option A is correct. Exam tip: always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number; this is why x < -2 is incorrect.
पहले कोष्ठक हटाएँ: \(4-(x-3)=4-x+3=7-x\)। अतः \(7-x\geq 2x+1\), जिससे \(6\geq 3x\) और दोनों पक्षों को \(3\) से भाग देने पर \(x\leq 2\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलट दी गई है, जबकि धनात्मक संख्या से भाग देने पर दिशा नहीं बदलती। परीक्षा-युक्ति: असमानता का चिह्न केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर उलटता है। / First remove the bracket: \(4-(x-3)=4-x+3=7-x\). Thus, \(7-x\geq 2x+1\), which gives \(6\geq 3x\). Dividing both sides by the positive number \(3\) yields \(x\leq 2\), so option A is correct. Option B incorrectly reverses the inequality; the sign does not change when dividing by a positive number. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
\(\frac{x}{2}-\frac{x}{3}=\frac{3x-2x}{6}=\frac{x}{6}\), इसलिए \(\frac{x}{6}>1\)। दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 6 से गुणा करने पर \(x>6\) मिलता है। विकल्प C गलत है, क्योंकि मूल असमानता में \(>\) है, \(\geq\) नहीं; अतः 6 स्वयं हल-समुच्चय में शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय चिन्ह उलटता है, लेकिन यहाँ 6 धनात्मक है। / \(\frac{x}{2}-\frac{x}{3}=\frac{3x-2x}{6}=\frac{x}{6}\), so \(\frac{x}{6}>1\). Multiplying both sides by the positive number 6 gives \(x>6\). Option C is incorrect because the original sign is \(>\), not \(\geq\); therefore, 6 itself is not included in the solution set. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number; here, 6 is positive.
हर पद से भिन्न हटाने के लिए दोनों पक्षों को 5 से गुणा करें। चूँकि 5 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलेगा: \(3x+10\leq x+30\)। अतः \(2x\leq20\), जिससे \(x\leq10\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलट दी गई है, जबकि C और D में \(x=10\) को गलत रूप से बाहर कर दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: किसी धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न अपरिवर्तित रहता है। / Multiply both sides by 5 to clear the denominators. Since 5 is positive, the inequality sign does not change: \(3x+10\leq x+30\). Thus, \(2x\leq20\), giving \(x\leq10\). Therefore, option A is correct. Option B reverses the inequality incorrectly, while C and D wrongly exclude or change the endpoint \(x=10\). Exam tip: the inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number.
B. किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा करना/Multiplying by a negative number
Explanation
Simple Explanation
ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर संख्या-रेखा पर क्रम उलटता है, इसलिए असमानता का चिह्न भी उलटते हैं। जैसे, 2 < 5 को −1 से गुणा करने पर −2 > −5 मिलता है। परीक्षा में ऋण चिह्न देखते ही चिह्न पलटें। / Multiplication or division by a negative number reverses the order on the number line, so the inequality sign must reverse. For example, multiplying 2 < 5 by −1 gives −2 > −5. Exam tip: flip the sign whenever you multiply or divide by a negative value.
सभी भागों को (3) से भाग देने पर \(-2\leq x<4\) मिलता है। सकारात्मक भाग से चिन्ह नहीं बदलता। / Dividing all parts by (3) gives \(-2\leq x<4\). Division by a positive number does not change signs.
असमानता को हल करने पर \(7x-4\geq 3x+20\), इसलिए \(4x\geq 24\) और \(x\geq 6\) मिलता है। अतः सबसे छोटा पूर्णांक हल 6 है। विकल्प 5 गलत है, क्योंकि \(x=5\) रखने पर \(31\geq 35\) असत्य होता है। परीक्षा-युक्ति: जब किसी असमानता को धनात्मक संख्या से गुणा या भाग किया जाता है, तो असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Solving the inequality gives \(7x-4\geq 3x+20\), so \(4x\geq 24\) and hence \(x\geq 6\). Therefore, the least integer solution is 6. Option 5 is incorrect because substituting \(x=5\) gives \(31\geq 35\), which is false. Exam tip: the inequality sign does not reverse when multiplying or dividing by a positive number.
कोष्ठक खोलने पर \(5-2(3x-1)=7-6x\), इसलिए \(7-6x\leq 15\) और \(-6x\leq 8\) मिलता है। \(-6\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है, अतः \(x\geq -\frac{4}{3}\)। विकल्प B में चिह्न उलटने की प्रक्रिया नहीं की गई है। परीक्षा-युक्ति: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य बदलें। / Expanding the bracket gives \(5-2(3x-1)=7-6x\), so \(7-6x\leq 15\) and hence \(-6x\leq 8\). Dividing by \(-6\) reverses the inequality sign, giving \(x\geq -\frac{4}{3}\). Option B is incorrect because it fails to reverse the sign. Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों हरों 5 और 2 का लघुत्तम समापवर्त्य 10 है और यह धनात्मक है, इसलिए असमानता की दिशा नहीं बदलेगी। 10 से गुणा करने पर \(2(4x-3)<5(x+6)\), अर्थात् \(8x-6<5x+30\) मिलता है। इससे \(3x<36\), इसलिए \(x<12\)। अतः सही विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है। / The least common multiple of the denominators 5 and 2 is 10, which is positive, so the inequality sign does not change. Multiplying by 10 gives \(2(4x-3)<5(x+6)\), or \(8x-6<5x+30\). Thus, \(3x<36\), and hence \(x<12\). Therefore, option A is correct. Exam tip: the inequality sign reverses when both sides are multiplied or divided by a negative number.
असमानता \(3<2x+1\leq 13\) में सभी पक्षों से 1 घटाने पर \(2<2x\leq 12\) मिलता है। 2 से भाग देने पर \(1<x\leq 6\) प्राप्त होता है। इसलिए पूर्णांक मान \(x=2,3,4,5,6\) हैं, जिनकी कुल संख्या 5 है। ध्यान रखें कि \(x=1\) शामिल नहीं है, जबकि \(x=6\) शामिल है क्योंकि दायाँ चिह्न \(\leq\) है। / Subtracting 1 from all parts of \(3<2x+1\leq 13\) gives \(2<2x\leq 12\). Dividing by the positive number 2 yields \(1<x\leq 6\). Thus the integer values are \(x=2,3,4,5,6\), giving a total of 5 values. Remember that \(x=1\) is excluded, while \(x=6\) is included because the right-hand inequality uses \(\leq\).
कोष्ठक खोलने पर \(9-4x-8>x-14\), अर्थात् \(1-4x>x-14\) मिलता है। दोनों पक्षों को सरल करने पर \(15>5x\) और इसलिए \(x<3\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प A है। विकल्प C गलत है क्योंकि मूल असमानता सख्त है, इसलिए \(x=3\) शामिल नहीं होगा। परीक्षा-युक्ति: किसी धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता; ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिह्न उलटता है। / Expanding the bracket gives \(9-4x-8>x-14\), or \(1-4x>x-14\). Simplifying further yields \(15>5x\), so \(x<3\). Therefore, option A is correct. Option C is incorrect because the original inequality is strict, so \(x=3\) is not included. Exam tip: the inequality sign reverses when both sides are divided or multiplied by a negative number, but not when divided by the positive number 5.
कथन का गणितीय रूप \(2x-9\ge -1\) है, क्योंकि “कम नहीं” का अर्थ “से बड़ा या बराबर” होता है। अतः \(2x\ge 8\), इसलिए \(x\ge 4\)। विकल्प C गलत है, क्योंकि \(x>4\) में \(x=4\) शामिल नहीं होता, जबकि \(x=4\) मूल असमिका को संतुष्ट करता है। परीक्षा-युक्ति: असमिका में धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमिका का चिह्न नहीं बदलता। / The statement translates to \(2x-9\ge -1\), because “not less than” means “greater than or equal to.” Thus, \(2x\ge 8\), giving \(x\ge 4\). Option C is incorrect because \(x>4\) excludes \(x=4\), whereas \(x=4\) satisfies the original inequality. Exam tip: when dividing an inequality by a positive number, its sign remains unchanged.
सभी भागों को (2) से गुणा करने पर \(-6\leq x+4<10\) मिलता है। फिर (4) घटाकर \(-10\leq x<6\) मिलता है। / Multiplying all parts by (2) gives \(-6\leq x+4<10\). Subtracting (4) gives \(-10\leq x<6\).
बाएँ पक्ष को सरल करने पर \(2x-10+3=2x-7\) और दाएँ पक्ष को सरल करने पर \(3x-12-7=3x-19\) मिलता है। अतः \(2x-7\geq 3x-19\)। दोनों पक्षों से \(2x\) घटाने पर \(-7\geq x-19\), और 19 जोड़ने पर \(12\geq x\), अर्थात \(x\leq 12\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलट जाती है। परीक्षा-युक्ति: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही चिह्न उलटता है। / Simplifying the left side gives \(2x-10+3=2x-7\), and simplifying the right side gives \(3x-12-7=3x-19\). Thus, \(2x-7\geq 3x-19\). Subtracting \(2x\) from both sides gives \(-7\geq x-19\); adding 19 gives \(12\geq x\), or \(x\leq 12\). Therefore, option A is correct. Option B reverses the direction incorrectly. Exam tip: the inequality sign changes direction only when multiplying or dividing by a negative number.
पहले दोनों पक्षों से 13 घटाने पर \\(-3x\leq -9\\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को \\(-3\\) से भाग देने पर असमानता का चिन्ह उलट जाता है, इसलिए \\(x\geq 3\\)। विकल्प A में चिन्ह उलटने का नियम लागू नहीं किया गया है। परीक्षा-युक्ति: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिन्ह अवश्य बदलें। / Subtracting 13 from both sides gives \\(-3x\leq -9\\). Dividing by \\(-3\\) reverses the inequality sign, so \\(x\geq 3\\). Option A is incorrect because it does not reverse the sign after division by a negative number. Exam tip: Always reverse an inequality sign when multiplying or dividing both sides by a negative number.
\(\frac{x}{6}\geq 3\) से \(x\geq 18\) मिलता है। सकारात्मक हर से गुणा करने पर चिन्ह नहीं बदलता। / From \(\frac{x}{6}\geq 3\), we get \(x\geq 18\). Multiplying by a positive denominator does not change the sign.
\(6x-7>2x+17\) में दोनों पक्षों से \(2x\) घटाने पर \(4x-7>17\) मिलता है। दोनों पक्षों में 7 जोड़ने पर \(4x>24\), और 4 से भाग देने पर \(x>6\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प D है। विकल्प C \(x\geq6\) गलत है, क्योंकि मूल असमानता में \(>\) है, \(\geq\) नहीं। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Starting with \(6x-7>2x+17\), subtracting \(2x\) from both sides gives \(4x-7>17\). Adding 7 and then dividing by the positive number 4 gives \(4x>24\), hence \(x>6\). Therefore, option D is correct. Option C, \(x\geq6\), is incorrect because the original inequality is strict and does not include equality. Exam tip: dividing by a positive number does not reverse the inequality sign.
D. दोनों पक्षों को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर/When both sides are multiplied or divided by a negative number
Explanation
Simple Explanation
ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर क्रम उलटता है: यदि \(a<b\), तो \(-a>-b\)। इसलिए \(x>-2\) को \(-1\) से गुणा करने पर \(-x<2\) होगा। परीक्षा में ऋण चिह्न दिखते ही असमानता का चिह्न पलटना याद रखें। / Multiplication or division by a negative number reverses order: if \(a<b\), then \(-a>-b\). Thus, multiplying \(x>-2\) by \(-1\) gives \(-x<2\). Exam tip: reverse the inequality sign whenever you multiply or divide by a negative value.
कोष्ठक खोलने पर \(10x+5-3x<26\) मिलता है। समान पदों को मिलाने पर \(7x+5<26\), इसलिए \(7x<21\)। 7 से भाग देने पर \(x<3\) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर B है। विकल्प C \(x≤3\) गलत है, क्योंकि मूल असमानता में '<' है और \(x=3\) स्वीकार्य नहीं है। परीक्षा-टिप: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है; यहाँ 7 धनात्मक है, इसलिए चिह्न नहीं बदलेगा। / Expanding the brackets gives \(10x+5-3x<26\). Combining like terms, \(7x+5<26\), so \(7x<21\). Dividing by the positive number 7 gives \(x<3\), making option B correct. Option C, \(x≤3\), is incorrect because the original inequality is strict; \(x=3\) does not satisfy it. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number; since 7 is positive here, the sign remains unchanged.
असमानता \(2\le 3x-1<11\) के तीनों भागों में 1 जोड़ने पर \(3\le 3x<12\) मिलता है। अब 3 से भाग देने पर \(1\le x<4\) प्राप्त होता है। इसलिए 1 शामिल है, जिसके लिए कोष्ठक [ लगाया जाता है, जबकि 4 शामिल नहीं है, इसलिए वहाँ ) लगाया जाता है। अतः सही अंतराल \([1,4)\) है। परीक्षा-टिप: \(\le\) या \(\ge\) वाले छोर को square bracket और \(<\) या \(>\) वाले छोर को round bracket से लिखें। / Adding 1 to all three parts of \(2\le 3x-1<11\) gives \(3\le 3x<12\). Dividing throughout by 3 gives \(1\le x<4\). Thus, 1 is included and is written with a square bracket, whereas 4 is excluded and is written with a round bracket. Therefore, the interval is \([1,4)\). Exam tip: use a square bracket for an included endpoint marked by \(\le\) or \(\ge\), and a round bracket for an excluded endpoint marked by \(<\) or \(>\).
असमानता \(4x-3<21\) में दोनों पक्षों में 3 जोड़ने पर \(4x<24\) मिलता है। 4 से भाग देने पर \(x<6\) प्राप्त होता है। इसलिए 6 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 5 है। विकल्प 6 गलत है, क्योंकि सख्त असमानता में \(x=6\) स्वीकार्य नहीं है। परीक्षा-टिप: \(<\) या \(>\) वाली असमानता में सीमा मान शामिल नहीं होता। / Adding 3 to both sides of \(4x-3<21\) gives \(4x<24\). Dividing by the positive number 4 yields \(x<6\). Therefore, the greatest integer less than 6 is 5. Option 6 is incorrect because a strict inequality does not include the boundary value \(x=6\). Exam tip: In inequalities with \(<\) or \(>\), the endpoint is not included.
असमानता को हल करने पर \(5x+1\leq 26\Rightarrow 5x\leq 25\Rightarrow x\leq 5\) मिलता है। प्राकृतिक संख्याएँ \(1,2,3,\ldots\) से शुरू होती हैं, इसलिए संभव मान \(1,2,3,4,5\) हैं और कुल 5 मान हैं। विकल्प 6 तब मिलता यदि \(0\) को भी प्राकृतिक संख्या माना जाता, लेकिन इस प्रश्न में प्रचलित विद्यालयी परिभाषा के अनुसार प्राकृतिक संख्याएँ 1 से शुरू हैं। परीक्षा युक्ति: असमानता हल करने के बाद दिए गए संख्या-समुच्चय में मानों की सूची बनाकर गिनती करें। / Solving the inequality gives \(5x+1\leq 26\Rightarrow 5x\leq 25\Rightarrow x\leq 5\). Natural numbers begin with \(1\), so the possible values are \(1,2,3,4,5\), giving a total of 5 values. The answer 6 would result only if \(0\) were included as a natural number; here, the usual school convention takes natural numbers to begin with 1. Exam tip: After solving an inequality, list the allowed values and count them carefully.
\(4x\geq -20\) से \(x\geq -5\) मिलता है। समुच्चय रूप में सही असमानता चिन्ह लिखना जरूरी है। / From \(4x\geq -20\), we get \(x\geq -5\). In set form, writing the correct inequality sign is important.
(-5x>-15) में (-5) से भाग देने पर (x<3) मिलता है। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह बदलता है। / In (-5x>-15), dividing by (-5) gives (x<3). Dividing by a negative number reverses the sign.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 4 से गुणा करने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती: \(3x-2>28\)। अतः \(3x>30\), इसलिए \(x>10\)। विकल्प D गलत है, क्योंकि मूल असमानता सख्त है और \(x=10\) रखने पर \(\frac{30-2}{4}=7\) मिलता है, जो \(7>7\) को संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न उलटता है। / Multiplying both sides by the positive number 4 does not reverse the inequality: \(3x-2>28\). Thus, \(3x>30\), giving \(x>10\). Option D is incorrect because the original inequality is strict; when \(x=10\), \(\frac{30-2}{4}=7\), and \(7>7\) is false. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
चूँकि 3 धनात्मक है, इसलिए दोनों पक्षों को 3 से गुणा करने पर \(7-x\leq 6\) मिलता है। अतः \(-x\leq -1\)। दोनों पक्षों को \(-1\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है और \(x\geq 1\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर विकल्प B है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर असमानता का चिह्न अवश्य उलटें। / Since 3 is positive, multiplying both sides by 3 gives \(7-x\leq 6\). Thus, \(-x\leq -1\). Multiplying both sides by \(-1\) reverses the inequality sign, giving \(x\geq 1\). Therefore, option B is correct. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing an inequality by a negative number.
(4) से गुणा करने पर \(2x+10+x-1\geq 24\) मिलता है। इसलिए \(3x\geq 15\) नहीं बल्कि \(3x\geq 15\) से \(x\geq 5\) होगा, इसलिए गणना दोबारा जांचें। / Multiplying by (4) gives \(2x+10+x-1\geq 24\). So \(3x\geq 15\), giving \(x\geq 5\), so recheck arithmetic carefully.
हरों को हटाने के लिए दोनों पक्षों को 4 से गुणा करें। 4 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलेगा: \(2(x+5)+(x-1)\geq 24\)। इससे \(3x+9\geq 24\), अतः \(3x\geq 15\) और \(x\geq 5\)। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-टिप: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर चिह्न उलट जाता है, लेकिन यहाँ 4 धनात्मक है। / Multiply both sides by 4 to clear the denominators. Since 4 is positive, the inequality sign remains unchanged: \(2(x+5)+(x-1)\geq 24\). This gives \(3x+9\geq 24\), so \(3x\geq 15\) and hence \(x\geq 5\). Therefore, option A is correct. Exam tip: the inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number; here, 4 is positive.
दिए गए असमानता से \(9x-4\leq 5x+12\) ⇒ \(4x\leq 16\) ⇒ \(x\leq 4\) प्राप्त होता है। इसलिए 4 सहित सभी 4 से छोटी संख्याएँ हल हैं, जिसका अंतराल रूप \((- infty,4]\) है। 4 पर वर्ग कोष्ठक इसलिए लगाया जाता है क्योंकि बराबरी शामिल है; विकल्प C में 4 को गलत रूप से बाहर रखा गया है। परीक्षा-युक्ति: \(\leq\) या \(\geq\) होने पर संबंधित अंतिम बिंदु को बंद कोष्ठक से लिखें। / Starting with \(9x-4\leq 5x+12\), we get \(4x\leq 16\), and hence \(x\leq 4\). Thus, all numbers less than or equal to 4 are solutions, represented in interval notation by \((- infty,4]\). The square bracket at 4 shows that equality is included; option C is incorrect because it excludes 4. Exam tip: use a closed bracket at an endpoint when the inequality contains \(\leq\) or \(\geq\).
−4x − 1 < 11 से −4x < 12 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को −4 से भाग देने पर असमानता का चिन्ह उलट जाता है, इसलिए x > −3। चूँकि यह सख्त असमानता है, −3 शामिल नहीं होगा; अतः अंतराल (−3, ∞) है। परीक्षा-टिप: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिन्ह अवश्य उलटें। / From −4x − 1 < 11, we get −4x < 12. Dividing both sides by −4 reverses the inequality sign, giving x > −3. Since the inequality is strict, −3 is not included, so the interval is (−3, ∞). Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता \(5x+2\ge 27\) में दोनों पक्षों से 2 घटाने पर \(5x\ge 25\) मिलता है। 5 से भाग देने पर \(x\ge 5\) प्राप्त होता है, क्योंकि 5 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता। अतः \(x=5\) सीमा मान होने के कारण सही है। \(x=4\) रखने पर \(22\ge 27\) मिलता है, जो गलत है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न अपरिवर्तित रहता है। / Starting with \(5x+2\ge 27\), subtracting 2 from both sides gives \(5x\ge 25\). Dividing by 5 gives \(x\ge 5\); the inequality sign remains unchanged because 5 is positive. Therefore, \(x=5\) is correct as it is the boundary value. The closest distractor, \(x=4\), gives \(22\ge 27\), which is false. Exam tip: the inequality sign reverses only when dividing or multiplying by a negative number.
( -2x<-14) से (x>7) नहीं, बल्कि (x>7) मिलता है। विकल्पों में सीमा (7) शामिल नहीं है, इसलिए कोई दिए गए मानों में सही नहीं होना चाहिए। / From (-2x<-14), we get (x>7). Since the boundary (7) is not included, none of the given values should be correct.
असमानता को हल करने पर \(20-2x\le 6\), अर्थात् \(-2x\le -14\) मिलता है। दोनों पक्षों को \(-2\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न बदल जाता है और \(x\ge 7\) प्राप्त होता है। इसलिए दिए गए मानों में केवल \(x=7\) सही है; इसमें बराबरी का मान शामिल है। उदाहरण के लिए, \(x=6\) रखने पर \(20-12=8\), और \(8\le 6\) गलत है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से भाग या गुणा करते समय असमानता का चिह्न अवश्य उलटें। / Solving the inequality \(20-2x\le 6\) gives \(-2x\le -14\). Dividing both sides by \(-2\) reverses the inequality sign, so \(x\ge 7\). Therefore, among the given values, only \(x=7\) satisfies the inequality, including the equality case. For example, substituting \(x=6\) gives \(20-12=8\), and \(8\le 6\) is false. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों तरफ से (8x) घटाने पर (3>-10) मिलता है जो हमेशा सत्य है। इसलिए सभी वास्तविक (x) हल हैं। / Subtracting (8x) from both sides gives (3>-10), which is always true. Therefore all real (x) are solutions.
दोनों पक्षों से \\(5x\\) घटाने पर \\(-6 \ge 2\\) प्राप्त होता है, जो असत्य है। इसलिए कोई भी वास्तविक संख्या इस असमानता को संतुष्ट नहीं करती और हल-समुच्चय रिक्त है। विकल्प B और D में \\(x\\) के लिए सीमा बताई गई है, जबकि यहाँ \\(x\\) वाले पद पूरी तरह कट जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: समान पदों को घटाने के बाद यदि असत्य कथन मिले, तो असमानता का कोई हल नहीं होता। / Subtracting \\(5x\\) from both sides gives \\(-6 \ge 2\\), which is false. Therefore, no real number satisfies the inequality, so the solution set is empty. Options B and D incorrectly give bounds for \\(x\\), even though all \\(x\\)-terms cancel. Exam tip: after simplifying an inequality, a false statement means there is no solution.
A. ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर/When multiplying or dividing by a negative number
Explanation
Simple Explanation
ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर क्रम उलटता है, इसलिए चिह्न बदलता है। उदाहरण: \(-2x<6\Rightarrow x>-3\)। समान संख्या जोड़ने-घटाने से चिह्न नहीं बदलता। परीक्षा में ऋण चिह्न दिखते ही चिह्न पलटने की जाँच करें। / Multiplying or dividing by a negative number reverses order, so the sign flips. For example, \(-2x<6\Rightarrow x>-3\). Adding or subtracting the same number does not change it. Exam tip: check for a negative multiplier before writing the final inequality.
पहले \(ax+4>10\) से \(ax>6\) प्राप्त होता है। अब \(a<0\) है, इसलिए दोनों पक्षों को \(a\) से विभाजित करने पर असमिका का चिह्न उलट जाता है और \(x<\frac{6}{a}\) मिलता है। विकल्प B में चिह्न उलटने की बात नहीं मानी गई है, जबकि विकल्प C और D में अनावश्यक रूप से बराबरी का चिह्न जोड़ा गया है। परीक्षा-युक्ति: किसी ऋणात्मक संख्या से असमिका को भाग देने या गुणा करने पर असमिका का चिह्न अवश्य बदलें। / From \(ax+4>10\), we first obtain \(ax>6\). Since \(a<0\), dividing both sides by \(a\) reverses the inequality sign, giving \(x<\frac{6}{a}\). Option B ignores this sign reversal, while options C and D incorrectly include equality. Exam tip: always reverse the inequality sign when multiplying or dividing an inequality by a negative number.
किसी संख्या को x मानने पर उसका 6 गुना 6x होगा। ‘42 से अधिक’ का अर्थ 42 से बड़ा है, इसलिए असमानता का चिह्न > लगेगा और सही रूप 6x>42 होगा। विकल्प A और D में संख्या में 6 जोड़ा या घटाया गया है, जबकि विकल्प C में ‘कम’ का अर्थ निकलता है। परीक्षा में ‘गुना’ को गुणा और ‘अधिक’ को > के रूप में लिखना याद रखें। / Let the number be x. Six times the number is written as 6x, and ‘greater than 42’ requires the symbol >. Therefore, the correct inequality is 6x>42. Options A and D represent adding or subtracting 6, not multiplying by 6, while option C means less than 42. In exams, translate ‘times’ as multiplication and ‘greater than’ as >.
B. हल-समुच्चय संख्या रेखा पर एक अंतराल या किरण के रूप में दर्शाया जा सकता है।
Explanation
Simple Explanation
एक चर वाली रैखिक असमिका का हल सामान्यतः संख्या रेखा पर किसी अंतराल या एक दिशा में फैली किरण होता है। जैसे \(x>3\) में 3 से बड़े सभी वास्तविक अंक आते हैं। दो असंबद्ध अंतराल प्रायः द्विघात या अन्य असमिकाओं में मिलते हैं। परीक्षा टिप: खुले वृत्त का अर्थ है कि सीमा शामिल नहीं है। / A linear inequality in one variable usually gives an interval or a ray on the number line. For example, \(x>3\) contains every real number greater than 3. Two disconnected intervals are more typical of quadratic inequalities. Exam tip: an open circle means the boundary value is excluded.
‘अधिकतम 35’ का अर्थ है कि परिणाम 35 से कम या उसके बराबर होगा, इसलिए असमिका \(4x+3\leq 35\) है। दोनों पक्षों से 3 घटाने पर \(4x\leq 32\) और 4 से भाग देने पर \(x\leq 8\) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर विकल्प B है। परीक्षा-युक्ति: ‘अधिकतम’ के लिए \(\leq\) और ‘न्यूनतम’ के लिए \(\geq\) का प्रयोग करें। / ‘At most 35’ means the result is less than or equal to 35, so the inequality is \(4x+3\leq 35\). Subtracting 3 from both sides gives \(4x\leq 32\), and dividing by the positive number 4 gives \(x\leq 8\). Therefore, option B is correct. Exam tip: use \(\leq\) for ‘at most’ and \(\geq\) for ‘at least’.
यदि पेन की संख्या को x मानें, तो बची हुई राशि 120-15x होगी। शर्त के अनुसार, \(120-15x\geq 30\), इसलिए \(-15x\geq -90\) और \(x\leq 6\)। पेन की संख्या पूर्णांक होनी चाहिए, अतः अधिकतम 6 पेन खरीदे जा सकते हैं। 7 पेन खरीदने पर केवल 15 रुपये बचेंगे, जो 30 रुपये से कम हैं। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से असमिका को भाग देने पर असमिका का चिन्ह उलट जाता है। / Let the number of pens be x. The remaining money is \(120-15x\), and the saving condition gives \(120-15x\geq 30\). Thus, \(-15x\geq -90\), so \(x\leq 6\). Since the number of pens must be a whole number, the maximum is 6. Buying 7 pens would leave only 15 rupees, which is less than the required 30 rupees. Exam tip: When an inequality is divided by a negative number, its sign is reversed.
मान लीजिए कि और बैठने वाले यात्रियों की संख्या \(x\) है। बस की क्षमता के अनुसार \(x+19\leq52\), इसलिए \(x\leq33\)। अतः अधिकतम 33 और यात्री बैठ सकते हैं। विकल्प 34 गलत है, क्योंकि तब कुल यात्री 53 हो जाएंगे, जो बस की क्षमता से अधिक है। परीक्षा में “अधिकतम” या “at most” का अर्थ \(\leq\) लगाना याद रखें। / Let \(x\) be the number of additional passengers. The capacity condition is \(x+19\leq52\), so \(x\leq33\). Therefore, at most 33 more passengers can sit. Option 34 is incorrect because it would make the total 53 passengers, exceeding the capacity of the bus. In an exam, remember that “at most” translates to \(\leq\).
कोष्ठक खोलने पर \(3(2x-5)-2(x+1)=6x-15-2x-2=4x-17\) मिलता है। अतः \(4x-17\geq 7\), इसलिए \(4x\geq 24\) और \(x\geq 6\)। विकल्प A में असमानता की दिशा उलट दी गई है, जबकि विकल्प C और D में 6 को शामिल करने या न करने की शर्त गलत है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से असमानता को भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Expanding the brackets gives \(3(2x-5)-2(x+1)=6x-15-2x-2=4x-17\). Thus, \(4x-17\geq 7\), so \(4x\geq 24\) and \(x\geq 6\). Option A reverses the inequality, while options C and D incorrectly include or exclude the boundary value 6. Exam tip: When dividing an inequality by a positive number, its sign does not reverse.
कोष्ठक खोलने पर \\(10-2x+3>3x-12\\), अर्थात् \\(13-2x>3x-12\\) मिलता है। दोनों पक्षों में \\(12\\) जोड़ने पर \\(25>5x\\) और 5 से भाग देने पर \\(x<5\\) प्राप्त होता है। यहाँ 5 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता। विकल्प B गलत दिशा दर्शाता है, जबकि C और D में बराबर होने की स्थिति अनावश्यक रूप से शामिल है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न उलटता है। / Expanding the brackets gives \\(10-2x+3>3x-12\\), or \\(13-2x>3x-12\\). Adding \\(12\\) to both sides gives \\(25>5x\\); dividing by the positive number 5 yields \\(x<5\\). The inequality sign does not reverse because the divisor is positive. Option B gives the opposite direction, while C and D incorrectly include equality. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
हर पद का समान हर 12 करने पर \(\frac{8x-3x}{12}\leq 5\), अर्थात् \(\frac{5x}{12}\leq 5\) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को \(\frac{12}{5}\) से गुणा करने पर, जो धनात्मक है, असमानता की दिशा नहीं बदलती और \(x\leq 12\) मिलता है। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प C में \(x=12\) को छोड़ दिया गया है, जबकि मूल असमानता में बराबरी शामिल है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न अपरिवर्तित रहता है। / Using the common denominator 12, we get \(\frac{8x-3x}{12}\leq 5\), so \(\frac{5x}{12}\leq 5\). Multiplying both sides by the positive number \(\frac{12}{5}\) does not reverse the inequality, giving \(x\leq 12\). Hence, option B is correct. Option C is incorrect because it excludes \(x=12\), even though equality is included in the original inequality. Exam tip: multiplying or dividing an inequality by a positive number leaves its direction unchanged.
हर का लघुत्तम समापवर्त्य 6 है। दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 6 से गुणा करने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती: \(5x+6>2x+54\)। अतः \(3x>48\), इसलिए \(x>16\)। इसीलिए विकल्प A सही है; \(x\geq16\) गलत है क्योंकि \(x=16\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर हो जाते हैं, जबकि यहाँ सख्त असमानता है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है। / The least common denominator is 6. Multiplying both sides by the positive number 6 does not change the inequality sign: \(5x+6>2x+54\). Thus, \(3x>48\), so \(x>16\). Therefore, option A is correct. The distractor \(x\geq16\) is incorrect because substituting \(x=16\) makes both sides equal, whereas the inequality is strict. Exam tip: when an inequality is multiplied or divided by a negative number, its sign must be reversed.
(2) से गुणा करने पर \(-10\leq x-1<8\) मिलता है। फिर (1) जोड़कर \(-9\leq x<9\) नहीं, सही \(-9\leq x<9\) होगा। / Multiplying by (2) gives \(-10\leq x-1<8\). Adding (1) gives \(-9\leq x<9\), so check endpoints carefully.
असमानता \(-3\le x<4\) में \(-3\) शामिल है क्योंकि वहाँ \(\le\) का चिन्ह है, जबकि \(4\) शामिल नहीं है क्योंकि वहाँ \(<\) का चिन्ह है। इसलिए \(-3\) से \(3\) तक के सभी पूर्णांक हल हैं, अर्थात विकल्प C सही है। विकल्प B में \(4\) अनावश्यक रूप से शामिल है। परीक्षा में बंद सिरा शामिल और खुला सिरा बहिष्कृत करना याद रखें। / In the inequality \(-3\le x<4\), \(-3\) is included because the symbol is \(\le\), while \(4\) is excluded because the symbol is \(<\). Thus, all integers from \(-3\) through \(3\) are solutions, so option C is correct. Option B is incorrect because it includes \(4\). In an exam, remember that a closed endpoint is included and an open endpoint is excluded.
\(3x+4<19\) से \(3x<15\), अतः \(x<5\) मिलता है। धनात्मक पूर्णांक 1 से शुरू होते हैं, इसलिए संभव मान \(x=1,2,3,4\) हैं और कुल 4 हल हैं। विकल्प 5 गलत है, क्योंकि \(x=5\) रखने पर \(3(5)+4=19\) मिलता है, जबकि असमानता सख्त रूप से \(<19\) है। परीक्षा-युक्ति: सख्त असमानता में सीमा का मान शामिल नहीं किया जाता। / From \(3x+4<19\), we get \(3x<15\), so \(x<5\). Since positive integers start at 1, the possible values are \(x=1,2,3,4\), giving 4 solutions. The distractor 5 is incorrect because \(x=5\) gives \(3(5)+4=19\), which does not satisfy the strict inequality \(<19\). Exam tip: the boundary value is excluded in a strict inequality.
असमानता को सरल करने पर \\(11x+6\geq 7x+34\\) से \\(4x\geq 28\\), अतः \\(x\geq 7\\) प्राप्त होता है। इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक हल 7 है। 6 गलत है क्योंकि वह \\(x\geq 7\\) को संतुष्ट नहीं करता, जबकि 8 और 9 सही हल तो हैं, पर सबसे छोटे नहीं। परीक्षा में असमानता हल करने के बाद सबसे छोटी पूर्णांक सीमा अवश्य जाँचें। / Simplifying \\(11x+6\geq 7x+34\\) gives \\(4x\geq 28\\), so \\(x\geq 7\\). Therefore, the least integer solution is 7. The value 6 is not allowed because it does not satisfy the inequality, while 8 and 9 are valid solutions but are not the least. In an exam, check the smallest integer at the boundary after solving the inequality.
असमानता को हल करने पर \(2x-5\leq 9\) से \(2x\leq 14\) और फिर \(x\leq 7\) प्राप्त होता है। इसलिए \(x=7\) हल-समुच्चय में शामिल है, क्योंकि \(\leq\) का अर्थ ‘छोटा या बराबर’ होता है और इसमें बराबरी का मान भी स्वीकार किया जाता है। विकल्प A गलत है, क्योंकि \(x<7\) में \(x=7\) शामिल नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: \(\leq\) या \(\geq\) होने पर सीमा-बिंदु शामिल होता है। / Solving the inequality gives \(2x-5\leq 9\), so \(2x\leq 14\) and therefore \(x\leq 7\). Thus, \(x=7\) belongs to the solution set because \(\leq\) means ‘less than or equal to’, which includes equality. Option A is incorrect because \(x<7\) excludes \(x=7\). Exam tip: The boundary value is included when the inequality sign is \(\leq\) or \(\geq\).
असमानता को हल करने पर 4x + 1 > 17 ⇒ 4x > 16 ⇒ x > 4 प्राप्त होता है। इसलिए हल-समुच्चय का सीमा बिंदु 4 है। चूँकि असमानता सख्त (> ) है, इसलिए 4 हल-समुच्चय में शामिल नहीं होता और इसे खुले बिंदु से दर्शाया जाता है। परीक्षा-युक्ति: x के गुणांक से भाग देने के बाद प्राप्त वह मान सीमा बिंदु होता है जहाँ असमानता का चिह्न बदलकर बराबरी पर विचार किया जाता है। / Solving the inequality gives 4x + 1 > 17 ⇒ 4x > 16 ⇒ x > 4. Hence, the boundary point of the solution set is 4. Since the inequality is strict (>), 4 is not included in the solution set and is represented by an open point. Exam tip: After isolating x, the resulting value is the boundary point; check whether the inequality sign is strict or inclusive to decide whether the point is excluded or included.
पहले दोनों पक्षों से 7 घटाने पर \(-2x\geq -16\) मिलता है। अब \(-2\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है, इसलिए \(x\leq 8\)। अतः 8 सहित सभी छोटी संख्याएँ हल हैं और अंतराल \((-\infty,8]\) होगा। विकल्प B में 8 को शामिल नहीं किया गया है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य उलटें। / Subtracting 7 from both sides gives \(-2x\geq -16\). Dividing by \(-2\) reverses the inequality sign, so \(x\leq 8\). Therefore, all numbers less than or equal to 8 are solutions, giving the interval \((-\infty,8]\). Option B excludes 8, so it is incorrect. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
कोष्ठक खोलने पर \(8x-6<5x+15\) मिलता है। दोनों पक्षों से \(5x\) घटाने पर \(3x-6<15\), अर्थात् \(3x<21\) प्राप्त होता है। 3 से भाग देने पर \(x<7\) मिलता है, इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। चूँकि मूल असमानता में '<' है, इसलिए \(x=7\) शामिल नहीं होगा; अतः \(x\leq7\) सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से असमानता को गुणा या भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Expanding the brackets gives \(8x-6<5x+15\). Subtracting \(5x\) from both sides gives \(3x-6<15\), or \(3x<21\). Dividing by 3 yields \(x<7\), so option A is correct. Since the original inequality is strict, \(x=7\) is not included; therefore, \(x\leq7\) is incorrect. Exam tip: the inequality sign changes only when multiplying or dividing by a negative number, not by a positive number.
कोष्ठक खोलने पर \(6-x-2\leq 2x-5\), अर्थात् \(4-x\leq 2x-5\) मिलता है। दोनों पक्षों में \(x\) और \(5\) को व्यवस्थित करने पर \(9\leq 3x\) प्राप्त होता है। अब 3 से भाग देने पर \(x\geq 3\), इसलिए सही विकल्प B है। विकल्प A में असमानता की दिशा उलट दी गई है। परीक्षा-युक्ति: किसी धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Expanding the bracket gives \(6-x-2\leq 2x-5\), or \(4-x\leq 2x-5\). Rearranging the terms yields \(9\leq 3x\). Dividing by the positive number 3 gives \(x\geq 3\), so option B is correct. Option A incorrectly reverses the direction of the inequality. Exam tip: the inequality sign changes only when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों हरों 3 और 6 का लघुत्तम समापवर्त्य 6 है। 6 से गुणा करने पर, क्योंकि 6 धनात्मक है, असमानता की दिशा नहीं बदलेगी: \(2(2x+1)\leq x+9\), अर्थात् \(4x+2\leq x+9\)। इसलिए \(3x\leq7\), और \(x\leq\frac{7}{3}\)। अतः सही विकल्प A है। विकल्प C में \(x=\frac{7}{3}\) शामिल नहीं है, जबकि मूल असमानता में बराबरी स्वीकार्य है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है; यहाँ 6 धनात्मक है। / The least common multiple of the denominators 3 and 6 is 6. Multiplying by 6 does not reverse the inequality because 6 is positive: \(2(2x+1)\leq x+9\), so \(4x+2\leq x+9\). Thus, \(3x\leq7\), giving \(x\leq\frac{7}{3}\). Therefore, option A is correct. Option C is incorrect because it excludes \(x=\frac{7}{3}\), even though equality is allowed in the original inequality. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number; here, 6 is positive.
दोनों पक्षों को 6 से गुणा करने पर, जो धनात्मक है, \(2(2x+1)\leq x+9\) मिलता है। अतः \(4x+2\leq x+9\), इसलिए \(3x\leq7\) और \(x\leq\frac{7}{3}\)। विकल्प B में असमानता की दिशा गलत रूप से बदल दी गई है, जबकि C और D में अनावश्यक रूप से कड़ी असमानता लगाई गई है। परीक्षा-युक्ति: किसी धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying both sides by 6, which is positive, gives \(2(2x+1)\leq x+9\). Thus, \(4x+2\leq x+9\), so \(3x\leq7\) and \(x\leq\frac{7}{3}\). Option B incorrectly reverses the inequality, while C and D replace the non-strict inequality with an unnecessarily strict one. Exam tip: multiplying or dividing an inequality by a positive number does not change its sign.
दिया है: \(2x+3>15\)। दोनों पक्षों से 3 घटाने पर \(2x>12\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 2 से विभाजित करने पर \(x>6\) प्राप्त होता है। विकल्प C गलत है क्योंकि मूल कथन में ‘से अधिक’ है, इसलिए 6 को शामिल नहीं किया जा सकता। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / We have \(2x+3>15\). Subtracting 3 from both sides gives \(2x>12\). Dividing both sides by the positive number 2 gives \(x>6\). Option C is incorrect because “greater than” is a strict inequality, so 6 is not included. Exam tip: the inequality sign does not reverse when multiplying or dividing by a positive number.
(5) से गुणा करने पर \(15\leq x+2\leq 30\) मिलता है। फिर (2) घटाने पर \(13\leq x\leq 28\) मिलता है। / Multiplying by (5) gives \(15\leq x+2\leq 30\). Subtracting (2) gives \(13\leq x\leq 28\).
खुला वृत्त बताता है कि 3 हल में शामिल नहीं है और दाईं ओर का छायांकन 3 से बड़े मान दर्शाता है। इसलिए \(x>3\) सही है। \(x\geq3\) में 3 शामिल होता। परीक्षा टिप: खुला वृत्त के लिए सख्त चिह्न याद रखें। / An open circle means that 3 is not included, while shading to the right represents values greater than 3. Hence, \(x>3\) is correct. In \(x\geq3\), the point 3 would be included. Exam tip: use strict signs with open circles.
बाएँ पक्ष को सरल करने पर \(3(5-x)+2=17-3x\) मिलता है। अतः \(17-3x<4x-11\), जिससे \(28<7x\) और इसलिए \(x>4\) प्राप्त होता है। सही उत्तर C है। विकल्प D गलत है क्योंकि मूल असमानता सख्त है, इसलिए \(x=4\) शामिल नहीं होगा। परीक्षा में ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न पलटने का ध्यान रखें। / Simplifying the left-hand side gives \(3(5-x)+2=17-3x\). Thus, \(17-3x<4x-11\), which leads to \(28<7x\), and hence \(x>4\). Therefore, option C is correct. Option D is incorrect because the original inequality is strict, so \(x=4\) is not included. In exams, remember to reverse the inequality sign whenever you multiply or divide by a negative number.
हरों का लघुत्तम समापवर्त्य 10 है। दोनों पक्षों को 10 से गुणा करने पर, क्योंकि 10 धनात्मक है, असमानता का चिह्न नहीं बदलेगा: \(2(x-4)-(x+1)\geq 20\)। अतः \(2x-8-x-1\geq 20\), यानी \(x-9\geq 20\), इसलिए \(x\geq 29\)। इसीलिए विकल्प B सही है। परीक्षा-युक्ति: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही चिह्न की दिशा बदलती है। / The least common denominator is 10. Multiplying both sides by 10 does not reverse the inequality sign because 10 is positive: \(2(x-4)-(x+1)\geq 20\). Thus, \(2x-8-x-1\geq 20\), so \(x-9\geq 20\), which gives \(x\geq 29\). Therefore, option B is correct. Exam tip: the inequality sign reverses only when both sides are multiplied or divided by a negative number.
(4) से गुणा करने पर \(-8\leq 3x+1<28\) मिलता है। फिर (1) घटाकर और (3) से भाग देकर \(-3\leq x<9\) मिलता है। / Multiplying by (4) gives \(-8\leq 3x+1<28\). Subtracting (1) and dividing by (3) gives \(-3\leq x<9\).
एक छात्र को उत्तीर्ण होने के लिए कम-से-कम 60 अंक चाहिए। यदि प्रत्येक सही उत्तर के लिए 4 अंक मिलते हैं और सही उत्तरों की संख्या \(x\) है, तो \(x\) का न्यूनतम मान क्या होगा?
उत्तीर्ण होने की शर्त \(4x\ge 60\) है। दोनों पक्षों को 4 से भाग देने पर \(x\ge 15\) प्राप्त होता है, इसलिए सही उत्तरों की न्यूनतम संख्या 15 है। विकल्प 14 से केवल 56 अंक मिलेंगे, जो 60 से कम हैं। परीक्षा में ‘कम-से-कम’ का अर्थ \(\ge\) याद रखें। / The passing condition is \(4x\ge 60\). Dividing both sides by 4 gives \(x\ge 15\), so the minimum number of correct answers is 15. With 14 correct answers, the student would score only 56 marks, which is below 60. In exams, remember that ‘at least’ indicates \(\ge\).
(3x-5>10) में (5) जोड़कर (3x>15) और फिर (x>5) मिलता है। परीक्षा में समान धन संख्या से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Adding (5) gives (3x>15) and then (x>5). In exams remember that dividing by a positive number does not reverse the sign.
दोनों पक्षों से 7 घटाने पर \\(2x\leq8\\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 2 से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता, इसलिए \\(x\leq4\\) प्राप्त होता है। विकल्प B में चिह्न उलटा है और विकल्प C में बराबरी शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न बदलता है। / Subtracting 7 from both sides gives \\(2x\leq8\\). Dividing both sides by the positive number 2 does not reverse the inequality sign, so \\(x\leq4\\). Option B reverses the sign incorrectly, while option C excludes the equality case. Exam tip: the inequality sign changes direction only when multiplying or dividing by a negative number.
(5) घटाने पर \(-2x\geq6\) और (-2) से भाग देने पर \(x\leq-3\) मिलता है। ऋण गुणांक पर चिन्ह बदलना न भूलें। / Subtracting (5) gives \(-2x\geq6\) and dividing by (-2) gives \(x\leq-3\). Do not forget to reverse the sign for a negative coefficient.
(2) घटाने पर \(\frac{x}{3}>4\) और (3) से गुणा करने पर (x>12) मिलता है। धन संख्या से गुणा करने पर चिन्ह वही रहता है। / Subtracting (2) gives \(\frac{x}{3}>4\) and multiplying by (3) gives (x>12). Multiplying by a positive number keeps the sign unchanged.
(2) से गुणा करने पर \(x-1\leq10\) और इसलिए \(x\leq11\) है। पहले हर हटाना समाधान को आसान बनाता है। / Multiplying by (2) gives \(x-1\leq10\) so \(x\leq11\). Clearing the denominator first makes the solution easier.
(5) से गुणा करने पर \(2x+3\geq15\) और फिर \(2x\geq12\) से \(x\geq6\) मिलता है। हर धन हो तो चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying by (5) gives \(2x+3\geq15\) and then \(2x\geq12\) gives \(x\geq6\). A positive denominator does not reverse the sign.
(2) से गुणा करने पर (7-3x<-2) और (-3x<-9) मिलता है। (-3) से भाग देने पर चिन्ह बदलकर (x>3) होता है। / Multiplying by (2) gives (7-3x<-2) and (-3x<-9). Dividing by (-3) reverses the sign to (x>3).
समान पदों को एक तरफ लाने पर \(3x\leq15\) मिलता है इसलिए \(x\leq5\) है। चर पदों को एक ही तरफ सावधानी से रखें। / Bringing like terms together gives \(3x\leq15\) so \(x\leq5\). Keep variable terms on one side carefully.
दोनों पक्षों से \(2x\) घटाने पर \(4x+1>13\) मिलता है। फिर दोनों पक्षों से \(1\) घटाने पर \(4x>12\), अतः \(x>3\)। इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प C में \(x=3\) भी शामिल है, लेकिन मूल असमानता में चिन्ह \(>\) है, इसलिए बराबरी मान्य नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिन्ह उलट जाता है; यहाँ ऐसा कोई चरण नहीं है। / Subtracting \(2x\) from both sides gives \(4x+1>13\). Subtracting \(1\) and then dividing by the positive number \(4\) gives \(x>3\), so option A is correct. Option C is incorrect because it includes \(x=3\), whereas the strict sign \(>\) excludes equality. Exam tip: The inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number; that does not occur here.
विस्तार करने पर \(3x-6\geq2x+5\) और इसलिए \(x\geq11\) मिलता है। कोष्ठक खोलते समय चिन्हों का ध्यान रखें। / Expanding gives \(3x-6\geq2x+5\) and hence \(x\geq11\). Watch the signs while opening brackets.
विस्तार से (6x+2<5x+9) मिलता है इसलिए (x<7) है। दोनों पक्षों में चर हो तो छोटे चरणों में हल करें। / Expansion gives (6x+2<5x+9) so (x<7). When both sides have variables solve in small steps.
कोष्ठक खोलने पर \(5x+10-3\leq 2x+16\), अर्थात् \(5x+7\leq 2x+16\) मिलता है। दोनों पक्षों से \(2x\) घटाने पर \(3x\leq 9\), और धनात्मक संख्या \(3\) से भाग देने पर \(x\leq 3\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में असमानता की दिशा गलत है; दिशा केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर बदलती है। परीक्षा-युक्ति: असमानता को सरल करते समय ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह अवश्य पलटें। / Expanding the brackets gives \(5x+10-3\leq 2x+16\), or \(5x+7\leq 2x+16\). Subtracting \(2x\) from both sides yields \(3x\leq 9\). Dividing by the positive number \(3\) gives \(x\leq 3\), so option A is correct. Option B incorrectly reverses the inequality sign; the sign changes only when multiplying or dividing by a negative number. Exam tip: always check whether the number used to divide an inequality is positive or negative.
बायां पक्ष (5+2x) बनता है इसलिए (5+2x>3x-4) से (x<9) मिलता है। ऋण कोष्ठक खोलते समय संकेत बदलते हैं। / The left side becomes (5+2x) so (5+2x>3x-4) gives (x<9). Signs change while opening a negative bracket.
तीनों भागों से (3) घटाने पर \(-1<x\leq5\) मिलता है। युग्म असमानता में वही क्रिया सभी भागों पर करें। / Subtracting (3) from all parts gives \(-1<x\leq5\). In a compound inequality apply the same operation to every part.
सभी भागों से (2) घटाने पर \(-6\leq2x<8\) और फिर \(-3\leq x<4\) मिलता है। खुले और बंद चिन्ह को जस का तस रखें। / Subtracting (2) from all parts gives \(-6\leq2x<8\) and then \(-3\leq x<4\). Keep open and closed signs correctly.
(3) से गुणा करने पर \(3<x-2\leq12\) और फिर \(5<x\leq14\) मिलता है। धन गुणक से चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying by (3) gives \(3<x-2\leq12\) and then \(5<x\leq14\). A positive multiplier does not change the signs.
हल \(x\geq2\) है इसलिए अंतराल \([2,\infty\)) है। बराबरी शामिल हो तो वर्ग कोष्ठक लगाएं। / The solution is \(x\geq2\) so the interval is \([2,\infty\)). Use a square bracket when equality is included.
\(x\leq-1\) में (-1) और उससे छोटी वास्तविक संख्याएं आती हैं। वास्तविक हल के लिए \(\mathbb{R}\) लिखना उचित है। / The inequality \(x\leq-1\) includes (-1) and all smaller real numbers. For real solutions writing \(\mathbb{R}\) is appropriate.
\(9-3x\leq0\) से \(-3x\leq-9\) और \(x\geq3\) मिलता है। ऋण से भाग देने पर चिन्ह बदलता है। / From \(9-3x\leq0\) we get \(-3x\leq-9\) and then \(x\geq3\). The sign reverses when dividing by a negative number.
असमानता को हल करने पर \(3x-4\ge 8\Rightarrow 3x\ge 12\Rightarrow x\ge 4\) मिलता है। क्योंकि \(x\) पूर्णांक है, सबसे छोटा संभव मान 4 है। विकल्प 3 गलत है, क्योंकि \(3(3)-4=5\), जो 8 से कम है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से असमानता के दोनों पक्षों को भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Solving the inequality gives \(3x-4\ge 8\Rightarrow 3x\ge 12\Rightarrow x\ge 4\). Since \(x\) is an integer, the smallest possible value is 4. Option 3 is incorrect because \(3(3)-4=5\), which is less than 8. Exam tip: dividing both sides of an inequality by a positive number does not reverse the inequality sign.
असमानता को हल करते हुए, \(5-2x>-7\) से \(-2x>-12\) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को \(-2\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है, इसलिए \(x<6\)। चूँकि \(x\) पूर्णांक है, 6 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 5 है। परीक्षा-युक्ति: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य उलटें। / Solving the inequality, \(5-2x>-7\) gives \(-2x>-12\). Dividing both sides by \(-2\) reverses the inequality sign, so \(x<6\). Since \(x\) is an integer, the greatest integer less than 6 is 5. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
हल (x<3) है इसलिए (x=2) संतुष्ट करता है। विकल्प जांचते समय पहले सामान्य हल निकालना तेज रहता है। / The solution is (x<3) so (x=2) satisfies it. Finding the general solution first is faster than testing all options.
असमानता \(7-3x\leq 1\) को हल करने पर \(-3x\leq -6\) मिलता है। दोनों पक्षों को \(-3\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है, इसलिए \(x\geq 2\)। अतः \(x=2,3,4\) हल हैं, जबकि \(x=1\) हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: किसी विकल्प की जाँच के लिए उसका मान मूल असमानता में रखने पर भी उत्तर शीघ्र मिल जाता है। / Solving \(7-3x\leq 1\) gives \(-3x\leq -6\). Dividing both sides by \(-3\) reverses the inequality sign, so \(x\geq 2\). Therefore, \(x=2,3,4\) are solutions, whereas \(x=1\) is not. Exam tip: You can also substitute each option directly into the original inequality for a quick check.
A. असमानता का चिन्ह पलटेगा/The inequality sign reverses
Explanation
Simple Explanation
ऋण संख्या से भाग देने पर असमानता का क्रम उलट जाता है। यह रैखिक असमानताओं की सबसे सामान्य गलती है। / Dividing by a negative number reverses the order of an inequality. This is the most common mistake in linear inequalities.
असमानता \(-5x<20\) में दोनों पक्षों को \(-5\) से भाग देने पर ऋणात्मक संख्या से भाग देने का नियम लागू होता है, इसलिए असमानता का चिन्ह पलट जाता है: \(x>\frac{20}{-5}=-4\)। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में चिन्ह पलटने की बात नहीं मानी गई है, जबकि विकल्प C और D में \(20\div(-5)=-4\) का चिन्ह गलत लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देते समय चिन्ह अवश्य पलटें। / In \(-5x<20\), dividing both sides by \(-5\) reverses the inequality sign because the divisor is negative. Thus, \(x>\frac{20}{-5}=-4\), so option A is correct. Option B incorrectly keeps the original sign, while options C and D use the wrong sign for \(20\div(-5)\). Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
असमिका \(-2x\geq10\) के दोनों पक्षों को \(-2\) से भाग देने पर ऋणात्मक संख्या से भाग दिया जाता है, इसलिए असमिका का चिन्ह उलट जाता है: \(x\leq-5\)। \(-5\) शामिल है क्योंकि मूल चिन्ह \(\geq\) था। विकल्प B में चिन्ह न पलटने की वही गलती है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमिका को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर चिन्ह अवश्य उलटें। / Dividing both sides of \(-2x\geq10\) by \(-2\) reverses the inequality sign because the divisor is negative: \(x\leq-5\). The value \(-5\) is included because the original relation was \(\geq\). Option B repeats the mistake of not reversing the sign. Exam tip: Always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
विकल्प A में \(3x+2<14\) है। दोनों पक्षों से 2 घटाने पर \(3x<12\) और 3 से भाग देने पर \(x<4\) मिलता है। विकल्प B से \(x>4\), विकल्प C से भी \(x>4\), तथा विकल्प D से \(x\geq4\) प्राप्त होता है। अतः केवल विकल्प A का हल समुच्चय दिया गया है। परीक्षा-टिप: धनात्मक संख्या से असमानता के दोनों पक्षों को भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / In option A, \(3x+2<14\). Subtracting 2 from both sides gives \(3x<12\), and dividing by 3 gives \(x<4\). Option B gives \(x>4\), option C also gives \(x>4\), while option D gives \(x\geq4\). Therefore, only option A has the stated solution set. Exam tip: Dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
विकल्प A में \(4x+8\ge 0\) से \(4x\ge -8\) और, 4 से भाग देने पर, \(x\ge -2\) प्राप्त होता है। चूँकि 4 धनात्मक है, असमानता का चिह्न नहीं बदलता। विकल्प B का हल \(x\le -2\), विकल्प C का हल \(x<-2\), तथा विकल्प D का हल \(x\ge 2\) है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न अपरिवर्तित रहता है। / In option A, \(4x+8\ge 0\) gives \(4x\ge -8\), and dividing by 4 gives \(x\ge -2\). Since 4 is positive, the inequality sign remains unchanged. Option B gives \(x\le -2\), option C gives \(x<-2\), and option D gives \(x\ge 2\). Exam tip: dividing or multiplying an inequality by a positive number does not reverse its sign.
खुला बिंदु बराबरी को हटाता है और बाईं ओर छोटे मान दिखाता है। इसलिए असमानता (x<3) है। / An open point excludes equality and left shading shows smaller values. Therefore the inequality is (x<3).
बंद बिंदु बराबरी को शामिल करता है और दाईं ओर बड़े मान होते हैं। इसलिए \(x\geq-2\) सही है। / A closed point includes equality and right shading represents larger values. Hence \(x\geq-2\) is correct.
प्रश्न के अनुसार असमानता \(x+6<20\) होगी। दोनों पक्षों से 6 घटाने पर \(x<14\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(x=14\) रखने पर \(x+6=20\) मिलता है, जो 20 से कम नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ‘से कम’ का अर्थ हमेशा सख्त असमानता \(<\) होता है, जबकि ‘से कम या बराबर’ के लिए \(\leq\) प्रयोग किया जाता है। / The statement translates to the inequality \(x+6<20\). Subtracting 6 from both sides gives \(x<14\), so option A is correct. Option C is incorrect because when \(x=14\), the result is exactly 20, not less than 20. Exam tip: ‘less than’ indicates the strict inequality \(<\), whereas ‘less than or equal to’ indicates \(\leq\).
“28 से अधिक नहीं” का अर्थ 28 से कम या उसके बराबर होता है, इसलिए असमिका \(4x\leq28\) होगी। दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 4 से भाग देने पर असमिका का चिह्न नहीं बदलता और \(x\leq7\) प्राप्त होता है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें \(x=7\) शामिल नहीं है, जबकि 28 के बराबर होना मान्य है। परीक्षा-युक्ति: “not more than” या “अधिक नहीं” दिखे तो \(\leq\) का प्रयोग करें। / “Not more than 28” means less than or equal to 28, so the inequality is \(4x\leq28\). Dividing both sides by the positive number 4 does not reverse the inequality sign, giving \(x\leq7\). Option B is incorrect because it excludes \(x=7\), even though equality is allowed. Exam tip: “not more than” means \(\leq\).
कम से कम में सीमा मान शामिल होता है इसलिए \(m\geq33\) है। ऐसे शब्दों में बराबरी पर ध्यान दें। / At least includes the boundary value so \(m\geq33\). Pay attention to equality in such phrases.
more than का अर्थ कठोर रूप से बड़ा है इसलिए (a>18) है। यदि exactly (18) हो तो यह शर्त पूरी नहीं होती। / More than means strictly greater so (a>18). If the age is exactly (18), the condition is not satisfied.
असमानता \(3x+2\leq 11\) को हल करने पर \(3x\leq 9\), इसलिए \(x\leq 3\) प्राप्त होता है। इस सीमा को संतुष्ट करने वाला सबसे बड़ा पूर्णांक \(3\) है। विकल्प 4 और 5 असमानता को संतुष्ट नहीं करते, क्योंकि इनके लिए बायाँ पक्ष 14 या 17 होगा। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से असमानता के दोनों पक्षों को भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Solving \(3x+2\leq 11\) gives \(3x\leq 9\), and hence \(x\leq 3\). Therefore, the greatest integer satisfying the inequality is \(3\). The nearby distractor 4 is incorrect because it gives \(3(4)+2=14>11\); 5 also fails. Exam tip: dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
दिए गए असमानता से \(5x-1>14\) में दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर \(5x>15\) मिलता है। 5 से भाग देने पर \(x>3\) प्राप्त होता है। इसलिए 3 से बड़ी सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या 4 है। ध्यान रखें कि सख्त असमानता \(x>3\) में \(x=3\) शामिल नहीं होता। / Starting with \(5x-1>14\), add 1 to both sides to get \(5x>15\), and then divide by 5 to obtain \(x>3\). Therefore, the least natural number greater than 3 is 4. Since the inequality is strict, \(x=3\) is not included.
असमानता \(kx+1\leq 9\) में \(x=2\) रखने पर \(2k+1\leq 9\) प्राप्त होता है। अतः \(2k\leq 8\), इसलिए \(k\leq 4\)। प्रश्न में \(k>0\) भी दिया गया है, इसलिए दोनों शर्तों को मिलाकर \(0<k\leq 4\) मिलता है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(k>4\) होने पर असमानता संतुष्ट नहीं होगी। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले दिए गए मान को प्रतिस्थापित करें और अंत में सभी शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / Substituting \(x=2\) into \(kx+1\leq 9\) gives \(2k+1\leq 9\). Thus, \(2k\leq 8\), so \(k\leq 4\). Since the question also states \(k>0\), combining both conditions gives \(0<k\leq 4\). Option B is incorrect because values \(k>4\) do not satisfy the inequality. In such questions, first substitute the given value and then take the intersection of all conditions.
असमानता \(x+2<k\) को \(x\) के लिए हल करने पर \(x<k-2\) प्राप्त होता है। दिए गए हल \(x<7\) से तुलना करने पर \(k-2=7\), अतः \(k=9\)। विकल्प 7 केवल हल की सीमा को दर्शाता है, \(k\) का मान नहीं। परीक्षा युक्ति: असमानता को पहले उसी चर के रूप में लिखें और फिर सीमाओं की तुलना करें। / Solving \(x+2<k\) for \(x\) gives \(x<k-2\). Comparing this with the given solution \(x<7\), we get \(k-2=7\), so \(k=9\). The value 7 is the boundary of the solution set, not the value of \(k\). Exam tip: first isolate the variable and then compare the resulting boundary values.
(2x) घटाने पर (3<5) मिलता है जो हमेशा सत्य है। चर मिटने पर बची हुई कथन की सत्यता जांचें। / Subtracting (2x) gives (3<5), which is always true. When the variable cancels, check the truth of the remaining statement.
कोष्ठक खोलने पर \(2x+6-x\geq10\), अर्थात् \(x+6\geq10\) मिलता है। दोनों पक्षों से 6 घटाने पर \(x\geq4\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में असमानता की दिशा गलत है। परीक्षा में ध्यान रखें कि ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न उलटता है। / Expanding the brackets gives \(2x+6-x\geq10\), which simplifies to \(x+6\geq10\). Subtracting 6 from both sides yields \(x\geq4\), so option A is correct. Option B has the inequality direction reversed. Remember that the inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number.
(6) से गुणा करने पर (3(x+4)-2(x-2)<30) मिलता है। सरल करने पर (x+16<30) से (x<14) नहीं बल्कि (x<14) आता है। / Multiplying by (6) gives (3(x+4)-2(x-2)<30). Simplifying gives (x+16<30), so the correct result is (x<14).
(1) घटाने पर \(\frac{2x-5}{4}\geq2\) और फिर \(2x-5\geq8\) मिलता है। इसलिए \(x\geq\frac{13}{2}\) है। / Subtracting (1) gives \(\frac{2x-5}{4}\geq2\) and then \(2x-5\geq8\). Hence \(x\geq\frac{13}{2}\).
(3) घटाने पर \(-\frac{x+2}{5}< -2\) मिलता है। ऋण पद हटाने पर चिन्ह बदलता है और (x>8) मिलता है। / Subtracting (3) gives \(-\frac{x+2}{5}< -2\). Removing the negative term reverses the sign and gives (x>8).
असमानता के सभी भागों को धनात्मक संख्या 2 से गुणा करने पर दिशा नहीं बदलती: \\(-6\leq x+1<8\\)। अब प्रत्येक भाग से 1 घटाने पर \\(-7\leq x<7\\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में दोनों सिरों पर असमानता की दिशाएँ अनावश्यक रूप से उलट दी गई हैं। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न उलटता है। / Multiplying all parts of the inequality by the positive number 2 does not reverse the signs, giving \\(-6\leq x+1<8\\). Subtracting 1 from all parts yields \\(-7\leq x<7\\), so option A is correct. Option B incorrectly reverses the endpoint conditions. Exam tip: an inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number.
\(\frac{x-3}{2}>1\) से (x-3>2) और (x>5) मिलता है। इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक हल (6) है। / The inequality \(\frac{x-3}{2}>1\) gives (x-3>2) and (x>5). Therefore the least integer solution is (6).
‘कम से कम 13’ का अर्थ 13 या उससे अधिक होता है, इसलिए असमिका \(2x-5\geq 13\) होगी। दोनों पक्षों में 5 जोड़ने पर \(2x\geq 18\) और 2 से भाग देने पर \(x\geq 9\) प्राप्त होता है। 2 धनात्मक है, इसलिए असमिका का चिह्न नहीं बदलता। ध्यान रखें कि \(x=9\) भी मान्य है; इसलिए \(x>9\) सही उत्तर नहीं है। / ‘At least 13’ means 13 or more, so the inequality is \(2x-5\geq 13\). Adding 5 to both sides gives \(2x\geq 18\), and dividing by the positive number 2 gives \(x\geq 9\). The inequality sign does not change because the divisor is positive. Remember that \(x=9\) is included, so \(x>9\) is not correct.
सरल करने पर (5x-3<5x) मिलता है। (5x) घटाने पर (-3<0) सत्य है इसलिए सभी वास्तविक (x) हल हैं। / Simplifying gives (5x-3<5x). Subtracting (5x) gives (-3<0), which is true, so all real (x) are solutions.
(2) से गुणा करने पर \(3x-1\leq2x+8\) मिलता है। समान पद मिलाने पर \(x\leq9\) सही हल है। / Multiplying by (2) gives \(3x-1\leq2x+8\). Combining like terms gives the correct solution \(x\leq9\).
