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असमानता \\(4x+6>22\\) में दोनों पक्षों से 6 घटाने पर \\(4x>16\\) प्राप्त होता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 4 से भाग देने पर \\(x>4\\) मिलता है; इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C गलत है क्योंकि \\(x=4\\) रखने पर \\(4x+6=22\\) होता है, जबकि असमानता में 22 से बड़ा होना आवश्यक है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिन्ह नहीं बदलता, लेकिन ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह पलट जाता है। / Starting with \\(4x+6>22\\), subtracting 6 from both sides gives \\(4x>16\\). Dividing by the positive number 4 gives \\(x>4\\), so option A is correct. Option C is incorrect because including \\(x=4\\) would make the left side equal to 22, not greater than 22. Exam tip: dividing or multiplying an inequality by a negative number reverses its sign; a positive number does not.
A. असमानता-चिह्न की दिशा उलटनी होती है/The inequality sign must be reversed
Explanation
Simple Explanation
ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर क्रम उलट जाता है, इसलिए असमानता-चिह्न की दिशा बदलती है। उदाहरण: \(2<5\) को \(-1\) से गुणा करने पर \(-2>-5\) मिलता है। परीक्षा में ऋणात्मक गुणन/भाग दिखते ही चिह्न पलटें। / Multiplication or division by a negative number reverses order, so the inequality sign must be reversed. For example, multiplying \(2<5\) by \(-1\) gives \(-2>-5\). Exam tip: immediately flip the sign when using a negative factor.
दोनों पक्षों को −6 से भाग देने पर असमिका का चिन्ह उलट जाता है, इसलिए 18 को −6 से भाग देने पर x<−3 प्राप्त होता है। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में चिन्ह उलटने की गलती है। परीक्षा में ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमिका का चिन्ह अवश्य बदलें। / Dividing both sides by −6 reverses the inequality sign. Since 18÷(−6)=−3, the result is x<−3, so option A is correct. Option B results from forgetting to reverse the sign. In an exam, always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता \(3x-2<13\) को हल करने पर \(3x<15\), अतः \(x<5\) प्राप्त होता है। इसलिए \(x=5\) हल नहीं है, क्योंकि रखने पर \(3(5)-2=13\) मिलता है और \(13<13\) असत्य है। इसके विपरीत \(x=4\) रखने पर \(10<13\) सत्य है। परीक्षा-टिप: '<' या '>' जैसी कठोर असमानताओं में सीमा-बिंदु शामिल नहीं होता। / Solving \(3x-2<13\) gives \(3x<15\), hence \(x<5\). Therefore, \(x=5\) is not a solution because substitution gives \(3(5)-2=13\), and \(13<13\) is false. In contrast, \(x=4\) satisfies the inequality since \(10<13\). Exam tip: In strict inequalities such as '<' or '>', the boundary value is not included.
पूर्ण संख्याओं का समुच्चय \(\mathbb{W}=\{0,1,2,3,\ldots\}\) होता है। इसलिए \(x\leq 4\) को संतुष्ट करने वाली पूर्ण संख्याएँ \(0,1,2,3,4\) हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें \(0\) शामिल नहीं है, जबकि \(0\) पूर्ण संख्या है। परीक्षा-युक्ति: पहले चर का समुच्चय पहचानें; यहाँ हल वास्तविक संख्याओं का अंतराल नहीं, बल्कि पूर्ण संख्याओं का सीमित समुच्चय है। / The whole-number set is \(\mathbb{W}=\{0,1,2,3,\ldots\}\). Hence the whole numbers satisfying \(x\leq 4\) are \(0,1,2,3,4\). Option B is incorrect because it excludes \(0\), which is a whole number. Exam tip: identify the domain of the variable first; here the solution is a finite set of whole numbers, not an interval of real numbers.
दोनों पक्षों में 11 जोड़ने पर \(8x\geq 5x+21\) मिलता है। दोनों पक्षों से \(5x\) घटाने पर \(3x\geq 21\), अतः 3 से भाग देने पर \(x\geq 7\) प्राप्त होता है। चूँकि 3 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता; अतः \(x\leq 7\) सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है। / Adding 11 to both sides gives \(8x\geq 5x+21\). Subtracting \(5x\) from both sides gives \(3x\geq 21\), and dividing by the positive number 3 yields \(x\geq 7\). The inequality sign does not reverse because the divisor is positive, so \(x\leq 7\) is incorrect. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
पहले दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर \(\frac{x}{4}>3\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 4 से गुणा करने पर \(x>12\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(x=12\) रखने पर असमानता में बराबरी आती है, जबकि यहाँ सख्त चिन्ह \(>\) है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिन्ह नहीं बदलता। / Adding 1 to both sides gives \(\frac{x}{4}>3\). Multiplying both sides by the positive number 4 yields \(x>12\), so option A is correct. Option C is incorrect because \(x=12\) gives equality, whereas the inequality requires a strict greater-than sign. Exam tip: Multiplication or division by a positive number does not reverse the inequality sign.
असमानता \(\frac{x+3}{2}>6\) में दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर \(x+3>12\), अर्थात् \(x>9\) प्राप्त होता है। 9 से बड़ा सबसे छोटा पूर्णांक 10 है, इसलिए सही उत्तर 10 है। ध्यान रखें कि ‘>’ में 9 शामिल नहीं होता; यदि चिह्न ‘\(\geq\)’ होता, तो 9 भी मान्य होता। / Multiplying \(\frac{x+3}{2}>6\) by 2 gives \(x+3>12\), so \(x>9\). The smallest integer greater than 9 is 10. Therefore, the correct answer is 10. Remember that the strict sign ‘>’ excludes 9; with ‘\(\geq\)’, 9 would also be included.
\(6x+5<4x+19\) में दोनों पक्षों से \(4x\) और \(5\) घटाने पर \(2x<14\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(2\) से भाग देने पर \(x<7\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर A है। \(x>7\) चुनना असमानता की दिशा अनावश्यक रूप से बदलने की गलती है; दिशा केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर बदलती है। परीक्षा-युक्ति: किसी हल को मूल असमानता में रखकर जाँच लें। / Subtracting \(4x\) and \(5\) from the respective sides of \(6x+5<4x+19\) gives \(2x<14\). Dividing both sides by the positive number \(2\) yields \(x<7\), so option A is correct. The inequality sign does not reverse because the divisor is positive; reversal is required only when multiplying or dividing by a negative number. Exam tip: Verify the result by testing a value such as \(x=0\) in the original inequality.
दोनों पक्षों से \(5x\) घटाने पर \(4x-4\leq 20\) मिलता है। दोनों पक्षों में 4 जोड़ने पर \(4x\leq 24\), अतः \(x\leq 6\)। इसलिए सभी पूर्णांक \(6\) या उससे छोटे हैं और सबसे बड़ा पूर्णांक हल 6 है। परीक्षा-युक्ति: असमानता हल करने के बाद पूर्णांक हलों की सीमा में सबसे बड़ा मान चुनें। / Subtracting \(5x\) from both sides gives \(4x-4\leq 20\). Adding 4 and dividing by 4 yields \(x\leq 6\). Thus every integer less than or equal to 6 is a solution, and the greatest integer solution is 6. Exam tip: after solving an inequality, identify the largest integer included in the solution set.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 4 से विभाजित करने पर \(x+1>7\) मिलता है। अब दोनों पक्षों से 1 घटाने पर \(x>6\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में 7 को घटाने की गलती हुई है। परीक्षा-युक्ति: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या विभाजित करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है। / Dividing both sides by the positive number 4 gives \(x+1>7\). Subtracting 1 from both sides yields \(x>6\), so option A is correct. Option C results from incorrectly treating 7 as the value of \(x\). Exam tip: the inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number.
कोष्ठक खोलने पर \(6x-15\geq x+10\) मिलता है। दोनों पक्षों से \(x\) घटाने पर \(5x-15\geq 10\), अर्थात \(5x\geq 25\), इसलिए \(x\geq 5\)। ध्यान रखें कि धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Expanding the bracket gives \(6x-15\geq x+10\). Subtracting \(x\) from both sides gives \(5x-15\geq 10\), or \(5x\geq 25\), so \(x\geq 5\). Remember that dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
\(4x-1>15\) में दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर \(4x>16\) और 4 से भाग देने पर \(x>4\) मिलता है। 4 स्वयं हल नहीं है, क्योंकि असमानता सख्त है; 4 से बड़ा सबसे छोटा पूर्णांक 5 है। परीक्षा-युक्ति: \(>\) या \(<\) वाली सख्त असमानता में सीमा-बिंदु शामिल नहीं होता। / Adding 1 to both sides gives \(4x>16\), and dividing by 4 gives \(x>4\). Since the inequality is strict, 4 is not included; the smallest integer greater than 4 is 5. Exam tip: In a strict inequality such as \(>\) or \(<\), the boundary value is excluded.
दोनों पक्षों से 3 घटाने पर \(9 \geq 3x\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 3 से विभाजित करने पर \(3 \geq x\), अर्थात् \(x \leq 3\) प्राप्त होता है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलट दी गई है, जबकि यहाँ 3 से भाग देने पर दिशा नहीं बदलती। परीक्षा में याद रखें: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न बदलता है। / Subtracting 3 from both sides gives \(9 \geq 3x\). Dividing both sides by the positive number 3 gives \(3 \geq x\), which is equivalent to \(x \leq 3\). Option B incorrectly reverses the inequality sign; division by a positive number does not change its direction. Exam tip: the inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों पक्षों से 4 घटाने पर \(10<2x\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 2 से विभाजित करने पर \(5<x\), अर्थात \(x>5\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C गलत है क्योंकि मूल असमानता में बराबरी शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: किसी असमानता को धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Subtracting 4 from both sides gives \(10<2x\). Dividing both sides by the positive number 2 gives \(5<x\), which is equivalent to \(x>5\). Therefore, option A is correct. Option C is incorrect because the original inequality does not include equality. Exam tip: The inequality sign remains unchanged when both sides are multiplied or divided by a positive number.
असमानता \(x-2<5\) में दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर \(x<7\) मिलता है। साथ ही \(x\geq 2\) और \(x\) पूर्णांक है, इसलिए \(x\) के मान 2 से 6 तक होंगे: \(\{2,3,4,5,6\}\)। विकल्प B में 7 शामिल है, लेकिन \(x<7\) के कारण 7 मान्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: सख्त असमानता \(<\) या \(>\) में सीमा-बिंदु शामिल नहीं होता। / Adding 2 to both sides of \(x-2<5\) gives \(x<7\). Since \(x\geq 2\) and \(x\) is an integer, the possible values are the integers from 2 through 6: \(\{2,3,4,5,6\}\). Option B is incorrect because 7 is not allowed by the strict inequality \(x<7\). Exam tip: a strict inequality, such as \(<\) or \(>\), excludes its boundary value.
दोनों पक्षों से \(2x\) घटाने पर \(3x+1>16\) मिलता है। फिर 1 घटाने पर \(3x>15\), और 3 से भाग देने पर \(x>5\) प्राप्त होता है। चूँकि मूल असमानता में ‘>’ है, इसलिए \(x=5\) शामिल नहीं है; अतः \(x\geq5\) गलत है। परीक्षा-टिप: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है, लेकिन यहाँ 3 धनात्मक है। / Subtracting \(2x\) from both sides gives \(3x+1>16\). Subtracting 1 and then dividing by the positive number 3 gives \(x>5\). Since the original inequality is strict, \(x=5\) is not included; therefore, \(x\geq5\) is incorrect. Exam tip: Reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number; here, 3 is positive.
विकल्प A में दोनों पक्षों से 1 घटाने पर \(x+1\geq 0\Rightarrow x\geq -1\) प्राप्त होता है। विकल्प C से \(x\leq -1\) मिलता है, इसलिए वह विपरीत दिशा का हल है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमानता में धनात्मक संख्या जोड़ने या घटाने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / In option A, subtracting 1 from both sides gives \(x+1\geq 0\Rightarrow x\geq -1\). Option C gives \(x\leq -1\), which has the opposite direction. Exam tip: adding or subtracting a positive number does not reverse the inequality sign.
असमानता \\(7x\geq -21\\) में दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 7 से भाग देने पर असमानता का चिन्ह नहीं बदलता। इसलिए \\(x\geq -3\\) प्राप्त होता है। विकल्प B में चिन्ह उलट दिया गया है, जो केवल ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर होता। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिन्ह अवश्य उलटें। / In \\(7x\geq -21\\), dividing both sides by the positive number 7 does not reverse the inequality sign. Thus, \\(x\geq -3\\). Option B is incorrect because the sign would reverse only when multiplying or dividing by a negative number. Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों पक्षों को \(-7\) से भाग देने पर ऋणात्मक संख्या से भाग देने के कारण असमानता का चिह्न उलट जाता है: \(x\geq \frac{28}{-7}=-4\)। अतः सही उत्तर \(x\geq -4\) है। विकल्प B में चिह्न उलटने की इस आवश्यकता को नहीं माना गया है। परीक्षा-टिप: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर चिह्न अवश्य उलटें। / Dividing both sides by \(-7\) reverses the inequality sign because the divisor is negative: \(x\geq \frac{28}{-7}=-4\). Hence, \(x\geq -4\) is correct. Option B is incorrect because it does not reverse the sign. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing an inequality by a negative number.
