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असमानता \(2x-7\leq 9\) में दोनों पक्षों में 7 जोड़ने पर \(2x\leq 16\) मिलता है। अब 2 से भाग देने पर \(x\leq 8\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(x=8\) भी हल का भाग है। परीक्षा में याद रखें: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Adding 7 to both sides of \(2x-7\leq 9\) gives \(2x\leq 16\). Dividing by 2 yields \(x\leq 8\), so option A is correct. Option C is incorrect because the boundary value \(x=8\) is included. Exam tip: the inequality sign changes only when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों पक्षों को (-4) से भाग देने पर असमानता का चिन्ह उलट जाता है, क्योंकि (-4) ऋणात्मक है। इसलिए (x > -5) प्राप्त होता है। विकल्प B में चिन्ह उलटने की प्रक्रिया नहीं अपनाई गई है। परीक्षा-युक्ति: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिन्ह अवश्य बदलें। / Dividing both sides by (-4) reverses the inequality sign because (-4) is negative. Thus, (x > -5) is obtained. Option B is incorrect because it does not reverse the sign. Exam tip: Always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता के दोनों पक्षों में 4 जोड़ने पर \(x\geq 10\) मिलता है। अतः 10 तथा उससे बड़े सभी वास्तविक संख्याएँ हल हैं, इसलिए हल-समुच्चय \([10,\infty)\) है। विकल्प B में 10 को शामिल नहीं किया गया है, जबकि \(\geq\) में सीमा-बिंदु शामिल होता है। परीक्षा टिप: \(\geq\) या \(\leq\) होने पर सीमा-बिंदु के लिए वर्ग कोष्ठक लगाएँ। / Adding 4 to both sides gives \(x\geq 10\). Thus, 10 and every real number greater than 10 are solutions, so the solution set is \([10,\infty)\). Option B excludes 10, but \(\geq\) includes the boundary value. Exam tip: use a square bracket at an included endpoint for \(\geq\) or \(\leq\).
दोनों पक्षों से \(3x\) घटाने पर \(4x+3\geq 15\) मिलता है। फिर दोनों पक्षों से 3 घटाने पर \(4x\geq 12\), और 4 से भाग देने पर \(x\geq 3\) प्राप्त होता है। क्योंकि 4 धनात्मक है, असमानता का चिह्न नहीं बदलता। विकल्प B में चिह्न उलट दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न बदलता है। / Subtracting \(3x\) from both sides gives \(4x+3\geq 15\). Subtracting 3 and then dividing by the positive number 4 gives \(x\geq 3\). The inequality sign therefore remains unchanged. Option B incorrectly reverses the sign. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
पहले दोनों पक्षों से 2 घटाने पर \(\frac{x}{3}<3\) प्राप्त होता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 3 से गुणा करने पर \(x<9\) मिलता है, इसलिए सही उत्तर A है। धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिन्ह नहीं बदलता। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिन्ह उलटता है। / Subtracting 2 from both sides gives \(\frac{x}{3}<3\). Multiplying both sides by the positive number 3 yields \(x<9\), so option A is correct. The inequality sign remains unchanged when multiplying or dividing by a positive number. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता \\(\frac{x-1}{2}\geq 4\\) में दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर, क्योंकि 2 धनात्मक है, असमानता का चिन्ह नहीं बदलेगा: \\(x-1\geq 8\\)। अतः \\(x\geq 9\\), इसलिए न्यूनतम पूर्णांक मान 9 है। 8 सही नहीं है, क्योंकि रखने पर \\(\frac{8-1}{2}=3.5<4\\) मिलता है। परीक्षा-युक्ति: किसी धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिन्ह अपरिवर्तित रहता है। / In \\(\frac{x-1}{2}\geq 4\\), multiplying both sides by 2 preserves the inequality because 2 is positive: \\(x-1\geq 8\\). Hence, \\(x\geq 9\\), so the least integer value is 9. The close distractor 8 is incorrect because \\(\frac{8-1}{2}=3.5<4\\). Exam tip: multiplying or dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
\(4x-5<2x+7\) में दोनों पक्षों से \(2x\) घटाने पर \(2x-5<7\) मिलता है। दोनों पक्षों में 5 जोड़ने पर \(2x<12\), और 2 से भाग देने पर \(x<6\) प्राप्त होता है। चूँकि मूल चिह्न '<' है, इसलिए 6 इसमें शामिल नहीं है; अतः \(x\leq 6\) गलत है। परीक्षा में धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Starting with \(4x-5<2x+7\), subtract \(2x\) from both sides to get \(2x-5<7\). Adding 5 gives \(2x<12\), and dividing by the positive number 2 gives \(x<6\). Since the original sign is '<', the endpoint 6 is not included, so \(x\leq 6\) is incorrect. Exam tip: the inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता को हल करने पर \(6x+1\leq 2x+17\) से \(4x\leq 16\), अतः \(x\leq 4\) मिलता है। इसलिए सभी पूर्णांक हल 4 या उससे छोटे हैं और सबसे बड़ा पूर्णांक हल 4 है। विकल्प 5 गलत है, क्योंकि 5 रखने पर \(31\leq 27\) असत्य हो जाता है। परीक्षा में असमानता हल करते समय ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलटने का ध्यान रखें। / Solving the inequality, \(6x+1\leq 2x+17\) gives \(4x\leq 16\), so \(x\leq 4\). Thus, all integer solutions are 4 or less, and the greatest integer solution is 4. Option 5 is incorrect because substituting it gives \(31\leq 27\), which is false. In exams, remember to reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(3\) से भाग देने पर \(x-2>4\) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों में \(2\) जोड़ने पर \(x>6\) मिलता है, इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प C में \(3\) से भाग देने के बाद \(2\) जोड़ना भूल गया है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिन्ह नहीं बदलता। / Dividing both sides by the positive number \(3\) gives \(x-2>4\). Adding \(2\) to both sides yields \(x>6\), so option A is correct. Option C results from forgetting to add \(2\) after division by \(3\). Exam tip: Dividing or multiplying an inequality by a positive number does not reverse its sign.
कोष्ठक खोलने पर \\(6x+2\geq 4x+10\\) मिलता है। दोनों पक्षों से \\(4x\\) घटाने पर \\(2x+2\geq 10\\), अर्थात \\(2x\geq 8\\)। 2 से भाग देने पर \\(x\geq 4\\) प्राप्त होता है, क्योंकि 2 धनात्मक है; इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता। अतः सही उत्तर A है। परीक्षा-टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न उलटता है। / Expanding the bracket gives \\(6x+2\geq 4x+10\\). Subtracting \\(4x\\) from both sides yields \\(2x+2\geq 10\\), so \\(2x\geq 8\\). Dividing by the positive number 2 gives \\(x\geq 4\\); therefore, the inequality sign does not reverse. Hence, option A is correct. Exam tip: the inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number.
A. जब असमानता का चिह्न ≤ या ≥ हो/When the inequality sign is ≤ or ≥
Explanation
Simple Explanation
≤ या ≥ में समानता भी शामिल होती है, इसलिए सीमा मान हल होता है। < और > में सीमा मान शामिल नहीं होता। परीक्षा टिप: संख्या रेखा पर ≤, ≥ के लिए भरा हुआ बिंदु बनाइए। / The signs ≤ and ≥ include equality, so the boundary value is a solution. The signs < and > exclude it. Exam tip: use a filled dot on the number line for ≤ or ≥.
पहले, \\(9-3x<0\\) से \\(-3x<-9\\) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को \\(-3\\) से भाग देने पर असमानता का चिन्ह उलट जाता है, इसलिए \\(x>3\\) मिलता है। विकल्प B में चिन्ह न उलटने की गलती है, जबकि बराबरी वाले विकल्पों में \\(x=3\\) को शामिल किया गया है, पर वह मूल असमानता को संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिन्ह अवश्य उलटें। / From \\(9-3x<0\\), we get \\(-3x<-9\\). Dividing both sides by \\(-3\\) reverses the inequality sign, giving \\(x>3\\). Option B results from forgetting this sign reversal, while the options with equality incorrectly include \\(x=3\\), which does not satisfy the original strict inequality. Exam tip: Reverse the inequality sign whenever you multiply or divide by a negative number.
असमानता \(2x+3>11\) में दोनों पक्षों से 3 घटाने पर \(2x>8\) और 2 से भाग देने पर \(x>4\) प्राप्त होता है। चूँकि \(x\) पूर्णांक है, 4 स्वयं हल नहीं है; 4 से बड़ा सबसे छोटा पूर्णांक 5 है। परीक्षा-युक्ति: \(>\) होने पर सीमा-बिंदु शामिल नहीं होता। / Subtracting 3 from both sides of \(2x+3>11\) gives \(2x>8\), and dividing by 2 gives \(x>4\). Since \(x\) is an integer, 4 is not included; the smallest integer greater than 4 is 5. Exam tip: For a strict inequality \(>\), the boundary value is excluded.
दोनों पक्षों में 1 घटाने पर \(9<3x\) मिलता है। अब 3 से भाग देने पर, क्योंकि 3 धनात्मक है, असमानता का चिह्न नहीं बदलता और \(3<x\), अर्थात् \(x>3\), प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: किसी धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न वही रहता है; चिह्न केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर उलटता है। / Subtracting 1 from both sides gives \(9<3x\). Dividing by 3, which is positive, does not reverse the inequality sign, so we obtain \(3<x\), equivalent to \(x>3\). Therefore, option A is correct. Exam tip: the inequality sign changes direction only when multiplying or dividing by a negative number, not by a positive number.
असमानता \(x+5<12\) में दोनों पक्षों से 5 घटाने पर \(x<7\) प्राप्त होता है। साथ ही \(0\leq x\) है, इसलिए \(x\) के पूर्णांक मान 0 से 6 तक होंगे: \(\{0,1,2,3,4,5,6\}\)। 7 शामिल नहीं है, क्योंकि \(7<7\) असत्य है। परीक्षा-युक्ति: सख्त असमानता \(<\) में सीमा मान शामिल नहीं होता। / Subtracting 5 from both sides of \(x+5<12\) gives \(x<7\). Together with \(0\leq x\), the possible integer values of \(x\) are \(\{0,1,2,3,4,5,6\}\). The value 7 is excluded because \(7<7\) is false. Exam tip: In a strict inequality such as \(<\), the boundary value is not included.
दोनों पक्षों से \\(x\\) घटाने पर \\(2x-2>8\\) मिलता है। दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर \\(2x>10\\), और 2 से भाग देने पर \\(x>5\\) प्राप्त होता है। चूँकि मूल असमानता में ‘>’ है, इसलिए \\(x=5\\) शामिल नहीं है; अतः \\(x\\geq5\\) गलत है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से असमानता को भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Subtracting \\(x\\) from both sides gives \\(2x-2>8\\). Adding 2 to both sides gives \\(2x>10\\), and dividing by 2 yields \\(x>5\\). Since the original inequality is strict, \\(x=5\\) is not included; therefore, \\(x\\geq5\\) is incorrect. Exam tip: Dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
विकल्प A में \(x+3\leq 0\) से दोनों पक्षों में 3 घटाने पर \(x\leq -3\) प्राप्त होता है। विकल्प B का हल \(x\leq 3\), विकल्प C का हल \(x\geq -3\), और विकल्प D का हल \(x\geq 3\) है। परीक्षा में स्थिरांक को दूसरी ओर ले जाते समय उसके चिह्न का ध्यान रखें। / For option A, subtracting 3 from both sides of \(x+3\leq 0\) gives \(x\leq -3\). Option B gives \(x\leq 3\), option C gives \(x\geq -3\), and option D gives \(x\geq 3\). In an exam, carefully track the sign when moving a constant to the other side.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(5\) से विभाजित करने पर असमिका का चिन्ह नहीं बदलता: \(x\leq \frac{-20}{5}=-4\)। इसलिए सही उत्तर \(x\leq -4\) है। विकल्प B में चिन्ह अनावश्यक रूप से उलट दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमिका का चिन्ह उलटता है। / Dividing both sides by the positive number \(5\) does not reverse the inequality sign: \(x\leq \frac{-20}{5}=-4\). Therefore, \(x\leq -4\) is correct. In option B, the sign has been reversed unnecessarily. Exam tip: the inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों पक्षों को \\(-5\\) से भाग देने पर असमानता का चिन्ह उलट जाता है, क्योंकि \\(-5\\) ऋणात्मक संख्या है: \\(x \leq -3\\)। विकल्प B में चिन्ह को उलटने की यह आवश्यक प्रक्रिया नहीं की गई है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर चिन्ह अवश्य बदलें। / Dividing both sides by \\(-5\\) reverses the inequality sign because \\(-5\\) is negative: \\(x \leq -3\\)。 Option B is incorrect because it does not reverse the sign. Exam tip: Always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
