Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) है। \(52=36-2\alpha\beta\) से \(\alpha\beta=-8\) मिलता है। / (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta). From \(52=36-2\alpha\beta\), we get \(\alpha\beta=-8\).
(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) है। \(20=16-2\alpha\beta\) से \(\alpha\beta=-2\) मिलता है। / (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta). From \(20=16-2\alpha\beta\), we get \(\alpha\beta=-2\).
\(\alpha+\beta=6\) और \(\alpha^2+\beta^2=26\) है। \(36-2\alpha\beta=26\) से \(\alpha\beta=5\), इसलिए जड़ें (1) और (5) हैं। / Here \(\alpha+\beta=6\) and \(\alpha^2+\beta^2=26\). From \(36-2\alpha\beta=26\), \(\alpha\beta=5\), so the roots are (1) and (5).
\(\alpha+\beta=5\) और \(\alpha\beta=6\) हैं। नई जड़ें (5) और (6) हैं, इसलिए समीकरण \(x^2-11x+30=0\) है। / Here \(\alpha+\beta=5\) and \(\alpha\beta=6\). The new roots are (5) and (6), so the equation is \(x^2-11x+30=0\).
\(\alpha+\beta=5\) और \(\alpha^2+\beta^2=17\) है। \(25-2\alpha\beta=17\) से \(\alpha\beta=4\), इसलिए जड़ें (1) और (4) हैं। / Here \(\alpha+\beta=5\) and \(\alpha^2+\beta^2=17\). From \(25-2\alpha\beta=17\), \(\alpha\beta=4\), so the roots are (1) and (4).
\(\alpha+\beta=4\) और \(\alpha^2+\beta^2=10\) है। \(16-2\alpha\beta=10\) से \(\alpha\beta=3\), इसलिए जड़ें (1) और (3) हैं। / Here \(\alpha+\beta=4\) and \(\alpha^2+\beta^2=10\). From \(16-2\alpha\beta=10\), \(\alpha\beta=3\), so the roots are (1) and (3).
योग \(-\frac{b}{a}=\frac{3}{4}\) और गुणनफल \(\frac{k}{4}\) है। \(\frac{k}{4}=\frac{3}{4}\) से (k=3) है। / The sum is \(-\frac{b}{a}=\frac{3}{4}\) and the product is \(\frac{k}{4}\). From \(\frac{k}{4}=\frac{3}{4}\), (k=3).
योग \(-\frac{b}{a}=\frac{2}{3}\) और गुणनफल \(\frac{k}{3}\) है। \(\frac{k}{3}=\frac{2}{3}\) से (k=2) है। / The sum is \(-\frac{b}{a}=\frac{2}{3}\) and the product is \(\frac{k}{3}\). From \(\frac{k}{3}=\frac{2}{3}\), (k=2).
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। इसलिए \(x^2-10x+21=0\) सही है। \(/ A monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Therefore (x^2-10x+21=0) is correct.\)
गुणनफल धनात्मक होने पर दोनों चिन्ह समान होते हैं। योग धनात्मक होने से दोनों मूल धनात्मक होंगे। / A positive product means both signs are same. A positive sum means both roots are positive.
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। इसलिए \(x^2+9x+20=0\) सही है। \(/ A monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Therefore (x^2+9x+20=0) is correct.\)
गुणनफल धनात्मक होने पर दोनों मूलों का चिन्ह समान होता है। योग ऋणात्मक होने से दोनों मूल ऋणात्मक होंगे। / A positive product means both roots have the same sign. A negative sum means both roots are negative.
\(मानक रूप (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) है इसलिए \(x^2-6x+8=0\)। योग वाले पद का चिन्ह बदलता है। \(/ The standard form is (x^2-(\)sum)x+product\(=0) so (x^2-6x+8=0). The sign of the sum term changes.\)
दोनों ऋणात्मक जड़ों के लिए योग (-12) और गुणनफल \(\lambda>0\) चाहिए। वास्तविक भिन्न जड़ों के लिए \(144-4\lambda>0\), इसलिए \(0<\lambda<36\)। / For both roots to be negative, the sum (-12) and product \(\lambda>0\) are needed. For real distinct roots, \(144-4\lambda>0\), so \(0<\lambda<36\).
मूल जड़ें (3) और (4) हैं। नई जड़ें (9) और (11) हैं, इसलिए समीकरण \(x^2-20x+99=0\) है। / The original roots are (3) and (4). The new roots are (9) and (11), so the equation is \(x^2-20x+99=0\).
दोनों ऋणात्मक जड़ों के लिए योग (-10) और गुणनफल \(\lambda>0\) चाहिए। वास्तविक भिन्न जड़ों के लिए \(100-4\lambda>0\), इसलिए \(0<\lambda<25\)। / For both roots to be negative, the sum (-10) and product \(\lambda>0\) are needed. For real distinct roots, \(100-4\lambda>0\), hence \(0<\lambda<25\).
मूल जड़ें (2) और (7) हैं। नई जड़ें (-1) और (4) होंगी, इसलिए समीकरण \(x^2-3x-4=0\) है। / The original roots are (2) and (7). The new roots are (-1) and (4), so the equation is \(x^2-3x-4=0\).
दोनों ऋणात्मक जड़ों के लिए योग (-2) और गुणनफल \(\lambda>0\) चाहिए। वास्तविक भिन्न जड़ों के लिए \(4-4\lambda>0\), इसलिए \(0<\lambda<1\)। / For both roots to be negative, the sum (-2) and product \(\lambda>0\) are needed. For real distinct roots, \(4-4\lambda>0\), hence \(0<\lambda<1\).
मूल जड़ें (1) और (5) हैं, इसलिए नई जड़ें (1) और (13) हैं। उनका समीकरण \(x^2-14x+13=0\) है। / The original roots are (1) and (5), so the new roots are (1) and (13). Their equation is \(x^2-14x+13=0\).
नई जड़ों का योग \(\alpha+\beta+2=5\) है, इसलिए (p=-3)। गुणनफल (q-p+1=6) से (q=2) मिलता है। / The sum of new roots is \(\alpha+\beta+2=5\), so (p=-3). From product (q-p+1=6), we get (q=2).
\(\alpha+\beta=3\) और \(\alpha\beta=-2\) है। इसलिए \(\alpha^2+\beta^2=13\) और \(\alpha^2\beta^2=4\), अतः समीकरण \(x^2-13x+4=0\) है। / Here \(\alpha+\beta=3\) and \(\alpha\beta=-2\). Thus \(\alpha^2+\beta^2=13\) and \(\alpha^2\beta^2=4\), so the equation is \(x^2-13x+4=0\).
मूल जड़ें (2) और (3) हैं, इसलिए नई जड़ें (3) और (4) होंगी। उनका समीकरण \(x^2-7x+12=0\) है। / The original roots are (2) and (3), so the new roots are (3) and (4). Their equation is \(x^2-7x+12=0\).
यहाँ \(\alpha+\beta=\frac{10}{3}\) और \(\alpha\beta=1\) है। व्युत्क्रम जड़ों का योग \(\frac{10}{3}\) और गुणनफल (1) ही रहता है। / Here \(\alpha+\beta=\frac{10}{3}\) and \(\alpha\beta=1\). The reciprocal roots also have sum \(\frac{10}{3}\) and product (1).
व्युत्क्रम जड़ों के लिए गुणनफल (1) होता है और यहाँ गुणनफल (k) है। इसलिए (k=1); परीक्षा में पहले गुणनफल देखें। / For reciprocal roots, the product is (1), and here the product is (k). Hence (k=1); in exams, check the product first.
C. एक धनात्मक और एक ऋणात्मक/One positive and one negative
Explanation
Simple Explanation
ऋणात्मक गुणनफल तभी मिलता है जब एक मूल धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक हो। \(\alpha\beta<0\) संकेतों की जांच का छोटा संकेत है। / A negative product occurs when one root is positive and the other is negative. \(\alpha\beta<0\) is a quick sign check.
जड़ों का गुणनफल \(a^2-16\) है। इसे (0) रखने पर \(a^2=16\), इसलिए (a=4) या (a=-4)। / The product of roots is \(a^2-16\). Setting it equal to (0) gives \(a^2=16\), so (a=4) or (a=-4).
\(जड़ों का समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। इसलिए \(x^2-7x+10=0\) सही है। \(/ The equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Hence (x^2-7x+10=0) is correct.\)
जड़ों का गुणनफल \(a^2-9\) है। इसे (0) रखने पर \(a^2=9\), इसलिए (a=3) या (a=-3)। / The product of roots is \(a^2-9\). Setting it equal to (0) gives \(a^2=9\), so (a=3) or (a=-3).
जड़ों का गुणनफल \(a^2-1\) है। इसे (0) रखने पर \(a^2=1\), इसलिए (a=1) या (a=-1)। / The product of roots is \(a^2-1\). Setting it equal to (0) gives \(a^2=1\), so (a=1) or (a=-1).
योग (-2) और गुणनफल (c) है, इसलिए (c<-2) चाहिए। यह शर्त (D=4-4c>0) को भी पूरा करती है। / The sum is (-2) and the product is (c), so (c<-2) is needed. This condition also satisfies (D=4-4c>0).
यहां \(\alpha+\beta=10\) और \(\alpha\beta=24\) है। (\(\alpha-2\)\(\beta-2\)=24-20+4=8) है। / Here \(\alpha+\beta=10\) and \(\alpha\beta=24\). (\(\alpha-2\)\(\beta-2\)=24-20+4=8).
पुराने मूल (8) और (-2) हैं। नए मूल (6) और (-4) होंगे इसलिए गुणनफल (-24) है। / The old roots are (8) and (-2). The new roots are (6) and (-4), so the product is (-24).
यहां \(\alpha+\beta=8\) और \(\alpha\beta=15\) है। (\(\alpha-1\)\(\beta-1\)=15-8+1=8) है। / Here \(\alpha+\beta=8\) and \(\alpha\beta=15\). (\(\alpha-1\)\(\beta-1\)=15-8+1=8).
पुराने मूल (6) और (-2) हैं। नए मूल (5) और (-3) होंगे इसलिए गुणनफल (-15) है। / The old roots are (6) and (-2). The new roots are (5) and (-3), so the product is (-15).
(r) और (r) का गुणनफल \(r^2\) होता है। बराबर मूलों में योग (2r) और गुणनफल \(r^2\) याद रखें। / The product of (r) and (r) is \(r^2\). For equal roots, remember sum (2r) and product \(r^2\).
दूसरा मूल \(\frac{12}{3}=4\) होगा। गुणनफल वाले प्रश्न में दिए मूल से भाग दें। / The other root is \(\frac{12}{3}=4\). In product questions divide by the given root.
मूलों का गुणनफल ((-4)(-9)=36) है। दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल धनात्मक होता है। / The product of roots is ((-4)(-9)=36). The product of two negative numbers is positive.
मूलों का गुणनफल ((-3)(-8)=24) है। दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल धनात्मक होता है। / The product of roots is ((-3)(-8)=24). The product of two negative numbers is positive.
मूलों का गुणनफल \(4\cdot6=24\) है। मूलों से समीकरण बनाते समय योग और गुणनफल दोनों उपयोगी होते हैं। / The product of roots is \(4\cdot6=24\). Sum and product are both useful while forming an equation from roots.
A. \(k\neq0\) और \(k^2\le36\)/\(k\neq0\) and \(k^2\le36\)
Explanation
Simple Explanation
जड़ों का गुणनफल \(\frac{k}{k}=1\) है, इसलिए \(k\neq0\) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(144-4k^2\ge0\), अतः \(k^2\le36\)। / The product of roots is \(\frac{k}{k}=1\), so \(k\neq0\) is needed. For real roots, \(144-4k^2\ge0\), hence \(k^2\le36\).
यहाँ समीकरण ((x-(a+1))(x-(a+5))=0) बनता है। इसलिए जड़ें (a+1) और (a+5) हैं, अतः धनात्मक अंतर (4) है। / The equation becomes ((x-(a+1))(x-(a+5))=0). So the roots are (a+1) and (a+5), hence the positive difference is (4).
योग (12) वाली अभाज्य जड़ें (5) और (7) हैं। उनका गुणनफल (35) है, इसलिए (m=35)। / The prime roots with sum (12) are (5) and (7). Their product is (35), so (m=35).
C. \(k\neq0\) और \(k^2\le25\)/\(k\neq0\) and \(k^2\le25\)
Explanation
Simple Explanation
जड़ों का गुणनफल \(\frac{k}{k}=1\) है, इसलिए \(k\neq0\) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(100-4k^2\ge0\), अतः \(k^2\le25\)। / The product of roots is \(\frac{k}{k}=1\), so \(k\neq0\) is needed. For real roots, \(100-4k^2\ge0\), hence \(k^2\le25\).
दिए गए समीकरण में जड़ों का योग (2r+5) और गुणनफल (r-2+5r+6=(r+2)(r+3)) है। इसलिए जड़ें (r+2) और (r+3) हैं, अतः धनात्मक अंतर (1) है। / In the given equation, the sum of roots is (2r+5) and the product is (r-2+5r+6=(r+2)(r+3)). Hence the roots are (r+2) and (r+3), so the positive difference is (1).
A. \(k\neq0\) और \(k^2\le16\)/\(k\neq0\) and \(k^2\le16\)
Explanation
Simple Explanation
व्युत्क्रम जड़ों के लिए \(\frac{k}{k}=1\) है, इसलिए \(k\neq0\) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(64-4k^2\ge0\), अतः \(k^2\le16\)। / For reciprocal roots, \(\frac{k}{k}=1\), so \(k\neq0\) is needed. For real roots, \(64-4k^2\ge0\), hence \(k^2\le16\).
योग (10) वाली भिन्न अभाज्य जड़ें (3) और (7) हैं। उनका गुणनफल (21) है, इसलिए (k=21)। / The distinct prime roots with sum (10) are (3) and (7). Their product is (21), so (k=21).
व्युत्क्रम जड़ों के लिए \(\alpha\beta=1\) होता है। यहाँ \(\alpha\beta=k\), इसलिए (k=1), और (D=12>0) से जड़ें वास्तविक भी हैं। / For reciprocal roots, \(\alpha\beta=1\). Here \(\alpha\beta=k\), so (k=1), and (D=12>0) confirms real roots.
गुणनफल (36) और अंतर (5) वाली धनात्मक जड़ें (4) और (9) हैं। उनका योग (13) है, इसलिए (p=13)। / The positive roots with product (36) and difference (5) are (4) and (9). Their sum is (13), so (p=13).
पुराने योग (4) और गुणनफल (3) हैं। नए योग (12) और गुणनफल (27) होंगे इसलिए \(x^2-12x+27=0\) है। / The old sum is (4) and product is (3). The new sum is (12) and product is (27), so the equation is \(x^2-12x+27=0\).
पुराने योग (3) और गुणनफल (2) हैं। नए योग (6) और गुणनफल (8) होंगे इसलिए \(x^2-6x+8=0\) है। / The old sum is (3) and product is (2). The new sum is (6) and product is (8), so the equation is \(x^2-6x+8=0\).
A. मूल एक दूसरे के विपरीत हैं/The roots are opposites of each other
Explanation
Simple Explanation
यदि \(\alpha+\beta=0\) है तो \(\beta=-\alpha\) होता है। इसलिए मूल विपरीत हो सकते हैं। / If \(\alpha+\beta=0\), then \(\beta=-\alpha\). Therefore the roots can be opposites.
नए मूलों का योग (4\alpha+4\beta=4\(\alpha+\beta\)=12) है। गुणक लगे मूलों में योग भी उसी गुणक से गुणा होता है। / The sum of new roots is (4\alpha+4\beta=4\(\alpha+\beta\)=12). When roots are multiplied by a factor, the sum is also multiplied by that factor.
नए मूलों का योग (3\alpha+3\beta=3\(\alpha+\beta\)=12) है। गुणक लगे मूलों में योग पर भी वही गुणक लगता है। / The sum of new roots is (3\alpha+3\beta=3\(\alpha+\beta\)=12). When roots are multiplied by a factor, the sum is multiplied by the same factor.
द्विघात समीकरण ax-2+bx+c=0 का भेदक \(D=b^2-4ac\) होता है। यदि \(D<0\), तो समीकरण के वास्तविक संख्या में कोई मूल नहीं होते; इसके स्थान पर दो संयुक्त जटिल (complex conjugate) मूल होते हैं। निकटतम भ्रामक विकल्प C (2) तब सही होता है जब \(D>0\) — तब दो अलग वास्तविक मूल मिलते हैं। परिक्षा टिप: पहले भेदक की गणना करें; उसके साइन से तुरंत वास्तविक मूलों की संख्या पता चल जाती है (D>0 → 2, D=0 → 1, D<0 → 0)। / For a quadratic ax-2+bx+c=0 the discriminant is \(D=b^2-4ac\). If \(D<0\), there are no real roots; instead the equation has two complex conjugate roots. The closest distractor C (2) would be correct only when \(D>0\), which gives two distinct real roots; when \(D=0\) there is one repeated real root. Exam tip: compute the discriminant first — its sign immediately tells you the number of real roots (D>0 → 2, D=0 → 1, D<0 → 0).
नए मूलों का योग (2\alpha+2\beta=2\(\alpha+\beta\)=10) है। गुणक लगे मूलों में योग पर भी वही गुणक लगता है। / The sum of new roots is (2\alpha+2\beta=2\(\alpha+\beta\)=10). When roots are multiplied by a factor, the sum is also multiplied by that factor.
जड़ों का योग (u+2v) और गुणनफल (2uv) है। ये (u) और (2v) से मेल खाते हैं। / The sum of roots is (u+2v) and the product is (2uv). These match (u) and (2v).
जड़ें (5r) और (3r) मानें। (8r=16) से (r=2), इसलिए गुणनफल \(15r^2=60\) है। / Let the roots be (5r) and (3r). From (8r=16), (r=2), so the product is \(15r^2=60\).
जड़ों का योग (2a+4) और गुणनफल \(a^2+4a\) है। ये (a) और (a+4) से मेल खाते हैं। / The sum of roots is (2a+4) and the product is \(a^2+4a\). These match (a) and (a+4).
जड़ें (3r) और (4r) मानें। (7r=14) से (r=2), इसलिए गुणनफल \(12r^2=48\) है। / Let the roots be (3r) and (4r). From (7r=14), (r=2), so the product is \(12r^2=48\).
जड़ों का योग (2a+2) और गुणनफल \(a^2+2a\) है। ये (a) और (a+2) से मिलते हैं। / The sum of roots is (2a+2) and the product is \(a^2+2a\). These match (a) and (a+2).
जड़ें (2r) और (3r) मानें। (5r=12) से \(r=\frac{12}{5}\), इसलिए गुणनफल \(6r^2=\frac{864}{25}\) है। / Let the roots be (2r) and (3r). From (5r=12), \(r=\frac{12}{5}\), so the product is \(6r^2=\frac{864}{25}\).
\(\tan \theta\cdot\cot \theta=1\) होता है। जड़ों का गुणनफल (k) है, इसलिए (k=1)। / We know \(\tan \theta\cdot\cot \theta=1\). The product of roots is (k), so (k=1).
A. जड़ें (a) और (a+1) हैं/The roots are (a) and (a+1)
Explanation
Simple Explanation
जड़ों का योग (2a+1) और गुणनफल (a(a+1)) है। ये (a) और (a+1) की योग-गुणनफल जोड़ी से मेल खाते हैं। / The sum of roots is (2a+1) and the product is (a(a+1)). These match the pair (a) and (a+1).
जड़ें (r) और (4r) मानने पर \(4r^2=4\), इसलिए \(r=\pm1\)। योग \(5r=-\frac{p}{3}\) से \(p=\pm15\) मिलता है। / Let the roots be (r) and (4r). Then \(4r^2=4\), so \(r=\pm1\); using \(5r=-\frac{p}{3}\), we get \(p=\pm15\).
यहाँ \(\alpha+\beta=\frac{5}{2}\) और \(\alpha\beta=\frac{m}{2}\) है। (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) से (m=3) मिलता है। / Here \(\alpha+\beta=\frac{5}{2}\) and \(\alpha\beta=\frac{m}{2}\). Using (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta), we get (m=3).
यह ((x-11)2=0) है इसलिए दोनों मूल (11) हैं। योग (22) और गुणनफल (121) होगा। / It is ((x-11)2=0), so both roots are (11). The sum is (22) and the product is (121).
A. \(\frac{18}{5}\) और \(\frac{9}{5}\)/\(\frac{18}{5}\) and \(\frac{9}{5}\)
Explanation
Simple Explanation
योग \(-\frac{b}{a}=\frac{18}{5}\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}=\frac{9}{5}\) है। पहले (a), (b), (c) पहचानें। / The sum is \(-\frac{b}{a}=\frac{18}{5}\) and the product is \(\frac{c}{a}=\frac{9}{5}\). Identify (a), (b), and (c) first.
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। इसलिए \(x^2-11x+28=0\) सही है। \(/ A monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Therefore (x^2-11x+28=0) is correct.\)
मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहां \(\frac{-9}{7}=-\frac{9}{7}\) सही है। / The product of roots is \(\frac{c}{a}\). Here \(\frac{-9}{7}=-\frac{9}{7}\) is correct.
यह ((x-9)2=0) है इसलिए दोनों मूल (9) हैं। योग (18) और गुणनफल (81) होगा। / It is ((x-9)2=0), so both roots are (9). The sum is (18) and the product is (81).
A. एक मूल धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक है/One root is positive and the other is negative
Explanation
Simple Explanation
ऋणात्मक गुणनफल तभी होता है जब मूलों के चिन्ह विपरीत हों। इसलिए एक मूल धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक होगा। / A negative product occurs only when the roots have opposite signs. Therefore one root will be positive and the other negative.
A. \(\frac{14}{3}\) और \(\frac{8}{3}\)/\(\frac{14}{3}\) and \(\frac{8}{3}\)
Explanation
Simple Explanation
योग \(-\frac{b}{a}=\frac{14}{3}\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}=\frac{8}{3}\) है। पहले (a), (b), (c) पहचानें। / The sum is \(-\frac{b}{a}=\frac{14}{3}\) and the product is \(\frac{c}{a}=\frac{8}{3}\). Identify (a), (b), and (c) first.
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। इसलिए \(x^2-9x+18=0\) सही है। \(/ A monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Therefore (x^2-9x+18=0) is correct.\)
मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहां \(\frac{-8}{5}=-\frac{8}{5}\) सही है। / The product of roots is \(\frac{c}{a}\). Here \(\frac{-8}{5}=-\frac{8}{5}\) is correct.
यह ((x-7)2=0) है इसलिए दोनों मूल (7) हैं। योग (14) और गुणनफल (49) होगा। / It is ((x-7)2=0), so both roots are (7). The sum is (14) and the product is (49).
A. कम से कम एक मूल (0) है/At least one root is (0)
Explanation
Simple Explanation
यदि \(\alpha\beta=0\) है तो \(\alpha=0\) या \(\beta=0\) होगा। गुणनफल शून्य हो तो शून्य मूल जरूर देखें। / If \(\alpha\beta=0\), then \(\alpha=0\) or \(\beta=0\). If the product is zero, always check for a zero root.
योग \(-\frac{b}{a}=\frac{9}{2}\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}=2\) है। पहले (a), (b), (c) पहचानें। / The sum is \(-\frac{b}{a}=\frac{9}{2}\) and the product is \(\frac{c}{a}=2\). Identify (a), (b), and (c) first.
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। इसलिए \(x^2-7x+10=0\) सही है। \(/ A monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Therefore (x^2-7x+10=0) is correct.\)
मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहां \(\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}\) सही है। / The product of roots is \(\frac{c}{a}\). Here \(\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}\) is correct.
मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहां \(\frac{c}{a}=\frac{-3}{4}\) है। / The product of roots is \(\frac{c}{a}\). Here \(\frac{c}{a}=\frac{-3}{4}\).
यदि मूल (r) और \(\frac{1}{r}\) हों तो गुणनफल (1) होता है। व्युत्क्रम मूलों में गुणनफल तुरंत (1) याद रखें। / If the roots are (r) and \(\frac{1}{r}\) their product is (1). For reciprocal roots remember the product is (1).
मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) है इसलिए \(\frac{-2}{2}=-1\)। पहले (a) और (c) पहचानें। / The product of roots is \(\frac{c}{a}\) so \(\frac{-2}{2}=-1\). Identify (a) and (c) first.
गुणनफल (11) और योग \(-\frac{k}{6}\) है। (11=-2\left\(-\frac{k}{6}\right\)) से (k=33) मिलता है। / The product is (11) and the sum is \(-\frac{k}{6}\). From (11=-2\left\(-\frac{k}{6}\right\)), we get (k=33).
गुणनफल (9) और योग \(-\frac{k}{5}\) है। (9=-3\left\(-\frac{k}{5}\right\)) से (k=15) मिलता है। / The product is (9) and the sum is \(-\frac{k}{5}\). From (9=-3\left\(-\frac{k}{5}\right\)), we get (k=15).
गुणनफल (7) और योग \(-\frac{k}{4}\) है। (7=-2\left\(-\frac{k}{4}\right\)) से (k=14) मिलता है। / The product is (7) and the sum is \(-\frac{k}{4}\). From (7=-2\left\(-\frac{k}{4}\right\)), we get (k=14).
गुणनफल (4) और योग \(-\frac{k}{3}\) है। (4=-2\left\(-\frac{k}{3}\right\)) से (k=6) मिलता है। / The product is (4) and the sum is \(-\frac{k}{3}\). From (4=-2\left\(-\frac{k}{3}\right\)), we get (k=6).
गुणनफल (9) और योग \(-\frac{k}{2}\) है। (9=-3\left\(-\frac{k}{2}\right\)) से (k=6) मिलता है। / The product is (9) and the sum is \(-\frac{k}{2}\). From (9=-3\left\(-\frac{k}{2}\right\)), we get (k=6).
पहले विकल्प में योग \(-\frac{b}{a}=9\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}=20\) है। इसलिए दोनों धनात्मक हैं। / In the first option, the sum is \(-\frac{b}{a}=9\) and the product is \(\frac{c}{a}=20\). So both are positive.
पहले विकल्प में योग \(-\frac{b}{a}=-5\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}=-24\) है। इसलिए दोनों ऋणात्मक हैं। / In the first option, the sum is \(-\frac{b}{a}=-5\) and the product is \(\frac{c}{a}=-24\). So both are negative.
