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A. क्योंकि भागीदारी सीमित नागरिक पुरुषों तक थी/Because participation was limited to male citizens
Explanation
Simple Explanation
एथेंस में नागरिक भागीदारी थी पर महिलाएं दास और विदेशी बाहर थे। परीक्षा में उपलब्धि और सीमा दोनों लिखें। / Athens had citizen participation but women slaves and foreigners were excluded. Write both achievement and limitation in exams.
B. भागीदारी सीमित नागरिक पुरुषों तक थी/Participation was limited to male citizens
Explanation
Simple Explanation
एथेंस में राजनीतिक भागीदारी सीमित नागरिक पुरुषों तक थी। परीक्षा में प्रत्यक्ष लोकतंत्र की सीमा भी याद रखें। / Political participation in Athens was limited to male citizens. Remember the limitation of direct democracy in exams.
D. क्योंकि संदर्भ प्रमाण प्रभाव और अनुप्रयोग भी चाहिए/Because context evidence effect and application are also needed
Explanation
Simple Explanation
विशेषज्ञ उत्तर परिभाषा से आगे विश्लेषण मांगता है। परीक्षा में application जोड़ें। / Expert answer needs analysis beyond definition. Exam tip: add application.
A. संदर्भ प्रमाण प्रभाव और अनुप्रयोग/Context evidence effect and application
Explanation
Simple Explanation
विशेषज्ञ उत्तर में परिभाषा से आगे विश्लेषण चाहिए। परीक्षा में application जरूर जोड़ें। / Expert answer needs analysis beyond definition. Exam tip: add application.
A. उदाहरण प्रभाव और अनुप्रयोग/Example effect and application
Explanation
Simple Explanation
Hard level में परिभाषा से आगे विश्लेषण चाहिए। परीक्षा में application जरूर जोड़ें। / Hard level needs analysis beyond definition. Exam tip: add application.
A. जिसे \(\frac{p}{q}\) रूप में लिखा जा सके जहाँ \(q\neq0\)/It can be written as \(\frac{p}{q}\) where \(q\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखी जाती है। हर बार \(q\neq0\) याद रखें। / A rational number is written as a ratio of two integers. Always remember \(q\neq0\).
D. इसकी नागरिकता सीमित थी और भागीदारी चुनिंदा समूहों तक थी/Its citizenship was limited and participation was restricted to selected groups
Explanation
Simple Explanation
एथेंस में प्रत्यक्ष लोकतंत्र था पर सबको अधिकार नहीं थे। परीक्षा में उपलब्धि और सीमा साथ लिखें। / Athens had direct democracy but not everyone had rights. Exam tip: write achievement and limitation together.
A. यह सीमित नागरिकों का प्रत्यक्ष लोकतंत्र था/It was direct democracy of limited citizens
Explanation
Simple Explanation
एथेंस में नागरिक भागीदारी थी पर महिलाएं दास और विदेशी बाहर थे। परीक्षा में लोकतंत्र की सीमा अवश्य याद रखें। / Athens had citizen participation but women slaves and foreigners were excluded. Exam tip: always remember the limitation of democracy.
A. क्योंकि उसने कई सामुदायिक और परंपरागत अधिकारों को अनदेखा किया/Because it ignored many community and customary rights
Explanation
Simple Explanation
भूमि बंदोबस्त ने स्वामित्व और राजस्व को नए ढंग से परिभाषित किया। परीक्षा में भूमि अधिकार और कर व्यवस्था साथ पढ़ें। / Land settlements redefined ownership and revenue. For exams study land rights and tax system together.
A. राजनीतिक स्वतंत्रता के साथ नागरिक अधिकार और आर्थिक न्याय/Civil rights and economic justice along with political freedom
Explanation
Simple Explanation
कराची प्रस्तावों ने भविष्य के भारत के अधिकार और न्याय की दिशा दिखाई। परीक्षा में मौलिक अधिकार और आर्थिक कार्यक्रम याद रखें। / Karachi resolutions showed the direction of rights and justice for future India. Exam tip: remember Fundamental Rights and Economic Programme.
A. यह विविध भाषाई समुदायों को पहचान और राजनीतिक भागीदारी देती थी/It gave identity and political participation to diverse language communities
Explanation
Simple Explanation
बहुभाषिकता एकता और विविधता का संतुलन बना सकती है। परीक्षा में भाषा और लोकतंत्र साथ पढ़ें। / Multilingualism can balance unity and diversity. For exams study language and democracy together.
A. क्योंकि नस्ली असमानता और राजनीतिक अधिकारों की कमी संस्थागत थी/Because racial inequality and lack of political rights were institutional
Explanation
Simple Explanation
रंगभेद ने समान नागरिकता के प्रश्न को केंद्र में रखा। परीक्षा में मंडेला और लोकतांत्रिक परिवर्तन याद रखें। / Apartheid placed the question of equal citizenship at the center. For exams remember Mandela and democratic change.
A. यह भूमि असमानता और ग्रामीण शक्ति संबंधों को बदलने की कोशिश करता था/It tried to change land inequality and rural power relations
Explanation
Simple Explanation
भूमि सुधार सामाजिक न्याय और ग्रामीण विकास से जुड़ा था। परीक्षा में भूमि और शक्ति संबंध याद रखें। / Land reform was linked with social justice and rural development. For exams remember land and power relations.
A. भूमि असमानता घटाकर ग्रामीण शक्ति संबंध बदलने की कोशिश/Attempt to reduce land inequality and change rural power relations
Explanation
Simple Explanation
भूमि सुधार सामाजिक न्याय और ग्रामीण विकास से जुड़ा था। परीक्षा में भूमि और शक्ति संबंध याद रखें। / Land reform was linked with social justice and rural development. For exams remember land and power relations.
A. उन्होंने रंगभेद के विरुद्ध समान नागरिक अधिकारों और लोकतंत्र का नेतृत्व किया/He led equal civil rights and democracy against apartheid
Explanation
Simple Explanation
मंडेला दक्षिण अफ्रीका में लोकतांत्रिक परिवर्तन के प्रतीक बने। परीक्षा में रंगभेद विरोध याद रखें। / Mandela became a symbol of democratic change in South Africa. For exams remember anti apartheid struggle.
A. शिक्षा नागरिक जागरूकता और भागीदारी बढ़ाती थी/Education increased civic awareness and participation
Explanation
Simple Explanation
शिक्षा नए नागरिकों को अधिकार और कर्तव्य समझने में मदद करती है। परीक्षा में शिक्षा और नागरिकता जोड़ें। / Education helps new citizens understand rights and duties. For exams connect education and citizenship.
A. विविध समूहों को सुरक्षा और समान नागरिकता देकर/By giving protection and equal citizenship to diverse groups
Explanation
Simple Explanation
अल्पसंख्यक अधिकार भरोसा और राजनीतिक स्थिरता बढ़ाते हैं। परीक्षा में अधिकार और संविधान साथ पढ़ें। / Minority rights increase trust and political stability. For exams study rights and constitution together.
A. बहुदलीय उदार लोकतंत्र से हटकर केंद्रीकृत नेतृत्व आधारित व्यवस्था/A shift from liberal multiparty democracy toward centralized leadership
Explanation
Simple Explanation
गाइडेड डेमोक्रेसी ने इंडोनेशिया में केंद्रीकृत राजनीतिक नियंत्रण बढ़ाया। परीक्षा में सुकर्णो को स्वतंत्रता और बाद की राजनीति दोनों से जोड़ें। / Guided Democracy increased centralized political control in Indonesia. For exams connect Sukarno with both independence and later politics.
A. क्योंकि उसने संसद और कानून की शक्ति को बढ़ाया/Because it increased the power of Parliament and law
Explanation
Simple Explanation
इस क्रांति ने सीमित राजशाही और विधि शासन को मजबूत किया। परीक्षा में इसे संवैधानिक विकास से जोड़ें। / This revolution strengthened limited monarchy and rule of law. For exams connect it with constitutional development.
A. राजनीतिक अधिकारों की मांग/Demand for political rights
Explanation
Simple Explanation
नेपाल के जन आंदोलनों में लोकतांत्रिक अधिकारों की मांग प्रमुख रही। परीक्षा में जन आंदोलन को जनता की राजनीतिक भागीदारी से जोड़ें। / Democratic rights were a major demand in Nepal's people's movements. For exams connect people's movement with political participation.
A. क्योंकि अमेरिका ने मित्र राष्ट्रों को हथियार और सामग्री देकर समर्थन किया/Because the USA supported Allies with weapons and materials
Explanation
Simple Explanation
लेंड लीज ने युद्ध प्रवेश से पहले ही अमेरिका को मित्र राष्ट्र सहायता का केंद्र बनाया। परीक्षा में औद्योगिक शक्ति की भूमिका याद रखें। / Lend-Lease made the USA a center of Allied aid even before formal entry. For exams remember the role of industrial power.
A. राजनीतिक भागीदारी सीमित नागरिक पुरुषों तक थी/Political participation was limited to male citizens
Explanation
Simple Explanation
एथेंस में लोकतंत्र था लेकिन भागीदारी सीमित थी। परीक्षा में उपलब्धि और सीमा दोनों याद रखें। / Athens had democracy but participation was limited. Remember both achievement and limitation.
D. नागरिकों की सभा में सीधी भागीदारी/Direct participation of citizens in assembly
Explanation
Simple Explanation
एथेंस में नागरिक सभा में सीधे निर्णय प्रक्रिया में भाग लेते थे। परीक्षा में इसे आधुनिक प्रतिनिधि लोकतंत्र से अलग रखें। / In Athens citizens directly participated in assemblies. Keep it distinct from modern representative democracy in exams.
A. प्रत्यक्ष नागरिक भागीदारी/Direct citizen participation
Explanation
Simple Explanation
एथेंस में नागरिक प्रत्यक्ष रूप से सभा में भाग लेते थे। परीक्षा में इसे आधुनिक प्रतिनिधि लोकतंत्र से अलग पहचानें। / In Athens, citizens participated directly in assemblies. Distinguish it from modern representative democracy in exams.
एथेंस लोकतंत्र के विकास से जुड़ा था। परीक्षा में एथेंस को नागरिक भागीदारी और सभा से याद रखें। / Athens was linked with the development of democracy. Remember Athens with citizen participation and assemblies.
B. राजसत्ता पर कानून और अधिकारों द्वारा नियंत्रण/Control of royal power through law and rights
Explanation
Simple Explanation
मैग्ना कार्टा ने राजा की शक्ति पर कानूनी सीमा की दिशा दी। परीक्षा में इसे संवैधानिक विकास की शुरुआत से जोड़ें। / Magna Carta pointed toward legal limits on royal power. Exam tip: connect it with the beginning of constitutional development.
A. जटिल अंतरराष्ट्रीय प्रश्नों पर जनमत के दीर्घकालिक परिणाम गहरे हो सकते हैं/Referendums on complex international issues can have deep long term effects
Explanation
Simple Explanation
ब्रेक्सिट ने संप्रभुता अर्थव्यवस्था और पहचान की बहस को तेज किया। परीक्षा में इसे आधुनिक यूरोपीय राजनीति से जोड़ें। / Brexit intensified debate on sovereignty economy and identity. For exams connect it with modern European politics.
A. नस्ल आधारित नागरिकता से बहुजातीय समान नागरिकता की ओर/From race based citizenship to multiracial equal citizenship
Explanation
Simple Explanation
रंगभेद के अंत ने समान नागरिक अधिकारों और प्रतिनिधित्व को संभव बनाया। परीक्षा में उन्नीस सौ चौरानवे चुनाव याद रखें। / The end of apartheid made equal civil rights and representation possible. Exam tip: remember the 1994 election.
D. नागरिकता सीमित थी और महिलाएं दास तथा विदेशी बाहर थे/Citizenship was limited and women slaves and foreigners were excluded
Explanation
Simple Explanation
एथेंस में लोकतंत्र था लेकिन भागीदारी सीमित नागरिकों तक थी। परीक्षा में उपलब्धि और सीमा साथ लिखें। / Athens had democracy but participation was limited to citizens. Exam tip: write achievement and limitation together.
B. नागरिक भागीदारी सीमित थी और महिलाएं दास तथा विदेशी बाहर थे/Citizen participation was limited and women slaves and foreigners were excluded
Explanation
Simple Explanation
एथेंस में प्रत्यक्ष लोकतंत्र था लेकिन नागरिकता सीमित थी। परीक्षा में लोकतंत्र की उपलब्धि और सीमा दोनों याद रखें। / Athens had direct democracy but citizenship was limited. Exam tip: remember both achievement and limitation of democracy.
A. नागरिकों की प्रत्यक्ष भागीदारी/Direct participation of citizens
Explanation
Simple Explanation
एथेंस में नागरिक राजनीतिक निर्णयों में प्रत्यक्ष भाग लेते थे। परीक्षा में एथेंस को लोकतंत्र की शुरुआत से जोड़ें। / In Athens citizens directly participated in political decisions. Exam tip: connect Athens with the beginning of democracy.
A. एथेंस अंदर लोकतांत्रिक था पर बाहरी प्रभाव साम्राज्यवादी भी था/Athens was democratic internally but its external influence was also imperial
Explanation
Simple Explanation
पेरिकल्स का एथेंस लोकतंत्र और साम्राज्यवादी शक्ति दोनों से जुड़ा था। परीक्षा में एथेंस को संतुलित दृष्टि से समझें। / Pericles' Athens was linked with both democracy and imperial power. Exam tip: understand Athens with a balanced view.
A. क्या आर्थिक विकास के लिए कठोर राजनीतिक नियंत्रण उचित है/Whether strict political control is justified for economic development
Explanation
Simple Explanation
सिंगापुर मॉडल विकास और राजनीतिक स्वतंत्रता के संतुलन पर बहस पैदा करता है। परीक्षा में मॉडल को संतुलित दृष्टि से देखें। / The Singapore model raises debate about balancing development and political freedom. For exams view the model with balance.
A. यह मजबूत नेतृत्व और नागरिक स्वतंत्रता के बीच तनाव दिखाता है/It shows tension between strong leadership and civil liberties
Explanation
Simple Explanation
आपातकाल भारतीय लोकतंत्र में संस्थागत संतुलन की परीक्षा था। परीक्षा में उपलब्धि और आलोचना दोनों याद रखें। / The Emergency was a test of institutional balance in Indian democracy. For exams remember both achievements and criticism.
A. इसने आर्थिक संकट में सुधार करके अतिवादी विकल्पों का दबाव घटाया/It reduced pressure of extremist alternatives by reforming during economic crisis
Explanation
Simple Explanation
न्यू डील ने लोकतांत्रिक व्यवस्था के भीतर आर्थिक राहत और सुधार दिए। परीक्षा में इसे महामंदी के राजनीतिक संदर्भ से जोड़ें। / The New Deal gave relief and reform within democratic institutions. For exams connect it with the political context of the Great Depression.
सन यात सेन के सिद्धांतों में लोकतंत्र को जन अधिकार से जोड़ा गया। परीक्षा में तीन सिद्धांतों को राष्ट्रवाद लोकतंत्र और जनजीवन से याद रखें। / In Sun Yat-sen's principles democracy was linked with people's rights. For exams remember the three principles as nationalism democracy and livelihood.
A. यह सरकार नियोक्ता और श्रमिक तीनों की आवाज शामिल करती है/It includes voices of governments employers and workers
Explanation
Simple Explanation
त्रिपक्षीय ढांचा श्रम मानकों में विभिन्न पक्षों की भागीदारी देता है। परीक्षा में आई एल ओ की अलग पहचान याद रखें। / The tripartite structure gives participation to different sides in labour standards. For exams remember ILO's distinct identity.
A. सुरक्षा और नागरिक अधिकारों के बीच तनाव/Tension between security and civil rights
Explanation
Simple Explanation
नजरबंदी ने नस्ली भेदभाव और नागरिक स्वतंत्रता के प्रश्न उठाए। परीक्षा में लोकतंत्रों की युद्धकालीन सीमाएं पहचानें। / Internment raised questions of racial discrimination and civil liberty. For exams identify wartime limits of democracies.
A. सुरक्षा के नाम पर नागरिक स्वतंत्रता और नस्ली न्याय का उल्लंघन हुआ/Civil liberties and racial justice were violated in the name of security
Explanation
Simple Explanation
नजरबंदी लोकतंत्र में सुरक्षा और अधिकारों के तनाव को दिखाती है। परीक्षा में युद्धकालीन नीतियों का नैतिक मूल्यांकन करें। / Internment shows tension between security and rights in democracy. For exams evaluate wartime policies ethically.
A. इसने बंटाईदार किसानों के अधिक न्यायपूर्ण हिस्से की मांग उठाई/It raised demand for a more just share for sharecroppers
Explanation
Simple Explanation
तेभागा आंदोलन किसान अधिकार और उत्पादन हिस्सेदारी से जुड़ा था। परीक्षा में किसान आंदोलनों के आर्थिक मुद्दे पढ़ें। / Tebhaga Movement was linked with peasant rights and crop share. Exam tip: study economic issues of peasant movements.
A. परिभाषा उदाहरण और प्रभाव सहित संक्षिप्त उत्तर/Short answer with definition example and effect
Explanation
Simple Explanation
परिभाषा उदाहरण और प्रभाव उत्तर को पूरा बनाते हैं। परीक्षा में छोटे लेकिन स्पष्ट बिंदु लिखें। / Definition example and effect make the answer complete. Exam tip: write short but clear points.
A. परिभाषा उदाहरण और प्रभाव/Definition example and effect
Explanation
Simple Explanation
परिभाषा उदाहरण और प्रभाव उत्तर को पूरा बनाते हैं। परीक्षा में छोटे पर स्पष्ट बिंदु लिखें। / Definition example and effect make the answer complete. Exam tip: write short but clear points.
पठार आसपास के क्षेत्रों से ऊंचे समतल भूभाग होते हैं। परीक्षा में पठार की परिभाषा याद रखें। / Plateaus are flat lands higher than surrounding areas. For exams remember the definition of plateau.
समांतर श्रेणी में लगातार अंतर बराबर होते हैं, इसलिए (b-a=c-b)। परीक्षा में इसी को (2b=a+c) भी लिखा जा सकता है। / In an AP, consecutive differences are equal, so (b-a=c-b). In exams, the same condition can be written as (2b=a+c).
अंतर (n) पर निर्भर है, इसलिए सभी (n) के लिए स्थिर नहीं है। परीक्षा में अंतर में (n) बच जाए तो समांतर श्रेणी नहीं मानी जाती। / The difference depends on (n), so it is not constant for all (n). In exams, if (n) remains in the difference, it is not an AP.
A. \(a_{n+1}-a_n\) हर (n) के लिए स्थिर है/\(a_{n+1}-a_n\) is constant for every (n)
Explanation
Simple Explanation
समांतर श्रेणी की परिभाषा लगातार अंतर के स्थिर होने पर आधारित है। परीक्षा में परिभाषा-आधारित प्रश्नों में यही कसौटी लगाएं। / The definition of an AP is based on a constant consecutive difference. In definition-based questions, use this test.
D. यह समांतर श्रेणी है और (d=6)/It is an AP and (d=6)
Explanation
Simple Explanation
लगातार अंतर स्थिर (6) है, इसलिए अनुक्रम समांतर श्रेणी है। परीक्षा में \(a_{n+1}-a_n\) स्थिर मिले तो तुरंत समांतर श्रेणी पहचानें। / The consecutive difference is the constant (6), so the sequence is an AP. In exams, a constant \(a_{n+1}-a_n\) identifies an AP.
A. यह समांतर श्रेणी है और (d=r)/It is an AP and (d=r)
Explanation
Simple Explanation
हर अगले पद से पिछले पद को घटाने पर (r) मिलता है। परीक्षा में प्रतीकात्मक पदों में भी वही नियम लगाएं। / Subtracting each term from the next gives (r). In exams, apply the same difference rule even with symbols.
B. लगातार पदों का अंतर समान होता है/The difference of consecutive terms is equal
Explanation
Simple Explanation
समांतर श्रेढ़ी में \(a_2-a_1\) जैसा अंतर स्थिर रहता है। यही सबसे पहले जाँचना चाहिए। / In an arithmetic progression, differences like \(a_2-a_1\) remain constant. This should be checked first.
D. हर अगला पद पिछले पद में समान संख्या जोड़कर मिलता है/Each next term is obtained by adding the same number to the previous term
Explanation
Simple Explanation
अंकगणितीय श्रेणी में समान संख्या जोड़ी जाती है। यही संख्या सार्व अंतर कहलाती है। / In an arithmetic progression the same number is added. This number is called the common difference.
B. हर दो लगातार पदों का अंतर समान होता है/The difference between every two consecutive terms is equal
Explanation
Simple Explanation
समांतर श्रेढ़ी में लगातार पदों का अंतर स्थिर होता है। यही इसकी मुख्य पहचान है। / In an arithmetic progression, the difference between consecutive terms is constant. This is its main identity.
\(x^{\frac{3}{2}}\) में चर की घात भिन्न है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। बहुपद में घातें अऋणात्मक पूर्णांक होती हैं। / In \(x^{\frac{3}{2}}\), the power of the variable is fractional, so it is not a polynomial. In a polynomial, powers are non-negative integers.
बहुपद में चर की घातें \(0,1,2,\ldots\) जैसी अऋणात्मक पूर्णांक होती हैं। यही बहुपद की मूल पहचान है। / In a polynomial, powers of the variable are non-negative integers like \(0,1,2,\ldots\). This is the basic identification rule.
अशून्य अचर बहुपद की घात (0) होती है। अचर संख्या का अर्थ घात (0) से जुड़ा है। / A non-zero constant polynomial has degree (0). A constant number is linked with degree (0).
\(\sqrt{5}\) वास्तविक गुणांक है और (x) की घातें पूर्ण संख्याएँ हैं। इसलिए यह (x) में बहुपद है। / \(\sqrt{5}\) is a real coefficient and the powers of (x) are whole numbers. So it is a polynomial in (x).
\(4t^3-\frac{1}{2}t+7\) में (t) की घातें (3), (1) और (0) हैं। ये सभी पूर्ण संख्याएँ हैं। / In \(4t^3-\frac{1}{2}t+7\), the powers of (t) are (3), (1), and (0). All are whole numbers.
\(\frac{4}{x}=4x^{-1}\) में चर की घात ऋणात्मक है। बहुपद में चर की घातें पूर्ण संख्याएँ होनी चाहिए। / \(\frac{4}{x}=4x^{-1}\) has a negative power of the variable. In a polynomial, powers of the variable must be whole numbers.
बहुपद में चर की घातें \(0,1,2,\ldots\) जैसी अऋणात्मक पूर्णांक होती हैं। यही सबसे महत्वपूर्ण पहचान नियम है। / In a polynomial, powers of the variable are non-negative integers like \(0,1,2,\ldots\). This is the key identification rule.
अशून्य अचर बहुपद की घात (0) होती है। शून्य बहुपद से इसे अलग रखें। / A non-zero constant polynomial has degree (0). Keep it separate from the zero polynomial.
यदि (p(a)=0), तो (a) बहुपद का शून्य कहलाता है। शून्य जाँचने के लिए उस संख्या को (x) में रखें। / If (p(a)=0), then (a) is called a zero of the polynomial. To test a zero, substitute that number for (x).
बहुपद में (x) की घात केवल पूर्णांक और अशून्य नहीं बल्कि ऋणात्मक नहीं होनी चाहिए। परीक्षा में हर पद की घात जांचें। / A polynomial has only non-negative integer powers of (x). In exams check the power of every term.
(q(t)=0) का अर्थ है कि (x=t) रखने पर समीकरण सत्य है। इसलिए (t) उस समीकरण का मूल है। / (q(t)=0) means the equation is true when (x=t). Therefore (t) is a root of the equation.
क्योंकि (x=a) रखने पर समीकरण सत्य हो जाता है इसलिए (a) मूल है। परीक्षा में मूल की जांच सीधे प्रतिस्थापन से करें। / Since the equation becomes true after substituting (x=a), (a) is a root. In exams check a root by direct substitution.
A. (r) समीकरण (p(x)=0) का मूल है/(r) is a root of (p(x)=0)
Explanation
Simple Explanation
(p(r)=0) का अर्थ है कि (x=r) रखने पर समीकरण संतुष्ट होता है। मूल जांचने के लिए प्रतिस्थापन सबसे सुरक्षित तरीका है। / (p(r)=0) means the equation is satisfied when (x=r). Substitution is the safest way to check a root.
मूल रखने पर (p(x)=0) बनता है। परीक्षा में मूल की जांच हमेशा प्रतिस्थापन से करें। / When a root is substituted, (p(x)=0) becomes true. In exams always check a root by substitution.
A. वह मान जिससे समीकरण सत्य हो/The value that satisfies the equation
Explanation
Simple Explanation
मूल वह मान है जिसे रखने पर समीकरण का मान (0) हो जाता है। परीक्षा में पहले मान रखकर जांचें। / A root is a value that makes the equation equal to (0). In exams first substitute the value and check.
मूल वह मान है जिसे रखने पर समीकरण का बायां पक्ष (0) हो जाता है। इसलिए (p\(\alpha\)=0) सही है। / A root is a value that makes the left side of the equation (0). Therefore (p\(\alpha\)=0) is correct.
सबसे बड़ी घात (2) होने पर समीकरण द्विघात कहलाता है। घात पहचानना पहला कदम है। / When the highest power is (2), the equation is called quadratic. Identifying degree is the first step.
घात (2) वाले समीकरण को द्विघात समीकरण कहते हैं। नाम याद रखने के लिए द्वि का अर्थ (2) समझें। / An equation of degree (2) is called a quadratic equation. Remember that quadratic means degree (2).
\(\sqrt{14}\) अपरिमेय है क्योंकि (14) पूर्ण वर्ग नहीं है। बाकी विकल्प परिमेय रूप में लिखे जा सकते हैं। / \(\sqrt{14}\) is irrational because (14) is not a perfect square. The other options can be written in rational form.
वास्तविक संख्या जो परिमेय नहीं होती वह अपरिमेय कहलाती है। इसे दशमलव से भी पहचाना जा सकता है। / A real number that is not rational is called irrational. It can also be identified through its decimal form.
\(\frac{p}{q}\) रूप परिमेय संख्या की परिभाषा है। इसमें हर (q) शून्य नहीं होना चाहिए। / \(\frac{p}{q}\) form is the definition of a rational number. The denominator (q) must not be zero.
\(\sqrt{6}\) अपरिमेय है इसलिए इसे \(\frac{p}{q}\) रूप में नहीं लिख सकते। बाकी संख्याएँ परिमेय हैं। / \(\sqrt{6}\) is irrational so it cannot be written as \(\frac{p}{q}\). The other numbers are rational.
शून्यक वही (x)-मान है जिस पर बहुपद का मान शून्य हो। परीक्षा में (p(a)=0) जांचें। / A zero is the (x)-value at which the polynomial value is zero. In exams check (p(a)=0).
जिस मान पर बहुपद का मान (0) हो, वह शून्यक कहलाता है। इसलिए (c) बहुपद का शून्यक है। / The value for which the polynomial becomes (0) is called a zero. Therefore (c) is a zero of the polynomial.
जिस (x)-मान पर (p(x)=0) हो वही शून्यक होता है। इसलिए (-3) बहुपद का शून्यक है। / The (x)-value for which (p(x)=0) is a zero. Hence (-3) is a zero of the polynomial.
शून्यक पर बहुपद का मान (0) होता है। इसलिए ग्राफ पर उस बिंदु का (y)-मान (0) होगा। / At a zero, the value of the polynomial is (0). Therefore the (y)-value at that point on the graph is (0).
किसी मान को शून्यक तभी कहते हैं जब उस पर बहुपद का मान (0) हो। इसलिए (x=2) के लिए (p(2)=0) होना चाहिए। / A value is called a zero only when the polynomial value at that point is (0). So for (x=2), (p(2)=0) is required.
C. परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखी जा सकती है, जहाँ \(q\neq0\)/Rational numbers can be written as \(\frac{p}{q}\), where \(q\neq0\)
Step 1
Concept
परिमेय संख्या वह है जिसे \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जा सके, जहाँ (p,q) पूर्णांक और \(q\neq0\) हों। / A rational number can be written as \(\frac{p}{q}\), where (p,q) are integers and \(q\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
अपरिमेय संख्या ऐसे रूप में नहीं लिखी जा सकती। / An irrational number cannot be written in that form.
Step 3
Exam Tip
परिभाषा के प्रश्न में \(q\neq0\) अवश्य देखें। / In definition questions, always check the condition \(q\neq0\).
