\(\frac{5}{y}+2\) में \(\frac{5}{y}=5y^{-1}\) होता है। इसमें \(y\) की घात \(-1\) है, जबकि बहुपद में चर की सभी घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। इसलिए विकल्प A बहुपद नहीं है। विकल्प B और C में घातें पूर्णांक तथा अऋणात्मक हैं, और 7 एक अचर बहुपद है। परीक्षा टिप: यदि चर हर में हो, तो उसे ऋणात्मक घात के रूप में लिखकर जाँचें। / In \(\frac{5}{y}+2\), we have \(\frac{5}{y}=5y^{-1}\). The exponent of \(y\) is \(-1\), whereas every variable exponent in a polynomial must be a non-negative integer. Hence, option A is not a polynomial. Options B and C have valid non-negative integral exponents, and 7 is a constant polynomial. Exam tip: If a variable appears in the denominator, rewrite it using a negative exponent to check whether the expression is a polynomial.
बहुपद की घात उसके किसी भी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है। व्यंजक में पदों की घातें क्रमशः 6, 4, 1 और 0 हैं। सबसे बड़ी घात 6 है, इसलिए सही उत्तर 6 है। 10 स्थिर पद है, उसकी घात 0 होती है; उसे बहुपद की घात नहीं माना जाता। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने के लिए पहले प्रत्येक पद में चर की घात देखें, फिर सबसे बड़ी घात चुनें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable among its terms. The exponents of the terms here are 6, 4, 1, and 0 respectively. Since 6 is the greatest exponent, the degree is 6. The constant term 10 has degree 0, so it does not determine the polynomial’s degree. Exam tip: Identify the exponent of the variable in every term and select the highest one.
C. यह शून्य बहुपद है और इसकी घात परिभाषित नहीं होती/It is the zero polynomial, and its degree is not defined.
Explanation
Simple Explanation
जब p(x) का प्रत्येक गुणांक 0 हो, तब p(x)=0 को शून्य बहुपद कहते हैं। इसमें कोई शून्येतर पद नहीं होता, इसलिए इसकी घात परिभाषित नहीं होती। विकल्प A गलत है क्योंकि रैखिक बहुपद की घात 1 होती है, जबकि शून्य बहुपद की घात नहीं होती। परीक्षा टिप: शून्य बहुपद को अचर बहुपद 0 से अलग नाम के रूप में पहचानें; इसकी घात न तो 0 है और न ही 1। / When every coefficient of p(x) is 0, p(x)=0 is called the zero polynomial. It has no non-zero term, so its degree is not defined. Option A is incorrect because a linear polynomial has degree 1, whereas the zero polynomial has no defined degree. Exam tip: identify the zero polynomial separately; its degree is neither 0 nor 1.
\(\sqrt{3}\) वास्तविक गुणांक है और स्वीकार्य है। चर की घातें (2), (1) और (0) हैं इसलिए यह बहुपद है। / \(\sqrt{3}\) is a real coefficient and is allowed. The powers of the variable are (2), (1), and (0), so it is a polynomial.
द्विघात बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात 2 होती है और सभी घातें अशून्य पूर्णांक होती हैं। \(5x^2-4x+9\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए यह द्विघात बहुपद है। \(x^3+x+1\) घन बहुपद है, जबकि \(x^{-2}+5\) बहुपद नहीं है क्योंकि इसमें ऋणात्मक घात है। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी वैध घात देखें। / A quadratic polynomial has highest degree 2, and every exponent of the variable must be a non-negative integer. In \(5x^2-4x+9\), the highest power of \(x\) is 2, so it is quadratic. \(x^3+x+1\) is cubic, while \(x^{-2}+5\) is not a polynomial because it contains a negative exponent. Exam tip: identify the highest valid exponent of the variable to find the degree of a polynomial.
बहुपद की घात उसके किसी अशून्य गुणांक वाले पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ 0x-7 का गुणांक 0 है, इसलिए यह शून्य पद है और बहुपद की घात में शामिल नहीं होगा। शेष पदों में 3x-5 की घात सबसे बड़ी है, अतः बहुपद की घात 5 है। 7 चुनना गलत होगा, क्योंकि x-7 वाला पद वास्तव में शून्य है। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पदों को हटाएँ। / The degree of a polynomial is the highest power of the variable among terms with non-zero coefficients. Here, 0x-7 is a zero term, so it does not contribute to the degree. Among the remaining terms, 3x-5 has the highest power; therefore, the degree is 5. Choosing 7 would be incorrect because the coefficient of x-7 is zero. Exam tip: Remove terms with zero coefficients before finding the degree.
\(x^{2/3}\) में घात \(\frac{2}{3}\) है जो पूर्णांक नहीं है। बहुपद में घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / In \(x^{2/3}\), the power is \(\frac{2}{3}\), which is not an integer. Polynomial powers must be non-negative integers.
जिस बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात 3 होती है, उसे घन बहुपद कहते हैं। \(4x^3-6x+1\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए यह घन बहुपद है। \(x^2+8\) द्विघात बहुपद है, क्योंकि इसकी घात 2 है। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करने के लिए चर वाले पदों में सबसे बड़ी घात देखें। / A polynomial whose highest power of the variable is 3 is called a cubic polynomial. In \(4x^3-6x+1\), the highest power of \(x\) is 3, so it is cubic. \(x^2+8\) is quadratic because its degree is 2. Exam tip: To find the degree of a polynomial, identify the greatest exponent of the variable.
(12) में कोई चर नहीं है इसलिए यह स्थिर बहुपद है। शून्य से अलग स्थिर बहुपद की घात (0) होती है। / (12) has no variable, so it is a constant polynomial. A non-zero constant polynomial has degree (0).
\(\frac{x+5}{x}=1+\frac{5}{x}\) में \(\frac{5}{x}\) की घात (-1) है। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\frac{x+5}{x}=1+\frac{5}{x}\) contains \(\frac{5}{x}\), whose power is (-1). So it is not a polynomial.
घात सबसे बड़ी चर-घात वाले अशून्य पद से तय होती है। यहाँ \(2t^4\) में सबसे बड़ी घात (4) है। / The degree is determined by the non-zero term with the highest power. Here \(2t^4\) has the highest power (4).
\(3z^4-z^2+8\) में \(z\) की घातें \(4\), \(2\) और \(0\) हैं, जो सभी अऋणात्मक पूर्णांक हैं। इसलिए यह \(z\) में बहुपद है। \(z^{-1}+2\) तथा \(\frac{6}{z}+1\) में \(z\) की ऋणात्मक घात आती है, जबकि \(\sqrt{z}+5\) में \(z\) की घात \(\frac12\) है; अतः ये बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात केवल \(0,1,2,\ldots\) हो सकती है। / In \(3z^4-z^2+8\), the powers of \(z\) are \(4\), \(2\), and \(0\), all of which are non-negative integers. Therefore, it is a polynomial in \(z\). In \(z^{-1}+2\) and \(\frac{6}{z}+1\), \(z\) has a negative power, while \(\sqrt{z}+5\) contains \(z^{\frac12}\); hence, these are not polynomials. Exam tip: powers of the variable in a polynomial must be \(0,1,2,\ldots\).
बहुपद में पदों को जोड़ (+) या घटाव (−) के चिह्न अलग करते हैं। यहाँ पद हैं: \(5x^3\), \(-2x^2\), \(7x\) और \(-1\)। अतः कुल 4 पद हैं। \(-2x^2\) और \(-1\) को ऋण चिह्न सहित एक-एक पद गिनना चाहिए। परीक्षा टिप: पदों की संख्या ज्ञात करते समय प्रत्येक + या − चिह्न के बाद आने वाले व्यंजक को अलग पद मानें। / In a polynomial, terms are separated by plus (+) or minus (−) signs. Here the terms are \(5x^3\), \(-2x^2\), \(7x\), and \(-1\). Therefore, there are 4 terms. The negative sign is part of the terms \(-2x^2\) and \(-1\); they are not omitted. Exam tip: Count each expression separated by a + or − sign as one term.
बहुपद की घात उसमें चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ सबसे बड़ी घात 4 दी गई है, इसलिए बहुपद की घात 4 है। 8 कोई नई घात नहीं बन जाती; घात केवल दिए गए बहुपद में उपस्थित सबसे बड़े घातांक से तय होती है। परीक्षा टिप: बहुपद में पहले शून्येतर गुणांक वाले पदों को देखें, फिर सबसे बड़ा घातांक चुनें। / The degree of a polynomial is the highest exponent of the variable with a non-zero coefficient. Since the highest power is given as 4, its degree is 4. The degree does not become 8; it is determined only by the greatest exponent present in the polynomial. Exam tip: Ignore terms with zero coefficient and select the largest remaining exponent.
\(\sqrt{x}=x^{1/2}\) होता है और \(\frac{1}{2}\) पूर्णांक घात नहीं है। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), and \(\frac{1}{2}\) is not an integer power. Hence it is not a polynomial.
रैखिक बहुपद की घात 1 होती है, अर्थात उसमें चर की सबसे बड़ी घात 1 होती है। विकल्प 6x-11 में x की सबसे बड़ी घात 1 है, इसलिए यह रैखिक बहुपद है। 2x-2+x द्विघात है और x-3+1 घन बहुपद है; जबकि 15 एक अचर बहुपद है जिसकी घात 0 है। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें। / A linear polynomial has degree 1, meaning that the highest power of its variable is 1. In 6x-11, the highest power of x is 1, so it is linear. In contrast, 2x-2+x is quadratic, x-3+1 is cubic, and 15 is a constant polynomial of degree 0. Exam tip: To find the degree of a polynomial, identify the highest power of the variable.
C. क्योंकि \(x^{1/3} में चर की घात ऋणेतर पूर्णांक नहीं है / Because the exponent of the variable in \(x^{1 / 3}\) is not a non-negative integer
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की प्रत्येक घात ऋणेतर पूर्णांक, जैसे \(0,1,2,\ldots\), होनी चाहिए। यहाँ \(x^{1/3}\) में \(x\) की घात \(1/3\) है, जो पूर्णांक नहीं है; इसलिए यह व्यंजक बहुपद नहीं है। \(x^2\) और अचर \(4\) बहुपद में मान्य हैं, तथा पदों की संख्या भी कोई बाधा नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय सबसे पहले चर की घातों की जाँच करें। / In a polynomial, every exponent of the variable must be a non-negative integer such as \(0,1,2,\ldots\). Here, the exponent of \(x\) in \(x^{1/3}\) is \(1/3\), which is not an integer, so the expression is not a polynomial. The term \(x^2\) and the constant \(4\) are valid in a polynomial, and the number of terms does not matter. Exam tip: first check the exponents of variables when identifying a polynomial.
शून्य से भिन्न किसी स्थिरांक का बहुपद घात 0 का होता है, क्योंकि उसमें चर की कोई घात नहीं होती। 13 एक अशून्य स्थिर बहुपद है, इसलिए इसकी घात 0 है। x+5 की घात 1 तथा x-2+1 की घात 2 है। 0 बहुपद की घात परिभाषित नहीं होती। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करते समय चर की सबसे बड़ी घात देखें; अशून्य स्थिरांक के लिए यह 0 होती है। / A non-zero constant polynomial has degree 0 because it contains no variable term. Since 13 is a non-zero constant polynomial, its degree is 0. The degrees of x+5 and x-2+1 are 1 and 2 respectively. The degree of the zero polynomial is not defined. Exam tip: identify the highest power of the variable; for a non-zero constant, it is 0.
(a) को स्थिर मानने पर \(ax^2\) में (x) की घात (2) है। सभी (x) घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं। / Treating (a) as a constant, \(ax^2\) has (x)-power (2). All powers of (x) are non-negative integers.
B. यह एक बहुपद है क्योंकि चर की सभी घातें ऋणेतर पूर्णांक हैं/It is a polynomial because all powers of the variable are non-negative integers.
Explanation
Simple Explanation
\(4x^2+\frac{3}{7}x-6\) एक बहुपद है, क्योंकि \(x\) की घातें \(2\), \(1\) और \(0\) हैं, जो सभी ऋणेतर पूर्णांक हैं। बहुपद में गुणांक भिन्न या ऋणात्मक हो सकते हैं; इसलिए \(\frac{3}{7}\) गुणांक और \(-6\) स्थिर पद इसे बहुपद होने से नहीं रोकते। शून्य बहुपद में प्रत्येक गुणांक शून्य होता है, जबकि यहाँ ऐसा नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय मुख्यतः चर की घातों की जाँच करें। / \(4x^2+\frac{3}{7}x-6\) is a polynomial because the powers of \(x\) are \(2\), \(1\), and \(0\), all of which are non-negative integers. Polynomial coefficients may be fractional or negative, so neither \(\frac{3}{7}\) nor the constant term \(-6\) makes it invalid. A zero polynomial has every coefficient equal to zero, which is not the case here. Exam tip: to identify a polynomial, first check the exponents of the variable.
\(x^{-2}\) की घात ऋणात्मक है इसलिए यह बहुपद नहीं है। (7) केवल स्थिर पद है और समस्या ऋणात्मक घात से है। / The power in \(x^{-2}\) is negative, so it is not a polynomial. (7) is only a constant term, and the issue is the negative power.
B. क्योंकि x की सभी घातें 0, 1 और 2 जैसी शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं/Because all powers of x are non-negative integers: 0, 1, and 2
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें केवल शून्य या धनात्मक पूर्णांक हो सकती हैं। यहाँ x की घातें 0, 1 और 2 हैं, इसलिए यह बहुपद है। साथ ही, x-0 = 1 होने से 9x-0 = 9 एक स्थिर पद है; अतः विकल्प C गलत है। विकल्प A भी गलत है क्योंकि x-0 = 1 होता है। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय जाँचें कि किसी भी चर की घात ऋणात्मक, भिन्नात्मक या चर वाली न हो। / In a polynomial, the powers of a variable must be zero or positive integers. Here, the powers of x are 0, 1, and 2, so the expression is a polynomial. Also, x-0 = 1, so 9x-0 = 9 is a constant term; therefore, option C is incorrect. Option A is also wrong because x-0 = 1. Exam tip: while identifying a polynomial, check that no variable has a negative, fractional, or variable exponent.
बहुपद की घात उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। \(6x^3-x+5\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(3\) है, इसलिए इसकी घात \(2\) नहीं है। अन्य विकल्पों में सबसे बड़ी घात \(2\) है। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने के लिए बहुपद के प्रत्येक पद में चर के उच्चतम घातांक को देखें। / The degree of a polynomial is the highest exponent of the variable with a non-zero coefficient. In \(6x^3-x+5\), the highest power of \(x\) is \(3\), so its degree is not \(2\). In all the other options, the highest power is \(2\). Exam tip: To find a polynomial's degree, identify the term with the greatest exponent of the variable.
B. यह बहुपद नहीं है, क्योंकि \(\sqrt{x}=x^{1/2} में चर की घात पूर्णांक नहीं है। / It is not a polynomial because \(\sqrt{x}=x^{1 / 2}\) has a non-integer exponent of the variable.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की सभी घातें 0 या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। यहाँ \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। केवल \(x^3\) की घात पूर्णांक होना पर्याप्त नहीं है। परीक्षा टिप: मूल वाले पद को घात के रूप में लिखकर जाँचें। / In a polynomial, every exponent of the variable must be a non-negative integer. Here, \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), so the expression is not a polynomial. An integer exponent in \(x^3\) alone is not enough. Exam tip: rewrite radicals as fractional powers before checking.
बहुपद 3x-2-5 में x की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए इसकी घात द्विघात है। इसमें दो अशून्य पद, 3x-2 और -5, हैं; अतः यह द्विपद है। इसलिए सही वर्गीकरण द्विघात द्विपद है। रैखिक द्विपद में x की सबसे बड़ी घात 1 होती है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार बताने के लिए पहले सबसे बड़ी घात और फिर पदों की संख्या गिनें। / In 3x-2-5, the highest power of x is 2, so its degree is quadratic. It has two non-zero terms, 3x-2 and -5, making it a binomial. Hence, it is a quadratic binomial. A linear binomial would have highest power 1. Exam tip: identify the highest exponent first, then count the non-zero terms.
C. चर की घातें ऋणात्मक हो सकती हैं/Powers of the variable can be negative
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें केवल शून्य या धनात्मक पूर्णांक होती हैं। इसलिए ऋणात्मक घात, जैसे \(x^{-1}\), वाला व्यंजक बहुपद नहीं होता; वह चर को हर में ले जाता है। शून्य घात वाला पद एक अचर पद होता है और वास्तविक गुणांक भी मान्य हैं। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय जाँचें कि किसी चर की घात ऋणात्मक या भिन्नात्मक न हो। / In a polynomial, the exponents of variables must be zero or positive integers. Therefore, an expression containing a negative exponent, such as \(x^{-1}\), is not a polynomial because it places the variable in the denominator. A zero exponent gives a constant term, and real coefficients are allowed. Exam tip: while identifying a polynomial, check that no variable has a negative or fractional exponent.
\(2x^4\) की घात (4), \(5x^2\) की घात (2), और (1) स्थिर पद की घात (0) मानी जाती है। / The power of \(2x^4\) is (4), the power of \(5x^2\) is (2), and the constant (1) is treated as degree (0).
(7x+3) में चर (x) है इसलिए यह स्थिर बहुपद नहीं है। फिर भी घात (1) होने से यह बहुपद है। / (7x+3) contains the variable (x), so it is not a constant polynomial. Still, it is a polynomial because the power is (1).
\(\sqrt{x^2}\) को सामान्य रूप से बहुपद पद की तरह नहीं लिया जाता। कक्षा (9) में चर मूल के अंदर हो तो उसे बहुपद नहीं मानते। / \(\sqrt{x^2}\) is not treated as a polynomial term in the usual class (9) definition. If the variable is under a root, it is not considered a polynomial.
बहुपद की घात उसके चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ 7x में x की घात 1 है और -4 एक स्थिर पद है। अतः p(x)=7x-4 की घात 1 है, इसलिए यह रैखिक बहुपद है। घात 0 केवल अशून्य स्थिर बहुपदों की होती है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार पहचानने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is the highest power of its variable with a non-zero coefficient. Here, x has power 1 in 7x, while -4 is a constant term. Therefore, p(x)=7x-4 has degree 1 and is a linear polynomial. Degree 0 applies only to non-zero constant polynomials. Exam tip: identify the type of a polynomial by finding the highest exponent of the variable.
\(x^5-2x^2+6\) में सभी घातें मान्य हैं और सबसे बड़ी घात (5) है। इसलिए यह घात (5) का बहुपद है। / In \(x^5-2x^2+6\), all powers are valid and the highest power is (5). So it is a polynomial of degree (5).
जिस बहुपद में केवल एक पद होता है, उसे एकपद (monomial) कहते हैं। \(4x^7\) में केवल एक पद है, इसलिए यह सही उत्तर है। \(x^2+x\) में दो पद हैं, जबकि \(x^3-1\) में भी दो पद हैं। परीक्षा टिप: पदों को जोड़ (+) या घटाव (−) के चिह्नों से अलग-अलग गिनें। / A polynomial containing exactly one term is called a monomial. \(4x^7\) has only one term, so it is the correct answer. \(x^2+x\) and \(x^3-1\) each have two terms. Exam tip: Count terms separated by plus (+) or minus (−) signs.
\(x^2-9\) में दो पद, \(x^2\) और \(-9\), हैं; इसलिए यह द्विपदी है। इसका सबसे बड़ा घातांक \(2\) है, इसलिए इसकी घात 2 है और यह द्विघात बहुपद है। अतः सही पहचान द्विघात द्विपदी है। घन त्रिपदी में घात 3 और तीन पद होने चाहिए। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार बताने के लिए पदों की संख्या और सबसे बड़े घातांक को अलग-अलग जाँचें। / The expression \(x^2-9\) has two terms, \(x^2\) and \(-9\), so it is a binomial. Its highest exponent is \(2\), hence its degree is 2 and it is quadratic. Therefore, it is a quadratic binomial. A cubic trinomial would need degree 3 and three terms. Exam tip: classify a polynomial by checking the number of terms and the highest exponent separately.
\(5x^{-4}+2x\) बहुपद नहीं है, क्योंकि इसमें \(x\) की घात \(-4\) है। बहुपद में चर की घातें केवल शून्य या धनात्मक पूर्णांक हो सकती हैं। \(x^0=1\) होता है, इसलिए विकल्प C बहुपद है; शून्य घात स्वीकार्य है, ऋणात्मक घात नहीं। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक में चर की ऋणात्मक, भिन्नात्मक या अपरिमेय घात दिखे, तो वह बहुपद नहीं होता। / \(5x^{-4}+2x\) is not a polynomial because the exponent of \(x\) is \(-4\). In a polynomial, exponents of variables must be zero or positive integers. Since \(x^0=1\), option C is a polynomial; a zero exponent is allowed, but a negative exponent is not. Exam tip: An expression with a negative, fractional, or irrational exponent of a variable is not a polynomial.
\(x^3+2x\) में \(x\) की घातें \(3\) और \(1\) हैं, जो पूर्ण गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं। सबसे बड़ी घात \(3\) है, इसलिए यह बहुपद है और इसकी घात \(3\) है। विकल्प B में व्यंजक बहुपद तो है, पर उसकी घात \(2\) है, \(1\) नहीं। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें, लेकिन पहले जाँचें कि कोई ऋणात्मक या भिन्नात्मक घात न हो। / In \(x^3+2x\), the powers of \(x\) are \(3\) and \(1\), both non-negative integers. The greatest power is \(3\), so it is a polynomial of degree \(3\). In option B, the expression is a polynomial, but its degree is \(2\), not \(1\). Exam tip: To find the degree, identify the greatest power of the variable only after checking that no negative or fractional powers occur.
\(2x^3-x^2+x-6\) में चार पद हैं: \(2x^3\), \(-x^2\), \(x\) और \(-6\)। बहुपद के पद जोड़ (+) या घटाव (−) के चिह्नों से अलग होते हैं। विकल्प A में तीन पद हैं, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी भी बहुपद में स्थिरांक पद को भी एक अलग पद अवश्य गिनें। / \(2x^3-x^2+x-6\) has four terms: \(2x^3\), \(-x^2\), \(x\), and \(-6\). Terms of a polynomial are separated by plus or minus signs. Option A has only three terms, so it is not correct. Exam tip: Always count the constant term as a separate term.
बहुपद की घात उसके किसी भी शून्येतर पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ 6x-2 में x की घात 2 है, जबकि -5x में घात 1 है। स्थिर पद 0 बहुपद की घात को प्रभावित नहीं करता, इसलिए सही उत्तर 2 है। 6 गुणांक है, घात नहीं। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करते समय सबसे बड़ी घात वाले शून्येतर पद को देखें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable among its non-zero terms. Here, 6x-2 has exponent 2 and -5x has exponent 1. The constant term 0 does not affect the degree, so the answer is 2. Note that 6 is a coefficient, not the degree. Exam tip: Find the non-zero term with the highest power of the variable.
किसी घात का पद गायब होना बहुपद बनने से नहीं रोकता। \(x^4+x^2+1\) में सभी उपस्थित घातें मान्य हैं। / A missing power does not stop an expression from being a polynomial. In \(x^4+x^2+1\), all present powers are valid.
B. शून्य या धनात्मक पूर्णांक/Zero or positive integer
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होती हैं। यही सबसे जरूरी शर्त है। / In a polynomial, the powers of the variable are zero or positive integers. This is the most important condition.
ऋणात्मक स्थिर पद होना बहुपद बनने में बाधा नहीं है। \(x^2+3x-8\) की सभी घातें मान्य हैं। / A negative constant term does not prevent an expression from being a polynomial. All powers in \(x^2+3x-8\) are valid.
बहुपद की सबसे बड़ी घात 3 है, क्योंकि इसमें पद 2x-3 है; अतः यह घन बहुपद है। इसके चार पद हैं: 2x-3, 5x-2, -x और 4। इसलिए सही पहचान घन चार-पदी बहुपद है। द्विघात बहुपद में सबसे बड़ी घात 2 होती है, इसलिए विकल्प A सही नहीं है। परीक्षा टिप: घात पहचानने के लिए बहुपद में x की सबसे बड़ी घात देखें और पदों को + या - चिह्नों से अलग करके गिनें। / The highest exponent of x is 3 because the polynomial contains the term 2x-3; therefore, it is a cubic polynomial. It has four terms: 2x-3, 5x-2, -x, and 4. Hence, it is a cubic four-term polynomial. A quadratic polynomial has highest degree 2, so option A is not correct. Exam tip: identify the degree from the highest power of x, and count terms separated by plus or minus signs.
\(x^5+2x^3-7\) में पदों में \(x\) की घातें क्रमशः \(5\), \(3\) और \(0\) हैं, क्योंकि स्थिर पद \(-7\) को \(-7x^0\) लिखा जा सकता है। विकल्प B में \(x\) की घात \(-3\) है, जबकि विकल्प C में भिन्नात्मक घात \(5/3\) है। विकल्प D में \(\frac{2}{x^3}=2x^{-3}\) होता है। परीक्षा टिप: किसी भी स्थिर पद में चर की घात हमेशा \(0\) मानी जाती है। / In \(x^5+2x^3-7\), the powers of \(x\) are \(5\), \(3\), and \(0\), respectively, because the constant term \(-7\) can be written as \(-7x^0\). In option B, the power of \(x\) is \(-3\), while option C has the fractional power \(5/3\). In option D, \(\frac{2}{x^3}=2x^{-3}\). Exam tip: a constant term always has the variable raised to power \(0\).
दशमलव (2.5) भी वास्तविक गुणांक है। चर की सभी घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं। / The decimal (2.5) is also a real coefficient. All powers of the variable are non-negative integers.
B. क्योंकि \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) में \(x\) की घात ऋणात्मक है/Because \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) has a negative exponent of \(x\)
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें केवल अशून्य पूर्णांक हो सकती हैं, जैसे \(0,1,2,\ldots\)। यहाँ \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) है, इसलिए \(x\) की घात \(-1\) है और यह व्यंजक बहुपद नहीं है। \(x^2\) तथा अचर \(4\) बहुपद के वैध पद हैं; तीन पद होना भी कोई समस्या नहीं है। परीक्षा टिप: चर यदि हर में हो, तो उसे ऋणात्मक घात मानकर जाँचें। / In a polynomial, the exponents of a variable must be non-negative integers such as \(0,1,2,\ldots\). Here, \(\frac{1}{x}=x^{-1}\), so the exponent of \(x\) is \(-1\); hence the expression is not a polynomial. The term \(x^2\) and the constant \(4\) are valid polynomial terms, and having three terms is not a restriction. Exam tip: If a variable occurs in the denominator, rewrite it using a negative exponent and check it.
A. \(x^2+1\) क्योंकि घातें (2) और (0) हैं/\(x^2+1\) because powers are (2) and (0)
Explanation
Simple Explanation
\(x^2+1\) में घातें (2) और (0) हैं जो मान्य हैं। बाकी विकल्पों में अमान्य घातें हैं। / In \(x^2+1\), the powers are (2) and (0), which are valid. The other options contain invalid powers.
(x) के संदर्भ में (y) को गुणांक की तरह माना जा सकता है। (x) की घातें (3), (1) और (0) हैं। / With respect to (x), (y) can be treated like a coefficient. The powers of (x) are (3), (1), and (0).
व्यंजक \(x^3-2x+5\) में चर \(x\) की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए इसका घात 3 है और यह घन बहुपद है। इसमें \(x^3\), \(-2x\) और \(5\)—कुल तीन पद हैं, इसलिए यह त्रिपद भी है। अतः सही पहचान घन त्रिपद बहुपद है। द्विघात बहुपद में सबसे बड़ी घात 2 होती है। परीक्षा टिप: बहुपद का घात ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें और पदों की संख्या अलग से गिनें। / In \(x^3-2x+5\), the highest power of the variable \(x\) is 3, so its degree is 3 and it is a cubic polynomial. It has three terms: \(x^3\), \(-2x\), and \(5\); therefore, it is also a trinomial. Hence, it is a cubic trinomial. A quadratic polynomial would have highest degree 2. Exam tip: find the degree from the highest exponent, then count the terms separately.
बहुपद में जिस चर की सबसे बड़ी घात का गुणांक शून्य न हो, वही उसकी घात होती है। यहाँ 0x-5 का गुणांक शून्य है, इसलिए यह पद बहुपद की घात निर्धारित नहीं करता। शेष अशून्य पदों में 4x-2 की घात सबसे बड़ी है, अतः p(x) की घात 2 है। विकल्प 5 गलत है क्योंकि x-5 का गुणांक 0 है। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने से पहले शून्य-गुणांक वाले पदों को हटा दें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable having a non-zero coefficient. Here, the coefficient of 0x-5 is zero, so this term does not determine the degree. Among the remaining non-zero terms, 4x-2 has the greatest exponent; therefore, the degree of p(x) is 2. Option 5 is incorrect because the coefficient of x-5 is 0. Exam tip: remove zero-coefficient terms before finding the degree.
बहुपद में चर की घात निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक होती है। \(2^x\) में चर घात में है इसलिए यह बहुपद नहीं है। / In a polynomial, the variable has fixed non-negative integer powers. In \(2^x\), the variable is in the exponent, so it is not a polynomial.
जब \(a=0\) रखते हैं, तो \(ax^3=0\) हो जाता है। इसलिए दिया गया व्यंजक \(p(x)=2x-1\) रह जाता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात 1 है, अतः बहुपद की घात 1 है। घात 3 नहीं होगी, क्योंकि \(x^3\) का गुणांक शून्य है। परीक्षा टिप: शून्य गुणांक वाले पद को बहुपद की घात निर्धारित करते समय नहीं गिना जाता। / On substituting \(a=0\), the term \(ax^3\) becomes 0. Thus, \(p(x)=2x-1\). The highest power of \(x\) present is 1, so the degree of the polynomial is 1. It is not 3 because the coefficient of \(x^3\) is zero. Exam tip: Ignore terms whose coefficients become zero while finding the degree.
