A. वह ऋणेतर पूर्णांक होनी चाहिए/It must be a non-negative integer.
Explanation
Simple Explanation
\(x\) में बहुपद के हर पद में \(x\) की घात \(0,1,2,\dots\) अर्थात ऋणेतर पूर्णांक होती है। स्थिर पद में \(x\) की घात \(0\) मानी जाती है। \(x^{-1}\) में ऋणात्मक घात और \(x^{1/2}\) में भिन्नात्मक घात होती है, इसलिए ये बहुपद के पद नहीं हैं। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक को बहुपद मानने से पहले चर की सभी घातें जाँचें। / In a polynomial in \(x\), the exponent of \(x\) in every term must be a non-negative integer: \(0,1,2,\dots\). A constant term has exponent \(0\). For example, \(x^{-1}\) has a negative exponent and \(x^{1/2}\) has a fractional exponent, so neither is a polynomial term. Exam tip: check all variable exponents before identifying an expression as a polynomial.
A. प्रत्येक पद में चर की घात ऋणेतर पूर्णांक होती है/In every term, the power of the variable is a non-negative integer
Explanation
Simple Explanation
एक चर वाले बहुपद के प्रत्येक पद में चर की घात \(0, 1, 2, \ldots\) जैसी ऋणेतर पूर्णांक होती है। इसलिए विकल्प A सही है। उदाहरण के लिए, \(3x^2-5x+7\) एक बहुपद है, जबकि \(x^{-1}\) में ऋणात्मक घात और \(x^{1/2}\) में भिन्नात्मक घात होने के कारण वे बहुपद नहीं हैं। परीक्षा में चर की घातों को पहले जाँचें। / In each term of a polynomial in one variable, the exponent of the variable must be a non-negative integer such as \(0, 1, 2, \ldots\). Therefore, option A is correct. For example, \(3x^2-5x+7\) is a polynomial, whereas \(x^{-1}\) has a negative exponent and \(x^{1/2}\) has a fractional exponent, so neither is a polynomial. Exam tip: check the variable's exponents first.
बहुपद की घात उसके किसी भी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है। दिए गए व्यंजक में पद 6x-4, -3x-2, x और -8 हैं, जिनमें x की सबसे बड़ी घात 4 है। इसलिए इसकी घात 4 है। 2 केवल पद -3x-2 की घात है, पूरे बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करते समय शून्येतर गुणांक वाले पद में चर की सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable among its terms. The terms are 6x-4, -3x-2, x, and -8, and the highest exponent of x is 4. Therefore, its degree is 4. The number 2 is the degree of only the term -3x-2, not of the whole polynomial. Exam tip: identify the term with the highest power of the variable having a non-zero coefficient.
(11) में कोई चर नहीं है इसलिए यह स्थिर बहुपद है। शून्य से अलग स्थिर बहुपद की घात (0) होती है। / (11) has no variable, so it is a constant polynomial. A non-zero constant polynomial has degree (0).
बहुपद में घातें केवल शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। (-2) पूर्णांक है पर धनात्मक नहीं है। / In a polynomial, powers must be zero or positive integers. (-2) is an integer but not acceptable because it is negative.
द्विघात बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात 2 होती है। \(4x^2-5x+9\) में \(x\) की उच्चतम घात 2 है, इसलिए यह द्विघात बहुपद है। \(x^3+2x+1\) घन बहुपद है और \(7x-1\) रैखिक बहुपद है। \(\sqrt{x}+2=x^{1/2}+2\) बहुपद नहीं है, क्योंकि बहुपद में चर की घात गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। परीक्षा टिप: पहले जाँचें कि सभी घात गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं, फिर सबसे बड़ी घात से बहुपद का प्रकार पहचानें। / A quadratic polynomial has highest degree 2. In \(4x^2-5x+9\), the greatest exponent of \(x\) is 2, so it is quadratic. \(x^3+2x+1\) is cubic, while \(7x-1\) is linear. Also, \(\sqrt{x}+2=x^{1/2}+2\) is not a polynomial because exponents of the variable in a polynomial must be non-negative integers. Exam tip: First check that all exponents are non-negative integers, then use the highest exponent to identify the type of polynomial.
घन बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात 3 होती है। \(2x^3-x+4\) में \(x\) की उच्चतम घात 3 है, इसलिए यह घन बहुपद है। \(x^2+5\) द्विघात है, जबकि \(x^{-3}+1\) बहुपद नहीं है क्योंकि उसमें ऋणात्मक घात है। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करने से पहले जाँचें कि सभी घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हों। / A cubic polynomial has highest exponent 3. In \(2x^3-x+4\), the highest power of \(x\) is 3, so it is a cubic polynomial. \(x^2+5\) is quadratic, while \(x^{-3}+1\) is not a polynomial because it contains a negative exponent. Exam tip: Before finding a polynomial's degree, check that all exponents are non-negative integers.
C. इसकी घात परिभाषित नहीं होती/Its degree is not defined
Explanation
Simple Explanation
(0) शून्य बहुपद है लेकिन उसकी घात परिभाषित नहीं होती। परीक्षा में शून्य बहुपद और स्थिर बहुपद को अलग रखें। / (0) is the zero polynomial but its degree is not defined. In exams, keep zero polynomial and constant polynomial separate.
बहुपद में चर की घातें केवल 0, 1, 2, … जैसी ऋणेतर पूर्ण संख्याएँ हो सकती हैं। \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) में x की घात −1 है, इसलिए विकल्प B बहुपद नहीं है। अन्य विकल्पों में x की सभी घातें ऋणेतर पूर्णांक हैं। परीक्षा टिप: यदि चर हर में हो, तो उसे ऋणात्मक घात के रूप में लिखकर जाँचें। / In a polynomial, the powers of the variable can only be non-negative integers such as 0, 1, 2, …. Here, \(\frac{1}{x}=x^{-1}\), so the exponent of x is −1. Therefore, option B is not a polynomial. In the other options, all powers of x are non-negative integers. Exam tip: if a variable appears in a denominator, rewrite it with a negative exponent to check whether it is a polynomial.
गुणांक वास्तविक संख्या हो सकते हैं इसलिए \(\sqrt{2}\) स्वीकार्य है। चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / Coefficients may be real numbers, so \(\sqrt{2}\) is allowed. Powers of the variable must be non-negative integers.
\(\sqrt{x}=x^{1/2}\) होता है और \(\frac{1}{2}\) पूर्णांक घात नहीं है। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), and \(\frac{1}{2}\) is not an integer power. Hence it is not a polynomial.
बहुपद में पदों को जोड़ (+) या घटाव (−) के चिह्न अलग करते हैं। यहाँ पद हैं: \(7x^5\), \(-2x^3\), \(x\) और \(-4\)। अतः कुल 4 पद हैं। \(-2x^3\) को ऋण चिह्न सहित एक ही पद गिना जाता है, दो पद नहीं। परीक्षा टिप: पदों की संख्या ज्ञात करने के लिए + और − चिह्नों से अलग हुए व्यंजकों को गिनें। / In a polynomial, terms are separated by plus (+) or minus (−) signs. Here the terms are \(7x^5\), \(-2x^3\), \(x\), and \(-4\). Therefore, there are 4 terms. The expression \(-2x^3\) is counted as one term, including its negative sign, not as two terms. Exam tip: Count the expressions separated by + or − signs to find the number of terms.
एकपदी वह बहुपद होता है जिसमें केवल एक पद होता है। \(6x^4\) में केवल एक पद है, इसलिए यह एकपदी है। \(x^2+1\) में दो पद हैं, इसलिए वह द्विपदी है। परीक्षा टिप: पदों को पहचानने के लिए + या − चिह्न से अलग हुए भागों को गिनें। / A monomial is a polynomial with exactly one term. \(6x^4\) has only one term, so it is a monomial. \(x^2+1\) has two terms, so it is a binomial. Exam tip: Count the parts separated by + or − signs to identify the number of terms.
द्विपदी वह बहुपद है जिसमें ठीक दो अशून्य पद होते हैं। \(4x^3-9\) के पद \(4x^3\) और \(-9\) हैं, इसलिए यह द्विपदी है। \(7x\) एकपदी है, जबकि \(x^2+3x+2\) त्रिपदी है। परीक्षा में पदों की संख्या ज्ञात करने के लिए + या − चिह्नों से अलग हुए पदों को गिनें। / A binomial is a polynomial with exactly two non-zero terms. \(4x^3-9\) has the terms \(4x^3\) and \(-9\), so it is a binomial. \(7x\) is a monomial, while \(x^2+3x+2\) is a trinomial. Exam tip: count the terms separated by plus or minus signs.
त्रिपदी वह बहुपद है जिसमें तीन अशून्य पद होते हैं। \(2x^2-5x+6\) के पद \(2x^2\), \(-5x\) और \(6\) हैं, इसलिए यह त्रिपदी है। \(9x^2-4\) द्विपदी है क्योंकि इसमें केवल दो पद हैं, जबकि \(8x^5\) एकपदी है। परीक्षा में पदों को पहचानने के लिए जोड़ या घटाव के चिह्नों से अलग हुए पदों को गिनें। / A trinomial is a polynomial with three non-zero terms. The terms of \(2x^2-5x+6\) are \(2x^2\), \(-5x\), and \(6\), so it is a trinomial. \(9x^2-4\) is a binomial because it has only two terms, while \(8x^5\) is a monomial. In exams, count the terms separated by addition or subtraction signs.
B. यह बहुपद है क्योंकि घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं/It is a polynomial because powers are non-negative integers
Explanation
Simple Explanation
गुणांक भिन्न हो सकते हैं। यहाँ (x) की घातें (2), (1) और (0) हैं इसलिए यह बहुपद है। / Coefficients can be fractions. Here the powers of (x) are (2), (1), and (0), so it is a polynomial.
\(x^2+4\) में \(x\) की घातें 2 और 0 हैं, जो ऋणेतर पूर्णांक हैं; इसलिए यह बहुपद है। इसकी उच्चतम घात 2 है, इसलिए यह द्विघात बहुपद है, रैखिक बहुपद नहीं। \(5x-2\) रैखिक बहुपद है क्योंकि इसकी घात 1 है। \(\frac{1}{x}+1\) और \(\sqrt{x}+2\) बहुपद नहीं हैं, क्योंकि इनमें \(x\) की घात क्रमशः \(-1\) और \(\frac{1}{2}\) है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात सदैव 0 या धनात्मक पूर्णांक होती है। / In \(x^2+4\), the powers of \(x\) are 2 and 0, which are non-negative integers; therefore, it is a polynomial. Its highest power is 2, so it is a quadratic polynomial, not a linear polynomial. \(5x-2\) is linear because its degree is 1. \(\frac{1}{x}+1\) and \(\sqrt{x}+2\) are not polynomials because they contain powers \(-1\) and \(\frac{1}{2}\), respectively. Exam tip: the exponent of a variable in a polynomial must be 0 or a positive integer.
C. चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हों/Powers of the variable are zero or positive integers
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होती हैं। यही परिभाषा का मुख्य बिंदु है। / In a polynomial, powers of the variable are zero or positive integers. This is the key point of the definition.
C. क्योंकि \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\) में \(x\) की घात ऋणात्मक है/Because \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\) gives \(x\) a negative exponent
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में किसी चर की घात केवल गैर-ऋणात्मक पूर्णांक, जैसे \(0,1,2,\ldots\), हो सकती है। यहाँ \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\) है, इसलिए \(x\) की घात \(-2\) है। अतः दिया गया व्यंजक बहुपद नहीं है। स्थिर पद का न होना बाधा नहीं है; उदाहरण के लिए, \(x^2+x\) एक बहुपद है। परीक्षा टिप: यदि चर हर में हो, तो उसे ऋणात्मक घात के रूप में लिखकर जाँचें। / In a polynomial, the exponent of each variable must be a non-negative integer, such as \(0,1,2,\ldots\). Here, \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\), so \(x\) has exponent \(-2\). Hence, the given expression is not a polynomial. Having no constant term is not a problem; for example, \(x^2+x\) is a polynomial. Exam tip: When a variable occurs in the denominator, rewrite it using a negative exponent and check it.
\(y^3-2y+6\) में \(y\) की घातें 3, 1 और 0 हैं। ये सभी शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं, इसलिए यह \(y\) में बहुपद है। \(\frac{4}{y}+1\) में \(y\) हर में होने के कारण \(y^{-1}\) आता है, जबकि \(y^{-2}+5\) में ऋणात्मक घात है। \(\sqrt{y}+3\) में \(y^{1/2}\) की भिन्नात्मक घात होती है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात केवल 0, 1, 2, 3, ... हो सकती है। / In \(y^3-2y+6\), the exponents of \(y\) are 3, 1, and 0. All are non-negative integers, so it is a polynomial in \(y\). In \(\frac{4}{y}+1\), the variable in the denominator gives \(y^{-1}\), while \(y^{-2}+5\) has a negative exponent. Also, \(\sqrt{y}+3\) contains the fractional exponent \(y^{1/2}\). Exam tip: In a polynomial, exponents of the variable must be 0, 1, 2, 3, ... .
बहुपद की घात उसके किसी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ पदों की घातें क्रमशः 2, 1 और 0 हैं; सबसे बड़ी घात 2 है। इसलिए सही उत्तर 2 है। 10 अचर पद है, अतः वह बहुपद की घात निर्धारित नहीं करता। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करते समय चर वाले पदों में सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable in any of its terms. Here, the powers of t in the terms are 2, 1, and 0 respectively, so the greatest power is 2. Therefore, the correct answer is 2. The number 10 is a constant term, so it does not determine the degree. Exam tip: To find the degree, identify the highest power of the variable.
स्थिर बहुपद का सामान्य रूप \(p(x)=c\) होता है, जहाँ \(c\) एक नियत संख्या है। इसलिए 12, -5 और \(\frac{3}{4}\) सभी स्थिर बहुपद हैं। \(x+1\) में चर \(x\) उपस्थित है, इसलिए यह स्थिर बहुपद नहीं है; यह एक रैखिक बहुपद है। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक में चर की घात 1 या उससे अधिक हो, तो वह स्थिर बहुपद नहीं होता। / A constant polynomial has the form \(p(x)=c\), where \(c\) is a fixed number. Hence 12, -5, and \(\frac{3}{4}\) are constant polynomials. The expression \(x+1\) contains the variable \(x\), so it is not a constant polynomial; it is a linear polynomial. Exam tip: if a variable has a power of 1 or more, the expression is not a constant polynomial.
बहुपद की घात उसके किसी अशून्य गुणांक वाले पद की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ \(0x^2\) का गुणांक शून्य है, इसलिए यह पद बहुपद की घात में योगदान नहीं देता। सबसे अधिक घात वाला अशून्य पद \(4x^3\) है, इसलिए बहुपद की घात \(3\) है। विकल्प 2 गलत है क्योंकि \(x^2\) का गुणांक शून्य है। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पदों को हटाकर सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of a term with a non-zero coefficient. Here, the coefficient of \(x^2\) is zero, so \(0x^2\) does not contribute to the degree. The highest-degree non-zero term is \(4x^3\); therefore, the degree is \(3\). Option 2 is incorrect because the coefficient of \(x^2\) is zero. Exam tip: Ignore all terms with zero coefficients before identifying the highest exponent.
बहुपद में सभी घातें होना जरूरी नहीं है। \(3x^4+5\) में घात (4) और (0) हैं जो मान्य हैं। / A polynomial need not contain every power. \(3x^4+5\) has powers (4) and (0), which are valid.
B. क्योंकि (x^{1/2}) की घात पूर्णांक नहीं है / Because the power in \(x^{1 / 2}\) is not an integer
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें पूर्णांक होनी चाहिए। \(x^{1/2}\) की घात \(\frac{1}{2}\) है इसलिए यह बहुपद नहीं है। / In a polynomial, powers of the variable must be integers. \(x^{1/2}\) has power \(\frac{1}{2}\), so it is not a polynomial.
अशून्य स्थिरांक बहुपद की घात 0 होती है, क्योंकि उसमें चर का कोई पद नहीं होता। इसलिए 8 एक घात 0 का बहुपद है। x की घात 1 है और x-0+x = 1+x की घात भी 1 है। शून्य बहुपद 0 की घात सामान्यतः परिभाषित नहीं मानी जाती। परीक्षा टिप: केवल स्थिरांक वाला अशून्य व्यंजक घात 0 का बहुपद होता है। / A non-zero constant polynomial has degree 0 because it has no variable term. Therefore, 8 is a polynomial of degree 0. The degree of x is 1, and x-0+x = 1+x also has degree 1. The degree of the zero polynomial 0 is generally considered undefined. Exam tip: a non-zero expression containing only a constant is a degree 0 polynomial.
\(9x-4\) में चर \(x\) की सबसे बड़ी घात \(1\) है, इसलिए यह घात \(1\) का बहुपद (रैखिक बहुपद) है। \(x^2-1\) की घात \(2\) और \(x^3+x\) की घात \(3\) है, जबकि \(7\) एक अचर बहुपद है जिसकी घात \(0\) होती है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात देखकर उसकी घात निर्धारित करें। / In \(9x-4\), the highest power of the variable \(x\) is \(1\), so it is a polynomial of degree \(1\), also called a linear polynomial. \(x^2-1\) has degree \(2\), \(x^3+x\) has degree \(3\), and \(7\) is a constant polynomial with degree \(0\). Exam tip: Identify the greatest exponent of the variable to find the degree of a polynomial.
\(x^2+4\) एक बहुपद है क्योंकि इसमें चर \(x\) की घातें \(2\) और \(0\) हैं, जो अऋणात्मक पूर्णांक हैं। इसके दो पद \(x^2\) और \(4\) हैं, इसलिए यह एकपदी नहीं बल्कि द्विपद है। \(5x^3\) केवल एक पद वाला बहुपद, अर्थात एकपदी, है। \(\sqrt{x}+2\) में \(x\) की घात \(\frac{1}{2}\) है और \(x^2+\frac{1}{x}\) में घात \(-1\) आती है, इसलिए ये बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की प्रत्येक घात \(0,1,2,\ldots\) में होनी चाहिए। / \(x^2+4\) is a polynomial because the powers of the variable \(x\) are \(2\) and \(0\), both of which are non-negative integers. It has two terms, \(x^2\) and \(4\), so it is a binomial, not a monomial. \(5x^3\) is a polynomial with only one term, so it is a monomial. In \(\sqrt{x}+2\), the exponent of \(x\) is \(\frac{1}{2}\), while \(x^2+\frac{1}{x}\) contains exponent \(-1\); therefore, neither is a polynomial. Exam tip: Variable exponents in a polynomial must be \(0,1,2,\ldots\).
बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात उसकी घात (degree) कहलाती है। दिए गए बहुपद में x की सबसे बड़ी घात 3 है, क्योंकि पद 2x-3 उपस्थित है। इसलिए यह घन बहुपद है। द्विघात बहुपद की सबसे बड़ी घात 2 होती है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार ज्ञात करने के लिए पहले x की सबसे बड़ी घात वाला पद देखें। / The greatest exponent of the variable in a polynomial is called its degree. In the given polynomial, the highest power of x is 3 because the term 2x-3 is present. Therefore, it is a cubic polynomial. A quadratic polynomial has highest power 2, not 3. Exam tip: To identify the type of a polynomial, first find the term with the highest power of the variable.
बहुपद की घात उसके किसी पद में चर की सबसे बड़ी घात से निर्धारित होती है। दिए गए बहुपद में \(x^5\), \(x^2\) और \(1\) पद हैं; इनमें \(x^5\) में चर की घात 5 सबसे बड़ी है। इसलिए \(x^5\) घात तय करता है। \(x^2\) की घात केवल 2 है और \(1\) अचर पद है, जिसकी घात 0 मानी जाती है। परीक्षा टिप: पहले बहुपद के प्रत्येक पद की चर-घात देखें, फिर सबसे बड़ी घात चुनें। / The degree of a polynomial is determined by the term with the greatest exponent of the variable. The given polynomial has the terms \(x^5\), \(x^2\), and \(1\); among these, \(x^5\) has the highest exponent, 5. Therefore, \(x^5\) determines the degree. The exponent of \(x^2\) is only 2, while the constant term \(1\) has degree 0. Exam tip: Compare the exponents of the variable in all terms and select the greatest one.
B. यह (x) में द्विघात बहुपद है/It is a quadratic polynomial in (x)
Explanation
Simple Explanation
व्यंजक \(3x^2-7\) में \(x\) की घातें 2 और 0 हैं तथा सबसे बड़ी घात 2 है। अतः यह \(x\) में द्विघात बहुपद है। रैखिक बहुपद की उच्चतम घात 1 होती है, इसलिए विकल्प C सही नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद की घात उसमें चर की सबसे बड़ी घात से निर्धारित होती है। / In \(3x^2-7\), the powers of \(x\) are 2 and 0, and the highest power is 2. Hence, it is a quadratic polynomial in \(x\). A linear polynomial has highest power 1, so option C is incorrect. Exam tip: The degree of a polynomial is determined by the highest power of its variable.
किसी एक चर वाले बहुपद की घात उसमें चर की सबसे बड़ी घातांक होती है। \(x^4-3x+2\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(4\) है, इसलिए इसकी घात 4 है। विकल्प B की घात 3 है, क्योंकि उसमें \(x^3\) सबसे बड़ा पद है। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करते समय केवल चर की सबसे बड़ी शक्ति देखें; स्थिरांक पद की घात 0 होती है। / The degree of a polynomial in one variable is the greatest exponent of the variable. In \(x^4-3x+2\), the highest power of \(x\) is 4, so its degree is 4. Option B has degree 3 because \(x^3\) is its highest-power term. Exam tip: To find the degree, look for the greatest power of the variable; a constant term has degree 0.
\(5x^{-3}+2\) में \(x\) की घात \(-3\) है, जो ऋणात्मक है। बहुपद में चर की घात केवल 0 या धनात्मक पूर्णांक हो सकती है; इसलिए यह बहुपद नहीं है। \(7x^0+1\) बहुपद है, क्योंकि \(x^0=1\) और 0 एक स्वीकार्य घात है। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय चर की ऋणात्मक, भिन्नात्मक या चर वाली घात को तुरंत जाँचें। / In \(5x^{-3}+2\), the exponent of \(x\) is \(-3\), which is negative. In a polynomial, the exponent of a variable must be 0 or a positive integer, so this expression is not a polynomial. \(7x^0+1\) is a polynomial because \(x^0=1\), and 0 is an allowed exponent. Exam tip: while identifying polynomials, check immediately for negative, fractional, or variable exponents.
A. चर \(x\) की घात \(-1\) है, जो ऋणेतर पूर्णांक नहीं है।/The exponent of the variable \(x\) is \(-1\), which is not a non-negative integer.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घात केवल ऋणेतर पूर्णांक, जैसे \(0,1,2,\ldots\), हो सकती है। यहाँ \(x^{-1}=\frac{1}{x}\) है, इसलिए \(5x^{-1}+2\) बहुपद नहीं है। स्थिर पद और संख्यात्मक गुणांक बहुपद में मान्य होते हैं; इसलिए विकल्प B और C गलत हैं। परीक्षा टिप: चर की ऋणात्मक या भिन्नात्मक घात दिखते ही व्यंजक को बहुपद न मानें। / In a polynomial, the exponent of each variable must be a non-negative integer such as \(0,1,2,\ldots\). Here, \(x^{-1}=\frac{1}{x}\), so \(5x^{-1}+2\) is not a polynomial. A constant term and a numerical coefficient are allowed in polynomials, so options B and C are incorrect. Exam tip: a negative or fractional exponent of a variable means the expression is not a polynomial.
(y) को स्थिर मानने पर (yx) में (x) की घात (1) है। सभी (x) घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं। / Treating (y) as a constant, the term (yx) has (x)-power (1). All powers of (x) are non-negative integers.
\(x+\frac{2}{x}\) में \(\frac{2}{x}=2x^{-1}\) है। बहुपद में चर की घात केवल शून्य या धनात्मक पूर्णांक हो सकती है, लेकिन यहाँ \(x\) की घात \(-1\) है। इसलिए विकल्प C बहुपद नहीं है। विकल्प D में \(x^0=1\) होने से व्यंजक \(7+4=11\) बनता है, जो एक अचर बहुपद है। परीक्षा टिप: चर यदि हर में हो, तो उसे ऋणात्मक घात के रूप में लिखकर जाँचें। / In \(x+\frac{2}{x}\), \(\frac{2}{x}=2x^{-1}\). In a polynomial, every exponent of the variable must be a non-negative integer, but \(x\) has exponent \(-1\) here. Hence, option C is not a polynomial. In option D, \(x^0=1\), so the expression becomes \(7+4=11\), a constant polynomial. Exam tip: When a variable occurs in a denominator, rewrite it with a negative exponent to check whether it is a polynomial.
बहुपद की घात उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ पद 4x-2, -9x और 2 हैं तथा x की सबसे बड़ी घात 2 है। अतः बहुपद की घात 2 है। घात 1 केवल रैखिक बहुपद के लिए होती है; यहाँ x-2 पद होने के कारण यह सही नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करते समय केवल चर की सबसे बड़ी घात देखें, गुणांक नहीं। / The degree of a polynomial is the highest power of the variable having a non-zero coefficient. Here the terms are 4x-2, -9x, and 2, and the highest power of x is 2. Therefore, the degree of the polynomial is 2. Degree 1 would apply only to a linear polynomial; the x-2 term makes that incorrect here. Exam tip: To find degree, look for the greatest exponent of the variable, not the coefficient.
\(4z^3-z+8\) में चर (z) है और उसकी घातें (3), (1), (0) हैं। इसलिए यह (z) में बहुपद है। / In \(4z^3-z+8\), the variable is (z) and its powers are (3), (1), (0). So it is a polynomial in (z).
C. क्योंकि x^{-1} में चर की घात ऋणात्मक है/Because the exponent of the variable in x^{-1} is negative
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घात केवल 0 या धनात्मक पूर्णांक हो सकती है। यहाँ x^{-1}=1/x है, जिसमें x की घात -1 है; इसलिए दिया गया व्यंजक बहुपद नहीं है। स्थिर पद 3 और पद 7x-2 होने में कोई समस्या नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय सबसे पहले ऋणात्मक, भिन्नात्मक या चर वाले हर की जाँच करें। / In a polynomial, the exponent of a variable can only be 0 or a positive whole number. Here, x^{-1}=1/x has exponent -1, so the given expression is not a polynomial. The constant term 3 and the term 7x-2 are both allowed. Exam tip: When identifying a polynomial, first check for negative or fractional exponents, or variables in denominators.
\(\sqrt{3}\) गुणांक है और यह स्वीकार्य वास्तविक संख्या है। (x) की घातें (2), (1), (0) हैं। / \(\sqrt{3}\) is a coefficient and is an allowed real number. The powers of (x) are (2), (1), and (0).
\(5x^4-x+2\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(4\) है। अतः यह घात \(4\) का बहुपद है, घात \(2\) का नहीं। \(x^2+x+1\) भी बहुपद है, पर उसकी घात \(2\) है। \(\sqrt{x}+1\) में \(x\) की घात \(\frac{1}{2}\) तथा \(\frac{1}{x}+x^2\) में \(x\) की घात \(-1\) आती है, इसलिए ये बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घातें केवल ऋणेतर पूर्णांक होती हैं। / In \(5x^4-x+2\), the highest power of \(x\) is \(4\). Therefore, it is a polynomial of degree \(4\), not degree \(2\). \(x^2+x+1\) is also a polynomial, but its degree is \(2\). \(\sqrt{x}+1\) has \(x\) raised to \(\frac{1}{2}\), and \(\frac{1}{x}+x^2\) has \(x\) raised to \(-1\), so neither is a polynomial. Exam tip: exponents of variables in a polynomial must be non-negative integers.
सबसे बड़ी घात (1) होने पर बहुपद रैखिक कहलाता है। नाम याद करने के लिए घात पर ध्यान दें। / A polynomial with highest power (1) is called linear. Focus on the degree to remember the name.
जिस बहुपद की सबसे बड़ी घात 2 होती है, उसकी घात 2 होती है और उसे द्विघात बहुपद कहते हैं; जैसे, \(3x^2-5x+1\)। रैखिक बहुपद की सबसे बड़ी घात 1 होती है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद का नाम उसकी सबसे बड़ी घात से तय होता है। / A polynomial whose highest power is 2 has degree 2 and is called a quadratic polynomial; for example, \(3x^2-5x+1\). A linear polynomial has highest power 1, so it is not correct. Exam tip: identify a polynomial by its highest exponent.
जिस बहुपद की सबसे बड़ी घात 3 होती है, उसकी घात 3 कहलाती है और उसे घन बहुपद कहते हैं। द्विघात बहुपद की सबसे बड़ी घात 2 होती है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद का नाम उसकी सबसे बड़ी घात से निर्धारित होता है। / A polynomial whose highest exponent is 3 has degree 3, so it is called a cubic polynomial. A quadratic polynomial has highest exponent 2, so it is not correct here. Exam tip: Name a polynomial according to its highest exponent.
\(x^3+x^2+x+1\) के पद \(x^3\), \(x^2\), \(x\) और \(1\) हैं, इसलिए इसमें चार पद हैं। \(x^2+x+1\) में तीन पद हैं, जबकि \(x^4-1\) में केवल दो पद हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में पदों को जोड़ या घटाव के चिह्नों से अलग करके गिनें। / The terms of \(x^3+x^2+x+1\) are \(x^3\), \(x^2\), \(x\), and \(1\), so it has four terms. \(x^2+x+1\) has three terms, whereas \(x^4-1\) has only two terms. Exam tip: Count terms by separating them at plus or minus signs.
जिस बहुपद के सभी गुणांक 0 हों, अर्थात् जो प्रत्येक x के लिए 0 हो, उसे शून्य बहुपद कहते हैं। इसलिए p(x)=0 शून्य बहुपद है। रैखिक, द्विघात और घन बहुपदों की घात क्रमशः 1, 2 और 3 होती है, जबकि शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं होती। परीक्षा टिप: शून्य बहुपद को स्थिर बहुपद 0 की सामान्य घात वाला बहुपद न मानें। / A polynomial whose every coefficient is 0, and hence whose value is 0 for every x, is called the zero polynomial. Therefore, p(x)=0 is the zero polynomial. Linear, quadratic, and cubic polynomials have degrees 1, 2, and 3 respectively, whereas the degree of the zero polynomial is not defined. Exam tip: Do not assign an ordinary degree to the zero polynomial.
B. यह द्विघात त्रिपदी बहुपद है/It is a quadratic trinomial polynomial
Explanation
Simple Explanation
व्यंजक \(x^2-5x+6\) में तीन पद हैं: \(x^2\), \(-5x\) और \(6\)। इसकी उच्चतम घात 2 है, इसलिए यह द्विघात बहुपद है; तीन पद होने के कारण यह त्रिपदी भी है। अतः सही पहचान द्विघात त्रिपदी बहुपद है। रैखिक बहुपद की उच्चतम घात 1 होती है, इसलिए विकल्प A सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले उच्चतम घात से बहुपद का प्रकार और फिर पदों की संख्या से एकपदी/द्विपदी/त्रिपदी पहचानें। / The expression \(x^2-5x+6\) has three terms: \(x^2\), \(-5x\), and \(6\). Its highest power is 2, so it is a quadratic polynomial; since it has three terms, it is also a trinomial. Therefore, it is a quadratic trinomial polynomial. A linear polynomial has highest power 1, so option A is not correct. Exam tip: identify the degree from the highest power first, then count the terms to classify it as a monomial, binomial, or trinomial.
\(2x^6-4x^2+9\) में (x) की घातें (6), (2) और (0) हैं। ये सभी बहुपद की शर्त पूरी करती हैं। / In \(2x^6-4x^2+9\), the powers of (x) are (6), (2), and (0). All satisfy the condition of a polynomial.
बहुपद की घात उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ सबसे बड़ा पद \(5x^3\) है, इसलिए बहुपद की घात \(3\) है। \(x\) का पद न होने से घात पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता; \(8\) स्थिर पद है, घात नहीं। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करते समय केवल उपस्थित पदों में \(x\) की सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is the greatest power of the variable with a non-zero coefficient. Here, the highest-power term is \(5x^3\), so the degree is \(3\). The missing \(x\)-term does not affect the degree; \(8\) is a constant term, not the degree. Exam tip: To find the degree, look for the highest exponent of \(x\) among the terms that are present.
\(\frac{3}{t}=3t^{-1}\) होता है और घात (-1) है। ऋणात्मक घात वाला व्यंजक बहुपद नहीं होता। / \(\frac{3}{t}=3t^{-1}\), so the power is (-1). An expression with a negative power is not a polynomial.
