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\(a_{12}=12^2+3\times12+1=181\) है। सूत्र में (n) की जगह पद संख्या रखें। / \(a_{12}=12^2+3\times12+1=181\). Exam tip: substitute the term position for (n).
\(a_{15}=482\) और \(a_{13}=366\) इसलिए अंतर (116) है। पहले दोनों पद अलग-अलग निकालें। / \(a_{15}=482\) and \(a_{13}=366\), so the difference is (116). Exam tip: find both terms separately first.
यहाँ पद \(n^2+1\) के रूप में हैं इसलिए अगला पद \(6^2+1=37\) है। वर्ग के आसपास बने पैटर्न को जल्दी पहचानें। / The terms are of the form \(n^2+1\), so the next term is \(6^2+1=37\). Exam tip: recognize patterns built around squares.
\(14\times15=210\) इसलिए यह (14)वाँ पद है। लगातार संख्याओं के गुणनफल को ध्यान से देखें। / Since \(14\times15=210\), it is the (14)th term. Exam tip: look for products of consecutive numbers.
यह अनुक्रम (\frac{(n+1)(n+2)}{2}) देता है। (20)वें पद के लिए \(\frac{21\times22}{2}=231\) होगा। / This sequence gives (\frac{(n+1)(n+2)}{2}). For the (20)th term, \(\frac{21\times22}{2}=231\).
अगला अंतर (36) होगा इसलिए (55+36=91) है। अंतर भी कभी-कभी अलग अनुक्रम बनाते हैं। / The next difference is (36), so (55+36=91). Exam tip: differences can also form a sequence.
अंतर (9,15,21,27) हैं इसलिए अगला अंतर (33) होगा। (74+33=107) सही है। / The differences are (9,15,21,27), so the next difference is (33). Hence (74+33=107).
विषम स्थानों पर \(3,6,12,\ldots\) हैं इसलिए अगला विषम पद (24) है। वैकल्पिक अनुक्रमों में स्थान अलग करके देखें। / Odd positions are \(3,6,12,\ldots\), so the next odd-position term is (24). Exam tip: split alternating sequences by positions.
(34) के बाद (2) से गुणा होगा इसलिए अगला पद (68) है। वैकल्पिक क्रिया में अगली क्रिया पहचानना जरूरी है। / After (34), multiplication by (2) is applied, so the next term is (68). Exam tip: identify the next operation in alternating-operation sequences.
पद (1,3,8,19,42) मिलते हैं इसलिए \(a_5=42\) है। पुनरावर्ती नियम में हर चरण सावधानी से करें। / The terms are (1,3,8,19,42), so \(a_5=42\). Exam tip: apply each recursive step carefully.
पद (4,7,12,19,28,39,52) हैं। क्रमांक साथ लिखने से पुनरावर्ती गलती कम होती है। / The terms are (4,7,12,19,28,39,52). Exam tip: write term positions to reduce recursive mistakes.
\(a_9=81\) और \(a_{10}=-100\) इसलिए योग (-19) है। घात और संकेत दोनों पर ध्यान दें। / \(a_9=81\) and \(a_{10}=-100\), so the sum is (-19). Exam tip: track both power and sign.
यह अनुक्रम \(2^n-1\) है और \(2^7-1=127\) है। (2) की घातों को पहचानना उपयोगी है। / This sequence is \(2^n-1\), and \(2^7-1=127\). Exam tip: recognizing powers of (2) is useful.
यह \(2^2,3^2,4^2,\ldots\) है इसलिए \(169=13^2\) (12)वाँ पद है। शिफ्ट हुए वर्ग अनुक्रम में क्रमांक ध्यान से गिनें। / This is \(2^2,3^2,4^2,\ldots\), so \(169=13^2\) is the (12)th term. Exam tip: count positions carefully in shifted square sequences.
(89-10=79) और (79-13=66) है। घटते अनुक्रम में ऋण चिह्न सावधानी से रखें। / (89-10=79) and (79-13=66). Exam tip: handle negative signs carefully in decreasing sequences.
आठवाँ पद \(2\times3^7=4374\) है। पहले पद से गिनते समय घात (n-1) होती है। / The eighth term is \(2\times3^7=4374\). Exam tip: from the first term, the exponent is (n-1).
पद (512,256,128,64,32,16,8) हैं इसलिए (7)वाँ पद पहला छोटा पद है। शर्त वाले प्रश्न में क्रम से सीमा तक जाएँ। / The terms are (512,256,128,64,32,16,8), so the (7)th term is the first smaller term. Exam tip: move stepwise until the condition is met.
\(3\times12^2-2\times12=408\) है। विकल्पों को जल्दी जाँचने के लिए दिए गए क्रमांक रखें। / \(3\times12^2-2\times12=408\). Exam tip: test the given positions quickly in the formula.
\(a_7=336\) और \(a_5=120\) इसलिए अंतर (216) है। घन वाले पदों में पहले मान अलग निकालें। / \(a_7=336\) and \(a_5=120\), so the difference is (216). Exam tip: calculate cube-based terms separately first.
\(2n^2+n+2\) से शुरुआती पद (5,12,23) मिलते हैं। सूत्र चुनते समय कम से कम तीन पद जाँचें। / \(2n^2+n+2\) gives the starting terms (5,12,23). Exam tip: check at least three terms before choosing a formula.
\(a_{11}=2\times11^2+11=253\) है। वर्ग और गुणा पहले करके अंत में जोड़ें। / \(a_{11}=2\times11^2+11=253\). Exam tip: square and multiply first, then add.
\(a_{12}=192\) और \(a_{13}=221\) है इसलिए (12) पद (200) से छोटे हैं। सीमा के पास वाले दो पद जरूर जाँचें। / \(a_{12}=192\) and \(a_{13}=221\), so (12) terms are less than (200). Exam tip: check the two terms near the boundary.
पहला योग्य पद (54) है और अंतिम योग्य पद (145) है। (8)वें से (21)वें पद तक कुल (14) पद हैं। / The first valid term is (54) and the last valid term is (145). From the (8)th to the (21)st term, there are (14) terms.
पहले (5) पदों का योग (2+5+10+17+26=60) है। योग प्रश्न में सभी मांगे गए पद शामिल करें। / The sum of the first (5) terms is (2+5+10+17+26=60). Exam tip: include all required terms in sum questions.
सामान्य पद \(\frac{n}{n+1}\) है इसलिए (10)वाँ पद \(\frac{10}{11}\) है। भिन्नों में अंश और हर का पैटर्न अलग देखें। / The general term is \(\frac{n}{n+1}\), so the (10)th term is \(\frac{10}{11}\). Exam tip: observe numerator and denominator patterns separately.
सामान्य पद \(\frac{n}{2n+1}\) है इसलिए (8)वाँ पद \(\frac{8}{17}\) है। हर में बढ़ोतरी अलग से पहचानें। / The general term is \(\frac{n}{2n+1}\), so the (8)th term is \(\frac{8}{17}\). Exam tip: identify the denominator pattern separately.
\(\frac{n}{n+2}>\frac{4}{5}\) से (n>8) मिलता है। पहला पूर्णांक (n=9) है। / From \(\frac{n}{n+2}>\frac{4}{5}\), we get (n>8). The first integer is (n=9).
पाँचवें पद के बाद (n=5) है इसलिए \(2\times57+6=120\) होगा। पुनरावर्ती सूत्र में वर्तमान (n) सही रखें। / After the fifth term, (n=5), so \(2\times57+6=120\). Exam tip: use the correct current value of (n) in recursion.
\(a_5=251\) और \(a_6=433\) इसलिए योग (684) है। घन पदों में गणना दोबारा जाँचें। / \(a_5=251\) and \(a_6=433\), so the sum is (684). Exam tip: recheck calculations in cubic terms.
\(a_8=40-1=39\) है क्योंकि ((-1)8=1) होता है। सम और विषम घात का संकेत याद रखें। / \(a_8=40-1=39\) because ((-1)8=1). Exam tip: remember the sign of even and odd powers.
अगला पद \(5^3+1=126\) है। घन के साथ जोड़ी गई स्थिर संख्या पर ध्यान दें। / The next term is \(5^3+1=126\). Exam tip: notice the constant added to cubes.
\(a_{12}=2\times12^2-3\times12+1=253\) है। लंबी गणना में हर चरण साफ लिखें। / \(a_{12}=2\times12^2-3\times12+1=253\). Exam tip: write each step clearly in longer calculations.
बराबर अंतर से (x+3-x=2x+1-(x+3)) मिलता है इसलिए (x=5) है। समान अंतर में दोनों अंतर बराबर रखें। / Equal differences give (x+3-x=2x+1-(x+3)), so (x=5). Exam tip: set the two consecutive differences equal.
(5k+2=27) से (k=5) और \(a_9=47\) मिलता है। पहले अज्ञात स्थिरांक निकालें। / From (5k+2=27), (k=5), and \(a_9=47\). Exam tip: find the unknown constant first.
यहाँ (a_n=n(n+1)) है और \(9\times10=90\) जबकि \(10\times11=110\) है। इसलिए (9) पद (100) से छोटे हैं। / Here (a_n=n(n+1)), and \(9\times10=90\) while \(10\times11=110\). So (9) terms are less than (100).
यहाँ \(a_n=n^2-n+3\) है इसलिए \(a_{12}=144-12+3=135\) है। शुरुआती अंतरों से सूत्र पहचानें। / Here \(a_n=n^2-n+3\), so \(a_{12}=144-12+3=135\). Exam tip: identify the formula from initial differences.
\(\frac{10\times13}{2}=65\) इसलिए यह (10)वाँ पद है। विकल्पों को सीधे सूत्र में रखकर जाँच सकते हैं। / Since \(\frac{10\times13}{2}=65\), it is the (10)th term. Exam tip: substitute options directly into the formula.
\(a_{11}=143\) और \(a_8=80\) है इसलिए अंतर (63) है। पदों को अलग निकालकर घटाएँ। / \(a_{11}=143\) and \(a_8=80\), so the difference is (63). Exam tip: find the terms separately and then subtract.
अंतर (3,4,7,12) हैं और अगला अंतर (19) होगा। इसलिए (28+19=47) है। / The differences are (3,4,7,12), and the next difference will be (19). Therefore (28+19=47).
सम स्थानों पर \(4,8,16,32,64,\ldots\) हैं। (10)वाँ पद पाँचवाँ सम-स्थान पद है इसलिए (64) है। / Even positions are \(4,8,16,32,64,\ldots\). The (10)th term is the fifth even-position term, so it is (64).
\(a_{10}=3\times10^2-10+4=294\) है। परीक्षा में (n) की जगह पद संख्या सीधे रखें। / \(a_{10}=3\times10^2-10+4=294\). Exam tip: substitute the term position directly for (n).
\(10^2+5\times10-2=148\) इसलिए यह (10)वाँ पद है। विकल्पों को सूत्र में रखकर तेजी से जाँचें। / \(10^2+5\times10-2=148\), so it is the (10)th term. Exam tip: test options quickly in the formula.
अगला अंतर (25) होगा इसलिए (52+25=77) है। अंतर का अनुक्रम पहचानना सबसे जरूरी कदम है। / The next difference is (25), so (52+25=77). Exam tip: identifying the sequence of differences is the key step.
अगला अंतर (-15) होगा इसलिए (90-15=75) है। घटते अनुक्रम में ऋण चिह्न पर विशेष ध्यान दें। / The next difference is (-15), so (90-15=75). Exam tip: pay special attention to negative signs in decreasing sequences.
विषम स्थानों पर \(4,8,16,\ldots\) हैं इसलिए अगला विषम पद (32) होगा। वैकल्पिक अनुक्रमों में विषम और सम स्थान अलग देखें। / Odd positions are \(4,8,16,\ldots\), so the next odd-position term is (32). Exam tip: separate odd and even positions in alternating sequences.
पद (2,5,14,41,122) मिलते हैं। पुनरावर्ती नियम में हर चरण सावधानी से करें। / The terms are (2,5,14,41,122). Exam tip: apply every recursive step carefully.
पद (1,3,9,21,41) मिलते हैं इसलिए \(a_5=41\) है। क्रमांक साथ लिखने से पुनरावर्ती गलती कम होती है। / The terms are (1,3,9,21,41), so \(a_5=41\). Exam tip: write positions along with values to avoid recursive mistakes.
सामान्य पद \(\frac{n+1}{2n+1}\) है इसलिए (12)वाँ पद \(\frac{13}{25}\) है। भिन्नों में अंश और हर का पैटर्न अलग देखें। / The general term is \(\frac{n+1}{2n+1}\), so the (12)th term is \(\frac{13}{25}\). Exam tip: observe numerator and denominator patterns separately.
\(a_7=-8\) और \(a_8=9\) इसलिए योग (1) है। चिह्न बदलने वाले अनुक्रम में सम-विषम घात ध्यान रखें। / \(a_7=-8\) and \(a_8=9\), so the sum is (1). Exam tip: track even and odd powers in sign-changing sequences.
\(12^2+2\times12=168\) इसलिए यह (12)वाँ पद है। विकल्पों को सीधे सामान्य पद में रखकर जाँचें। / \(12^2+2\times12=168\), so it is the (12)th term. Exam tip: substitute options directly into the general term.
\(a_{11}=275\) और \(a_{12}=324\) है इसलिए (11) पद (300) से छोटे हैं। सीमा के पास वाले दो पद जरूर जाँचें। / \(a_{11}=275\) and \(a_{12}=324\), so (11) terms are less than (300). Exam tip: check the two terms near the boundary.
(171-22=149) और (149-27=122) है। घटते अनुक्रम में ऋणात्मक अंतर ध्यान से लगाएँ। / (171-22=149) and (149-27=122). Exam tip: apply negative differences carefully in decreasing sequences.
सामान्य पद (3(-2)^{n-1}) है इसलिए (a_9=3(-2)8=768) है। सम घात पर चिह्न धनात्मक होता है। / The general term is (3(-2)^{n-1}), so (a_9=3(-2)8=768). Exam tip: an even power gives a positive sign.
\(2\times62+2=126\) है। पुनरावर्ती नियम को अंतिम पद पर सीधे लागू करें। / \(2\times62+2=126\). Exam tip: apply the recurrence rule directly to the last term.
यह \(1!,2!,3!,4!,5!,\ldots\) का अनुक्रम है इसलिए अगला पद (6!=720) है। गुणा क्रम को पहचानें। / This is the sequence \(1!,2!,3!,4!,5!,\ldots\), so the next term is (6!=720). Exam tip: recognize the multiplication pattern.
अगला गुणक (6) होगा इसलिए \(240\times6=1440\) है। बदलते गुणक को अलग से लिखें। / The next multiplier is (6), so \(240\times6=1440\). Exam tip: write changing multipliers separately.
\(a_6=252\) और \(a_4=80\) इसलिए अंतर (172) है। घन और वर्ग दोनों अलग-अलग निकालें। / \(a_6=252\) and \(a_4=80\), so the difference is (172). Exam tip: calculate the cube and square parts separately.
\(4\times12^2-1=575\) इसलिए यह (12)वाँ पद है। पद पहचानने के लिए विकल्पों को सूत्र में रखें। / \(4\times12^2-1=575\), so it is the (12)th term. Exam tip: substitute options in the formula to identify the term.
पहले (6) पद (2,5,10,17,26,37) हैं और उनका योग (97) है। योग में मांगे गए सभी पद शामिल करें। / The first (6) terms are (2,5,10,17,26,37), and their sum is (97). Exam tip: include all required terms in the sum.
\(p=\frac{42-17}{8-3}=5\) और (q=2) है। इसलिए \(a_{12}=5\times12+2=62\) होगा। / \(p=\frac{42-17}{8-3}=5\) and (q=2). Therefore \(a_{12}=5\times12+2=62\).
सामान्य पद \(\frac{1}{3n}\) है और \(\frac{1}{51}<\frac{1}{50}\) होता है। इसलिए पहला पद (17)वाँ है। / The general term is \(\frac{1}{3n}\), and \(\frac{1}{51}<\frac{1}{50}\). So the first such term is the (17)th.
\(a_8=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}\) है। भिन्न को अंतिम उत्तर में सरल करना न भूलें। / \(a_8=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}\). Exam tip: simplify the fraction in the final answer.
\(n^2+4=260\) से \(n^2=256\) और (n=16) मिलता है। पूर्ण वर्ग पहचानना समय बचाता है। / From \(n^2+4=260\), \(n^2=256\) and (n=16). Exam tip: recognizing perfect squares saves time.
अगला अभाज्य अंतर (13) है इसलिए (32+13=45) है। अंतर के रूप में दिए गए पैटर्न को अलग लिखें। / The next prime difference is (13), so (32+13=45). Exam tip: write the pattern of differences separately.
(29) के बाद (2) से गुणा होगा इसलिए \(29\times2=58\) है। वैकल्पिक क्रिया में अगली क्रिया पहचानें। / After (29), multiplication by (2) is applied, so \(29\times2=58\). Exam tip: identify the next operation in alternating-operation sequences.
\(2\times78+2=158\) है। दिए गए पुनरावर्ती नियम को अंतिम पद पर लगाएँ। / \(2\times78+2=158\). Exam tip: apply the given recurrence rule to the last term.
बराबर अंतर से (2x+1-(x+2)=4x-5-(2x+1)) मिलता है इसलिए (x=5) है। लगातार तीन पदों में दोनों अंतर बराबर रखें। / Equal differences give (2x+1-(x+2)=4x-5-(2x+1)), so (x=5). Exam tip: set the two consecutive differences equal.
अगला अंतर (11) है इसलिए (27+11=38) है। विषम अंतरों के पैटर्न को पहचानें। / The next difference is (11), so (27+11=38). Exam tip: recognize the pattern of odd differences.
((-1)9=-1) है इसलिए \(a_9=81-1=80\) है। सम-विषम घात के चिह्न को अलग से जाँचें। / ((-1)9=-1), so \(a_9=81-1=80\). Exam tip: check the sign of even and odd powers separately.
योग (3+9+27+81=120) है। छोटे पदों वाले योग में सीधे जोड़ना सबसे सुरक्षित है। / The sum is (3+9+27+81=120). Exam tip: direct addition is safest for a small number of terms.
\(a_4=32\) और \(a_5=57\) हैं इसलिए योग (89) है। घात और वर्ग को अलग-अलग निकालें। / \(a_4=32\) and \(a_5=57\), so the sum is (89). Exam tip: calculate the power and square parts separately.
(10(10+3)=130) इसलिए यह (10)वाँ पद है। गुणनफल वाले सूत्र में दिए गए विकल्प सीधे जाँचें। / (10(10+3)=130), so it is the (10)th term. Exam tip: test the given options directly in product-form formulas.
\(2\times127+1=255\) है। पुनरावर्ती नियम में गुणा और जोड़ का क्रम न बदलें। / \(2\times127+1=255\). Exam tip: do not change the order of multiplication and addition in recurrence rules.
पहले (6) पदों का योग (126) है और औसत \(\frac{126}{6}=21\) है। औसत में योग को पदों की संख्या से भाग दें। / The sum of the first (6) terms is (126), and the average is \(\frac{126}{6}=21\). Exam tip: divide the sum by the number of terms.
\(a_{11}=121\) और \(a_{12}=144\) इसलिए योग (265) है। वर्ग अनुक्रम में पद संख्या का वर्ग लें। / \(a_{11}=121\) and \(a_{12}=144\), so the sum is (265). Exam tip: square the term position in a square sequence.
\(a_5=\frac{25+1}{5}=\frac{26}{5}\) है। भिन्न वाले सूत्र में अंश पहले पूरा करें। / \(a_5=\frac{25+1}{5}=\frac{26}{5}\). Exam tip: complete the numerator first in fractional formulas.
\(a_9=99\) और \(a_{10}=120\) है इसलिए पहला बड़ा पद (10)वाँ है। सीमा के दोनों तरफ के पद जाँचें। / \(a_9=99\) and \(a_{10}=120\), so the first greater term is the (10)th. Exam tip: check terms on both sides of the boundary.
\(a_{10}=51\) और \(a_9=44\) है इसलिए अंतर (7) है। चिह्न बदलने वाले भाग को अलग से जाँचें। / \(a_{10}=51\) and \(a_9=44\), so the difference is (7). Exam tip: check the sign-changing part separately.
पद (2,5,14,37) मिलते हैं। पुनरावर्ती नियम में \(n^2\) का मान हर चरण बदलता है। / The terms are (2,5,14,37). Exam tip: the value of \(n^2\) changes at every recursive step.
छह अंतरों का योग (65-29=36) है इसलिए एक अंतर (6) है। \(a_1=29-3\times6=11\) होगा। / The sum of six differences is (65-29=36), so one difference is (6). Thus \(a_1=29-3\times6=11\).
\(T_{19}=190\) और \(T_{20}=210\) है इसलिए पहला बड़ा पद (20)वाँ है। सख्त असमानता में बराबरी शामिल नहीं होती। / \(T_{19}=190\) and \(T_{20}=210\), so the first greater term is the (20)th. Exam tip: strict inequality does not include equality.
\(a_{11}=4\times11^2+2\times11-3=503\) है। पहले वर्ग निकालकर फिर बाकी क्रियाएँ करें। / \(a_{11}=4\times11^2+2\times11-3=503\). Exam tip: square first and then complete the remaining operations.
अंतर (12,18,24,30) हैं इसलिए अगला अंतर (36) होगा। (93+36=129) सही है। / The differences are (12,18,24,30), so the next difference is (36). Thus (93+36=129).
पद (5,13,32,73,158) नहीं बल्कि \(a_5=158\) होता है। इसलिए दिए गए विकल्पों में सही उत्तर नहीं है। / The terms are (5,13,32,73,158), so \(a_5=158\). Therefore none of the given options is correct.
अंतर (9,15,21,27) हैं इसलिए अगला अंतर (33) होगा। (76+33=109) सही है। / The differences are (9,15,21,27), so the next difference is (33). Hence (76+33=109).
\(a_{14}=3\times14^2+14+2=604\) है। वर्ग निकालने के बाद गुणा और जोड़ करें। / \(a_{14}=3\times14^2+14+2=604\). Exam tip: square first, then multiply and add.
\(2\times13^2+5\times13=403\) है इसलिए यह (13)वाँ पद है। पद पहचानने के लिए विकल्पों को सूत्र में रखें। / \(2\times13^2+5\times13=403\), so it is the (13)th term. Exam tip: substitute the options into the formula.
अंतर (-4,-9,-14,-19) हैं इसलिए अगला अंतर (-24) होगा। (104-24=80) सही है। / The differences are (-4,-9,-14,-19), so the next difference is (-24). Thus (104-24=80).
(49) के बाद (2) से गुणा होगा इसलिए \(49\times2=98\) है। वैकल्पिक क्रिया में अगली क्रिया पहचानें। / After (49), multiplication by (2) is applied, so \(49\times2=98\). Exam tip: identify the next operation in alternating-operation sequences.
पद (3,7,18,45,91) मिलते हैं इसलिए \(a_5=91\) है। पुनरावर्ती नियम में \(n^2\) हर चरण बदलता है। / The terms are (3,7,18,45,91), so \(a_5=91\). Exam tip: \(n^2\) changes at each recursive step.
\(a_8=-19\) और \(a_9=21\) इसलिए योग (2) है। चिह्न बदलने वाले अनुक्रम में सम-विषम क्रमांक देखें। / \(a_8=-19\) and \(a_9=21\), so the sum is (2). Exam tip: track even and odd positions in sign-changing sequences.
सामान्य पद \(\frac{2n+1}{3n+1}\) है इसलिए (9)वाँ पद \(\frac{19}{28}\) है। अंश और हर का पैटर्न अलग देखें। / The general term is \(\frac{2n+1}{3n+1}\), so the (9)th term is \(\frac{19}{28}\). Exam tip: observe numerator and denominator patterns separately.
\(a_8=576\) और \(a_6=252\) इसलिए अंतर (324) नहीं बल्कि (336) है। गणना में घन और वर्ग दोनों ध्यान से निकालें। / \(a_8=576\) and \(a_6=252\), so the difference is (324), not (336). Recheck cube and square calculations carefully.
अगला अंतर (36) होगा इसलिए (59+36=95) है। वर्ग अंतरों को पहचानना समय बचाता है। / The next difference is (36), so (59+36=95). Exam tip: recognizing square differences saves time.
\(a_9=370\) और \(a_{10}=461\) है इसलिए (9) पद (400) से छोटे हैं। सीमा के पास के पद अवश्य जाँचें। / \(a_9=370\) and \(a_{10}=461\), so (9) terms are less than (400). Exam tip: always check terms near the boundary.
(221-25=196) और (196-30=166) है। घटते क्रम में ऋणात्मक अंतर ध्यान से लगाएँ। / (221-25=196) and (196-30=166). Exam tip: apply negative differences carefully in decreasing sequences.
\(a_{18}=\frac{18^2+18}{2}=\frac{342}{2}=171\) है। भिन्न में पहले अंश सरल करें। / \(a_{18}=\frac{18^2+18}{2}=\frac{342}{2}=171\). Exam tip: simplify the numerator first in fractions.
यह घनों का अनुक्रम है इसलिए \(a_{10}-a_9=10^3-9^3=271\) है। घन पदों में पद संख्या का घन लें। / This is a cube sequence, so \(a_{10}-a_9=10^3-9^3=271\). Exam tip: cube the term position in cube sequences.
\(a_5=2\times5!+1=2\times120+1=241\) है। पहले फैक्टोरियल निकालें फिर गुणा करें। / \(a_5=2\times5!+1=2\times120+1=241\). Exam tip: calculate the factorial first and then multiply.
\(a_8=384\) और \(a_9=768\) है इसलिए पहला बड़ा पद (9)वाँ है। सीमा के दोनों ओर के पद जाँचें। / \(a_8=384\) and \(a_9=768\), so the first greater term is the (9)th. Exam tip: check terms on both sides of the boundary.
\(2\times33-1=65\) है। पुनरावर्ती नियम में गुणा और घटाव का क्रम न बदलें। / \(2\times33-1=65\). Exam tip: do not change the order of multiplication and subtraction in recurrence rules.
\(a_7=\frac{21-1}{14+5}=\frac{20}{19}\) है। अंश और हर अलग-अलग सावधानी से निकालें। / \(a_7=\frac{21-1}{14+5}=\frac{20}{19}\). Exam tip: calculate numerator and denominator separately.
सम स्थानों पर \(5,10,20,40,80,\ldots\) हैं। (10)वाँ पद पाँचवाँ सम-स्थान पद है इसलिए (80) है। / Even positions are \(5,10,20,40,80,\ldots\). The (10)th term is the fifth even-position term, so it is (80).
पहले अंतर (4,7,12,19) हैं इसलिए अगला अंतर (28) होगा। (48+28=76) है। / The first differences are (4,7,12,19), so the next difference is (28). Therefore (48+28=76).
छठा पद (43) है और योग (3+7+13+21+31+43=118) नहीं बल्कि (118) है। विकल्पों में (118) सही है। / The sixth term is (43), and the sum is (3+7+13+21+31+43=118). Therefore (118) is correct.
छठा पद (43) है और योग (3+7+13+21+31+43=118) है। योग में सभी (6) पद शामिल करें। / The sixth term is (43), and the sum is (3+7+13+21+31+43=118). Exam tip: include all (6) terms in the sum.
(11(11+4)=165) इसलिए यह (11)वाँ पद है। गुणनफल वाले सूत्र में विकल्प सीधे रखें। / (11(11+4)=165), so it is the (11)th term. Exam tip: substitute options directly in product-form formulas.
\(\frac{1}{10^2}=\frac{1}{100}\) छोटा नहीं है और \(\frac{1}{11^2}<\frac{1}{100}\) है। इसलिए पहला पद (11)वाँ है। / \(\frac{1}{10^2}=\frac{1}{100}\) is not smaller, and \(\frac{1}{11^2}<\frac{1}{100}\). So the first term is the (11)th.
\(\frac{n}{2n-1}<\frac{3}{5}\) से (5n<6n-3) और (n>3) मिलता है। पहला पूर्णांक (4) है। / From \(\frac{n}{2n-1}<\frac{3}{5}\), (5n<6n-3), so (n>3). The first integer is (4).
पहले (5) पदों का योग (8+16+32+64+128=248) है। औसत \(\frac{248}{5}=49.6\) होगा। / The sum of the first (5) terms is (8+16+32+64+128=248). The average is \(\frac{248}{5}=49.6\).
\(a_{12}=71\) और \(a_{11}=67\) इसलिए अंतर (4) है। चिह्न बदलने वाले भाग को अलग जाँचें। / \(a_{12}=71\) and \(a_{11}=67\), so the difference is (4). Exam tip: check the sign-changing part separately.
(9) अंतरों का योग (104-41=63) है इसलिए अंतर (7) है। \(a_1=41-5\times7=6\) होगा। / The sum of (9) differences is (104-41=63), so the difference is (7). Thus \(a_1=41-5\times7=6\).
\(a_{12}=413\) और \(a_{13}=473\) है इसलिए योग (886) है। दोनों पद अलग-अलग निकालें। / \(a_{12}=413\) and \(a_{13}=473\), so the sum is (886). Exam tip: calculate both terms separately.
\(5\times2^{10}=5120\) है इसलिए यह (11)वाँ पद है। पहले पद से गिनते समय घात (n-1) होती है। / \(5\times2^{10}=5120\), so it is the (11)th term. Exam tip: from the first term, the exponent is (n-1).
\(3\times282+3=849\) है। पुनरावर्ती नियम में अंतिम पद पर नियम सीधे लगाएँ। / \(3\times282+3=849\). Exam tip: apply the recurrence rule directly to the last term.
\(a_6=426\) और \(a_4=124\) नहीं बल्कि \(a_4=124\) है। इसलिए सही अंतर (302) नहीं है। / \(a_6=426\) and \(a_4=124\). The correct difference is (302), so the listed options do not match.
\(a_6=2\times216-6=426\) और \(a_4=2\times64-4=124\) है। इसलिए अंतर (302) है। / \(a_6=2\times216-6=426\) and \(a_4=2\times64-4=124\). Therefore the difference is (302).
\(13^2+6\times13+5=252\) नहीं है इसलिए (13) गलत है। सही पद (12)वाँ है क्योंकि (144+72+5=221) भी नहीं है। / \(13^2+6\times13+5=252\), so (13) is not correct. (12) also gives (221), so the target value is inconsistent.
\(13^2+6\times13+5=252\) इसलिए यह (13)वाँ पद है। विकल्पों को सीधे सूत्र में रखकर जाँचें। / \(13^2+6\times13+5=252\), so it is the (13)th term. Exam tip: substitute options directly into the formula.
अगला अंतर (18) होगा इसलिए (47+18=65) है। अंतर के पैटर्न को अलग से लिखें। / The next difference is (18), so (47+18=65). Exam tip: write the difference pattern separately.
