For the sequence 6, 14, 26, 42, ..., a_n = 2n² + 2n + 2. What is the value of a_15 - a_13?अनुक्रम 6, 14, 26, 42, ... के लिए a_n = 2n² + 2n + 2 है। a_15 - a_13 का मान क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 116116
The governing concept is an explicit rule, which determines any term directly from its index. For n=15, a_15=2(15²)+2(15)+2=2(225)+30+2=482. For n=13, a_13=2(13²)+2(13)+2=2(169)+26+2=366. Thus a_15−a_13=482−366=116, so option D is correct. It would be incorrect to assume a constant first difference merely from the listed terms, because the supplied rule is quadratic and its differences change. Options A, B, and C may arise from incomplete substitution, using an incorrect square, or making an arithmetic error during subtraction. Applying the given formula to both indices avoids those mistakes.यहाँ स्पष्ट नियम का प्रयोग करना है, क्योंकि a_n=2n²+2n+2 किसी भी पद को उसके क्रमांक से सीधे निर्धारित करता है। n=15 रखने पर a_15=2(15²)+2(15)+2=2(225)+30+2=482 प्राप्त होता है। n=13 रखने पर a_13=2(13²)+2(13)+2=2(169)+26+2=366 मिलता है। अतः a_15−a_13=482−366=116, इसलिए विकल्प D सही है। केवल शुरुआती पदों को देखकर इसे समान्तर श्रेणी मानना गलत होगा, क्योंकि दिया गया नियम द्विघात है और इसके अंतर स्थिर नहीं रहते। विकल्प A, B और C में अधूरा प्रतिस्थापन, वर्ग निकालने या घटाव की गणना-त्रुटि हो सकती है। दोनों क्रमांकों पर नियम लागू करने से सही उत्तर निश्चित होता है।
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