Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(a_{12}=12^2+3\times12+1=181\) है। सूत्र में (n) की जगह पद संख्या रखें। / \(a_{12}=12^2+3\times12+1=181\). Exam tip: substitute the term position for (n).
\(a_{15}=482\) और \(a_{13}=366\) इसलिए अंतर (116) है। पहले दोनों पद अलग-अलग निकालें। / \(a_{15}=482\) and \(a_{13}=366\), so the difference is (116). Exam tip: find both terms separately first.
यहाँ पद \(n^2+1\) के रूप में हैं इसलिए अगला पद \(6^2+1=37\) है। वर्ग के आसपास बने पैटर्न को जल्दी पहचानें। / The terms are of the form \(n^2+1\), so the next term is \(6^2+1=37\). Exam tip: recognize patterns built around squares.
\(14\times15=210\) इसलिए यह (14)वाँ पद है। लगातार संख्याओं के गुणनफल को ध्यान से देखें। / Since \(14\times15=210\), it is the (14)th term. Exam tip: look for products of consecutive numbers.
यह अनुक्रम (\frac{(n+1)(n+2)}{2}) देता है। (20)वें पद के लिए \(\frac{21\times22}{2}=231\) होगा। / This sequence gives (\frac{(n+1)(n+2)}{2}). For the (20)th term, \(\frac{21\times22}{2}=231\).
अगला अंतर (36) होगा इसलिए (55+36=91) है। अंतर भी कभी-कभी अलग अनुक्रम बनाते हैं। / The next difference is (36), so (55+36=91). Exam tip: differences can also form a sequence.
अंतर (9,15,21,27) हैं इसलिए अगला अंतर (33) होगा। (74+33=107) सही है। / The differences are (9,15,21,27), so the next difference is (33). Hence (74+33=107).
विषम स्थानों पर \(3,6,12,\ldots\) हैं इसलिए अगला विषम पद (24) है। वैकल्पिक अनुक्रमों में स्थान अलग करके देखें। / Odd positions are \(3,6,12,\ldots\), so the next odd-position term is (24). Exam tip: split alternating sequences by positions.
(34) के बाद (2) से गुणा होगा इसलिए अगला पद (68) है। वैकल्पिक क्रिया में अगली क्रिया पहचानना जरूरी है। / After (34), multiplication by (2) is applied, so the next term is (68). Exam tip: identify the next operation in alternating-operation sequences.
पद (1,3,8,19,42) मिलते हैं इसलिए \(a_5=42\) है। पुनरावर्ती नियम में हर चरण सावधानी से करें। / The terms are (1,3,8,19,42), so \(a_5=42\). Exam tip: apply each recursive step carefully.
पद (4,7,12,19,28,39,52) हैं। क्रमांक साथ लिखने से पुनरावर्ती गलती कम होती है। / The terms are (4,7,12,19,28,39,52). Exam tip: write term positions to reduce recursive mistakes.
\(a_9=81\) और \(a_{10}=-100\) इसलिए योग (-19) है। घात और संकेत दोनों पर ध्यान दें। / \(a_9=81\) and \(a_{10}=-100\), so the sum is (-19). Exam tip: track both power and sign.
यह अनुक्रम \(2^n-1\) है और \(2^7-1=127\) है। (2) की घातों को पहचानना उपयोगी है। / This sequence is \(2^n-1\), and \(2^7-1=127\). Exam tip: recognizing powers of (2) is useful.
यह \(2^2,3^2,4^2,\ldots\) है इसलिए \(169=13^2\) (12)वाँ पद है। शिफ्ट हुए वर्ग अनुक्रम में क्रमांक ध्यान से गिनें। / This is \(2^2,3^2,4^2,\ldots\), so \(169=13^2\) is the (12)th term. Exam tip: count positions carefully in shifted square sequences.
(89-10=79) और (79-13=66) है। घटते अनुक्रम में ऋण चिह्न सावधानी से रखें। / (89-10=79) and (79-13=66). Exam tip: handle negative signs carefully in decreasing sequences.
आठवाँ पद \(2\times3^7=4374\) है। पहले पद से गिनते समय घात (n-1) होती है। / The eighth term is \(2\times3^7=4374\). Exam tip: from the first term, the exponent is (n-1).
पद (512,256,128,64,32,16,8) हैं इसलिए (7)वाँ पद पहला छोटा पद है। शर्त वाले प्रश्न में क्रम से सीमा तक जाएँ। / The terms are (512,256,128,64,32,16,8), so the (7)th term is the first smaller term. Exam tip: move stepwise until the condition is met.
\(3\times12^2-2\times12=408\) है। विकल्पों को जल्दी जाँचने के लिए दिए गए क्रमांक रखें। / \(3\times12^2-2\times12=408\). Exam tip: test the given positions quickly in the formula.
\(a_7=336\) और \(a_5=120\) इसलिए अंतर (216) है। घन वाले पदों में पहले मान अलग निकालें। / \(a_7=336\) and \(a_5=120\), so the difference is (216). Exam tip: calculate cube-based terms separately first.
\(2n^2+n+2\) से शुरुआती पद (5,12,23) मिलते हैं। सूत्र चुनते समय कम से कम तीन पद जाँचें। / \(2n^2+n+2\) gives the starting terms (5,12,23). Exam tip: check at least three terms before choosing a formula.
\(a_{11}=2\times11^2+11=253\) है। वर्ग और गुणा पहले करके अंत में जोड़ें। / \(a_{11}=2\times11^2+11=253\). Exam tip: square and multiply first, then add.
\(a_{12}=192\) और \(a_{13}=221\) है इसलिए (12) पद (200) से छोटे हैं। सीमा के पास वाले दो पद जरूर जाँचें। / \(a_{12}=192\) and \(a_{13}=221\), so (12) terms are less than (200). Exam tip: check the two terms near the boundary.
पहला योग्य पद (54) है और अंतिम योग्य पद (145) है। (8)वें से (21)वें पद तक कुल (14) पद हैं। / The first valid term is (54) and the last valid term is (145). From the (8)th to the (21)st term, there are (14) terms.
पहले (5) पदों का योग (2+5+10+17+26=60) है। योग प्रश्न में सभी मांगे गए पद शामिल करें। / The sum of the first (5) terms is (2+5+10+17+26=60). Exam tip: include all required terms in sum questions.
सामान्य पद \(\frac{n}{n+1}\) है इसलिए (10)वाँ पद \(\frac{10}{11}\) है। भिन्नों में अंश और हर का पैटर्न अलग देखें। / The general term is \(\frac{n}{n+1}\), so the (10)th term is \(\frac{10}{11}\). Exam tip: observe numerator and denominator patterns separately.
सामान्य पद \(\frac{n}{2n+1}\) है इसलिए (8)वाँ पद \(\frac{8}{17}\) है। हर में बढ़ोतरी अलग से पहचानें। / The general term is \(\frac{n}{2n+1}\), so the (8)th term is \(\frac{8}{17}\). Exam tip: identify the denominator pattern separately.
\(\frac{n}{n+2}>\frac{4}{5}\) से (n>8) मिलता है। पहला पूर्णांक (n=9) है। / From \(\frac{n}{n+2}>\frac{4}{5}\), we get (n>8). The first integer is (n=9).
पाँचवें पद के बाद (n=5) है इसलिए \(2\times57+6=120\) होगा। पुनरावर्ती सूत्र में वर्तमान (n) सही रखें। / After the fifth term, (n=5), so \(2\times57+6=120\). Exam tip: use the correct current value of (n) in recursion.
\(a_5=251\) और \(a_6=433\) इसलिए योग (684) है। घन पदों में गणना दोबारा जाँचें। / \(a_5=251\) and \(a_6=433\), so the sum is (684). Exam tip: recheck calculations in cubic terms.
\(a_8=40-1=39\) है क्योंकि ((-1)8=1) होता है। सम और विषम घात का संकेत याद रखें। / \(a_8=40-1=39\) because ((-1)8=1). Exam tip: remember the sign of even and odd powers.
अगला पद \(5^3+1=126\) है। घन के साथ जोड़ी गई स्थिर संख्या पर ध्यान दें। / The next term is \(5^3+1=126\). Exam tip: notice the constant added to cubes.
\(a_{12}=2\times12^2-3\times12+1=253\) है। लंबी गणना में हर चरण साफ लिखें। / \(a_{12}=2\times12^2-3\times12+1=253\). Exam tip: write each step clearly in longer calculations.
बराबर अंतर से (x+3-x=2x+1-(x+3)) मिलता है इसलिए (x=5) है। समान अंतर में दोनों अंतर बराबर रखें। / Equal differences give (x+3-x=2x+1-(x+3)), so (x=5). Exam tip: set the two consecutive differences equal.
(5k+2=27) से (k=5) और \(a_9=47\) मिलता है। पहले अज्ञात स्थिरांक निकालें। / From (5k+2=27), (k=5), and \(a_9=47\). Exam tip: find the unknown constant first.
यहाँ (a_n=n(n+1)) है और \(9\times10=90\) जबकि \(10\times11=110\) है। इसलिए (9) पद (100) से छोटे हैं। / Here (a_n=n(n+1)), and \(9\times10=90\) while \(10\times11=110\). So (9) terms are less than (100).
यहाँ \(a_n=n^2-n+3\) है इसलिए \(a_{12}=144-12+3=135\) है। शुरुआती अंतरों से सूत्र पहचानें। / Here \(a_n=n^2-n+3\), so \(a_{12}=144-12+3=135\). Exam tip: identify the formula from initial differences.
\(\frac{10\times13}{2}=65\) इसलिए यह (10)वाँ पद है। विकल्पों को सीधे सूत्र में रखकर जाँच सकते हैं। / Since \(\frac{10\times13}{2}=65\), it is the (10)th term. Exam tip: substitute options directly into the formula.
\(a_{11}=143\) और \(a_8=80\) है इसलिए अंतर (63) है। पदों को अलग निकालकर घटाएँ। / \(a_{11}=143\) and \(a_8=80\), so the difference is (63). Exam tip: find the terms separately and then subtract.
अंतर (3,4,7,12) हैं और अगला अंतर (19) होगा। इसलिए (28+19=47) है। / The differences are (3,4,7,12), and the next difference will be (19). Therefore (28+19=47).
सम स्थानों पर \(4,8,16,32,64,\ldots\) हैं। (10)वाँ पद पाँचवाँ सम-स्थान पद है इसलिए (64) है। / Even positions are \(4,8,16,32,64,\ldots\). The (10)th term is the fifth even-position term, so it is (64).
