Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यहाँ \(a_{n-1}=(n-1)^3\) होगा। अतः \(a_n-a_{n-1}=n^3-(n-1)^3=n^3-(n^3-3n^2+3n-1)=3n^2-3n+1\)। इसलिए विकल्प D सही है। विकल्प A, \((n+1)^3-n^3\) का परिणाम है, न कि दिए गए अंतर का। परीक्षा टिप: पिछले पद के लिए \(n\) के स्थान पर हमेशा \(n-1\) रखें। / Here, \(a_{n-1}=(n-1)^3\). Therefore, \(a_n-a_{n-1}=n^3-(n-1)^3=n^3-(n^3-3n^2+3n-1)=3n^2-3n+1\). Hence, option D is correct. Option A is the result of \((n+1)^3-n^3\), not of the given difference. Exam tip: for the previous term, always replace \(n\) with \(n-1\).
दिया है \(a_n=2n^3-3n\)। \(n=5\) रखने पर \(a_5=2(5)^3-3(5)=2\times125-15=250-15=235\)। इसलिए सही उत्तर 235 है। 250 केवल \(2(5)^3\) का मान है; उसमें से \(3\times5\) घटाना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: घात वाले पद का मान पहले निकालें, फिर गुणा और घटाव करें। / Given \(a_n=2n^3-3n\), substitute \(n=5\): \(a_5=2(5)^3-3(5)=2\times125-15=250-15=235\). Hence, 235 is correct. 250 is only the value of \(2(5)^3\); the term \(3\times5\) must still be subtracted. Exam tip: evaluate the power first, then multiply and subtract.
दिया है कि \(a_n=n^3\)। अतः \(a_5=5^3=125\) और \(a_3=3^3=27\)। इसलिए \(a_5-a_3=125-27=98\)। विकल्प 96 तब मिल सकता है जब घन या घटाव में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक पद का मान अलग-अलग निकालें, फिर उनका अंतर करें। / Given \(a_n=n^3\), we get \(a_5=5^3=125\) and \(a_3=3^3=27\). Therefore, \(a_5-a_3=125-27=98\). Option 96 may result from an error in evaluating the cubes or in subtraction. Exam tip: find each term separately before taking their difference.
दिया है: \(a_n=n^3-n\)। पाँचवाँ पद पाने के लिए n=5 रखें: \(a_5=5^3-5=125-5=120\)। इसलिए सही उत्तर 120 है। 125 केवल \(5^3\) का मान है; उसमें से 5 घटाना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: nवाँ पद निकालते समय सूत्र में n का मान हर स्थान पर सावधानी से रखें। / Given \(a_n=n^3-n\), substitute n=5 to find the fifth term: \(a_5=5^3-5=125-5=120\). Hence, the correct answer is 120. The value 125 is only \(5^3\); the subtraction of 5 must also be included. Exam tip: while finding an nth term, substitute the value of n in every part of the formula.
\(n=1,2,3,4\) रखने पर \(a_n=(n+1)^3-n\) से क्रमशः \(7,25,61,121\) प्राप्त होते हैं। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में पहला पद \(7\) आता है, लेकिन \(n=2\) पर पद \(14\) होगा, \(25\) नहीं। परीक्षा में सामान्य पद की जाँच के लिए कम-से-कम पहले तीन पद अवश्य मिलाइए। / Substituting \(n=1,2,3,4\) into \(a_n=(n+1)^3-n\) gives \(7,25,61,121\), respectively. Therefore, option A is correct. Option B gives the first term as \(7\), but for \(n=2\) it gives \(14\), not \(25\). Exam tip: verify a proposed general term using at least the first three terms.
सही नियम \(a_n=2n^3+n^2+n\) है। इसमें \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(4,22,66,148\) प्राप्त होते हैं। निकटतम भ्रामक विकल्प \(4n^2\) में \(n=1\) पर 4 मिलता है, लेकिन \(n=2\) पर 16 मिलता है, 22 नहीं। परीक्षा टिप: सामान्य पद को कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए रखकर अवश्य जाँचें। / The correct rule is \(a_n=2n^3+n^2+n\). Substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(4,22,66,148\), respectively. The closest distractor, \(4n^2\), gives 4 when \(n=1\), but it gives 16 rather than 22 when \(n=2\). Exam tip: verify a proposed general term using at least the first three terms.
\(a_n=n^3+3n^2-2\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(2,18,52,110\) प्राप्त होते हैं। इसलिए यह सही सामान्य पद है। निकटतम विकल्प \(2n^3\) में पहला पद 2 तो मिलता है, पर \(n=2\) पर 16 मिलता है, 18 नहीं। परीक्षा में सामान्य पद को कम-से-कम पहले दो या तीन पदों के लिए जाँचें। / For \(a_n=n^3+3n^2-2\), substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(2,18,52,110\), respectively. Hence, it is the correct general term. The close distractor \(2n^3\) gives the first term as 2, but gives 16 rather than 18 when \(n=2\). In an exam, verify a proposed general term using at least the first two or three terms.
\(n=1,2,3,4\) रखने पर \(a_n=2n^3-n\) से क्रमशः \(1,14,51,124\) प्राप्त होते हैं। इसलिए विकल्प B सही है। निकट विकल्प \(n^3+1\) में \(n=2\) रखने पर 9 मिलता है, जबकि दूसरा पद 14 है। परीक्षा में स्पष्ट नियम जाँचने के लिए कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए \(n\) के मान रखें। / Substituting \(n=1,2,3,4\) into \(a_n=2n^3-n\) gives \(1,14,51,124\), respectively. Hence, option B is correct. The close distractor \(n^3+1\) gives 9 when \(n=2\), not the required second term 14. Exam tip: test an explicit rule using at least the first three values of \(n\).
\(a_n=3n^3-n\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(2,22,78,188\) प्राप्त होते हैं, इसलिए यह सही सामान्य पद है। निकटतम भ्रामक विकल्प \(2n^3\) से पहला पद 2 तो मिलता है, लेकिन \(n=2\) पर 16 मिलता है, 22 नहीं। परीक्षा टिप: सामान्य पद वाले प्रश्न में कम-से-कम पहले दो या तीन पद रखकर विकल्प जाँचें। / For \(a_n=3n^3-n\), substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(2,22,78,188\), respectively, so it is the correct general term. The close distractor \(2n^3\) gives the first term as 2, but for \(n=2\) it gives 16, not 22. Exam tip: test at least the first two or three values of \(n\) when checking a proposed general term.
\(n=1,2,3,4\) रखने पर \(a_n=n^3+2\) से क्रमशः \(3,10,29,66\) प्राप्त होते हैं। इसलिए सही सामान्य पद \(a_n=n^3+2\) है। \(a_n=n^2+2\) में तीसरा पद \(11\) आता है, \(29\) नहीं। परीक्षा टिप: सामान्य पद की जाँच के लिए कम-से-कम पहले तीन पद रखकर मिलान करें। / Substituting \(n=1,2,3,4\) into \(a_n=n^3+2\) gives \(3,10,29,66\), respectively. Hence, the correct general term is \(a_n=n^3+2\). In contrast, \(a_n=n^2+2\) gives \(11\) as the third term, not \(29\). Exam tip: verify a proposed general term by checking at least the first three terms.
दिया है \(a_n=n^3+2\)। \(a_n=66\) रखने पर \(n^3+2=66\), अतः \(n^3=64\)। क्योंकि \(4^3=64\), इसलिए \(n=4\) और \(a_4=66\)। \(n=3\) निकटतम भ्रामक विकल्प हो सकता है, पर \(3^3+2=29\), 66 नहीं। परीक्षा टिप: पहले स्थिर संख्या घटाइए, फिर प्राप्त संख्या का घनमूल पहचानिए। / Given \(a_n=n^3+2\), set \(a_n=66\): \(n^3+2=66\), so \(n^3=64\). Since \(4^3=64\), \(n=4\) and hence \(a_4=66\). The close distractor \(n=3\) gives \(3^3+2=29\), not 66. Exam tip: subtract the constant first, then identify the cube root.
सही विकल्प \(a_n=2n^3+n\) है। जाँच करें: \(n=1\) पर \(a_1=2(1)^3+1=3\), \(n=2\) पर \(a_2=2(2)^3+2=18\), और \(n=3\) पर \(a_3=2(3)^3+3=57\) मिलता है। इसलिए यह नियम दिए गए पदों से मेल खाता है। विकल्प \(3n^2\) में दूसरा पद 12 आता है, 18 नहीं। परीक्षा टिप: सामान्य पद वाले प्रश्न में कम-से-कम पहले दो या तीन मान रखकर विकल्प जाँचें। / The correct rule is \(a_n=2n^3+n\). Checking it: for \(n=1\), \(a_1=2(1)^3+1=3\); for \(n=2\), \(a_2=2(2)^3+2=18\); and for \(n=3\), \(a_3=2(3)^3+3=57\). Thus, it matches the given sequence. In contrast, \(3n^2\) gives 12 as the second term, not 18. Exam tip: substitute at least the first two or three values of \(n\) to verify a proposed general term.
यदि \(a_n=n^3-1\) हो, तो \(a_1=1^3-1=0\), \(a_2=2^3-1=7\), \(a_3=3^3-1=26\) और \(a_4=4^3-1=63\) प्राप्त होते हैं। इसलिए सही सामान्य पद \(a_n=n^3-1\) है। विकल्प \(a_n=n^2-1\) में तीसरा पद \(8\) आता है, जो \(26\) नहीं है। परीक्षा टिप: सामान्य पद को कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए रखकर जाँचें। / For \(a_n=n^3-1\), we get \(a_1=1^3-1=0\), \(a_2=2^3-1=7\), \(a_3=3^3-1=26\), and \(a_4=4^3-1=63\). Hence, the correct general term is \(a_n=n^3-1\). The nearby distractor \(a_n=n^2-1\) gives \(8\) as its third term, not \(26\). Exam tip: substitute at least the first three values of \(n\) to verify a proposed general term.
\(n=1,2,3,4\) रखने पर \(a_n=n^3+n\) से क्रमशः \(2,10,30,68\) प्राप्त होते हैं। अतः सही सामान्य पद \(a_n=n^3+n\) है। निकटतम भ्रामक विकल्प \(a_n=n^3+1\) में पहला पद 2 आता है, लेकिन \(n=2\) पर वह 9 देता है, 10 नहीं। परीक्षा सुझाव: सामान्य पद को कम-से-कम पहले दो या तीन पदों के लिए जाँचें। / Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=n^3+n\) gives \(2,10,30,68\), respectively. Therefore, the correct general term is \(a_n=n^3+n\). The close distractor \(a_n=n^3+1\) gives the first term as 2, but for \(n=2\) it gives 9, not 10. Exam tip: verify a proposed general term using at least the first two or three terms.
यहाँ पदों की गणना \(n=1\) से करने पर \(a_n=n^3-1\) मिलता है: \(1^3-1=0\), \(2^3-1=7\), \(3^3-1=26\) और \(4^3-1=63\)। इसलिए विकल्प B सही है। निकटतम विकल्प \(n^2-1\) का दूसरा पद \(3\) होगा, जबकि दिए गए अनुक्रम का दूसरा पद \(7\) है। परीक्षा टिप: सामान्य पद को कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए रखकर जाँचें। / Taking the term number from \(n=1\), the rule \(a_n=n^3-1\) gives \(1^3-1=0\), \(2^3-1=7\), \(3^3-1=26\), and \(4^3-1=63\). Hence, option B is correct. The close distractor \(n^2-1\) gives \(3\) as its second term, not \(7\). Exam tip: substitute at least the first three values of \(n\) to verify a general term.
दिया है \(a_n=2n^3-n\)। अतः \(a_6=2(6)^3-6=432-6=426\) और \(a_4=2(4)^3-4=128-4=124\)। इसलिए \(a_6-a_4=426-124=302\)। विकल्प 304 प्राप्त करने में घटाव या घन की गणना में त्रुटि हो सकती है। परीक्षा में पहले प्रत्येक पद का मान अलग-अलग निकालकर फिर अंतर ज्ञात करें। / Given \(a_n=2n^3-n\), \(a_6=2(6)^3-6=432-6=426\) and \(a_4=2(4)^3-4=128-4=124\). Therefore, \(a_6-a_4=426-124=302\). The value 304 may result from an error in subtraction or in evaluating a cube. In an exam, calculate each term separately before finding their difference.
दिया है कि a_n=2n-3+1। अतः a_5=2\(5^3\)+1=2(125)+1=251 तथा a_6=2\(6^3\)+1=2(216)+1=433। इसलिए a_5+a_6=251+433=684। विकल्प 680 जैसा उत्तर घन या जोड़ की गणना में त्रुटि से आ सकता है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक पद अलग-अलग निकालें, फिर उनका योग करें। / Given a_n=2n-3+1, a_5=2\(5^3\)+1=2(125)+1=251 and a_6=2\(6^3\)+1=2(216)+1=433. Therefore, a_5+a_6=251+433=684. An answer such as 680 can result from an error while evaluating a cube or adding the terms. Exam tip: calculate each required term separately before adding them.
दिया है कि \(a_n=n^3-2n\)। \(n=5\) रखने पर \(a_5=5^3-2(5)=125-10=115\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 115 है। 120 तब मिलता यदि \(2n\) को सही प्रकार से घटाया न जाए। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले घात निकालें, फिर गुणा और घटाव करें। / Given \(a_n=n^3-2n\), substitute \(n=5\): \(a_5=5^3-2(5)=125-10=115\). Therefore, 115 is correct. A value such as 120 can result from not subtracting \(2n\) correctly. Exam tip: evaluate powers first, then multiplication, and finally subtraction.
दिया है कि \(a_n=n^3+n\)। \(a_4\) ज्ञात करने के लिए \(n=4\) रखें: \(a_4=4^3+4=64+4=68\)। इसलिए सही उत्तर 68 है। 64 केवल \(4^3\) का मान है; उसमें \(+4\) जोड़ना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले दिए गए सूत्र में सूचकांक का मान रखें, फिर गणना करें। / Given \(a_n=n^3+n\), substitute \(n=4\) to find the fourth term: \(a_4=4^3+4=64+4=68\). Therefore, 68 is correct. The value 64 is only \(4^3\); the additional \(+4\) must also be included. Exam tip: To find a particular term, substitute its index into the given formula before simplifying.
