दिया है कि \(a_n=10n+q\)। अतः \(a_{7n}=70n+q\) तथा \(a_{3n}=30n+q\)। इसलिए \(a_{7n}-a_{3n}=(70n+q)-(30n+q)=40n\)। अब \(40n=520\), इसलिए \(n=13\)। यहाँ \(q\) दोनों पदों में समान होने के कारण घटाने पर कट जाता है। परीक्षा टिप: सूचकांक में \(7n\) या \(3n\) हो तो उसे पद के सूत्र में \(n\) के स्थान पर सीधे रखें। / Given \(a_n=10n+q\), we get \(a_{7n}=70n+q\) and \(a_{3n}=30n+q\). Hence, \(a_{7n}-a_{3n}=(70n+q)-(30n+q)=40n\). Therefore, \(40n=520\), so \(n=13\). The constant \(q\) cancels because it occurs in both terms. Exam tip: for terms such as \(a_{7n}\) and \(a_{3n}\), directly substitute \(7n\) and \(3n\) respectively in the term formula.
दिया है कि \(a_n=8n+q\)। अतः \(a_{6n}=8(6n)+q=48n+q\) और \(a_{2n}=8(2n)+q=16n+q\)। इसलिए \(a_{6n}-a_{2n}=32n\)। अब \(32n=384\) से \(n=12\) मिलता है। \(q\) दोनों पदों में होने के कारण घटाने पर कट जाता है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दिए गए सूत्र में सूचकांक का मान सही ढंग से प्रतिस्थापित करें। / Given \(a_n=8n+q\), we get \(a_{6n}=8(6n)+q=48n+q\) and \(a_{2n}=8(2n)+q=16n+q\). Hence, \(a_{6n}-a_{2n}=32n\). Therefore, \(32n=384\) gives \(n=12\). The constant \(q\) cancels when the two terms are subtracted. Exam tip: substitute the index carefully into the given term formula before simplifying.
दिया है \(a_n=6n+q\)। अतः \(a_{5n}=6(5n)+q=30n+q\)। इसलिए \(a_{5n}-a_n=(30n+q)-(6n+q)=24n\)। अब \(24n=216\), इसलिए \(n=216/24=9\)। अतः सही विकल्प \(9\) है। यहाँ \(q\) दोनों पदों में होने के कारण कट जाता है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले \(a_{5n}\) लिखकर फिर अंतर निकालें। / Given \(a_n=6n+q\), we get \(a_{5n}=6(5n)+q=30n+q\). Hence, \(a_{5n}-a_n=(30n+q)-(6n+q)=24n\). Now \(24n=216\), so \(n=216/24=9\). Therefore, the correct option is \(9\). The term \(q\) cancels because it occurs in both terms. Exam tip: In such questions, first write \(a_{5n}\) explicitly and then subtract \(a_n\).
इस समान्तर श्रेणी में प्रथम पद 29 और सार्वांतर 12 है। अतः इसका nवाँ पद \(a_n=29+12(n-1)\) होगा। 800 से छोटा पद पाने के लिए \(29+12(n-1)<800\) रखने पर \(n-1<64.25\) मिलता है। इसलिए अधिकतम पूर्णांक मान \(n-1=64\) है और पद \(29+12\times64=797\) होगा। 809 अगला पद है, लेकिन वह 800 से बड़ा है। परीक्षा टिप: किसी सीमा से छोटा सबसे बड़ा AP पद ज्ञात करते समय असमानता हल करके n का सबसे बड़ा पूर्णांक मान लें। / Here, the first term is 29 and the common difference is 12. Therefore, the nth term is \(a_n=29+12(n-1)\). For a term less than 800, \(29+12(n-1)<800\), which gives \(n-1<64.25\). Thus, the greatest possible integer value is \(n-1=64\), and the term is \(29+12\times64=797\). The next term, 809, is greater than 800. Exam tip: To find the greatest AP term below a limit, solve the inequality and take the greatest valid integer value of n.
यहाँ प्रथम पद \(a=-25\) और सार्वांतर \(d=11\) है। अतः \(n\)वाँ पद \(a_n=-25+11(n-1)=11n-36\) होगा। \(a_n>200\) के लिए \(11n-36>200\), अर्थात \(n>21.45\)। इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक \(n=22\) है और \(a_{22}=206\)। \(195\) पिछले पद \(a_{21}\) का मान है, इसलिए वह 200 से बड़ा नहीं है। परीक्षा टिप: ‘पहला पद’ पूछे जाने पर असमानता से प्राप्त मान से बड़ा सबसे छोटा पूर्णांक लें। / Here, the first term is \(a=-25\) and the common difference is \(d=11\). Thus, \(a_n=-25+11(n-1)=11n-36\). For \(a_n>200\), \(11n-36>200\), so \(n>21.45\). The smallest integer value is \(n=22\), giving \(a_{22}=206\). The value \(195\) is the preceding term, \(a_{21}\), so it is not greater than 200. Exam tip: For a “first term greater than” question, take the smallest integer satisfying the inequality.
इस AP में प्रथम पद 11 और सार्वांतर 8 है। इसलिए \(a_n=11+8(n-1)=8n+3\)। \(8n+3>300\) से \(n>37.125\) मिलता है, अतः सबसे छोटा पूर्णांक \(n=38\) है। इसलिए \(a_{38}=307\) पहला पद है जो 300 से बड़ा है। \(299\) निकटतम पिछला पद है, लेकिन वह 300 से बड़ा नहीं है। परीक्षा टिप: “से बड़ा” के लिए असमानता में प्राप्त मान से अगला उपयुक्त पूर्णांक लें। / Here, the first term is 11 and the common difference is 8. Thus, \(a_n=11+8(n-1)=8n+3\). From \(8n+3>300\), we get \(n>37.125\), so the smallest possible integer is \(n=38\). Hence, \(a_{38}=307\) is the first term greater than 300. Although 299 is the nearest preceding term, it is not greater than 300. Exam tip: for “greater than” conditions, take the next valid integer value of \(n\).
यहाँ प्रथम पद \(a=58\) और सार्वांतर \(d=-7\) है। इसलिए \(a_n=58+(n-1)(-7)=65-7n\)। \(a_n<-60\) के लिए \(65-7n<-60\), अर्थात \(n>125/7\)। इसे संतुष्ट करने वाला सबसे छोटा पूर्णांक \(n=18\) है। अतः \(a_{18}=65-7(18)=-61\)। इससे ठीक पहले \(a_{17}=-54\) है, जो \(-60\) से छोटा नहीं है। \(-68\) भी \(-60\) से छोटा है, पर वह बाद का पद है। परीक्षा टिप: ‘पहला’ पद ज्ञात करने के लिए असमानता से मिलने वाले \(n\) से बड़ा सबसे छोटा पूर्णांक लें। / The first term is \(a=58\) and the common difference is \(d=-7\). Hence, \(a_n=58+(n-1)(-7)=65-7n\). For \(a_n<-60\), we need \(65-7n<-60\), so \(n>125/7\). The smallest integer satisfying this is \(n=18\). Therefore, \(a_{18}=65-7(18)=-61\). The previous term is \(a_{17}=-54\), which is not less than \(-60\). Although \(-68\) is also less than \(-60\), it occurs later in the AP. Exam tip: when asked for the first term meeting an inequality, use the smallest integer \(n\) that satisfies it.
दिया है \(a_n=4n+q\)। अतः \(a_{3n}=4(3n)+q=12n+q\)। इसलिए \(a_{3n}-a_n=(12n+q)-(4n+q)=8n\)। अब \(8n=96\) से \(n=12\) प्राप्त होता है। \(q\) दोनों पदों में होने के कारण घटाने पर कट जाता है; इसलिए यह \(n\) के मान को प्रभावित नहीं करता। परीक्षा टिप: पहले \(a_{3n}\) में \(n\) के स्थान पर \(3n\) रखें, फिर दोनों पदों का अंतर लें। / Given \(a_n=4n+q\), we get \(a_{3n}=4(3n)+q=12n+q\). Hence, \(a_{3n}-a_n=(12n+q)-(4n+q)=8n\). Since \(8n=96\), \(n=12\). The constant \(q\) cancels when the two terms are subtracted, so it does not affect the value of \(n\). Exam tip: Substitute \(3n\) for \(n\) carefully before finding the difference.
इस समान्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=2\) और सार्वांतर \(d=7\) है। अतः \(n\)वाँ पद \(a_n=2+7(n-1)=7n-5\) होगा। \(7n-5>200\) से \(n>\frac{205}{7}\) प्राप्त होता है, इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक \(n=30\) है। \(a_{30}=205\), अतः 200 से बड़ा पहला पद 205 है। 198 निकटतम पिछला पद है, लेकिन वह 200 से बड़ा नहीं है। परीक्षा टिप: “पहला पद जो बड़ा हो” के लिए असमानता हल करके \(n\) का सबसे छोटा पूर्णांक मान लें। / Here, the first term is \(a=2\) and the common difference is \(d=7\). Thus, the \(n\)th term is \(a_n=2+7(n-1)=7n-5\). From \(7n-5>200\), we get \(n>\frac{205}{7}\), so the smallest integer value is \(n=30\). Therefore, \(a_{30}=205\), making 205 the first term greater than 200. Although 198 is the nearest preceding term, it is not greater than 200. Exam tip: for the first term greater than a given number, solve the inequality and take the smallest valid integer value of \(n\).
यहाँ प्रथम पद \(a=41\) और सार्वांतर \(d=35-41=-6\) है। अतः \(n\)वाँ पद \(a_n=41+(n-1)(-6)=47-6n\) होगा। \(47-6n<-50\) से \(n>97/6\) मिलता है, इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक \(n=17\) है। \(a_{17}=47-6(17)=-55\), अतः सही उत्तर \((-55)\) है। \((-49)\) 16वाँ पद है, लेकिन वह \((-50)\) से छोटा नहीं है। परीक्षा टिप: ‘पहला’ पद पाने के लिए असमता हल करने के बाद उससे बड़ा सबसे छोटा पूर्णांक लें। / Here, the first term is \(a=41\) and the common difference is \(d=35-41=-6\). Therefore, \(a_n=41+(n-1)(-6)=47-6n\). From \(47-6n<-50\), we get \(n>97/6\), so the least possible integer value is \(n=17\). Thus, \(a_{17}=47-6(17)=-55\), making \((-55)\) the correct answer. \((-49)\) is the 16th term, but it is not less than \((-50)\). Exam tip: after solving an inequality for the first required term, choose the least integer greater than the obtained value.
इस अनुक्रम का दूसरा पद 10 और तीसरा पद 14 है। इसलिए दोनों पदों का अंतर 14 − 10 = 4 है। यह समान अंतर वाली अंकगणितीय प्रगति है, जिसमें प्रत्येक क्रमागत पद का अंतर समान रहता है। परीक्षा-युक्ति: दो क्रमागत पदों का अंतर निकालने के लिए बाद वाले पद में पहले वाले पद को घटाएँ। / The second term is 10 and the third term is 14. Therefore, their difference is 14 − 10 = 4. This is an arithmetic progression, so the difference between consecutive terms is constant. Exam tip: subtract the earlier term from the later term when finding the difference between consecutive terms.
