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यह एक समांतर श्रेणी है, क्योंकि प्रत्येक अगले पद में 6 जोड़ा जा रहा है। यहाँ पहला पद \(a=8\), समान अंतर \(d=6\) और \(n=16\) है। इसलिए \(a_n=a+(n-1)d=8+(16-1)\times6=8+90=98\)। अतः सही उत्तर 98 है। 96 लेने पर \(n-1\) के स्थान पर 14 का प्रयोग हो जाता है, जो 16वाँ पद नहीं देता। परीक्षा टिप: समांतर श्रेणी के \(n\)वें पद के लिए हमेशा \(a+(n-1)d\) लिखें। / This is an arithmetic sequence because 6 is added to each term. Here, the first term is \(a=8\), the common difference is \(d=6\), and \(n=16\). Thus, \(a_n=a+(n-1)d=8+(16-1)\times6=8+90=98\). Therefore, 98 is correct. Choosing 96 results from using 14 steps instead of the required 15 steps from the first term to the 16th term. Exam tip: for the \(n\)th term of an arithmetic sequence, use \(a+(n-1)d\).
यह एक समांतर क्रम है, क्योंकि प्रत्येक अगला पद पिछले पद से 12 कम है। अतः पहला पद \(a=160\), सार्वांतर \(d=-12\) और \(n=11\) है। \(a_{11}=a+(11-1)d=160+10(-12)=40\)। विकल्प 48 लेने पर केवल 9 बार 12 घटेगा, इसलिए वह 10वाँ पद है। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद निकालते समय \(n-1\) अंतरालों का उपयोग करें। / This is an arithmetic sequence because each successive term is 12 less than the previous one. Here, \(a=160\), \(d=-12\), and \(n=11\). Thus, \(a_{11}=a+(11-1)d=160+10(-12)=40\). The value 48 is the 10th term, since it is obtained after subtracting 12 only 9 times. Exam tip: use \(n-1\) common differences to find the \(n\)th term.
सातवाँ पद ज्ञात करने के लिए नियम में n=7 रखें: (a_7=4(7)2-3(7)=4×49-21=196-21=175)। इसलिए सही उत्तर 175 है। 196 केवल 4×49 का मान है; उसमें से 3×7 घटाना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: घात वाले पद का मान पहले निकालें, फिर गुणा और घटाव करें। / To find the seventh term, substitute n=7 in the rule: (a_7=4(7)2-3(7)=4×49-21=196-21=175). Hence, the correct answer is 175. The value 196 is only 4×49; subtracting 3×7 is also necessary. Exam tip: evaluate the power first, then multiply and subtract.
दिया है कि \(a_n=n^3-2n\)। \(n=5\) रखने पर \(a_5=5^3-2(5)=125-10=115\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 115 है। 120 तब मिलता यदि \(2n\) को सही प्रकार से घटाया न जाए। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले घात निकालें, फिर गुणा और घटाव करें। / Given \(a_n=n^3-2n\), substitute \(n=5\): \(a_5=5^3-2(5)=125-10=115\). Therefore, 115 is correct. A value such as 120 can result from not subtracting \(2n\) correctly. Exam tip: evaluate powers first, then multiplication, and finally subtraction.
इस क्रम में प्रत्येक पद पिछले पद से 9 अधिक है: 9, 18, 27, 36, 45। अतः 27 के बाद का पद \(27+9=36\) होगा। 34 या 38 लेने पर क्रम में 9 का समान अंतर नहीं रहेगा। परीक्षा टिप: क्रम के लगातार पदों का अंतर निकालकर पैटर्न जाँचें। / Each term in the sequence is 9 greater than the previous term: 9, 18, 27, 36, 45. Therefore, the term after 27 is \(27+9=36\). Choosing 34 or 38 would not maintain the common difference of 9. Exam tip: Find the difference between consecutive terms to identify the pattern.
क्रम के ज्ञात पदों में अंतर देखें: \(152-138=14\) और \(138-124=14\), अर्थात प्रत्येक अगला पद 14 कम है। इसलिए \(180-14=166\), अतः खाली स्थान में 166 आएगा। 164 लेने पर अगला अंतर 12 हो जाएगा, इसलिए वह समान क्रम नहीं बनाता। परीक्षा टिप: रिक्त पद वाले क्रम में पहले लगातार दिए गए पदों का अंतर जाँचें। / Check the differences between the given terms: \(152-138=14\) and \(138-124=14\). Thus, each successive term is 14 less than the previous term. Therefore, \(180-14=166\), so the blank is 166. If 164 were chosen, the next difference would be 12, so it would not maintain the pattern. Exam tip: In a missing-term sequence, first check the differences between consecutive given terms.
अंतर (7,10,13,16) हैं और वे (3) से बढ़ रहे हैं। अगला अंतर (19) होगा इसलिए (51+19=70)। / The differences are (7,10,13,16), increasing by (3). The next difference is (19), so (51+19=70).
क्रम में क्रमशः घटाए गए मान \(5, 10, 15, 20\) हैं। ये प्रत्येक बार \(5\) से बढ़ रहे हैं, इसलिए अगला घटाव \(25\) होगा। अतः अगला पद \(200-25=175\) है। \(170\) तब मिलता यदि अगला घटाव \(30\) होता, जो इस पैटर्न के अनुसार नहीं है। परीक्षा टिप: अगले पद के प्रश्नों में पहले लगातार पदों का अंतर जाँचें। / The amounts subtracted are \(5, 10, 15, 20\). Each subtraction increases by \(5\), so the next subtraction is \(25\). Therefore, the next term is \(200-25=175\). \(170\) would result from subtracting \(30\), which does not follow the pattern. Exam tip: For next-term questions, first check the differences between consecutive terms.
यह एक गुणोत्तर क्रम है, जिसमें प्रत्येक पद पिछले पद का 4 गुना है। दिए गए पदों के बाद 5वाँ पद 384 × 4 = 1536 होगा और 6वाँ पद 1536 × 4 = 6144 होगा। इसलिए सही उत्तर 6144 है। 1536 निकटतम भ्रामक विकल्प है, पर वह 5वाँ पद है। परीक्षा टिप: क्रम में समान गुणन गुणक पहचानकर अगले पद जल्दी ज्ञात किए जा सकते हैं। / This is a geometric sequence in which each term is 4 times the preceding term. After the given terms, the 5th term is 384 × 4 = 1536, and the 6th term is 1536 × 4 = 6144. Therefore, 6144 is correct. The closest distractor, 1536, is the 5th term, not the 6th. Exam tip: identify the common multiplier to find subsequent terms quickly.
यह एक गुणोत्तर क्रम है, जिसमें प्रत्येक पद पिछले पद का \(\frac{1}{3}\) है: \(729\div3=243\), \(243\div3=81\), और \(81\div3=27\)। इसलिए अगला पद \(27\div3=9\) होगा। 6 या 12 प्राप्त करने के लिए यह समान भाग का नियम लागू नहीं होता। परीक्षा टिप: क्रम में लगातार पदों का अनुपात जाँचकर नियम पहचानें। / This is a geometric sequence in which each term is one-third of the preceding term: \(729\div3=243\), \(243\div3=81\), and \(81\div3=27\). Therefore, the next term is \(27\div3=9\). Neither 6 nor 12 follows the same division rule. Exam tip: Compare consecutive terms to identify the pattern or common ratio.
दिए गए पद क्रमशः पूर्ण वर्ग हैं: \(16=4^2, 25=5^2, 36=6^2, 49=7^2\) और \(64=8^2\)। अतः क्रम का \(n\)वाँ पद \((n+3)^2\) है। इसलिए \(8\)वाँ पद \((8+3)^2=11^2=121\) होगा। \(144=12^2\) अगला, अर्थात \(9\)वाँ पद है। परीक्षा टिप: ऐसे क्रम में प्रत्येक संख्या का वर्गमूल लेकर आधार संख्याओं का क्रम पहचानें। / The given terms are consecutive perfect squares: \(16=4^2, 25=5^2, 36=6^2, 49=7^2\), and \(64=8^2\). Hence, the \(n\)th term is \((n+3)^2\). Therefore, the \(8\)th term is \((8+3)^2=11^2=121\). Note that \(144=12^2\) is the next, or \(9\)th, term. Exam tip: For such sequences, take square roots of the terms to identify the underlying number pattern.
दिए गए पद क्रमशः \(4^3, 5^3, 6^3, 7^3, \ldots\) हैं। इसलिए पाँचवाँ पद \(8^3=512\) और छठा पद \(9^3=729\) होगा। अतः सही उत्तर 729 है। परीक्षा में ऐसे क्रमों में पहले आधार संख्याओं का क्रम पहचानें, फिर घात लागू करें। / The terms are \(4^3, 5^3, 6^3, 7^3, \ldots\), respectively. Hence, the fifth term is \(8^3=512\), while the sixth term is \(9^3=729\). Therefore, 729 is correct. In exams, first identify the sequence of base numbers and then apply the exponent.
विकल्प A में क्रमागत पदों का अंतर \(7-3=11-7=15-11=4\) है, इसलिए यह AP है। अनुपात समान नहीं है, अतः GP नहीं। परीक्षा में पहले अंतर जाँचें, फिर अनुपात। / In option A, consecutive differences are \(7-3=11-7=15-11=4\), so it is an AP. Its ratios are not constant, hence it is not a GP. Exam tip: check differences before ratios.
नियम के अनुसार प्रत्येक नया पद अपने ठीक पहले के दो पदों का योग है: 14 = 4 + 10, 24 = 10 + 14 और 38 = 14 + 24। इसलिए अगला पद 24 + 38 = 62 होगा। 60 जैसे विकल्प में पिछले दो पदों का योग नहीं मिलता। परीक्षा टिप: ऐसे क्रम में अंतिम दो दिए गए पदों को जोड़कर अगला पद जाँचें। / By the given rule, each new term is the sum of the two terms immediately before it: 14 = 4 + 10, 24 = 10 + 14, and 38 = 14 + 24. Therefore, the next term is 24 + 38 = 62. An option such as 60 does not equal the sum of the previous two terms. Exam tip: for this type of sequence, add the last two given terms to find the next term.
यह एक गुणोत्तर क्रम है, जिसमें प्रत्येक पद को 3 से गुणा करने पर अगला पद मिलता है: 9, 27, 81, 243, 729। अतः 729 पाँचवाँ पद है। चौथा पद 243 है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पदों को क्रम से लिखकर गिनें या जाँचें कि हर बार समान गुणक लग रहा है। / This is a geometric sequence in which each term is obtained by multiplying the previous term by 3: 9, 27, 81, 243, 729. Therefore, 729 is the 5th term. The 4th term is 243, so it is not correct. Exam tip: List the terms in order and check for a common multiplier.
यह एक समांतर क्रम है, जिसमें पहला पद 15 और सार्वांतर 9 है। अतः nवाँ पद \(a_n=15+(n-1)\times 9\) होगा। \(15+(n-1)\times9=105\) रखने पर \(n-1=10\), इसलिए \(n=11\)। अतः 105, 11वाँ पद है। 10वाँ पद 96 होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए \(a_n=a+(n-1)d\) का प्रयोग करें। / This is an arithmetic sequence with first term 15 and common difference 9. Therefore, the nth term is \(a_n=15+(n-1)\times 9\). Putting \(a_n=105\), \(15+(n-1)\times9=105\), so \(n-1=10\) and \(n=11\). Hence, 105 is the 11th term. The 10th term is 96, so it is not correct. Exam tip: use \(a_n=a+(n-1)d\) to find the position of a term in an arithmetic sequence.
यह एक समानांतर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद 170 और सार्वांतर \,\(-12\) है। अतः \(a_n=170+(n-1)(-12)\)। \(a_n=74\) रखने पर \(170-12(n-1)=74\), इसलिए \(n-1=8\) और \(n=9\)। अतः 74, 9वाँ पद है। 8वाँ पद 86 होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए \(a_n=a+(n-1)d\) में दिए गए पद का मान रखें। / This is an arithmetic progression with first term 170 and common difference \(-12\). Therefore, \(a_n=170+(n-1)(-12)\). Setting \(a_n=74\) gives \(170-12(n-1)=74\), so \(n-1=8\) and \(n=9\). Hence, 74 is the 9th term. The 8th term is 86, so it is not correct. Exam tip: To find the position of a term, substitute its value in \(a_n=a+(n-1)d\).
क्रम के क्रमागत पदों का अंतर \(20-9=31-20=42-31=11\) है, इसलिए यह एक समानांतर श्रेणी है। इसका \(n\)वाँ पद \(a_n=a_1+(n-1)d=9+(n-1)\times11=11n-2\) होगा। विकल्प B में \(n=1\) रखने पर पहला पद 20 मिलता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: किसी रैखिक नियम को जाँचने के लिए पहले \(n=1\) और फिर \(n=2\) रखें। / The differences between consecutive terms are \(20-9=31-20=42-31=11\), so this is an arithmetic progression. Its nth term is \(a_n=a_1+(n-1)d=9+(n-1)\times11=11n-2\). In option B, putting \(n=1\) gives 20 as the first term, so it is incorrect. Exam tip: To check a linear rule quickly, substitute \(n=1\) and then \(n=2\).
यह एक समांतर क्रम है, क्योंकि प्रत्येक अगला पद 9 बढ़ रहा है। यहाँ पहला पद \(a_1=16\) और सार्वांतर \(d=9\) है। अतः \(a_n=a_1+(n-1)d=16+9(n-1)=9n+7\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(n=1\) रखने पर पहला पद 25 मिलता है, 16 नहीं। परीक्षा टिप: किसी भी \(a_n\) नियम में पहले \(n=1\) रखकर पहले पद की जाँच करें। / This is an arithmetic sequence because each successive term increases by 9. Here, \(a_1=16\) and \(d=9\). Therefore, \(a_n=a_1+(n-1)d=16+9(n-1)=9n+7\), so option A is correct. In option B, substituting \(n=1\) gives 25 as the first term, not 16. Exam tip: Check a proposed \(a_n\) rule by putting \(n=1\) to verify the first term.
नियम में क्रमशः \(n=1,2,3,4\) रखने पर \(a_1=8(1)-5=3\), \(a_2=11\), \(a_3=19\) और \(a_4=27\) मिलते हैं। अतः पहले चार पद \((3,11,19,27)\) हैं। विकल्प \((8,16,24,32)\) में केवल \(8n\) लिया गया है और \(-5\) घटाना भूल गए हैं। परीक्षा टिप: पहले पद के लिए हमेशा \(n=1\) रखें। / Substituting \(n=1,2,3,4\) in the rule gives \(a_1=8(1)-5=3\), \(a_2=11\), \(a_3=19\), and \(a_4=27\). Therefore, the first four terms are \((3,11,19,27)\). The option \((8,16,24,32)\) uses only \(8n\) and ignores the subtraction of 5. Exam tip: start with \(n=1\) to find the first term.
यहाँ n=6 रखें: a_6=3\(6^2\)+4(6)=3(36)+24=108+24=132। इसलिए सही उत्तर 132 है। 128 जैसे विकल्प वर्ग या गुणन की गणना में त्रुटि से मिल सकते हैं। परीक्षा टिप: पहले घात निकालें, फिर गुणा और अंत में जोड़ करें। / Substitute n=6: a_6=3\(6^2\)+4(6)=3(36)+24=108+24=132. Therefore, the correct answer is 132. An option such as 128 can result from an error in squaring or multiplication. Exam tip: evaluate powers first, then multiply, and finally add.
आठवाँ पद पाने के लिए नियम में n=8 रखें: \(a_8=140-9(8)=140-72=68\)। इसलिए सही उत्तर 68 है। 66, \(140-72\) का गलत घटाव करने पर मिल सकता है, जबकि 72 केवल \(9\times8\) का मान है, पद का मान नहीं। परीक्षा टिप: nवाँ पद निकालते समय पहले गुणा करें, फिर घटाव करें। / To find the eighth term, substitute n=8 in the rule: \(a_8=140-9(8)=140-72=68\). Hence, 68 is correct. 66 may result from an incorrect subtraction of \(140-72\), while 72 is only the value of \(9\times8\), not the term itself. Exam tip: for an nth-term rule, multiply first and then subtract.
दिया है \(a_n=7n^2\)। \(n=1,2,3,4\) रखने पर पद क्रमशः \(7\times1^2=7\), \(7\times2^2=28\), \(7\times3^2=63\) और \(7\times4^2=112\) मिलते हैं। इसलिए सही क्रम \(7, 28, 63, 112\) है। विकल्प A में पद \(7n\) के अनुसार हैं, \(7n^2\) के अनुसार नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले चार प्राकृतिक संख्याएँ रखकर पद जाँचें। / Given \(a_n=7n^2\), substitute \(n=1,2,3,4\). This gives \(7\times1^2=7\), \(7\times2^2=28\), \(7\times3^2=63\), and \(7\times4^2=112\). Hence, the sequence is \(7, 28, 63, 112\). Option A follows \(7n\), not \(7n^2\). Exam tip: For a rule-based sequence, substitute the first few natural-number values of \(n\).
यहाँ पहले चार पदों के लिए n=1,2,3,4 लेते हैं। इसलिए a_1=31+1=4, a_2=32+2=11, a_3=33+3=30 और a_4=34+4=85। अतः सही क्रम (4,11,30,85) है। विकल्प B में केवल 3 की घातें हैं; उसमें n जोड़ा नहीं गया है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद निकालते समय पहले 3^n ज्ञात करें, फिर उसमें n जोड़ें। / For the first four terms, take n=1,2,3,4. Thus, a_1=31+1=4, a_2=32+2=11, a_3=33+3=30, and a_4=34+4=85. Therefore, the correct sequence is (4,11,30,85). Option B contains only powers of 3 and does not add n. Exam tip: evaluate 3^n first and then add n for each term.
दोनों क्रमों का समान अंतर (7) है इसलिए पदों का अंतर हमेशा (4) रहेगा। (12)वें पदों में भी यही अंतर है। / Both sequences have common difference (7), so the term difference always remains (4). The (12)th terms also differ by (4).
दोनों क्रमों का अंतर (8) है और पहले पदों का अंतर (9) है। इसलिए (9)वें पदों का अंतर भी (9) होगा। / Both sequences have difference (8), and their first terms differ by (9). So their (9)th terms also differ by (9).
यह एक समान्तर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद \(a=8\), सार्वांतर \(d=8\) तथा पदों की संख्या \(n=9\) है। अतः \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) से \(S_9=\frac{9}{2}[16+8\times8]=\frac{9}{2}\times80=360\)। इसलिए सही उत्तर 360 है। 384 प्राप्त हो सकता है यदि पदों की संख्या या अंतिम पद गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: योग निकालने से पहले \(a\), \(d\) और \(n\) स्पष्ट रूप से लिखें। / This is an arithmetic progression with first term \(a=8\), common difference \(d=8\), and \(n=9\) terms. Using \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\), we get \(S_9=\frac{9}{2}[16+8\times8]=\frac{9}{2}\times80=360\). Hence, 360 is correct. The value 384 may result from using an incorrect number of terms or last term. Exam tip: identify \(a\), \(d\), and \(n\) before applying the sum formula.
क्रम के प्रत्येक अगले पद में 11 की कमी हो रही है। अतः पहले 6 पद हैं: 132, 121, 110, 99, 88 और 77। इनका योग 132 + 121 + 110 + 99 + 88 + 77 = 627 है। इसलिए सही विकल्प 627 है। 626 एक कम होने के कारण सही नहीं है। परीक्षा टिप: घटते क्रम में पहले सामान्य अंतर पहचानकर सभी आवश्यक पद लिखें, फिर योग करें। / Each successive term decreases by 11. Therefore, the first 6 terms are 132, 121, 110, 99, 88, and 77. Their sum is 132 + 121 + 110 + 99 + 88 + 77 = 627. Hence, 627 is the correct option. The value 626 is one less than the required sum. Exam tip: In a decreasing sequence, first identify the common difference, list the required terms, and then add them.
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें पहला पद 10 तथा सार्वांतर 8 है। अतः \(a_n=10+(n-1)\times8\)। \(a_n=90\) रखने पर \(10+8(n-1)=90\), इसलिए \(n-1=10\) और \(n=11\) मिलता है। इसलिए 90, 11वाँ पद है। 10वाँ पद \(82\) होता है, इसलिए वह निकट विकल्प सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए \(a_n=a+(n-1)d\) में दिया गया पद रखें। / This is an arithmetic progression with first term 10 and common difference 8. Hence, \(a_n=10+(n-1)\times8\). Putting \(a_n=90\), we get \(10+8(n-1)=90\), so \(n-1=10\) and \(n=11\). Therefore, 90 is the 11th term. The 10th term is \(82\), so the closest distractor is not correct. Exam tip: To find the position of a given term, substitute it in \(a_n=a+(n-1)d\).
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद 11 और सार्वांतर 6 है। अतः \(a_8=11+7\times6=53\) तथा \(a_9=11+8\times6=59\)। इसलिए \(a_8+a_9=53+59=112\), इसलिए विकल्प D सही है। 110 निकट का विकल्प है, पर वह सही योग नहीं है। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद निकालने के लिए \(a_n=a+(n-1)d\) का प्रयोग करें। / This is an arithmetic progression with first term 11 and common difference 6. Hence, \(a_8=11+7\times6=53\) and \(a_9=11+8\times6=59\). Therefore, \(a_8+a_9=53+59=112\), so option D is correct. Although 110 is close, it is not the correct sum. Exam tip: use \(a_n=a+(n-1)d\) to find the \(n\)th term.
क्रम B में \(2=1+1\), \(3=1+2\) और \(5=2+3\) है; अतः हर नया पद पिछले दो पदों का योग है। क्रम A में स्थिर अंतर 2 है, योग-नियम नहीं। परीक्षा टिप: लगातार तीन पदों में तीसरे को पहले दो के योग से मिलाएँ। / In sequence B, \(2=1+1\), \(3=1+2\), and \(5=2+3\), so every new term is the sum of the previous two. Sequence A has a constant difference of 2, not this sum rule. Exam tip: test the rule using any three consecutive terms.
क्रमागत अंतरों की जाँच करें: −7−(−11)=4 और −3−(−7)=4। समान अंतर होने से यह AP है। वर्गों वाले पदों का अंतर स्थिर नहीं होता। परीक्षा में पहले दो अंतर अवश्य मिलाएँ। / Check consecutive differences: −7−(−11)=4 and −3−(−7)=4. As the difference remains constant, this is an AP. Square numbers do not have a constant difference. Exam tip: compare at least two differences.
विकल्प C में क्रमागत पदों के अंतर \(3,6,12\) हैं, जो समान नहीं हैं; इसलिए यह AP नहीं है। यह हर बार 2 से गुणा होने वाला अनुक्रम है। परीक्षा में पहले दो अंतर अवश्य जाँचें। / In option C, the consecutive differences are \(3,6,12\), which are not equal, so it is not an AP. Its terms are multiplied by 2 each time. Exam tip: compare consecutive differences first.
A में \((7+(-1))/2=3\) और अंतर \(-4\) स्थिर है, इसलिए प्रत्येक मध्य पद पड़ोसी पदों का माध्य है। B में अंतर \(4\) और \(8\) बदलते हैं। परीक्षा टिप: लगातार अंतरों की तुलना करें। / In A, \((7+(-1))/2=3\) and the common difference is \(-4\), so every middle term is the mean of its neighbours. In B, differences \(4\) and \(8\) change. Exam tip: compare successive differences.
दिया गया पुनरावर्ती नियम है: पिछले पद को 3 से गुणा करके 2 जोड़ना। अतः 161 के बाद का पद \(3\times161+2=483+2=485\) होगा। 483 केवल 161 का तीन गुना है, उसमें 2 जोड़ना शेष है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में अंतिम दिए गए पद पर नियम को चरणबद्ध ढंग से लागू करें। / The recursive rule is to multiply the preceding term by 3 and then add 2. Therefore, the term after 161 is \(3\times161+2=483+2=485\). Option 483 is only three times 161; it misses the final addition of 2. Exam tip: apply each stated operation to the last given term in order.
नियम के अनुसार पिछले पद \(18.25\) को पहले \(2\) से भाग देते हैं और फिर \(1\) घटाते हैं: \(18.25\div 2-1=9.125-1=8.125\)। इसलिए अगला पद \(8.125\) है। \(9.125\) केवल भागफल है; उसमें से \(1\) घटाना अभी शेष है। परीक्षा टिप: ऐसे क्रम में दिए गए नियम के कार्यों का क्रम अवश्य बनाए रखें। / Using the rule, first divide the previous term \(18.25\) by \(2\), then subtract \(1\): \(18.25\div 2-1=9.125-1=8.125\). Therefore, the next term is \(8.125\). \(9.125\) is only the quotient before subtracting \(1\). Exam tip: In recursive sequences, follow the stated order of operations carefully.
क्रमागत पदों के अंतर क्रमशः \(8,16,24,32\) हैं। ये अंतर हर बार \(8\) से बढ़ रहे हैं, इसलिए अगला अंतर \(40\) होगा। अतः अगला पद \(90+40=130\) है। \(126\) चुनना गलत होगा, क्योंकि वह अगले अंतर को \(36\) मानने पर मिलेगा। परीक्षा टिप: ऐसे क्रमों में पहले पदों के अंतर लिखकर उनके पैटर्न की जाँच करें। / The successive differences are \(8,16,24,32\). Each difference increases by \(8\), so the next difference is \(40\). Therefore, the next term is \(90+40=130\). Choosing \(126\) would incorrectly use \(36\) as the next difference. Exam tip: for such sequences, first list consecutive differences and check their pattern.
क्रमागत पदों के अंतर हैं: 360 से 345 तक 15, फिर 30, 45 और 60 का घटाव। घटाई जाने वाली संख्याएँ प्रत्येक बार 15 बढ़ रही हैं, इसलिए अगला घटाव 75 होगा। अतः अगला पद \(210-75=135\) है। 150 तब मिलता यदि अगला घटाव 60 ही माना जाता, लेकिन घटाव का क्रम बढ़ रहा है। परीक्षा टिप: ऐसे क्रम में पहले लगातार दो पदों का अंतर लिखकर उसके पैटर्न को जाँचें। / The differences between consecutive terms are subtractions of 15, 30, 45, and 60. The amount subtracted increases by 15 each time, so the next subtraction is 75. Therefore, the next term is \(210-75=135\). Option 150 would result from subtracting 60 again, but the subtraction pattern is increasing. Exam tip: In such sequences, first write the differences between consecutive terms and look for their pattern.
यहाँ क्रमशः (2,3,4) से गुणा किया गया है। अगला गुणक (5) होगा इसलिए \(120\times5=600\)। / The terms are multiplied by (2,3,4) successively. The next multiplier is (5), so \(120\times5=600\).
पहले क्रम का तीसरा पद 252 और दूसरे क्रम का तीसरा पद 180 है। अतः अनुपात 252:180 होगा। दोनों पदों को 36 से भाग देने पर 252:180 = 7:5 प्राप्त होता है। 5:7 इसका उल्टा अनुपात है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: अनुपात लिखते समय प्रश्न में दिए गए क्रमों का क्रम न बदलें। / The third term of the first sequence is 252, and that of the second sequence is 180. Therefore, the required ratio is 252:180. Dividing both terms by 36 gives 252:180 = 7:5. The ratio 5:7 is the reverse order, so it is not correct. Exam tip: Keep the order of the sequences the same while writing a ratio.
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद 12 और सार्वांतर 9 है। पहले 5 पद 12, 21, 30, 39, 48 हैं और उनका योग 12+21+30+39+48=150 है। 4 पदों का योग केवल 102 होता है, इसलिए विकल्प 4 सही नहीं है। परीक्षा टिप: समांतर श्रेणी के लिए आवश्यकता होने पर सूत्र \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) का प्रयोग करें। / This is an arithmetic progression with first term 12 and common difference 9. Its first 5 terms are 12, 21, 30, 39, and 48, and their sum is 12+21+30+39+48=150. The sum of the first 4 terms is only 102, so 4 is not correct. Exam tip: when needed, use \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) for the sum of the first n terms of an AP.
इस क्रम में प्रत्येक अगला पद पिछले पद में 11 जोड़कर बनता है: 14, 25, 36, 47, 58, 69, 80, 91। इसलिए 91 से ठीक पहले वाला पद 80 है। 82 निकट लग सकता है, लेकिन वह इस क्रम का पद नहीं है। परीक्षा टिप: पहले क्रम का सामान्य अंतर पहचानें, फिर दिए गए पद से एक अंतर घटाएँ। / Each term in this sequence is obtained by adding 11 to the previous term: 14, 25, 36, 47, 58, 69, 80, 91. Therefore, the term immediately before 91 is 80. Although 82 may seem close, it is not a term of this sequence. Exam tip: identify the common difference first, then subtract it once from the given term.
इस क्रम में प्रत्येक अगला पद पिछले पद का आधा है: \(768, 384, 192, 96, 48, 24\)। इसलिए \(24\) के ठीक पहले वाला पद \(48\) है। \(36\) या \(54\) क्रम के आधा करने के नियम का पालन नहीं करते। परीक्षा टिप: दो क्रमागत पदों का अनुपात जाँचें; यहाँ अनुपात \(\frac{1}{2}\) है। / Each term in the sequence is half of the preceding term: \(768, 384, 192, 96, 48, 24\). Therefore, the term immediately before \(24\) is \(48\). Values such as \(36\) and \(54\) do not follow the halving rule. Exam tip: check the ratio of consecutive terms; here it is \(\frac{1}{2}\).
यह एक समान्तर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद \(a=19\) और सार्वांतर \(d=27-19=8\) है। अतः \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d=19+(n-1)\times8=8n+11\) होगा। विकल्प B में \(n=1\) रखने पर 27 मिलता है, इसलिए वह प्रथम पद के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी श्रेणी के \(n\)वें पद के लिए पहले \(a\) और \(d\) पहचानकर \(a+(n-1)d\) का प्रयोग करें। / This is an arithmetic progression with first term \(a=19\) and common difference \(d=27-19=8\). Therefore, \(a_n=a+(n-1)d=19+(n-1)\times8=8n+11\). In option B, substituting \(n=1\) gives 27, so it does not produce the first term. Exam tip: for the \(n\)th term of an AP, first identify \(a\) and \(d\), then use \(a+(n-1)d\).
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसका प्रथम पद \(a_1=156\) और सार्वांतर \(d=144-156=-12\) है। अतः \(a_n=a_1+(n-1)d=156-12(n-1)=168-12n\)। \(a_n=156-12n\) में \(n=1\) रखने पर 144 मिलता है, इसलिए वह प्रथम पद के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी भी \(n\)वें पद के नियम में पहले \(n=1\) रखकर जाँच करें। / This is an arithmetic progression with first term \(a_1=156\) and common difference \(d=144-156=-12\). Therefore, \(a_n=a_1+(n-1)d=156-12(n-1)=168-12n\). In \(a_n=156-12n\), putting \(n=1\) gives 144, so it cannot represent the first term. Exam tip: Test an nth-term rule by substituting \(n=1\).
दिया है कि प्रत्येक नया पद अपने पिछले दो पदों का योग है। अतः क्रम होगा: 9, 16, 25, 41, 66, 107। इसलिए छठा पद 107 है। 100 जैसा विकल्प गलत है क्योंकि पाँचवाँ पद 66 होने पर छठा पद 66 + 41 = 107 होगा। परीक्षा टिप: ऐसे पुनरावर्ती क्रम में पदों को क्रम से लिखकर उनकी स्थिति गिनें। / Each new term equals the sum of the two preceding terms. Thus the sequence is 9, 16, 25, 41, 66, 107. Therefore, the sixth term is 107. The option 100 is incorrect because after the fifth term is 66, the next term must be 66 + 41 = 107. Exam tip: Write recursive sequence terms in order and count their positions carefully.
यह एक गुणोत्तर क्रम है, जिसमें प्रत्येक पद को 5 से गुणा करने पर अगला पद मिलता है। अतः इसका nवाँ पद \(a_n=8\times5^{n-1}\) होगा। \(8\times5^{n-1}=5000\) से \(5^{n-1}=625=5^4\), इसलिए \(n-1=4\) और \(n=5\)। विकल्प 4 पर पद 1000 होता है, 5000 नहीं। परीक्षा टिप: पद का स्थान ज्ञात करने के लिए पहले समान अनुपात पहचानें और फिर nवें पद का सूत्र लगाएँ। / This is a geometric sequence in which each term is obtained by multiplying the previous term by 5. Therefore, its nth term is \(a_n=8\times5^{n-1}\). From \(8\times5^{n-1}=5000\), we get \(5^{n-1}=625=5^4\). Hence, \(n-1=4\) and \(n=5\). At position 4, the term is 1000, not 5000. Exam tip: First identify the common ratio, then use the nth-term formula to find the position.
(a_6=5\(6^2\)-4(6)+1=157) और (a_3=5\(3^2\)-4(3)+1=34) है। इसलिए अंतर (157-34=123) नहीं, विकल्पों में सही मान नहीं है। / (a_6=5\(6^2\)-4(6)+1=157) and (a_3=5\(3^2\)-4(3)+1=34). So the difference is (157-34=123), not listed in the options.
दिए गए नियम के अनुसार अंतिम पद 61 का दोगुना करके 1 जोड़ते हैं: \(2\times61+1=123\)। इसलिए अगला पद 123 है। ध्यान दें कि सूची के पहले पदों में यह नियम पूरी तरह नहीं बन रहा है, पर प्रश्न में दिया गया नियम लागू करने पर उत्तर 123 ही होगा। परीक्षा टिप: जब नियम स्पष्ट दिया हो, तो अगले पद के लिए उसे अंतिम दिए गए पद पर लागू करें। / Using the stated rule, double the last term 61 and add 1: \(2\times61+1=123\). Therefore, the next term is 123. Note that the earlier listed terms do not fully follow this rule, but applying the rule explicitly given in the question gives 123. Exam tip: When a rule is stated, apply it to the last given term to find the next term.
अंतर (11,15,19,23) हैं और वे (4) से बढ़ रहे हैं। अगला अंतर (27) होगा इसलिए (88+27=115)। / The differences are (11,15,19,23), increasing by (4). The next difference is (27), so (88+27=115).
