Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद 3 और सार्व अनुपात 5 है। क्रमशः पद हैं: 3, 15, 75, 375, 1875। अतः 1875 पाँचवाँ पद है। छठा पद 1875 × 5 = 9375 होगा, इसलिए छठा पद विकल्प सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए पदों को क्रम से लिखें या सूत्र \(a_n=ar^{n-1}\) का प्रयोग करें। / The first term of this GP is 3 and the common ratio is 5. Its terms are 3, 15, 75, 375, 1875. Therefore, 1875 is the fifth term. The sixth term would be 1875 × 5 = 9375, so the sixth-term option is not correct. Exam tip: To find a term’s position, list the terms in order or use \(a_n=ar^{n-1}\).
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=6\) और सार्व अनुपात \(r=\frac{12}{6}=2\) है। अतः \(n\)वाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) होगा। इसलिए \(a_7=6\times 2^{7-1}=6\times 64=384\)। विकल्प 192, \(6\times2^5\) के बराबर है, इसलिए वह छठा पद है। परीक्षा टिप: गुणोत्तर श्रेणी में घात हमेशा \(n-1\) होता है, \(n\) नहीं। / In this geometric progression, the first term is \(a=6\) and the common ratio is \(r=\frac{12}{6}=2\). The \(n\)th term is \(a_n=ar^{n-1}\). Hence, \(a_7=6\times2^{7-1}=6\times64=384\). Option 192 equals \(6\times2^5\), so it is the sixth term. Exam tip: in a GP, the exponent in the nth-term formula is \(n-1\), not \(n\).
इस गुणोत्तर श्रेणी का सार्व अनुपात \(r=\frac{48}{96}=\frac{1}{2}\) है। अतः छठा पद \(a_6=96\left(\frac{1}{2}\right)^5=3\) होगा। क्रम के पद \(96,48,24,12,6,3\) हैं, इसलिए सही विकल्प 3 है। विकल्प 6 पाँचवाँ पद है, छठा पद नहीं। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद निकालते समय \(a_n=a r^{n-1}\) में घात \(n-1\) रखें। / The common ratio of this GP is \(r=\frac{48}{96}=\frac{1}{2}\). Therefore, the sixth term is \(a_6=96\left(\frac{1}{2}\right)^5=3\). The terms are \(96,48,24,12,6,3\), so 3 is correct. Option 6 is the fifth term, not the sixth. Exam tip: In \(a_n=a r^{n-1}\), use the exponent \(n-1\).
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=2\) और सार्व अनुपात \(r=8/2=4\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_5=2\times4^{5-1}=2\times4^4=512\)। 256 में घात एक कम लेने की त्रुटि होती है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद में अनुपात की घात हमेशा \(n-1\) होती है। / In this geometric progression, the first term is \(a=2\) and the common ratio is \(r=8/2=4\). The \(n\)th term is \(a_n=a r^{n-1}\). Therefore, \(a_5=2\times4^{5-1}=2\times4^4=512\). Choosing 256 results from using one power too few. Exam tip: in the \(n\)th-term formula, the exponent of the common ratio is always \(n-1\).
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=3\) और सार्व अनुपात \(r=9/3=3\) है। सूत्र \(a_n=ar^{n-1}\) से \(a_5=3\times 3^{4}=243\)। 81 चौथा पद है, जबकि 729 छठा पद है। परीक्षा टिप: पद संख्या \(n\) के लिए घात हमेशा \(n-1\) होती है। / In this geometric progression, the first term is \(a=3\) and the common ratio is \(r=9/3=3\). Using \(a_n=ar^{n-1}\), \(a_5=3\times 3^{4}=243\). Here, 81 is the fourth term, while 729 is the sixth term. Exam tip: for the \(n\)th term, the exponent of the common ratio is always \(n-1\).
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=1\) और सार्व अनुपात \(r=4\) है। अतः \(n\)वाँ पद \(T_n=ar^{n-1}=4^{n-1}\) होगा। \(1024=4^5\), इसलिए \(n-1=5\), अर्थात \(n=6\)। इसलिए 1024 छठा पद है। 5वाँ पद \(4^4=256\) होता है। परीक्षा टिप: गुणोत्तर श्रेणी में पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए घात को \(n-1\) से मिलाइए। / In this GP, the first term is \(a=1\) and the common ratio is \(r=4\). Therefore, the \(n\)th term is \(T_n=ar^{n-1}=4^{n-1}\). Since \(1024=4^5\), we get \(n-1=5\), so \(n=6\). Hence, 1024 is the sixth term. The fifth term is \(4^4=256\), not 1024. Exam tip: In a GP, compare the exponent with \(n-1\) to find the term position.
इस गुणोत्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद \(a=3\) और सार्व अनुपात \(r=\frac{12}{3}=4\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) होता है। अतः \(a_5=3\times4^{5-1}=3\times4^4=768\)। 384 निकट का विकल्प है, लेकिन वह \(3\times4^3\) है, अर्थात चौथा पद। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद में घात हमेशा \(n-1\) होती है। / The first term is \(a=3\) and the common ratio is \(r=\frac{12}{3}=4\). The nth term of a GP is \(a_n=ar^{n-1}\). Therefore, \(a_5=3\times4^{5-1}=3\times4^4=768\). Option 384 is a close distractor, but it equals \(3\times4^3\), which is the fourth term. Exam tip: in the nth-term formula, the exponent is always \(n-1\).
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=2\) और सार्व अनुपात \(r=6/2=3\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) होता है। अतः \(a_6=2\times 3^{6-1}=2\times 3^5=486\)। 243, \(3^5\) है, लेकिन इसमें प्रथम पद 2 से गुणा नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: गुणोत्तर श्रेणी में घात \(n-1\) होती है, \(n\) नहीं। / In this geometric progression, the first term is \(a=2\) and the common ratio is \(r=6/2=3\). The \(n\)th term is \(a_n=ar^{n-1}\). Therefore, \(a_6=2\times 3^{6-1}=2\times 3^5=486\). Although 243 equals \(3^5\), it misses multiplication by the first term, 2. Exam tip: In a GP, the exponent is \(n-1\), not \(n\).
ज्यामितीय प्रगति में आठवाँ पद \(a_8=ar^7\) होता है। अतः \(1280=10r^7\), इसलिए \(r^7=128=2^7\)। चूँकि \(r\) धनात्मक है, इसलिए \(r=2\)। \(r=3\) लेने पर \(10\times3^7\), 1280 नहीं होगा। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद में \(r\) की घात हमेशा \(n-1\) होती है। / In a geometric progression, the eighth term is \(a_8=ar^7\). Thus, \(1280=10r^7\), so \(r^7=128=2^7\). Since \(r\) is positive, \(r=2\). If \(r=3\), then \(10\times3^7\) would not equal 1280. Exam tip: in the \(n\)th term, the exponent of \(r\) is always \(n-1\).
C. पद लगातार घटते जाते हैं/The terms keep decreasing
Explanation
Simple Explanation
धनात्मक प्रथम पद के लिए प्रत्येक अगला पद पिछले पद को 0 और 1 के बीच की संख्या से गुणा करके मिलता है। इसलिए अगला पद छोटा होता है और पद लगातार घटते हैं। परीक्षा टिप: 0<r<1 होने पर धनात्मक GP घटती है। / With a positive first term, each next term is obtained by multiplying the previous term by a number between 0 and 1. Hence every next term is smaller, so the GP decreases. Exam tip: for 0<r<1, a positive GP is decreasing.
ज्यामितीय प्रगति में nवाँ पद का सूत्र \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_8=9(-2)^{8-1}=9(-2)^7=9(-128)=-1152\)। इसलिए विकल्प A सही है। \(1152\) चिन्ह की गलती से मिल सकता है, क्योंकि \((-2)\) की विषम घात ऋणात्मक होती है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक सामान्य अनुपात में घात सम है या विषम, यह पहले जाँचें। / In a geometric progression, the nth term is given by \(a_n=a_1r^{n-1}\). Therefore, \(a_8=9(-2)^{8-1}=9(-2)^7=9(-128)=-1152\). Hence, option A is correct. \(1152\) results from a sign error, since an odd power of \((-2)\) is negative. Exam tip: When the common ratio is negative, first check whether the exponent is even or odd.
यहाँ प्रथम पद \(a=6\), सार्व अनुपात \(r=3\) और पदों की संख्या \(n=7\) है। गुणोत्तर श्रेणी के पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) होता है। अतः \(S_7=\frac{6(3^7-1)}{3-1}=\frac{6(2187-1)}{2}=6558\)। इसलिए विकल्प A सही है। \(6560\) जैसा निकट विकल्प सामान्यतः अंतिम गणना में गलती से मिल सकता है। परीक्षा टिप: सूत्र लगाने से पहले \(a\), \(r\) और \(n\) को अलग से लिखें। / Here, the first term is \(a=6\), the common ratio is \(r=3\), and the number of terms is \(n=7\). The sum of the first \(n\) terms of a GP is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\). Therefore, \(S_7=\frac{6(3^7-1)}{3-1}=\frac{6(2187-1)}{2}=6558\). Hence, option A is correct. A nearby value such as \(6560\) can result from an arithmetic error in the final calculation. Exam tip: write down \(a\), \(r\), and \(n\) separately before applying the formula.
गुणोत्तर श्रेणी में सातवाँ पद \(a_7=ar^6\) होता है। अतः \(384=6r^6\), इसलिए \(r^6=64=2^6\)। चूँकि \(r\) धनात्मक दिया है, इसलिए \(r=2\) होगा। \(r=-2\) भी \(r^6=64\) को संतुष्ट करता, पर वह दी गई शर्त के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के सूत्र \(a_n=ar^{n-1}\) में घात \(n-1\) होती है। / In a geometric progression, the seventh term is \(a_7=ar^6\). Thus, \(384=6r^6\), so \(r^6=64=2^6\). Since \(r\) is stated to be positive, \(r=2\). Although \(r=-2\) also satisfies \(r^6=64\), it violates the given condition. Exam tip: in \(a_n=ar^{n-1}\), the exponent of \(r\) is always \(n-1\).
गुणोत्तर श्रेणी में लगातार पदों का अनुपात समान होता है। विकल्प B में \(10/5=2\) और \(20/10=2\), लेकिन \(35/20=7/4\) है। अतः यह GP नहीं है। परीक्षा में हर लगातार अनुपात जाँचें। / In a GP, the ratio of every term to its preceding term must remain constant. In option B, \(10/5=2\) and \(20/10=2\), but \(35/20=7/4\). Hence it is not a GP. Exam tip: check all consecutive ratios.
गुणोत्तर श्रेणी का \(n\)वाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) होता है। अतः \(a_6=3r^5=96\), इसलिए \(r^5=32=2^5\)। चूँकि \(r\) धनात्मक है, \(r=2\) होगा। \(r=3\) लेने पर \(3\times3^5\), 96 के बराबर नहीं होता। परीक्षा टिप: छठे पद में घात \(6-1=5\) लगती है। / The \(n\)th term of a GP is \(a_n=ar^{n-1}\). Thus, \(a_6=3r^5=96\), so \(r^5=32=2^5\). Since \(r\) is positive, \(r=2\). If \(r=3\), then \(3\times3^5\) is not equal to 96. Exam tip: for the sixth term, the exponent of \(r\) is \(6-1=5\).
यहाँ प्रथम पद \(a=8\), सार्व अनुपात \(r=2\) और पदों की संख्या \(n=8\) है। गुणोत्तर श्रेणी के पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) होता है। अतः \(S_8=\frac{8(2^8-1)}{2-1}=8(256-1)=2040\)। इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प 4080 में योग को अनावश्यक रूप से दोगुना कर दिया गया है। परीक्षा टिप: पहले \(a\), \(r\) और \(n\) पहचानकर ही सूत्र लगाएँ। / Here, the first term is \(a=8\), the common ratio is \(r=2\), and the number of terms is \(n=8\). The sum of the first \(n\) terms of a geometric progression is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\). Thus, \(S_8=\frac{8(2^8-1)}{2-1}=8(256-1)=2040\). Therefore, option C is correct. Option 4080 incorrectly doubles the sum. Exam tip: identify \(a\), \(r\), and \(n\) before applying the GP sum formula.
गुणोत्तर श्रेणी का nवाँ पद aₙ = arⁿ⁻¹ होता है। अतः पाँचवाँ पद 4r⁴ = 324 होगा। इसलिए r⁴ = 81 = 3⁴। चूँकि r धनात्मक दिया है, इसलिए r = 3। r = −3 भी r⁴ = 81 को संतुष्ट करता, पर वह धनात्मक नहीं है। परीक्षा टिप: पाँचवें पद में r की घात 4 होती है, 5 नहीं। / The nth term of a geometric progression is aₙ = arⁿ⁻¹. Hence, for the fifth term, 4r⁴ = 324. So, r⁴ = 81 = 3⁴. Since r is stated to be positive, r = 3. Although r = −3 also gives r⁴ = 81, it is not positive. Exam tip: in the fifth term, the power of r is 4, not 5.
गुणोत्तर श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) होता है। अतः \(a_6=5\times4^{6-1}=5\times4^5=5\times1024=5120\)। इसलिए सही विकल्प C है। \(2560\) प्राप्त करने में 4 की घात या गुणन में त्रुटि होती है। परीक्षा टिप: nवें पद में घात हमेशा \(n-1\) होती है, \(n\) नहीं। / The nth term of a geometric progression is \(a_n=ar^{n-1}\). Therefore, \(a_6=5\times4^{6-1}=5\times4^5=5\times1024=5120\). Hence, option C is correct. \(2560\) results from an error in evaluating the power of 4 or in multiplication. Exam tip: the exponent in the nth term is always \(n-1\), not \(n\).
गुणोत्तर श्रेणी में \(n\)वाँ पद \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_4=27\left(\frac{2}{3}\right)^{4-1}=27\left(\frac{2}{3}\right)^3=27\times\frac{8}{27}=8\)। विकल्प 6 तब मिलता है जब अनुपात को केवल दो बार गुणा करने जैसी गलती की जाए। परीक्षा टिप: \(a_n\) में अनुपात की घात हमेशा \(n-1\) होती है। / In a geometric progression, the \(n\)th term is \(a_n=a_1r^{n-1}\). Therefore, \(a_4=27\left(\frac{2}{3}\right)^{4-1}=27\left(\frac{2}{3}\right)^3=27\times\frac{8}{27}=8\). The value 6 can result from incorrectly multiplying by the common ratio only twice. Exam tip: in \(a_n\), the exponent of the common ratio is always \(n-1\).
ज्यामितीय श्रेणी में
वें पद का सूत्र
h पद के लिए
है:
। अतः
और
। इसलिए
। 660 एक निकट विकल्प हो सकता है, लेकिन वह पदों की सही घातों का उपयोग करने पर प्राप्त नहीं होता। परीक्षा टिप:
वें पद के लिए घात हमेशा
होती है,
नहीं। / For a geometric progression, the nth term is
. Hence,
and
. Therefore,
. The nearby option 660 does not result when the correct powers of the common ratio are used. Exam tip: for the nth term, the exponent of
is always
, not
.
गुणोत्तर श्रेढ़ी में लगातार पदों का अनुपात समान होता है। यहाँ सामान्य अनुपात \(\frac{96}{24}=4\) है, अतः \(\frac{24}{x}=4\)। इसलिए \(x=\frac{24}{4}=6\)। वैकल्पिक रूप से, तीन लगातार पदों के लिए मध्य पद का वर्ग बाहरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है: \(24^2=96x\), जिससे \(x=6\) मिलता है। \(8\) लेने पर अनुपात \(24/8=3\) और \(96/24=4\) होंगे, जो समान नहीं हैं। परीक्षा टिप: जी.पी. के तीन लगातार पद \(a,b,c\) हों तो सीधे \(b^2=ac\) का प्रयोग करें। / In a geometric progression, the ratios of consecutive terms are equal. Here, the common ratio is \(\frac{96}{24}=4\), so \(\frac{24}{x}=4\). Hence, \(x=\frac{24}{4}=6\). Equivalently, for three consecutive GP terms, the square of the middle term equals the product of the outer terms: \(24^2=96x\), giving \(x=6\). If \(x=8\), the ratios are \(24/8=3\) and \(96/24=4\), which are not equal. Exam tip: For consecutive GP terms \(a,b,c\), use \(b^2=ac\) directly.
गुणोत्तर श्रेणी का सामान्य पद सूत्र \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। इसलिए \(a_4=10r^3=270\), अतः \(r^3=27\) और धनात्मक \(r=3\) मिलता है। विकल्प 2 लेने पर चौथा पद \(10\times2^3=80\) होगा, 270 नहीं। परीक्षा टिप: \(a_n\) में \(r\) की घात हमेशा \(n-1\) होती है। / The general-term formula of a GP is \(a_n=a_1r^{n-1}\). Thus, \(a_4=10r^3=270\), so \(r^3=27\) and the positive value is \(r=3\). If 2 were used, the fourth term would be \(10\times2^3=80\), not 270. Exam tip: in \(a_n\), the exponent of \(r\) is always \(n-1\).
गुणोत्तर श्रेणी में \(a_4=a_2r^2\) होता है। अतः \(250=10r^2\), इसलिए \(r^2=25\)। चूँकि \(r\) धनात्मक है, \(r=5\)। अब \(a_1=a_2/r=10/5=2\) और \(a_5=a_4r=250\times5=1250\)। इसलिए \(a_1+a_5=2+1250=1252\)। \(r=-5\) भी \(r^2=25\) को संतुष्ट करता, पर प्रश्न में धनात्मक \(r\) दिया है। परीक्षा टिप: दिए गए पदों के सूचकांकों का अंतर देखकर \(r\) की घात तय करें। / In a GP, \(a_4=a_2r^2\). Thus, \(250=10r^2\), so \(r^2=25\). Since \(r\) is positive, \(r=5\). Now \(a_1=a_2/r=10/5=2\), and \(a_5=a_4r=250\times5=1250\). Therefore, \(a_1+a_5=2+1250=1252\). Although \(r=-5\) also gives \(r^2=25\), the question specifically requires positive \(r\). Exam tip: use the difference between term indices to determine the required power of \(r\).
ज्यामितीय श्रेणी में चार स्थानों का अंतर होने पर \,a_8=a_4r^{8-4}=a_4r-4\, होता है। अतः \,4374=54r-4\, और \,r-4=4374/54=81\,। इसलिए \,r=3\, है, क्योंकि प्रश्न में r धनात्मक दिया है। 9 निकट का भ्रामक विकल्प हो सकता है, पर वह \,r-4\, का मान है, r का नहीं। परीक्षा टिप: पदों के सूचकांकों का अंतर लेकर r की घात निर्धारित करें। / In a geometric progression, a gap of four indices gives \,a_8=a_4r^{8-4}=a_4r-4\,. Thus \,4374=54r-4\, and \,r-4=4374/54=81\,. Hence \,r=3\, because r is stated to be positive. Although 9 may seem tempting, it is not r; it is related to the value of \,r-4\,. Exam tip: use the difference between the term indices to determine the exponent of r.
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद 12 और सार्व अनुपात 3 है। अतः \(a_4=12\times 3^3=324\) तथा \(a_6=12\times 3^5=2916\)। इसलिए \(a_6-a_4=2916-324=2592\)। 2484 का मान घटाव में त्रुटि करने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: GP में \(a_n=ar^{n-1}\) का प्रयोग करते समय घात \(n-1\) रखें। / The first term is 12 and the common ratio is 3. Thus, \(a_4=12\times 3^3=324\) and \(a_6=12\times 3^5=2916\). Therefore, \(a_6-a_4=2916-324=2592\). A value such as 2484 can result from an error in subtraction. Exam tip: while using \(a_n=ar^{n-1}\) for a GP, remember that the exponent is \(n-1\).
ज्यामितीय प्रगति में \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_4=9\times3^3=243\) और \(a_5=9\times3^4=729\)। इसलिए \(a_4+a_5=243+729=972\)। \(1215\) जैसा विकल्प घात या पदों की गणना में त्रुटि से मिल सकता है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के लिए घात हमेशा \(n-1\) लें। / In a geometric progression, \(a_n=a_1r^{n-1}\). Thus, \(a_4=9\times3^3=243\) and \(a_5=9\times3^4=729\). Therefore, \(a_4+a_5=243+729=972\). A value such as \(1215\) can result from using an incorrect power or term value. Exam tip: for the \(n\)th term, use the exponent \(n-1\).
गुणोत्तर श्रेणी का \(n\)वाँ पद \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_4=\frac{7}{2}\times4^{4-1}=\frac{7}{2}\times64=224\)। \(448\) प्राप्त करने में सामान्यतः \(4\) की घात या गुणन में त्रुटि होती है। परीक्षा टिप: \(a_1\) से \(a_4\) तक घात हमेशा \(4-1=3\) होगी। / The nth term of a geometric progression is \(a_n=a_1r^{n-1}\). Therefore, \(a_4=\frac{7}{2}\times4^{4-1}=\frac{7}{2}\times64=224\). The value \(448\) usually results from an error in evaluating the power of \(4\) or in multiplication. Exam tip: for the fourth term, the exponent of the common ratio is always \(4-1=3\).
यहाँ प्रथम पद \(a=5\) और सार्व अनुपात \(r=\frac{-20}{5}=-4\) है। अतः \(a_3=5(-4)^2=80\) तथा \(a_5=5(-4)^4=1280\)। इसलिए \(a_5+a_3=1280+80=1360\)। \(1120\) जैसी त्रुटि प्रायः ऋणात्मक अनुपात की घात या पद-क्रम गलत लेने से होती है। परीक्षा टिप: GP में \(a_n=ar^{n-1}\) लिखकर पहले घात जाँचें। / The first term is \(a=5\), and the common ratio is \(r=\frac{-20}{5}=-4\). Thus, \(a_3=5(-4)^2=80\) and \(a_5=5(-4)^4=1280\). Therefore, \(a_5+a_3=1280+80=1360\). An answer such as \(1120\) can result from using the wrong power or term position with the negative common ratio. Exam tip: use \(a_n=ar^{n-1}\) and check the exponent before calculating.
\(a_5=a_1r^4\), इसलिए \(1792=7r^4\) और \(r^4=256\), अतः (r=4)। धनात्मक अनुपात मांगने पर धनात्मक मूल लें। / \(a_5=a_1r^4\), so \(1792=7r^4\) and \(r^4=256\), hence (r=4). When positive ratio is asked, take the positive root.
किसी अनुक्रम के सभी पद अशून्य हैं। निम्नलिखित में से कौन-सी शर्त प्रत्येक उपयुक्त n के लिए सत्य होने पर अनुक्रम के गुणोत्तर श्रेणी होने की पुष्टि करती है?
\(a_n^2=a_{n-1}a_{n+1}\) को \(a_{n-1}a_n\) से भाग देने पर \(\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{a_{n+1}}{a_n}\) मिलता है। अतः लगातार पदों का अनुपात समान है, इसलिए यह गुणोत्तर श्रेणी है। विकल्प A समान अंतर वाली अंकगणितीय श्रेणी बताता है। परीक्षा टिप: GP में अनुपात जाँचें, अंतर नहीं। / Dividing \(a_n^2=a_{n-1}a_{n+1}\) by \(a_{n-1}a_n\) gives \(\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{a_{n+1}}{a_n}\). Thus consecutive terms have the same ratio, so the sequence is a GP. Option A describes an AP with a constant difference. Exam tip: test the ratio, not the difference, for a GP.
