यहाँ प्रथम पद \(a=10\), सार्व अनुपात \(r=2\) और पदों की संख्या \(n=9\) है। गुणोत्तर श्रेणी के पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) होता है। अतः \(S_9=\frac{10(2^9-1)}{2-1}=10(512-1)=5110\)। विकल्प 5120 केवल \(10\times 2^9\) है; इसमें योग के सूत्र में आवश्यक \(-1\) शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: \(r\ne1\) होने पर योग का सूत्र लगाने से पहले \(a\), \(r\) और \(n\) स्पष्ट लिखें। / Here, the first term is \(a=10\), the common ratio is \(r=2\), and the number of terms is \(n=9\). The sum of the first \(n\) terms of a GP is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\). Thus, \(S_9=\frac{10(2^9-1)}{2-1}=10(512-1)=5110\). Option 5120 is only \(10\times2^9\); it misses the required \(-1\) in the sum formula. Exam tip: before applying the formula, identify \(a\), \(r\), and \(n\).
यहाँ प्रथम पद \(a=20\), सार्व अनुपात \(r=2\) और \(n=8\) है। गुणोत्तर श्रेणी के पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) होता है। अतः \(S_8=\frac{20(2^8-1)}{2-1}=20(256-1)=5100\)। इसलिए सही उत्तर 5100 है। 5120 प्राप्त होना सामान्यतः \(2^8-1\) के स्थान पर \(2^8\) लेने की गलती से होता है। परीक्षा टिप: \(r\ne1\) होने पर हर \(r-1\) अवश्य लिखें। / Here, the first term is \(a=20\), the common ratio is \(r=2\), and \(n=8\). The sum of the first \(n\) terms of a GP is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\). Thus, \(S_8=\frac{20(2^8-1)}{2-1}=20(256-1)=5100\). Therefore, 5100 is correct. The nearby answer 5120 can result from using \(2^8\) instead of \(2^8-1\). Exam tip: when \(r\ne1\), always include the denominator \(r-1\).
यहाँ प्रथम पद \(a=7\), सार्व अनुपात \(r=2\) और पदों की संख्या \(n=9\) है। गुणोत्तर श्रेणी के पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) होता है। अतः \(S_9=\frac{7(2^9-1)}{2-1}=7(512-1)=7\times511=3577\)। इसलिए विकल्प A सही है। 3584 जैसे निकट विकल्प में घात या घटाव की गणना में त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: \(r=2\) होने पर \(2^n\) का मान पहले निकालें। / Here, the first term is \(a=7\), the common ratio is \(r=2\), and \(n=9\). The sum of the first \(n\) terms of a GP is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\). Thus, \(S_9=\frac{7(2^9-1)}{2-1}=7(512-1)=7\times511=3577\). Therefore, option A is correct. A close value such as 3584 can result from an error while evaluating the power or subtraction. Exam tip: when \(r=2\), calculate \(2^n\) carefully before substituting.
यहाँ प्रथम पद \(a=5\), सार्व अनुपात \(r=2\) और पदों की संख्या \(n=10\) है। गुणोत्तर श्रेणी के योग का सूत्र \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) है। अतः \(S_{10}=\frac{5(2^{10}-1)}{2-1}=5(1024-1)=5115\)। इसलिए विकल्प A सही है। 5120 प्राप्त करना \(2^{10}-1\) के स्थान पर केवल \(2^{10}\) लेने की गलती है। परीक्षा टिप: पहले \(a\), \(r\) और \(n\) पहचानकर ही सूत्र लगाएँ। / Here, the first term is \(a=5\), the common ratio is \(r=2\), and the number of terms is \(n=10\). The sum of a geometric progression is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\). Thus, \(S_{10}=\frac{5(2^{10}-1)}{2-1}=5(1024-1)=5115\). Therefore, option A is correct. Getting 5120 results from using \(2^{10}\) instead of \(2^{10}-1\). Exam tip: identify \(a\), \(r\), and \(n\) before applying the formula.
A. सही, क्योंकि \(S_4=320\)/True, because \(S_4=320\)
Explanation
Simple Explanation
ज्यामितीय श्रेणी के पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\), जब \(r\ne1\), होता है। अतः \(S_4=\frac{8(3^4-1)}{3-1}=\frac{8(81-1)}{2}=320\)। इसलिए दिया गया कथन सही है। \(312\) या \(324\) जैसे मान गलत गणना से मिल सकते हैं। परीक्षा टिप: योग का सूत्र लगाने से पहले \(r^n\) में \(n=4\) अवश्य रखें। / For a geometric progression with \(r\ne1\), the sum of the first \(n\) terms is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\). Thus, \(S_4=\frac{8(3^4-1)}{3-1}=\frac{8(81-1)}{2}=320\). Hence, the given statement is true. Values such as \(312\) or \(324\) result from an incorrect calculation. Exam tip: substitute \(n=4\) correctly in \(r^n\) before simplifying.
ज्यामितीय श्रेणी के पहले n पदों का योग \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) होता है, जब \(r\ne1\)। यहाँ \(S_4=\frac{6(3^4-1)}{3-1}=\frac{6(81-1)}{2}=240\) है। अतः दिया गया कथन सही है। 120, 180 और 300 इस श्रेणी के चार पदों के योग नहीं हैं। परीक्षा टिप: योग निकालते समय \(r^n\) में n के स्थान पर पदों की संख्या अवश्य रखें। / For a geometric progression, the sum of the first n terms is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\), where \(r\ne1\). Here, \(S_4=\frac{6(3^4-1)}{3-1}=\frac{6(81-1)}{2}=240\). Therefore, the given statement is true. The values 120, 180, and 300 are not the sum of the first four terms of this GP. Exam tip: while finding a sum, use the number of terms as the exponent in \(r^n\).
यहाँ प्रथम पद \(a=4\), सार्व अनुपात \(r=3\) और पदों की संख्या \(n=7\) है। गुणोत्तर श्रेणी के पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) होता है। अतः \(S_7=\frac{4(3^7-1)}{3-1}=\frac{4(2187-1)}{2}=4372\)। इसलिए सही उत्तर 4372 है। 4374 जैसा उत्तर सामान्यतः \(3^7-1\) या विभाजन में छोटी गणना-त्रुटि से आ सकता है। परीक्षा टिप: सूत्र लगाने से पहले \(a\), \(r\) और \(n\) अलग-अलग लिखें। / Here, the first term is \(a=4\), the common ratio is \(r=3\), and the number of terms is \(n=7\). The sum of the first \(n\) terms of a GP is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\). Therefore, \(S_7=\frac{4(3^7-1)}{3-1}=\frac{4(2187-1)}{2}=4372\). Hence, 4372 is correct. An answer such as 4374 can result from a small error while evaluating \(3^7-1\) or dividing. Exam tip: write down \(a\), \(r\), and \(n\) separately before substituting in the formula.
इस गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद 3 और सार्व अनुपात 2 है। पहले 5 पद 3, 6, 12, 24, 48 हैं, अतः उनका योग 93 है। सूत्र से भी, \(S_5=\frac{3(2^5-1)}{2-1}=93\)। 90 केवल पहले चार पदों का योग है। परीक्षा टिप: पहले पदों की संख्या के अनुसार अंतिम पद तक श्रेणी लिखकर जाँच करें। / The first term of this GP is 3 and its common ratio is 2. Its first five terms are 3, 6, 12, 24, and 48, whose sum is 93. Using the formula, \(S_5=\frac{3(2^5-1)}{2-1}=93\). The value 90 is the sum of only the first four terms. Exam tip: List the required number of terms before adding to avoid missing the last term.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद 2 और सार्व अनुपात 3 है। पहले 5 पद हैं: 2, 6, 18, 54, 162। इनका योग 2+6+18+54+162=242 है। अतः सही उत्तर 242 है। विकल्प 200 सही नहीं है, क्योंकि वह इन पाँचों पदों के वास्तविक योग के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: गुणोत्तर श्रेणी के लिए \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\), जब \(r\ne1\), का प्रयोग भी किया जा सकता है। / This is a geometric progression with first term 2 and common ratio 3. Its first 5 terms are 2, 6, 18, 54, and 162. Their sum is 2+6+18+54+162=242. Therefore, 242 is the correct answer. Option 200 is incorrect because it is not the sum of these five terms. Exam tip: You may also use \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) when \(r\ne1\).
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद a=1, सार्व अनुपात r=2 और n=6 है। अतः S_n=a\(r^n-1\)/(r-1)=1\(2^6-1\)/(2-1)=63। पद 1, 2, 4, 8, 16, 32 हैं, जिनका योग 63 है। 64 केवल 26 है, योग नहीं। परीक्षा टिप: r≠1 होने पर S_n=a\(r^n-1\)/(r-1) का प्रयोग करें। / This is a geometric progression with first term a=1, common ratio r=2, and n=6. Thus, S_n=a\(r^n-1\)/(r-1)=1\(2^6-1\)/(2-1)=63. The terms are 1, 2, 4, 8, 16, and 32, whose sum is 63. Note that 64 is only 26, not the sum. Exam tip: for r≠1, use S_n=a\(r^n-1\)/(r-1).
